Урок №1 - Просвещение

Методические разработки уроков
темы «Квадратные уравнения» (8 класс)
Автор конкурсных материалов: Клепань Людмила Ивановна.
Место работы: МОУ СОШ №3 станицы Павловской.
Учебник: Математика: алгебра. Функции. Анализ данных: учебник для 8 класса. Авторы: Г.В.
Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнечова, С.С. Минаева – М. Просвещение,
2005г.
Примерное распределение часов, отведенных на изучение
темы: «Квадратные уравнения» (20 часов).
№
урока
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18,19
20
Содержание (разделы, темы)
Какие уравнения называются квадратными.
Формула корней квадратного уравнения.
Решение квадратных уравнений.
Вторая формула корней квадратного уравнения.
Решение биквадратных уравнений.
Применение квадратных уравнений при решении текстовых задач.
Решение задач.
Решение текстовых задач составлением квадратных уравнений.
Решение тестовых задач.
Решение неполных квадратных уравнений.
Неполные квадратные уравнения.
Решение текстовых задач составлением неполных квадратных уравнений.
Теорема Виета.
Применение теоремы Виета при решении уравнений и задач.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Преобразование алгебраических выражений.
Урок-путешествие «Квадратные уравнения».
Зачет по теме «Квадратные уравнения».
Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения».
Количество
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
Урок №1.
Тема урока: Какие уравнения называют квадратными.
Цели урока:
♦ расширить и углубить знания учащихся о решении квадратных уравнений выделением полного
квадрата;
♦ использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
♦ воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля; развивать самостоятельность и творчество.
Задача урока: Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул
сокращенного умножения, работу с учебником. Проведение закрепления и обучающей
самостоятельной работы осуществить в парах и индивидуально с учащимися.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Устные упражнения.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление.
5. Обучающая самостоятельная работа «Решай сам».
6. Итог урока.
7. Задание на дом.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Сообщение темы, цели урока, краткий ход урока.
2. Устные упражнения.
1) Решите уравнения:
а) х2=64; б) х2-144=0; в) х2+25=0; г) (х-1)2=9; д) (х+5)2=0.
2) Выделите полный квадрат в квадратном трехчлене:
а) х2-12х+20; б) х2-6х+7; в) y2-2y-3; г) 3х2-4х-4.
3. Изучение нового материала.
Ребятам предлагается сформировать теорему Пифагора. Затем читаем задачу в пункте.
Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик
записывает решение. Полученное уравнение учащимся предлагают решать выделением полного
квадрата. Итак, решаем уравнение:
(х-2)2+(х-4)2=х2,
х2-4х+4+х2-8х+16=х2,
х2-12х+20=0,
х2-12х+36-36+20=0,
(х-6)2-16=0,
(х-6)2=16,
х-6=4 или х-6=-4,
х=10 или х=2
Проводя анализ условия задачи, учащиеся приходят к выводу, что число 10 удовлетворяет
условию. После завершения решения задачи, учитель обращает внимание учащихся на уравнение
х2-12х+20=0, и дает определение квадратного уравнения.
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2+bx+c=0, где a,b и c
произвольные числа, причем а≠0.
Числа a,b,c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или
старшим коэффициентом, b-вторым коэффициентом, а c-свободным числом.
Квадратное уравнение , первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.
Например, х2-12х+20=0, х2-2/3х=0, х-√50=0.
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент, неравен 1, можно привести к
приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при х 2.
Затем рассматриваются примеры решения квадратных уравнений:
а) х2-6х+7=0, б) х2-10х+25=0, в) 2х2+6х+5=0.
4. Закрепление. №402 (по цепочке), №403(в парах), №405(у доски, с обязательным объяснением).
5. Обучающая с/р «Решай сам». №404(а,в)-I вариант, №404(б,г)-II вариант.
После выполнения работы, проводится проверка (используя ТСО).
6. Итог урока.
1) Какие уравнения называются квадратными? Приведите пример.
2) Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
3) Какие квадратные уравнения называются приведенными?
4) Как привести квадратное уравнения к приведенному?
7. Задание на дом: п 3.1., № 406(а,б,в), №408, 410 (а).
Урок №2.
Тема урока: Формула корней квадратного уравнения.
Цели урока:
♦ вместе с учениками вывести формулу корней квадратного уравнения;
♦ учить учащихся применять формулу корней квадратного уравнения.
Задача урока: С целью изучения и закрепления нового материала, использовать различные формы
активизации деятельности учащихся: на этапе изучения нового материала использовать активную
лекцию, для закрепления – фронтальную работу с классом, работу в парах.
Оборудование: Оформленная доска.
х2-16=0; х2+9=6х; 3х-10+х2=0; 3х2-12х=0; 3х2-7х+2=0; 2х2+5х-3=0.
Структура урока:
1. Актуализация знаний.
2. Постановка проблемы.
3. Открытие нового знания.
4. Первичное закрепление.
5. Фронтальная работа с классом.
6. Работа в парах.
7. Самостоятельная работа.
8. Подведение итогов урока.
9. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Актуализация знаний:
● Какие уравнения записаны на доске? (квадратные);
● Докажите, что данные уравнения квадратные. (уравнения вида ах2+bx+c=0 называются
квадратными, если а≠0. Значит нужно уравнение записать в таком виде и назвать коэффициенты
уравнения).
● Назовите приведенные квадратные уравнения.
● Докажите, что перечисленные Вами уравнения являются приведенными (Согласно определения
старший коэффициент равен 1)
● Назовите методы решения квадратных уравнений (выделением полного квадрата).
2. Постановка проблемы:
● Как Вы думаете, можно ли, методом выделением полного квадрата решить квадратное уравнение
общего вида? (Да, можно).
3. Открытие нового знания.
Давайте вместе решим квадратное уравнение общего вида выделением полного квадрата:
ax2+bx+c=0;
x2+bx/a+c/a=0;
x2+2bx/2a+c/a=0;
x2+2bx/2a+(b/2a)2-(b/2a)2+c/a=0;
(x+b/2a)2-b2/4a2+c/a=0;
(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2.
Дальнейший ход решения будет строится по-разному, в зависимости от знака числителя
дроби (b2-4ac)/4a2, так как 4а2>0 при любом значении а. D=b2-4ac дискриминант (в переводе
означает «различать», «разделять») квадратного уравнения. Итак, рассмотрим три случая:
1) Пусть D>0, тогда имеем уравнение
(x+b/2a)2=D/4a2
Отсюда, x+b/2a= √D/2a или x+b/2a= -√D/2a
х=√D/2a-b/2a или х=-√D/2a-b/2a
х=-b+√D/2a или х=-b-√D/2a
Итак, если D>0, то квадратное уравнение, имеет 2 корня и они определяются по формулам
х1=-b+√D/2a, х2=-b-√D/2a.
1) Пусть D=0, тогда уравнение примет вид: (х+b/2a)2=0,
Отсюда х+b/2a=0, х=-b/2a.
Значит, если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет один корень. Он равен -b/2a.
2) Пусть D<0. Тогда D/4a2<0. Значит, в этом случае, уравнение ax2+bx+c=0 корней не имеет.
Итак, по знаку дискриминанта квадратные уравнения подразделяются на три класса: имеющие два
корня, имеющий один корень и не имеющие корней.
х=-b±√D/2a, где D=b2-4aс формула корней квадратного уравнения.
Алгоритм решения квадратного уравнения:
1) Вычисляем дискриминант и сравниваем его с нулем.
2) Применяют формулу корней квадратного уравнения если D>0.
3) Если D<0, то делают вывод об отсутствии корней.
4. Первичное закрепление.
Рассмотрим решение следующих уравнений:
Пример 1.
6х2-х-2=0;
D=b2-4ac;
D=(-1)2-4*6*(-2)=1+48=49, т.е. D>0
x1,2=(-b+√D)/2a, т.е.
х1=1+√49/2*6=1+7/12=8/12=2/3; х2=1-√49/2*6=1-7/12=-6/12=-1/2.
Ответ: 2/3, -1/2.
Пример 2.
-х2+2х-2=0,
х2-2х+2=0,
D=4-4*1*2=4-8=-4, D<0.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 3.
х2+0,2х+0,01=0,
100х2+20х+1=0,
D=400-4*100=0
Отсюда, х=-20/200=-1/100=-0,1.
Ответ: -0,1.
5. Фронтальная работа с классом.
№ 418.
Ответ: а) D=49+72=121, D>0
х1=(-7+11)/2=2, х2=-9.
б) D=1-24=-23, D<0, значит корней нет.
в) 4х2-4х+1=0
D=16-16=0, значит х=1/2.
г) 5y2-3y+2=0
D=9-40=-31, D<0 значит корней нет.
д) 9х2+12х+4=0
D=144-4*4*9=0, x=-12/8=-2/3
е) z2-z+3=0
D=1-12=-11, D<0, значит корней нет.
