08-06-02

08-06-02. Подобие треугольников
1. Пусть треугольник A1B1C1 подобен треугольнику A2 B2C2 . Это значит, что найдется
фигура F , равная треугольнику A1B1C1 и гомотетичная треугольнику A2 B2C2 . Так как фигура F , равная треугольнику, является треугольником, то обозначим вершины треугольника F буквами A3 , B3 , C3 так, чтобы выполнялись равенства A1  A3 , B1  B3 ,
C1  C3 . При этом будут выполняться равенства A1B1  A3 B3 , A1C1  A3C3 , B1C1  B3C3 .
Далее, будем считать, что при гомотетии, переводящей треугольник A2 B2C2 в треугольник
A3 B3C3 , вершины A2 , B2 , C2 переходят соответственно в вершины A3 , B3 , C3 . Тогда из
свойств гомотетии следует, что A2  A3 , B2  B3 , C2  C3 и
A3 B3 A3C3 B3C3


 k
A2 B2 A2C2 B2C2
где k — коэффициент гомотетии. Учитывая равенство треугольников A1B1C1 и A3 B3C3 ,
можем записать следующие равенства: A1  A2 , B1  B2 , C1  C2 и
A1 B1
AC
BC
 1 1  1 1  k
A2 B2 A2C2 B2C2
где k — коэффициент подобия треугольника A1B1C1 треугольнику A2 B2C2 .
Таким образом, подобные треугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны.
2. Для того чтобы устанавливать подобие треугольников, используются признаки. В
этом пункте мы рассмотрим основной признак подобия треугольников.
Первый признак подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть треугольники A1B1C1 и A2 B2C2 имеют соответственно равные
углы: A1  A2 и B1  B2 . Найдем отношение
AB
k 1 1
A2 B2
и построим треугольник A3 B3C3 , гомотетичный треугольнику A2 B2C2 с коэффициентом
k . Тогда A3  A2  A1 , B3  B2  B1 , A3 B3  k  A2 B2  A1B1 . Поэтому по первому
признаку равенства треугольников A3B3C3=A1B1C1. Так как найден треугольник A3 B3C3 ,
равный треугольнику A1B1C1 и гомотетичный треугольнику A2 B2C2 , то по определению
треугольник A1B1C1 подобен углу A2 B2C2 .
Пример 1. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC и обозначим точку
пересечения диагоналей через O (рисунок 2). Покажем, что треугольники AOD и BOC
подобны.
Решение. Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Углы OAD и BCO равны как
внутренние накрест лежащие. Поэтому по первому признаку подобия треугольники AOD
и BOC подобны.
3. В этом пункте рассмотрим следующий признак подобия треугольников.
Второй признак подобия треугольников.
Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум
сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие
треугольники подобны.
Доказательство. Пусть треугольники A1B1C1 и A2 B2C2 имеют равные углы A1 и A2
и
A1 B1
AB
 1 1
A2 B2 A2C2
Построим треугольник A3 B3C3 , гомотетичный треугольнику A2 B2C2 с коэффициентом
AB
k 1 1
A2 B2
Тогда A3  A2  A1 , A3 B3  kA2 B2  A1B1 , A3C3  kA2C2  A1C1 . Поэтому по второму
признаку равенства треугольников A3 B3C3 = A1B1C1 . Так как найден треугольник A3 B3C3 ,
равный треугольнику A2 B2C2 , то по определению A1B1C1 ~ A2 B2C2 .
Пример 2. На рисунке 3 на сторонах угла отложены отрезки OA  3 см, OB  8 см,
OC  4 см, OD  6 см. Покажем, что треугольники OAC и OBD подобны.
Решение. Треугольники OAC и OBD имеют общий угол при вершине O . Составим
отношение меньшей и большей из сторон OA и OC соответственно к меньшей и большей
из сторон OB и OD :
OA 3 1 OC 4 1
  