6. Работа в парах: №412 (По очереди объясняют решение уравнений друг другу).
7. Самостоятельная работа: №419.
8. Подведение итогов урока.
1) Назовите формулу корней квадратного уравнения.
2) В зависимости от чего квадратные уравнения подразделяют на три класса?
9. Домашнее задание: п.3.2. № 416, 420
Урок – тренинг №3.
Тема урока: Решение квадратных уравнений.
Цели урока:
♦ формирование навыка выбора рационального способа решения квадратного уравнения;
♦ формирование умения работать самостоятельно и в паре, умения организовать тематический
диалог, задать вопросы, понимать другое решение;
♦ формирование умения обобщать типы квадратных уравнений и способы их решения.
Задача урока: С целью выработки практических навыков решения квадратных уравнений
использовать различные формы работы, а именно работу в парах, коллективную работу класса,
самостоятельную индивидуальную работу учащихся.
Оборудование: Оборудованная доска (или презентация на проекторе):
Часть 1.
Подбери концовку предложения, используя предложенные ответы:
1. Уравнение ax2+bx+c=0 называется квадратным, если...
2. Уравнение называется приведенным, если...
3. Уравнение имеет корни, выраженные противоположными числами, если...
4. Уравнение ax2+bx+c=0 является линейным, если...
5. Уравнение ax2+bx+c=0 имеет два корня, если...
6. Уравнение ax2+bx+c=0 имеет один корень, если...
7. Уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней, если...
Часть 2.
Решите уравнения
1) 3х2=0
2) х2+36=0
3) 2х2-5=0
4) 2х2-8х=0
5) х2+х-12=0
Ответы:
a=0
b=0
c=0
a=0
b≠0
d≠0
D=0
D<0
D>0
6) –2х2-5х+7=0
7) 7/4х2+7/3х-5/4=0
8) 24х2-10х-8=0
9) 8z2=22z+6
10) 20y2+6=22y
На боковой доске с обратной стороны:
Лист контроля. Квадратные уравнения.
1. ax2+bx+c=0, a≠0, D>0, x1,2=-b±√b2-4ac/2a
3. ax2+bx+c=0, a≠0, D=b2-4ac, D=0, x=-b/2a
5. ax2+c=0, x2=-c/a, -c/a>0, x1,2=±√-c/a
Структура урока:
1. Постановка целей урока.
2. Самостоятельная работа.
3. Работа в парах.
4. Коллективная работа класса.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.
2. ax2+bx+c=0, D=b2-4ac, D<0, корней нет
4. ax2+bx=0, x(ax+b)=0, x1=0, x2=-b/a
6.ax2=0, x=0
Ход урока.
1. Постановка целей урока.
Сегодня мы проводим урок – тренинг, на котором Вы повторите и систематизируете методы
решения разных видов квадратных уравнений. Вы должны к концу урока научиться выделять виды
квадратных уравнений и методы их решения, а также составлять общий план решения
произвольного квадратного уравнения. Сначала Вы самостоятельно решать уравнения, затем
обсуждаете способы решения и ответы в парах, после чего мы подводим итоги коллективно.
2. Самостоятельная работа. Принятия собственного решения (20 мин.)
(В ходе самостоятельной работы ученики пробуют самостоятельно решить все уравнения, найти
разные способы решения и прийти к выводу, какой способ рациональнее).
3. Работа в парах (5 мин.) № 422 (при обсуждении работы в парах, ученики сверяют свои ответы,
просматривают способы решения, выбирают наиболее рациональный способ и обсуждают общий
способ решения квадратных уравнений. У учеников появляется возможность проговорить способ
решения, объяснить свой способ, что требует активной речевой деятельности, развивает умение
слушать и понимать решение товарища, принимать общее решение).
4. Коллективная работа класса.
Обсуждение различных мнений и выработка общего плана действий (10 мин.) № 423.
Проверяется сначала правильность решения уравнений, то есть ответы. Затем учитель вывешивает
«Лист контроля формул» или разворачивают боковую доску. Ученики называют номера, под
которыми записаны данные виды уравнений и обсуждают способы решения. Таким образом, все
уравнения классифицируются. Составляется общий план решения произвольных квадратных
уравнений.
1) При решении уравнений с дробными коэффициентами сначала избавляются от дробей.
2) При решении уравнений с отрицательным коэффициентом при х2 сначала умножают
уравнение на (-1).
3) При решении неполных уравнений следует воспользоваться определением квадратного
корня (когда нет слагаемого при х), либо вынесением х за скобки. Во втором случае можно сразу
записать х1=0, а второй корень найти.
4) В других случаях решается по формуле корней.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание: п.3.2. №424, 426, 427.
Урок №4.
Тема урока: Вторая формула корней квадратного уравнения.
Цели урока:
♦ вывести формулу коней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом;
♦ учить учащихся применять вторую формулу корней квадратного уравнения.
Задача урока: Изучение нового материала провести в форме мини-лекции, закрепление – работа по
цепочке, в парах, индивидуальная самостоятельная работа.
Оборудование: На доске записаны формула корней квадратного уравнения; несколько уравнений,
которые предложены для устного счета.
Структура урока:
1. Актуализация знаний.
2. Постановка проблемы урока.
3. Открытие новых знаний (мини-лекции).
4. Первичное закрепление.
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Актуализация знаний.
В то время пока мы будем работать устно, несколько учеников запишут решения уравнений,
которые они составили сами.
2. Постановка проблемы урока.
Обратим внимание на уравнения, у которых второй коэффициент является четным числом.
Предлагаем учащимся более рациональный способ решения, а именно, рассматриваем вторую
формулу корней квадратного уравнения.
3. Открытие новых знаний:
На доске записывают вторую формулу:
D1=k2-ac, D1>0, x1,2=-k±√D1/a, где k=b/2
Если D1<0, то уравнение корней не имеет.
Пример:
5х2-8х+3=0
D1=(-4)2-5*3=16-15=1
D1>0
x=(4±√1)/5, x=(4±1)/5, x1=1, x2=3/5.
Ответ: 1; 3/5
● Определение биквадратного уравнения: Уравнение вида ax4+bx2+c=0, где а≠0 называют
биквадратным.
Решение: таких уравнений проводится с помощью введения новой переменной. Пусть х 2=y,
причем y>0.
ay2+by+c=0
D=b2-4ac
y1,2=-b±√D/2a, если y>0, тогда х2=-b+√D/2a, х1,2=√(-b+√D/2a) x3,4=√(-b-√D/2a)/
● Рассмотрим конкретный пример биквадратного уравнения: х4-13х2+36=0.
Решение:
Введем замену х2=y, получим квадратное уравнение:
y2-13y+36=0
D=169-4*1*36=169-144=25
y1=13+5/2=9 y2=13-5/2=8/2=4
x2=9
x2=4
x1,2=±3
x3,4=±2
Ответ: ±3; ±2.
4. Первичное закрепление: № 428.
К доске вызываются 3 ученика (по одному из каждого ряда), которые решают уравнения из
предложенного номера, а учащиеся класса выполняют соответственно это же задание за учеником
своего ряда. Затем проводится оперативная проверка решенных уравнений.
Следующий номер №429 учащиеся выполняют в парах, по очереди объясняя, друг другу ход
решения.
5. Самостоятельная работа: № 430 (по вариантам)
6. Подведение итогов урока.
1) Сколько корней может иметь квадратное уравнение; биквадратное уравнение?
2) Запишите вторую формулу корней квадратного уравнения.
7. Домашнее задание: п.3.3. №431, 434, 435.
Урок №5.
Тема урока: Решение биквадратных уравнений.
Цели урока:
♦ отработки общих умений и навыков при решении квадратных и биквадратных уравнений;
♦ развитие внимания, навыков самоконтроля.
Задача урока: Организовать работу консультантов, на этапе закрепления нового материала;
проверку полученных знаний провести в ходе проведения самостоятельной работы, а затем
организовать самопроверку.
Оборудование: Оформленная доска.
Алгоритм решения квадратного уравнения (на обратной стороне доски).
● Выполнить тождественные преобразования: перенесение выражения из правой части в
левую, меняя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и тоже число; применение тождеств
сокращенного умножения, приведение подобных членов, запись уравнения в стандартном виде.
● Выделить в уравнении коэффициенты.
● Вычислить дискриминант.
Если D>0, то вычислить корни по общей формуле х1,2=-b±√D/2a.
Если D=0, то вычислить корни по формуле х=-b/2a
Если D<0, то корней нет.
● Уравнения с четным вторым коэффициентом ax2+2kx+c=0.
● Вторая формула корней квадратного уравнения
2
D1=k -ac, x1,2=-k±√D1/a
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Фронтальная работа с классом.
3. Практическое закрепление знаний и умений учащихся.
4. Самостоятельная работа. Самопроверка.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему и цель урока.
2. Фронтальная работа с классом. На магнитной доске прикреплены карточки с уравнениями:
-3х2+4х-5=0
х2+4х+3=0
2
2х -11х+5=0
х2=5
7х2+14х=0
2х2+4х-10=0
Вопрос: С чего лучше начать решение квадратных уравнений -3х2+4х-5=0, 2х2+4х-10=0?
Ответ: Первое уравнение разделить на (-1), а второе уравнение – на 2.
Вопрос: Как решаются квадратные уравнения; биквадратные?
Вопрос: Имеют ли корни данные уравнения?
3. Практическое закрепление знаний и умений учащихся.
● Работа в группах. Консультанты оказывают помощь учащимся группы №432, 433.
Затем решения уравнений записываются на доске и проводится сверка ответов.
● Работа в парах № 437.
4. Самостоятельная работа: №438, 439 (по вариантам). (Предварительно на доске выписываются
ответы и учащиеся могут сверить полученные корни с тем, что выписаны на доске).
5. Итог урока.
1) Алгоритм решения квадратных и биквадратных уравнений.
2) Формулы корней квадратного уравнения.
6. Домашнее задание. Повторение п. 3.1-3.3, №440, 441
Урок № 6.
Тема урока: Применение квадратных уравнений при решении текстовых задач.
Цели урока:
♦ практическое закрепление знаний и умений учащихся решать квадратные уравнения;
♦ показать учащимся применение квадратных уравнений в ходе решения задач;
♦ повышение интереса учащихся к предмету через межпредметные связи с другими учебными
предметами.
Задача урока: Провести активную лекцию при изучении нового материала, организовать проверку
домашней работы в ходе проведения самостоятельной работы.
Оборудование: индивидуальные карточки.
Структура урока:
1. Проверочная самостоятельная работа.
2. Изучение нового материала.
3. Подведение итогов урока.
4. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Проверочная самостоятельная работа. (Учащиеся выполняют индивидуальные задания карточки)
(15 мин.).
Примеры карточек:
Карточка №1.
Карточка №1.
Решите уравнения.
Решите уравнения.
а) х2-4х+3=0
а) х2-6х+5=0
2
б) 2х -50=0
б) 3х2-48=0
в) 2х2-5х+2=0
в) 2х2-3х-2=0
2
г) х -2х-6=0
г) х2+2х-4=0
д) 1/5х2+х-10=0
д)1/4х2-х-3=0
2. Изучение нового материала.
Данный материал рассматривает вместе с учащимися. Если класс достаточно хорошо
подготовленный, то можно вызвать к доске ученика, вместе проводить рассуждения, составлять
математическую модель. В ходе решения задач повторяются необходимые теоретические
материалы.
3. Подведение итогов урока.
Повторяем принцип решения текстовых задач.
4. Домашнее задание: п.3.4, №442(а).
Урок №7.
Тема урока: Решение задач.
Цели урока:
♦ отработка умений учащихся решать текстовые задачи;
♦ закрепление знаний, умений учащихся решать квадратные уравнения;
♦ учить использовать межпредметные знания при решении текстовых задач.
Задача урока: Организовать работу консультантов в группах.
Оборудование: Карточки с заданиями для каждой группы.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Практикум по решению задач (работа в группах и консультантов).
3. Подведение итогов урока.
4. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Объявляется тема, цели урока. Даются инструкции группам по организации и ходу урока.
Выдаются карточки с заданиями. В каждой группе назначается консультант из наиболее «сильных»
учащихся. Еще раз просматриваются по учебнику решение задачи №1.
2. Практическое закрепление знаний учащихся.
Группа №1.
Группа №2.
Группа №3.
№443(а), 444(а), 445
№443(б), 444(б), 446
№443(а), 444(б), 448
При необходимости учитель оказывает помощь группе. После выполнения заданий каждая группа
предлагает свое решение на доске и дает при этом необходимые пояснения. Наиболее трудные
задачи написаны заранее на доске и потом знакомят с их решением учащихся.
3. Подведение итогов урока.
Повторяем принцип решения рассмотренных в классе задач.
4. Домашнее задание: №447, 449.
Урок – практикум №8.
Тема урока: Решение текстовых задач составлением квадратных уравнений.
Цели урока:
♦ поговорить об особенностях математических моделей, описывающих реальные ситуации;
♦ закрепление навыка составления математической моделей задачи, решения квадратных
уравнений;
♦ содействовать побуждению интереса к математике.
Задача урока: Организовать индивидуальную работу учащихся таким образом, чтобы каждый мог
выполнить практические задания, а затем сверить свое решение с образцом. При этом
активизировать работу консультантов.
Оборудование: Проектор, (презентация).
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Самопроверка домашнего задания (сверка с решениями на слайдах). Проверочная
самостоятельная работа.
3. Отработка практических навыков учащихся.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Проверка домашнего задания. С помощью проектора и слайдов осуществляется проверка д/з.
Учащиеся сверяют свое решение с тем, что изображено на слайдах.
Затем проводится проверочная с/р, задачи которой аналогичны.
Вариант №1.
1. Длина прямоугольника на 5см больше ширины, и его площадь равна 36 см2. Найдите стороны
прямоугольника.
2*.Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32см, а площадь равна 55 см2.
Вариант №2.
1. Ширина прямоугольника на 6 см меньше длины, а его площадь равна 40 см 2. Найдите стороны
прямоугольника.
2*. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 51 см2, а периметр равен 40см.
3. Обработка практических навыков учащихся.
Перед началом работы еще раз повторяют математическую модель задач №2,3 из пункта учебника.
На доске записаны номера по вариантам.
Вариант №1.
Вариант №2.
№452(а), 453(а), 459(а), 460(а)
№452(б), 453(б), 459(б), 460(б)
Каждую задачу учащиеся выполняют на отдельных листах. Решив задачу, ученик сдает ее на
проверку учителю и двум консультантам, которые помогают при проверке. После проверки листы
возвращаются учащимся. После чего учащиеся дома выполняют работу над ошибками.
4. Подведение итогов урока.
Проговариваем математические модели ключевых задач пункта.
5. Дача домашнего задания.
Оставшиеся задачи пункта распределяются между группами, на которые разбит класс. Решения
оформляют на отдельных листах, так, чтоб можно было провести обмен на следующем уроке.
Урок – семинар №9.
Тема урока: Решение текстовых задач.
Цели урока:
♦ закрепление навыков решения текстовых задач составлением квадратных уравнений;
♦ воспитывать активность, интерес к математике.
Задача урока: Подготовить учащихся к выступлению в классе. Изучение темы провести совместно
с учащимся, а затем проверить качество усвоение материала с помощью самостоятельной работы.
Оборудование: Проектор, (презентация).
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Фронтальный опрос по вопросам теории.
3. Разбор решения ключевых задач (выступление заранее подготовленных учащихся).
4. Проверочная самостоятельная работа.
5. Подведение итогов урока.
6. Дача домашнего задания.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Фронтальный опрос по вопросам теории.
1) Квадратные уравнения. Формулы корней квадратных уравнений.
2) Математические модели ключевых задач пункта.
3. Разбор решения задач, которые подготовили учащиеся. (Решение с помощью проектора
показываются на доске всем учащимся).
4. Проверочная самостоятельная работа. (Дифференцированный подход к выполнению
самостоятельной работе. Учащиеся по выбору выполняют одну из задач. Оценивание задач: №1«3», №2-«4», №3-«5»).
Вариант №1.
1. Одна из сторон прямоугольника в три раза больше, а другая на 8см меньше стороны квадрата.
Найдите площадь квадрата, если они больше площади прямоугольника на 54 см2.
2. Стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Если сторону квадрата увеличить на
2см, а сторону первого квадрата увеличить на 2см, то разность площадей полученных квадратов
будет равна 35 см2. Найдите стороны данных квадратов.
3. В соревнованиях по скалалазанию на скорость по трассе длиной 15см бегут два скалолаза,
скорость одного из них на 0,2 м/с больше скорости другого. Найдите скорость движения
скалалазов, если один из них финишировал на 3,5 с быстрее другого.
Вариант №2.
1. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 80м. Площадь участка
175 м2. Найдите длины сторон участка.
2. Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили
коробку. Для этого по углам листа вырезали квадраты со стороной 10см. Найдите размеры
картонного листа, если объем коробки равен 12 000 см3.
3. Автогонщик на ралли из-за поломки автомобиля потерял 4 мин., а затем на оставшихся
120 км пути наверстал потерянное время, увеличив скорость на 20 км/ч. Найдите первоначальную
скорость автогонщика.
5.Подведение итогов урока.
6. Дача домашнего задания. Учащимся предлагается выполнить задачи самостоятельной работы.
Урок №10.