  
OD 6 2 OB 8 2
OA
 OC
Следовательно OD
OB , а поэтому по второму признаку подобия треугольники OAC и
OBD подобны.
4. В этом пункте рассмотрим следующий признак подобия треугольников.
Третий признак подобия треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Разберем одну задачу, в которой используется третий признак подобия треугольников.
Пример 3. В квадрате ABCD со стороной 4 см на сторонах AB и BC поставлены точки M и N так, что BM  2 см, BN  1 см (рисунок 4). Покажем, что треугольники BMN
и DMN подобны.
Решение. Из условия следует, что AM  2 см, CN  3 см. Поэтому по теореме Пифагора MD  42  22  2 5 см, ND  32  42  5 см, MN  22  12  5 см. Значит,
BM
2 BN
1 MN
5
1







MD 2 5 MN
5
5 ND
5
BN
 MN
 MN
ND , и по третьему признаку подобия треугольники BMN и
Следовательно, BM
MD
DMN подобны.
5. Предположим, что по одному из признаков мы установили подобие двух треугольников A1B1C1 и A2 B2C2 . Это означает, что треугольник A1B1C1 можно получить из треугольника A2 B2C2 , если сначала выполнить преобразование гомотетии, а затем перемещение.
Так как при гомотетиях и перемещениях углы переходят в равные им углы, то отсюда
следует, что в подобных треугольниках углы между соответственными элементами равны.
Далее, так как при гомотетии с коэффициентом k отрезки переходят в пропорциональные им отрезки, а при перемещении длины отрезков не изменяются, то в подобных треугольниках соответственные отрезки пропорциональны.
Например, в треугольнике ABC на рисунке 5 центр вписанной окружности совпадает с
точкой пересечения биссектрис, а радиус, соединяющий точку касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Поэтому в подобном ему треугольнике A1B1C1 центру O соответствует центр O1 вписанной окружности, а радиус вписанной в треугольник A1B1C1
окружности пропорционален радиусу окружности, вписанной, а треугольник ABC , с коэффициентом пропорциональности, равным коэффициенту подобия треугольников.
6. Отношение площадей подобных треугольников.
При подобии треугольников расстояния между любыми соответственными точками
пропорциональны с коэффициентом, равным коэффициенту подобия.
Пример 4. Пусть треугольники A1B1C1 и A2 B2C2 подобны и
A2 B2 B2C2 A2C2


 k
A1 B1 B1C1
A1C1
Тогда высоты B1 H1 и B2 H 2 будут соответственными (рисунок 6), а поэтому
B2 H 2
 k
B1 H1
Следовательно, B2 H 2  k  B1H1 , A2C2  k  A1C1 . Значит,
1
S   A2C2    B2 H 2 
2
1
   A1C1    B1 H1 
2
1

 k 2   A1C1    B1H1    k 2  S A1B1C1 
2

В результате получаем следующее правило.
Если треугольники ABC и PQR подобны и отношение PQ  AB соответственных
сторон равно k , то
S
PQR
 k2  S
ABC

На рисунках 7 и 8 это правило проиллюстрировано для k  2 и k  3 .
Пример 5. В трапеции ABCD основания AD  3 см, BC  4 см, а площадь равна
90 см 2 . Найти площади треугольников, на которые диагонали разбивают трапецию.
Решение. В примере из п. 2.2. было доказано, что AED BEC . Поэтому
AE DE AD