Тема урока: Решение неполных квадратных уравнений.
Цели урока:
♦ расширение и углубление представлений учащихся о решении уравнений, организация
поисковой деятельности учащихся при решении неполных квадратных уравнений.
♦ развитие умения самостоятельно приобретать новые знания, использование для достижения
поставленной задачи уже полученные знания; установление закономерности многообразия
связей для достижения уровня системности знаний;
♦ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; выработка желания и потребности
обобщать полученные факты; развитие самостоятельности и творчества.
Задача урока: Систематизировать знания, по решению неполных квадратных уравнений используя
групповую форму работы с учащимися.
Оборудование: Проектор, (презентация).
Структура урока:
1. Накопление фактов.
2. Постановка учебной задачи.
3. Решение поставленной задачи.
4. Первичное осмысление и применение изученного материала.
5. Подведение итогов урока.
6. Задание на дом.
Ход урока.
1. Накопление фактов.
1) Устная работа.
● Разложите на множители и выбери правильный ответ:
а) х2-х
Ответы: 1) х(1-х);
2) х(х-1).
б) 4х2+2х
Ответы: 1)-х(2х+2);
2) 2х(2х+1).
2
в) 4х -9
Ответы: 1) (2х-3)(2х+3); 2) 2(х-3)(х+3).
г) 2х2+3х2-5х
Ответы: 1) 2х(х2+2х-5); 2) х(2х2+3х-5).
● Решите уравнение (а-г). Сколько корней имеет уравнение?
а) х2=9; б) 3х2=0; в) х2=-25; г) х2=3.
● Распределите данные уравнения на четыре группы и объясните, по какому признаку Вы это
сделали.
а) 9х2-6х+10=0,
г) х2+16=0,
ж)8х2-8=0,
б) 2х2-х=0,
д) –3х2+5х+1=0,
з) –2х2=0,
2
2
в) 5х =0,
е) –2х +50=0,
и) 5х2+2х=0.
(1-я группа: а), д): ах2+bx+c=0, a≠0;
2-я группа: б), и): оба слагаемых содержат переменную;
3-я группа: е), ж): одно слагаемое с переменной, а другое – нет;
4-я группа: в), з): одночлен с переменной в квадрате).
2. Постановка учебной задачи:
1) Как называются эти уравнения? (Уравнения второй степени).
2) Запишите уравнения 1-й группы в общем виде.
3) Дайте определение этому уравнению.
Проблема:
1) Все ли уравнения здесь полные? (нет)
2) В каких случаях квадратные уравнения можно считать неполными? (Найдите определение
неполных квадратных уравнений в учебнике).
3) Какая задача встает перед нами?
3. Решение поставленной задачи. (Работа в группах).
План.
1. Рассмотреть примеры, приведенные в п.3.5.
10х2+9х=0; 64х2-49=0; 16х2+1=0.
2. Решить уравнения №471(а,б), 472(а,б), 473(а,б), 474(а,б).
3. Записать в общем виде неполные квадратное уравнение.
4. Исследовать корни неполных квадратных уравнений и сделать вывод.
Затем учащиеся на доске записывают общее решение каждого уравнения.
● ах2+bx=0, x=0, x=-b/a, два корня.
● ах2+с=0.
1) Если –с/а>0, то уравнение имеет два корня: х1=-√-с/а, х2=√-с/а
2) Если –с/а<0, то корней нет.
Решили мы поставленную задачу? (Да).
4. Первичное осмысление и применение изученного материала. Обучающая самостоятельная работа
(задания для самоконтроля).
Критерии оценок:
Оценка «5» - 8 баллов,
Оценка «4» - 6-7 баллов,
Оценка «3» - 3 балла.
Вариант №1. [Вариант №2.]
1. Решите уравнение (за каждое правильно решенное уравнение 1 балл).
а) 2х2-18=0, б) 5х2+15х=0, в) х2+5=0
[а) 6х2-12=0, б) 3х2+12х=0, в) 7+х2=0]
2. (2 балла). Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 3и –3 [0 и 6].
3. (3 балла). Решите уравнение.
(х+1)2+(1+х) *5=0
[(х-4)(х+4)=2х-16]
Организация проверки: по записи на доске.
5. Подведение итогов урока.
Учащиеся подчитывают количество баллов и ставят себе оценку.
Рефлексия: Оцените свою деятельность на уроке. Полностью ли Вы реализовали себя. Какие
уравнения мы сегодня рассматривали? Найдите определения неполных квадратных уравнений в
пункте.
6. Задание на дом. Составить карточки-подсказки с алгоритмом решения неполных квадратных
уравнений п.3.5, №475(а-г), 476(а,б,в), 477(а,б).
Урок-практикум №11.
Тема урока: Неполные квадратные уравнения.
Цели урока:
♦ закрепление навыка решения неполных квадратных уравнений;
♦ развитие логического мышления;
♦ воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к
математике.
Задача урока: Организовать закрепление практических навыков решения неполных квадратных
уравнения, при этом использовать различные формы работы с учащимися; индивидуальную,
групповую, коллективную.
Оборудование: Карточки-подсказки с алгоритмом решения неполных квадратных уравнений.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Индивидуальная работа учащихся.
4. Закрепление материала.
5. Работа в группах.
6. Работа консультантов.
7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель сообщает тему и цели урока.
2. Проверка домашнего задания.
На доске заранее записано решение уравнений. Учащиеся сверяют свои решение с решениями на
доске. Учащиеся, которые предлагали свои решения на доске, комментируют, дают более
подробные пояснения.
№475 (а-г).
а) (х+4)(х+5)=20,
б) (х+5)(х-5)=24,
в)5(7-2х)=2х(х-5),
г)х(3х-4)=2(5-2х),
2
2
2
х +9х+20=20,
х -25=24,
35-10х=2х -10х,
3х2-4х=10-4х,
х2+9х=0,
х2=49,
2х2=35,
3х2=10,
2
х(х+9)=0,
х1=7 или х2=-7
х =35/2,
х2=10/3,
х1=0 или х2=-9
Ответ: -7,7.
х1=√35/2 или х2=-√35/2
х1=√10/3 или х2=-√10/3,
Ответ: 0,-9.
Ответ: -√35/2;√35/2.
Ответ: -√10/3, √10/3.
№476(а,б,в).
а)0,02х2+0,005х=0,
20х2+5х=0,
5х(4х+1)=0,
х1=0 или х2=-1/4
Ответ: 0, -1/4.
б) х2/3=х/6,
2х2=х,
х(2х-1)=0,
х1=0 или х2=1/2,
Ответ: 0,1/2.
№477(а,б).
а) х3-х=0,
х(х2-1)=0,
х(х-1)(х+2)=0,
х1=0 или х2=1 или х3=-1,
Ответ: 0,-1,1.
в) 1/100=х2/10,
1=10х2,
х2=1/10,
х1=√1/10 или х2=-√1/10
Ответ: -√1/10, √1/10.
б)х3+4х2=0,
х2(х+4)=0,
х1=0 или х2=-4,
Ответ: 0,-4.
Вопросы к учащимся:
1) Какие уравнения называются неполными.
2) Общий вид полного квадратного уравнения и неполного.
3) Формулы корней квадратного уравнения.
4) Сколько корней могут иметь неполные квадратные уравнения? Расскажите о каждом случае,
запишите алгоритм решения для каждого вида неполных квадратных уравнений.
3. Индивидуальная работа. (Учащиеся работают по вариантам).
Вариант №1.
Вариант №2.
Вариант №3.
(х+2)2=4(х+4),
4(х-1)2=(х+2)2,
(3х-1)2=3(1-2х),
2
3
2
3
2х +4х =0.
-10х +2х =0.
2х+18х3=0.
Проверка проводится сразу. С помощью проектора показывают слайды с решениями вариантов.
Учащиеся, не допустившие ошибки, получают оценки.
4. Закрепление материала.
Рассмотрим более сложные уравнения.
х2+1-(х2+3)/3=(х2+2)/2-(х2+4)/4.
Умножим обе части уравнения на 12. Получим уравнение:
12х2+12-4(х2+3)=6(х2+2)-3(х2+4),
12х2+12-4х2-12=6х2+12-3х2-12,
8х2=3х2,
5х2=0,
х=0. Ответ: 0.
5. Работа в группах. (3 человека решают уравнения на доске.)
1) Решите уравнения:
1 группа № 485(а),
2 группа №485(б),
3 группа №486(б).
Потом учащиеся проводят проверку своего решения с тем, что записано на доске.
2) Решите уравнения.
1 группа №487(а), 488(а),
2 группа №487(б), 488(б),
3 группа №487(в), 488(в),
4 группа №487(г), 488(в).
Проверке задания проводится по готовым решениям на слайдах.
6. Работа консультантов.
Заранее заготовленные решения № 493 консультанты демонстрируют и комментируют для
всего класса.
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
8. Домашнее задание. Подготовка к семинарскому занятию. Каждой группе дается индивидуальное
задание.
1 группа №478, 494.
2 группа №479, 495.
3 группа №480, 496.
Урок – семинар №12.
Тема урока: Решение текстовых задач составлением неполных квадратных уравнений.
Цели урока:
♦ расширение и углубление представлений учащихся о решении текстовых задач;
♦ организация поисковой деятельности учащихся при решении задач;
♦ установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности
знаний;
♦ воспитание интереса к предмету.
Задача урока: Организовать поисковую деятельность учащихся, в ходе которой рассматриваются
математические модели решения текстовых задач.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Устные упражнения.
3. Выступление учащихся.
4. Самостоятельная работа.
5. Доклад «Из теории квадратных уравнений».
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент:
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Устные упражнения:
1) Решите неполные квадратные уравнения:
а) ах2+ах=0; б) ах2-х=0.
2) Имеет ли решение неполное квадратное уравнение:
ах2+с=0, если: а) а>0, c<0; б) a>0, c<0; в) а<0, c>0; г) а<0, c<0.
3. Выступление учащихся.
Каждая группа предлагает решения тех задач, которые они решали дома.
(Можно одну задачу – на доске, а одну на слайде и с помощью проектора демонстрировать класса с
соответствующими пояснениями).
4. Самостоятельная работа.
Вариант №1.
Вариант №2.
Вариант №3.
№481
№482
№483
Проверка проводится по готовым решением на листах.
5. Доклад «Из истории квадратных уравнений». Выступает ученик. А затем учащимся, предлагается
математический софизм, который доказывает, что 2=1.
Кто объяснит невероятное?
Пусть
а=b
Умножим обе части на а: а2=ab
Вычтем b2
а2-b2=ab-b2
(a-b)(a+b)=b(a-b)
Тогда
a+b=b
Но по условию
a=b
Значит
b+b=b
То есть
2b=b
Разделим на b, получим
2=1
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание. Историческая справка о Франсуа Виете; №484, заполнить таблицу.
Уравнение
x2-2х-15=0
x2+3х-28=0
y2-14y+48=0
x2+15x+36=0
x2+px+g=0
Корни
5 и –3
4 и –7
6и8
-12 и –3
х1 и х2
Произведением корней
-15
-28
48
36
-?
Сумма корней
2
-3
14
-15
?
Урок №13.
Тема урока: Теорема Виета.
Цели урока:
♦ «открыть зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного
уравнения»;
♦ учить применять теорему Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных
уравнений в различных ситуациях;
♦ провести классификацию квадратных уравнений по количеству корней;
♦ развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть
увлечением.
Задача урока: Познакомить учащихся с доказательством теории Виета, показать практическое
применение данных теорем при решении уравнений.
Оборудование: Оформленная доска.
Уравнение
Корни
Произведением корней
Сумма корней
На одной боковой части доски:
1) а) х2+3х-40=0, х1=-8, х2=5; б) х2-2х-3=0, х1=-1, х2=3; в) х2-2=0, х1=-√2, х2=√2;
г) х2-2х-9=0, х1=1-√10, х2=1+√10.
2) а) х1=-3, х2=1; б) х1=-3, х2=-4; в) х1=5, х2=6.
3) х2+2х-5=0.
На другой боковой части доски:
1) Найти: х2, Р1 зная, что х2+рх-35=0, х1=7
2) х2-2х-9=0.
Структура урока:
1. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.
2. Открытия нового знания.
3. Закрепление изученного материала.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.
Дома Вы должны были заполнить таблицу. Давайте проверим, как Вы справились с этим
заданием. (Один из учеников на доске под диктовку других учащихся заполняет таблицу).
Таблица.
Уравнение
Корни
Произведением корней
Сумма корней
x2-2х-15=0
5 и –3
-15
2
2
x +3х-28=0
4 и –7
-28
-3
2
y -14y+48=0
6и8
48
14
x2+15x+36=0
-12 и –3
36
-15
2
x +px+g=0
х1 и х2
-?
?
2. Открытие нового знания.
Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведением корней с
коэффициентами уравнений. Какая существует зависимость между корнями приведенного
квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните
последнюю строку таблицы.[Сумму корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену].
Сформулированное утверждение называется теоремой Виета – по имени выдающегося
французского математика Франсуа Виет. Давайте послушаем историческую справку об этом
ученом, которую подготовили учащиеся.
Историческая справка: Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного
уравнения установил французский ученый Франсуа Виет (1540-1603). Ф. Виет был по профессии
адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или
как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в нем больших результатов. Виет в 1591г.
ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, что дало возможность
записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета была то, что он признавал только положительные числа. Чтобы
избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы
решений, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением
зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью,
которая называется «теоремой Виета».
Рассмотрим доказательство теоремы Виета.
Дано приведенное квадратное уравнение: х2+рх+g=0. Пусть х1=(-р+√D)/2 и х2=(-р-√D)/2, где D=p24g. Найдем их сумму и произведение:
х1+х2= (-р+√D)/2 +(-р-√D)/2=(-р+√D-р-√D)/2=-2р/2=-р.
х1*х2=(-р+√D)/2*(-р-√D)/2=((-р2)-(√D)2)/4=(р2-D)/4=(р2-(р2-4g))/4=g
Таким образом, теорема доказана.
х1+х2=-р
формулы Виета.
х1*х2=g
Закрепим теорему Виета.
Проверим, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:
а) х2+3х-40=0, х1=-8, х2=5;
б) х2-2х-3=0, х1=-1, х2=3;
в) х2-2=0, х1=-√2, х2=√2;
г) х2-2х-9=0, х1=1-√10, х2=1+√10.
Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:
а) х1=-3, х2=1; б) х1=-3, х2=-4; в) х1=5, х2=6.
Продолжим изучение нового материала. И рассмотрим теорему Виета для не приведенного
квадратного уравнения.
ах2+bx+c=0.
Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение: х2+bx/a+c/a=0,
которое имеет те же корни. Отсюда, х1+х2=-b/a; x1*x2=c/a.
Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к формуле корней.
Например, подберите корни уравнения х2-8х+15=0 (5;3). Решение квадратного уравнения путем
подбора его корней основано на теореме, обратной теореме Виета.
Теорема: Если числа m и n таковы, что m+n=-p, a m*n=g, то эти числа являются корнями
уравнения х2+рх+g=0.
Выразим через m и n: p=-(m+n) и g=m*n. Значит, уравнение можно записать в таком виде:
х2-(m+n)x+m*n=0.
Подставим в уравнение вместо x поочередно m и n:
m2-(m+n)m+mn=m2-m2-mn+mn=0
n2-(m+n)n+mn=n2-mn-n2+mn=0, таким образом, эти числа – корни уравнения.
3. Закрепление изученного материала. №479(устно), 498(устно), 501(а,б,в,г).
4. Подведение итогов урока.
Дано уравнение х2-2х-9=0
1) Могут ли оба корня данного уравнения быть положительными?
2) Можно ли утверждать, что модуль положительного корня больше модуля отрицательного?
5. Домашнее задание. п 3.6., №503,504.
Урок-практикум №14.
Тема урока: Применение теоремы Виеты при решении уравнений и задач.
Цели урока:
♦ развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти;
♦ учить применять теорему Виета и обратную ей при решении задач разной степени трудности.
Задача урока: Систематизация, обобщение знаний учащихся, проверка уровня усвоения темы
провести при широком применении различных форм работы с учащимися.
Оборудование: Оформленная доска.
На боковой доске:
-b>0, c>0
x2+8x+12=0
-b<0, c<0
x2+6x-16=0
Оба корня
положительные
-b<0, c>0
x2+12x+27=0
Оба корня
отрицательные
-b>0, c>0
x2+2x+√3-1=0
Корни разных
знаков
-b>0, c>0
x2+22=13x
5/2>0, -3/2<0
2x2+5x-3=0
Не решая квадратного уравнения, зная, что D>0, соедините стрелками.
На центральной части доски записано домашнее задание:
№503
а) z2-11z+18=0,
г) t2+7t-18=0,
ж) x2+13x+12=0,
z1=2, z2=9.
t1=2, t2=-9.
x1=-1, x2=-12.
б) x2+5x-6=0,
x1=-2, x2=-3.
д)u2+14u+24=0,
u1=-12, u2=-2
в) y2-14y+33=0,
y1=3, y2=11.
е) z2-2z-3=0,
z1=-1, z2=3.
№504
а)
1 способ:
(х-11)(х-4)=0,
х2-11х-4х+44=0,
х2-15х+44=0.
2 способ:
х2-(11+4)х+44=0,
х2-15х+44=0.
з) y2-4y-21=0,
y1=7, y2=-3.