EC BE BC
Значит,
S ABE  S BCE  AE  CE  2
S
CDE
S
BCE
 DE  BE  2
S
Обозначим
S
BCE
через
ADE
S
BCE
x , тогда
S ABCD  x  2 x  2 x  4 x  9 x  90 .
 ( AD  BC ) 2  4
S
ABE
 2x ,
Следовательно,
S
CDE
 2x ,
x  10
S
и
ADE
 4 x , откуда
S
BCE
 10 см 2 ,
 S CDE  20 см 2 , S ADE  40 см 2 .
7. На этом уроке мы установили, что отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия. Аналогичное свойство выполняется для отношения площадей подобных многоугольников.
Если два подобных многоугольника разбить на соответственные треугольники, то площади этих треугольников будут пропорциональны. Так как соответствующие суммы пропорциональных величин также пропорциональны, то и площади подобных многоугольников пропорциональны с коэффициентом k 2 , где k — коэффициент подобия многоугольников.
S
ABE
Контрольные вопросы
1. Как соотносятся соответственные углы и стороны подобных треугольников?
2. В чем состоит основной признак подобия треугольников?
3. Как формулируется второй признак подобия треугольников?
4. В чем состоит третий признак подобия треугольников?
5. Каково отношение соответственных высот в подобных треугольниках?
6. Чему равняется отношение соответственных медиан в подобных треугольниках?
7. Как относятся длины биссектрис соответственных углов в подобных треугольниках?
8. Каково отношение радиусов окружностей, вписанных в подобные треугольники?
9. Чему равно отношение площадей подобных треугольников?
Задачи и упражнения
1. Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (рисунок 11). Докажите,
что ABO COD .
2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36 . Докажите, что
биссектриса треугольника, проведенная из вершины при основании, отсекает треугольник,
подобный данному.
3. Известно, что отрезки AB и CD пересекаются в точке O и произведение длин
отрезков AO и OB равно произведению длин отрезков CO и OD . Докажите, что
AOC BOD .
4. В одном треугольнике стороны равны 6, 8 и 10 см, а в другом треугольнике — 9, 12 и
15 см. Докажите, что эти треугольники подобны.
5. Докажите, что отношение площадей двух подобных выпуклых многоугольников
равно k 2 , где k — коэффициент подобия.
6. В прямоугольном треугольнике ABC через середину M гипотенузы AC
перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, пересекающая катет BC в точке N и
продолжение катета AB в точке K (рисунок 12). Найдите длину отрезка AC , если длина
отрезка MN равна 4, а длина отрезка NK равна 5.
7. В треугольнике ABC проведены высоты AH и BN . Докажите, что треугольники
CAH и CNB подобны.
8. В каком отношении диагонали трапеции делятся их точкой пересечения, если
основания трапеции равны a и b ?
9. Стороны треугольника относятся как 2  3  4 . Найдите стороны подобного ему
треугольника, в котором:
а) меньшая сторона равна 10;
б) большая сторона равна 40.
10. Дан отрезок AB и точка C на нем. Известно, что AC  a , BC  b и прямая MN
проходит через точку C . Найдите отношение расстояния от точки A до прямой MN к
расстоянию от точки B до прямой MN .
11. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1 , если две стороны
AC и BC и медиана CM пропорциональны сторонам A1C1 и B1C1 и медиане C1M1
треугольника A1B1C1 .
12. Найдите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании
отсекает от него треугольник, подобный данному.
13. Докажите, что если AH — высота, опущенная из прямого угла прямоугольного
треугольника ABC на гипотенузу BC , то
BH AB 2


GH AC 2
14. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если медиана, проведенная к
боковой стороне, отсекает от него треугольник, подобный данному, а длина этой медианы
равна 2 2 см?
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 3. Указание. Углы AOC и BOD равны как вертикальные. Далее, условие
BO
 DO
AO  OB  CO  OD можно представить в виде CO
AO . Поэтому подобие треугольников
следует из второго признака подобия.
Задача 6. Указание. Пусть AM  CM  x . Тогда AC  2x . По первому признаку поMC
x
4
добия треугольник MCN подобен треугольнику AMK . Поэтому MN
AM  MK , x  9 , откуда
x2  4  9 , x  6 .
Задача 11. Указание. Треугольник ABC можно достроить до параллелограмма
ADBC , аналогично треугольник A1B1C1 можно достроить до параллелограмма A1D1B1C1 .
После этого по третьему признаку доказывается подобие треугольников ADC и A1 D1C1 ,
откуда следует равенство углов ACM и A1C1M 1 .
Задача 14. Указание. Пусть AC = a  BM = MC = b. Из подобия треугольников AMC
и ABC следует AC/BC = VC/AC = AM/AB, откуда a/2b = b/a = 2 2 /2b. Следовательно,
a2=2b2 , b = a/√2, 2 2 /2b=1/√2, b = 2, a = 2 2 . Поэтому AB = BC = 4 (см), AC = 2 2 (см).