б)
в)
г)
(х+4)(х+5)=0,
х2+9х+20=0.
(х+10)(х-2)=0,
х2+8х+20=0,
(х+1)(х+5)=0,
х2-14х-15=0.
х2-(-4-5)х+20+0,
х2+9х+20=0.
х2-(-10+2)х-20=0,
х2+8х-20=0.
х2-(-1+15)х-15=0,
х2-14х-15=0.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устные упражнения.
4. Проверка теории.
5. Закрепление знаний учащихся.
6. Самостоятельная работа.
7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Проверка домашнего задания. Учащиеся объясняют решение уравнений, опираясь на
теоретический материал (каждый из выступающих формулирует теоремы Виета). В это время 2
ученика на боковых досках записывают доказательства теорем Виета.
3. Устные упражнения.
Перед тем, как выполнить задание, предложенное на доске, учащиеся отвечают на следующие
вопросы:
● Сформулировать теорему Виета.
● Всегда ли можно применить теорему Виета?
● Между чем устанавливает зависимость теорема Виета.
● Пары чисел является решением квадратное уравнения. Определите знаки b и с.
1) 4;5 [b<0, c>0],
3) –4;5 [b<0, c<0],
2) 4;-5 [b>0, c<0],
4) –5,-4 [b>0, c>0].
● В каком случае c>0?
● В каком случае c<0?
● В каком случае b>0?
● В каком случае b<0?
● Почему в случае, когда корни разных знаков, b может быть больше нуля и может быть меньше
нуля?
Затем выполняем задания на доске.
4. Проверка знаний учащихся.
5. Закрепление знаний учащихся.
№505 Учитель решает у доски с подробными объяснениями.
а) 3 и 1/3.
1 способ:
(х-3)(х-1/3)=0,
х2-1/3х-3х+1=0,
3х2-10х+3=0.
2 способ:
х2-(13+1/3)х+1=0,
х2-3*1/3х+1=0,
3х2-10х+3=0.
Затем по образцу решают оставшиеся примеры этого номера (по цепочке).
№506(устно) Учащиеся обсуждают решение в парах, ответы выписывают на листах. Проверка
осуществляется так: учитель называет ответ и просит показать учащихся свой ответ. Если у кого-то
неверно, тот ученик объясняет, почему у него так получилось. В ходе беседы выясняют ошибку и
исправляют.
№507. У доски работают два ученика. Ученики самостоятельно решают уравнения. Затем
проводят проверку. Учащиеся объясняют ход решения уравнений.
№508(а), 509 (а), 510 (а,з). (Решает ученик у доски, объясняя, класс помогает).
6. Самостоятельная работа.
Вариант №1.
Вариант №2.
№508(б),
№509(б),
№510(б,д,ж)
№510 (в,г,е).
Проверка самостоятельной работы проводится по заранее готовым решениям.
7. Подведение итогов урока.
1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Приведите подтверждающий пример.
2. Известно, что 1 является корнем уравнения 2х2+bx+5=0. Чему равен коэффициент b?
3. Известно, что –1 является корнем уравнения 2х2+bx+5=0. Чему равен коэффициент b?
8. Домашнее задание: п.3.5, 3.5 №511, 512
Для желающих №516.
№513, 514, 515 (готовят «сильные» учащиеся на следующий урок).
Урок №15.
Тема урока: Разложение квадратного трехчлена на множители.
Цели урока:
♦ вместе с учениками рассмотреть теорию вопроса о разложении на множители квадратного
трехчлена;
♦ рассмотреть случай разложения трехчлена на множители с помощью специальной формулы.
Задача урока: Систематизация знаний и умений учащихся решать квадратные уравнения и
применение их при разложении квадратного трехчлена на множители проводится в различных
формах работы с учащимися.
Оборудование: Оформленная доска.
На центральной части доски записано решение №513, 514, 515.
На боковой части доски:
Квадратный трехчлен- многочлен вида ax2+bx+c, где х- переменная, причем а≠0.
а,b и с – коэффициенты квадратного трехчлена.
Разложение на линейные множители:
Если у квадратного трехчлена ах2+bx+c
Нет корней
Один корень х1
Два корня х1 и х2
Нельзя разложить
на линейные
множители
aх2+bx+c=a(x-x1)2
ax2+bx+c=
a(x-x1)(x-x2)
Примеры:
1. Число 3 единственный корень трехчлена 2х2-12х+18, поэтому: 2х2-12х+18=2(х-3)2.
2. Числа 0,5 и –3 корни трехчлена 2х2+5х-3, следовательно: 2х2+5х-3=2(х-0,5)(х+3)=(2х-1)(х+3).
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Фронтальная работа с классом.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление нового материала.
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Фронтальная работа с классом.
Учитель предлагает учащимся выполнить способы разложения на множители многочленов.
Останавливает внимание учащихся на том, как можно разложить квадратный трехчлен
(выделение полного квадрата, способ группировки и по формуле). Выведем специальную формулу
разложения на множители.
3. Изучение нового материала.
Определение: Многочлен вида ax2+bx+c, где а≠0 называют квадратным и трехчленом.
Пример: 2х2-7х+6; -х2-√2х-12; х2-25.
Давайте, сравним общий вид квадратного уравнения и квадратный трехчлен. Приходим к
выводу, что корни квадратного трехчлена и квадратного уравнения общего вида совпадают.
Поэтому квадратный трехчлен может иметь корни, так же как и квадратное уравнение и их
количество зависят от значения дискриминанта квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен,
имеющий корни, можно разложить на множители.
Рассмотрим конкретный пример. Применим способ группировки: разложим квадратный
многочлен х2-5х+6 на множители. По формулам Виета найдем корни, они соответственно равны 2
и 3.
х2-5х+6=х2-(2+3)х+2*3=х2-2х-3х+2*3=х(х-2)-3(х-2)=(х-2)(х-3).
Разложим теперь на множители трехчлен:
2х2-10х+12. Он имеет те же корни, что и х2-5х+6. Поэтому 2(х2-5х+6)=2(х-2)(х-3).
В общем случае:
Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2-bx+c, то ах2-bx+c=а(х-х1)(х-х2) (1).
Для доказательства проведем преобразование правой части равенства (1), воспользовались
теоремой Виета, выполнив подстановку х1+х2=-b/a и х1*х2=с/а.
а(х-х1)(х-х2)=а(х2-х1х-х2х+х1х2)=а(х2-(х1+х2)х+х1х2)=а(х2+bх/a+с/а)=ах2+bx+с.
Итак, если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители. Верно и
обратное утверждение: если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители, то он
имеет корни. Это обратное утверждение можно сформулировать по другому: Если квадратный
трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.
4. Закрепление нового материала. Рассмотрим примеры, которые решены в пункте 3.7 учебника.
Учащиеся знакомятся с решениями примеров, учитель дает соответствующие пояснения. Затем
выполняют №517, 518, 519(а-е).
Решение №517 и 518 учащиеся выполняют в парах, затем проводится проверка (на боковой доске
заранее записаны ответы).
Решение №519 (а-е) учащиеся поочередно выходят к доске и с помощью учителя выполняют
разложение трехчленов на множители.
5. Самостоятельная работа. Проводится с целью выяснения усвоения знаний и умений учащихся
разложения квадратного трехчлена на множители.
В-1
В-2
№520(а),
№520(б),
№521(а,б)
№521(в,г).
6. Подведение итогов урока.
Обращаемся к боковой части доски, где написано разложение квадратного трехчлена на
множители, проводим собеседование с учащимися.
7. Домашнее задание: п3.7 №519(ж,з), 520(в,г), 521 (д-з).
Урок №16.
Тема урока: Преобразование алгебраических выражений.
Цели урока:
♦ закрепление знаний и умений учащихся применять специальную формулу для разложения
квадратного трехчлена на множители;
♦ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и
творчества.
Задача урока: Научить учащихся свободно выполнять разложение на множители квадратного
трехчлена, сокращать дроби.
Оборудование: На боковой части доски таблица «Квадратный трехчлен».
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Устные упражнения.
4. Практическое закрепление знаний учащихся.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель объявляет тему и цели урока.
2. Проверка домашнего задания. (На доске выписаны ответы). Учащиеся меняются тетрадями с
целью контроля выполнения домашнего задания.
3. Устные упражнения.
1) Докажите, что квадратные трехчлены
х2+2х-3, 2х2+4х-6, -5х2-10х+15 имеют одни и те же корни. Разложите эти квадратные трехчлены
на множители.
2) Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:
а) 2; -8. б) 0;-1;5. в) 3;-5.
3) Сформулируйте правило разложения квадратного трехчлена на множители.
4) Сформулируйте обратное утверждение.
4. Практическое закрепление.
1. Ученик под руководством учителя у доски выполняют №523(а). Затем учащиеся в парах
выполняют №523(б,в). Проверка осуществляется по заранее заготовленным ответам на доске.
2. Работа в группах.
№526(а,б,в); №528(а,б); №529(а.б); №530(а,б).
После выполнения работы проверку осуществляют также по группам. Одна группа предлагает свое
решение, другая выступает их оппонентом.
5. Проведение итогов урока. Выставление и комментарий оценок.
6. Домашнее задание: №530-533(ученики выполняют по одному примеру из каждого номера).
Индивидуальные задания для «сильных» учащихся из раздела «Для тех, кому интересно».
(Пример 1,2).
Урок - путешествие №17.
Тема урока: Квадратные уравнения.
Цели урока:
обобщающие:
♦ обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Квадратные уравнения»;
♦ ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся;
♦ усиление прикладной и практической направленности изученной темы;
♦ установление внутрипредметных и межпредметных связей изученной темы с другими темами
курса алгебры, физики, астрономии, космонавтики и географии;
развивающие:
♦ расширение кругозора учащихся; пополнение их словарного запаса; развитие интереса
учащихся к предмету и смежных дисциплинам; развитие личностных качеств учащихся, их
коммуникативных характеристик;
воспитательные:
♦ воспитание чувств коллективизма, товарищества; ответственности за порученное дело;
воспитание воли, упорства в достижении поставленной цели.
Задача урока: В форме деловой игры провести систематизацию, закрепление знаний учащихся по
теме «Квадратные уравнения».
Оборудование:
1) таблица «Решение квадратных уравнений»;
2) таблицы: «Вид Земли из космоса», «Первый полет человека в космос», «План космодрома»;
3) магнитофон, фонограммы:
а) музыка Бетховена;
б) сообщение ТАСС о полете Ю.Гагарина в космос;
4) карты готовности к полету (для каждого ученика);
5) тексты задач 1-4 (для каждого экипажа);
6) звездочка (для каждого ученика);
7) подборка книг по теме «Космос» для среднего школьного возраста.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Повторение теоретических знаний учащихся.
3. Проведение игры. Составление плана путешествия.
4. Подведение итогов работы.
5. Задание на дом.
Ход урока.
1. Организационный момент:
а) приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку;
б) сообщение темы урока: заключительный урок по теме: «Квадратные уравнения»;
в) сообщение целей и задач урока: учащиеся должны показать, как они умеют применять
знания и умения, полученные при изучении темы «Квадратные уравнения».
2. Повторение теоретических знаний учащихся.
Повторение необходимых сведений, которое включает вопросы по теме «Квадратные уравнения» и
вопросы, которые понадобятся на следующих этапах урока. Повторение организовать в виде
разгадывания кроссворда (использовать таблицу «Решение квадратных уравнений»).
Вопросы (каждому ученику задать один вопрос, за правильный ответ ученик получает звездочку)
1. Название выражения b2-4ac.
2. Квадратное уравнение, где b или с равны нулю.
3. Число вида z=a+bi.
4. Название единицы, квадрат которой равен –1.
5. Число корней квадратного уравнения при D=0.
6. Число, делящееся на 2 нацело.
7. Существуют ли действительные корни в квадратном уравнении, если D<0?
8. Название части комплексного числа a+bi.
9. Геометрическая фигура, все точки которой равноудалены от некоторой точки плоскости.
10. Число, которое можно представить в виде дроби.
11. Математик, доказавший, что х1+х2=-р, х1х2=g.
12. График функции y=kx+b.
13. Большая из сторон прямоугольного треугольника.
14. Уравнение вида ax2+bx+c=0, a≠0.
15. Что можно найти, разделив пройденный путь на скорость?
16. Меньшая сторона прямоугольника?
17. Квадратное уравнение, в котором a=1.
18. Что можно найти, перемножив время и скорость?
19. Степень уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.
20. Число корней квадратного уравнения при D>0?.
21. Математик, доказавший, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
22. Не самая большая из сторон прямоугольного треугольника.
Ответы:
1. Дискриминант.
9. Окружность.
17. Приведенное.
2. Неполное.
10. Рациональное.
18. Расстояние.
3. Комплексное.
11. Виет.
19. Вторая.
4. Мнимая.
12. Прямая.
20. Два.
5. Один.
13. Гипотенуза.
21. Пифагор.
6. Четкое.
14. Квадратное.
22. Катет.
7. Нет.
15. Время.
8. Действительная.
16. Ширина.
Выделите столбцы со словами «Космическое путешествие».
3. Проведение игры.
План путешествие.
1. Зачисление в отряд космонавтов (5 мин).
2. Заполнение карты готовности к полету (10 мин).
3. Космическое путешествие (10 мин).
4. Возвращение на Землю (5 мин).
5. Разбор полетов (3 мин).
1-й этап. Все учащиеся зачислены в отряд космонавтов; асе имеют необходимый запас
теоретических знаний. Каждая группа-это экипаж. Назначить командиров экипажей.
2-й этап. Космонавты должны не только много знать, но и многое уметь. Каждому участнику
необходимо заполнить карту готовности полетов.
Работа (под копирку) в двух вариантах. Через 10 мин. командиры экипажей сдают верхний лист
учителю. Учитель открывает карту с ответами; некоторые задания прокомментировать.
Вариант №1.
Карта готовности к полету ученика__________________
Уравнение
x2+2x-3=0
а
b
c
6
1
-2
2
0
-18
b2-4ac
x1
x2
x1+x2
x1*x2
x1+x2
x1*x2
5x2=3x
9x2+1=0
Вариант №2.
Карта готовности к полету ученика___________________
Уравнение
х2-3x-4=0
а
b
c
2
7
3
b2-4ac
x1
x2
2
3x =7x
4x2+9=0
3
0
-48
Историческая справка (1 мин). Урок посвящен одной из самых ярких и выдающихся страниц в
истории нашей Родины – первому полету человека в космос. Это был наш соотечественник
Ю.Гагарин, который совершил полет 12 апреля 1961г. Это замечательное событие не только в
истории нашей страны. Оно имело грандиозное значение для всего человечества.
(Включить запись сообщения ТАСС от 12.04.1961г. Использовать плакат с фотографиями
Ю.Гагарина, корабля «Восток», ракеты-носителя.)
Экипажи к полету готовы. Теперь им предстоит работать на орбите. Каждый экипаж выбирает свою
траекторию полета (необходимо решить задачу с выбранным номером). Групповая работа (10 мин).
Задачи
1.После удачного космического полета члены экипажа обменялись фотографиями. Найдите число
космонавтов, если всего фотографий было 42.
Ответ: 7 человек.
2. Парашют спускаемого аппарата раскрылся на заданной высоте, но из-за сильного ветра
приземлился в 3 км от места предлагаемой посадки. Сколько километров пролетел парашют, если
длина пути оказалась на 1 км больше запланированной? Считать, что движение под воздействием
ветра происходило по прямой линии.
А
В
С Поверхность земли
На рисунке: А - точка раскрытия парашюта; С – место предполагаемой посадки; В – место
приземления, ВС=3км, АС- заданная высота.
Ответ: 5 км.
3. По орбите длиной 420 000 км движутся два искусственных спутника Земли, причем первый
спутник преодолевает это расстояние на 2*7/9ч быстрее. Найдите скорость каждого спутника, если
скорость первого спутника на 1км/с больше, чем второго. (Напомнить, что 1ч=3600с; единица
скорости км/с, времени ч. Часы перевести в секунды).
Ответ: 7км/с, 6 км/с.
4. Космодром имеет форму прямоугольника, длина которого на 2 км больше ширины, а площадь
равна 840 км2. определите размеры космодрома и установите, на каком расстоянии от места старта
упадут обломки первой ступени ракеты-носителя, если отделение этой ступени произойдет на
высоте 35 км от поверхности Земли и к этому моменту ракета пролетит 37 км. Ракета движется под
углом к горизонту.
С Место отделения
ступени ракеты-носителя
37км
35 км
А Место старта
В Место падения обломков
Ответ: 28*30 км; в 12 км от места старта.
Экипажи, которые завершили работу на орбите, возвращаются на Землю.
Решите уравнение:
а) 3х2-х=0;
б) 2х2-9х-5=0.
Разбор полетов. Каждый командир докладывает о проделанной работе; оценивает работу отдельных
членов экипажа; называет тех, кто может самостоятельно отправится в полет.
Рекламная пауза. Обратить внимание учащихся на выставку книг о космосе.
1. Учитель обращает внимание учащихся на траектории полетов:
1) окружность – облет вокруг Земли;
2) эллипс – облет вокруг Земли;
3) парабола – можно полететь к Луне;
4) гипербола – можно полететь к звездам.
Линии 1-4 – линии второго порядка, при изучении темы «Квадратичная функция» будем учиться
строить линию 3 –параболу.
2. Учащиеся показывают решения задач 1,2 из раздела «Для тех, кому интересно».
4. Подведение итогов работы:
1. О каком событии говорят коэффициенты уравнения 12х2+4х+1961=0?
2. Назовите 5-7 понятий по теме «Космос».
3. Вспомните название линий, соответствующей траектории 3.
5. Задание на дом:
(Каждый выбирает домашнее задание по желанию).
1. Двум ученикам подготовить сообщения на классный час о космонавтах В. Комарове и Б. Егорове.
2. Составить кроссворд по теории (10-12 вопросов).
3. Изготовить лото (10-12 заданий).
4. Написать реферат по теме «Математика и космос».
5. Решить уравнения из раздела «Для тех, кому интересно».
Тетради сдать на проверку.
Урок – зачет №18, 19.
Тема урока: Квадратные уравнения.
Цели урока:
♦ систематизация знаний учащихся по теме «Квадратные уравнения»;
♦ закрепление практических навыков решать квадратные уравнения; текстовые задачи;
преобразовывать алгебраические выражения.
Задача урока: Подготовка к контрольной работе по теме «Квадратные уравнения».
Оборудование: Индивидуальные карточки, тесты.
Структура урока:
I этап. Проверка теоретических знаний учащихся.
II этап. Тестирование.
III этап. Работа по индивидуальным карточкам.
4. Подведение итогов зачета.
5. Домашнее задание.
Ход урока.
I этап. Проверка теоретических знаний учащихся. Опрос проводится вместе с учащимисяконсультантами.
Вопросы:
1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите примеры. Назовите коэффициенты а,b и с
этого уравнения.
2. Запишите формулу корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта?
4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.
5. Какое квадратное уравнение называется неполным?
6. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0. Алгоритм решения
уравнения такого вида.
7. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0. Алгоритм решения уравнения
такого вида.
8. Сформулируйте теорему Виета.
9. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
10. Дайте определение квадратного трехчлена.
11. Сформулируйте утверждение о разложении квадратного трехчлена на множители.
12. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на множители.
Затем класс делится на две группы:
1 группа проходит тестирование на компьютерах.
2 группа выполняет задание по индивидуальным карточкам.
Затем меняются местами.
На каждом этапе учащиеся получают баллы за каждое верное выполненное задание. Потом
суммируются все баллы, полученные в течение всего зачета и согласно критериев баллы
переводятся в качественную оценку.
II этап – тестирование.
Пример теста.
1. (1б.) Какой из написанных многочленов является квадратным трехчленом?
а) 8х2+4-х2;
б) 2х4-5х2+1;
в) 4х-9+2х2;
г) х2+1/2-2.
2. (1б.) Какое из чисел –2, -1, 3, 5 является корнем уравнения 4х2-11х-3=0?
а) –1;
б) –2;
в) 3;
г) 5.
2
3. (1б.) Чему равна сумма корней уравнения 7х -19х+4=0?
а) 4/7;
б) –4/7;
в) –19/7;
г) 19/7.
4. (2б.) Какое из написанных квадратных уравнений не имеет корней?
А. 4х2-3х-4=0;
В. х2+4х+3=0;
Б. 9х2+6х+1=0;
Г. 5х2-х+1=0.
5. (2б.) Чему равна сумма квадратов корней уравнения х2(х-4)-(х-4)=0?
а) 4,
б) 18,
в)16,
г) 6.
6. (2б.) При каких значениях параметра р квадратное уравнение 2х2-7х+3р=0 имеет один корень?
а) нет таких значений; б) 49/12;
в)49/24;
г)-49/24.
Время тестирования: 20 мин.
Код правильных ответов: в,в,г,г,б,в.
III этап – выполнение заданий по индивидуальным карточкам.
Задания для индивидуальных карточек.
Обязательная часть.
1) (1б.) Определите, имеет ли корни уравнения и, если имеет, то сколько 3х2-11х+7=0
Решите уравнение (2-5).
2) (1б.) 4х2-20=0; 3) (1б.) 2х-8х2=0; 4)(1б.) 2х2-7х+6=0; 5) х2-х=2х-5.
6.(1б.) Разложите, если возможно, на множители: х2-2х-15.
7. Площадь прямоугольника 96 см2. Найдите его стороны, если одна из них на 4 см меньше другой.
Дополнительная часть.
8. (2б.) Решите уравнение: х4-3х2-4=0.
9. (2б.) При каком значении р в разложении на множители многочлена х2+рх-10 содержится
множитель х-2?
10. (2б.) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их
произведения.
Найдите эти числа.
Карточки проверяет комиссия, состоящая из учителей математической школы.
Максимальное количество баллов за 3 этапа зачета:
I этап –12 баллов
II этап – 9 баллов
III этап – 13 баллов
Итого:
34 балла.
Шкала перевода баллов в качественную оценку:
32-34 балла – «5»;
29-31 балла – «4»;
25-30 балла – «3»;
менее 24 балла – «2».
4. Подведение итогов. Выставление оценок.
5. Домашнее задание. Задание для самопроверки к главе 3.
Урок №20.
Тема урока: Контрольная работа по теме: «Квадратные уравнения».
Цели урока: Контроль знаний учащихся по теме: «Квадратные уравнения».
Задачи урока: Проверить уровень подготовки учащихся к контрольной работе, используя
дифференцированные задания.
Оборудование: Индивидуальные карточки с вариантами контрольной работы с различными
уровнями сложности (Уровень А – обязательный уровень, Б – средний уровень сложности, В –
повышенный уровень для учащихся, которые проявляют повышенный интерес к математике).
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Выполнение контрольной работы. Работа по вариантам.
Ход урока.
1. Организационный момент: Учитель предлагает учащимся индивидуальные карточки.
2. Выполнение контрольной работы. Работа по вариантам. Учащиеся выбирают вариант любого
уровня.
Вариант А1.
1)
Решите уравнения:
а) х2-4х+3=0;
б) х2+9х=0;
в) 7х2-х-8=0;
г) 2х2-50=0.
2)
Решите задачу:
Длина прямоугольника на 5 см больше
ширины, а его площадь равна 36см2.
Найдите стороны прямоугольника.
Вариант А2.
а) х2-6х+5=0;
б) х2-5х=0;
в) 6х2+х-7=0;
г) 3х2-48=0.
Ширина прямоугольника на 6см меньше длины,
а его площадь равна 40см2. Найдите стороны
прямоугольника.
3)
Определите значения y, при которых верно равенство:
y2-(9y-2)/7=0.
y2-(11y-2)/9=0.
4)
Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а:
х2+х-а=0.
х2-ах-8=0.
5)
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:
-5 и 8.
9 и –4.
Вариант Б1.
1)
Решите уравнения:
а) х2+2х-63=0;
б) 0,9х-3х2=0;
в) 2х2-5х+2=0;
г) х2-2х-6=0.
Вариант Б2.
а) х2+18х+65=0;
б) 0,6х+2х2=0;
в) 2х2-3х-2=0;
г)х2+2х-4=0.
2)
Решите задачу:
Найдите длины сторон прямоугольника,
периметр которого равен 32 см, а площадь
равна 55 см2.
Найдите длины сторон прямоугольника,
площадь которого 51см2, а периметр равен
40 см.
3)
Определите значения y, при которых верно равенство:
(y2+6y)/6-(2y+3)/2=12.
(y2+10y)/10-(2y+5)/2=20.
4)
Один из корней уравнения
2х2+10х+g=0 на 3 больше другого.
Найдите свободный член g.
Один из корней уравнения 3х2-21х+g=0
меньше другого на 1. Найдите свободный
член g.
5)
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:
-3 и –1/3.
-2 и –1/2.
Вариант В1.
1)
Решите уравнения:
а) х2+х=90;
б) –4х=7х2;
в) 1/5х2+х-10=0;
г) х2+4х+5=0.
2)
Решите задачу:
Когда от квадратного листа фанеры
Отрезали прямоугольную полосу
Шириной 2м, площадь листа составила
24м2. Найдите первоначальную площадь
листа.
Вариант В2.
а) х2-х=110;
б) –3х2=11х;
в) 1/4х2-х-3=0;
г) х2-2х+3=0.
От прямоугольного листа картона длиной 16см
отрезали квадрат, сторона которого равна ширине
листа. Площадь оставшегося прямоугольника
равна 60 см2. Найдите ширину листа картона.
3)
Определите значения х, при которых верно равенство:
(х-3)2/16-(х-2)2/4=1-х/2.
(х+1)2/12-(х-1)2/3=(2х-1)/4.
4)
Разность корней уравнения
2х2-5х+с=0 равна 1,5. Найдите с.
Разность корней уравнения 2х2-3х+с=0
равна 2,5. Найдите с.
5)
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:
2+√3 и 2-√3.
1-√2 и 1+√2.
Учащиеся сдают тетради на проверку.