На правах рукописи Думбадзе Ламара Георгиевна Специальность 01.01.09 – дискретная математика и
реклама
На правах рукописи Думбадзе Ламара Георгиевна РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ СЕТЕЙ Специальность 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук В.И. Цурков Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.П. Абрамов, кандидат физико-математических наук Д.Т. Лотарев Ведущая организация: ИПУ РАН Защита диссертации состоится “___” ноября 2007 г. в __ час. __ мин. на заседании диссертационного совета Д002.017.02 Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333 Москва, ул. Вавилова, д. 40. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН. Автореферат разослан “___”______________2007 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д002.017.02, доктор физико-математических наук В.В. Рязанов В.В.Рязанов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Линейные частично-целочисленные оптимизационные задачи требуют для своего решения значительного объема вычислений. Как хорошо известно, сочетание симплекс-метод – метод ветвей и границ может оказаться непригодным уже при количестве ограничений/переменных порядка сотни. Метод разделения Бендерса, будучи тоже весьма трудоемким, позволяет расширить множество реально разрешимых задач. При его применении, в частности, в ряде случаев уменьшается количество целочисленных переменных, реально участвующих в уравнениях. Следующим шагом является эквивалентное преобразование с учетом специфики стркутуры задач, позволяющее уменьшить количество ограничений при значительном увеличении количества переменных. Непрерывная составляющая преобразованной задачи решается модифицированным симплексметодом с генерацией столбцов. Диссертационная работа посвящена разработке методов и алгоритмов решения линейных частично-целочисленных задач большой размерности на материале сетевых многопродуктовых моделей. Цель работы. Разработка алгоритма решения задачи максимального использования сети для одноприоритетного многопродуктового потока, как оптимизации по последовательно применяемым критериям. Разработка алгоритма генерации столбцов в сетевых задачах при оптимизации по последовательно применяемым критериям. Разработка алгоритма решения задачи максимизации прибыли владельца сети, сдающего каналы в аренду. 4 Разработка полиномиального метода решения многомерных задач о ранце со специальной структурой матрицы ограничений. Методы исследования. Исследования проводились с использованием методов Данцига-Вулфа, разделения Бендерса, потоковых методов, методов анализа структуры графа, дискретной оптимизации. Научная новизна. Разработан оригинальный метод анализа разветвленности сети. Решена задача оптимального использования сети в интересах потребителей, как линейная оптимизационная задача большой размерности по последовательно применяемым критериям. Для решения этой задачи разработан алгоритм генерации столбцов, трудоемкость которого не возрастает с увеличением номеров последовательно применяемых критериев, а также алгоритмы нахождения кратчайших путей. Решены новые оптимизационные задачи развития сетей для многопродуктового потока. Для решения одного класса многомерных задач о ранце разработан полиномиальный алгоритм. Практическая ценность. Предложенный в работе метод анализа разветвленности сети пригоден для оперативного анализа сетей, содержащих тысячи узлов и линий. Предложенные алгоритмы оптимального использования сети позволяют максимально использовать ресурсы сети для одноприоритетного набора потребителей или максимизировать прибыль владельца сети от сдачи каналов в аренду. Предложенные алгоритмы решения задач оптимального развития сети позволяют минимизировать капиталовложения на развитие сети для достижения допустимости заданного многопродуктового потока, максимизировать прибыль владельца сети при развитии сети с ограниченными капиталами либо в условиях получения кредита с определением оптимального объема кредита. 5 Предложенный метод позволяет для одного класса многомерных задач о ранце больших размерностей получать точное решение за полиномиальное время. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на VII научно-технической конференции молодых ученых и специалистов Министерства связи СССР (Москва, 1987); на Всесоюзном совещании “Автоматизация управления первичными сетями” (Москва, 1988); на НТС ЦНИИ связи и его секциях (Москва, 1989); на 2-й Московской конференции “Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике” (Москва, 2004). Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 132 наименования. Общий объем работы - страниц. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается обзор работ по оптимизационным задачам на сетях. Отмечены достигнутые результаты анализа многопродуктовых потоков в сетях общего вида и в специальных случаях плоских сетей. Рассмотрены различные задачи синтеза многопродуктовых сетей. Проанализирована трудоемкость алгоритмов нахождения кратчайших путей общег вида и в различных специальных случаях для плоских сетей. Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов оптимального анализа и синтеза многопродуктовых сетей общего вида, анализа и синтеза трехсвязной сети, разработка алгоритмов нахождения кратчайших путей, эффективных при применении их при решении оптимизационных задач на сетях. В первой главе излагается разработанный метод анализа разветвленности сети. Пусть имеется неориентированный граф вершин, V G U ,V , где U - множество - множество ребер. Два пути, соединяющие вершины u1 , u2 U , 6 называются независимыми по вершинам, если они не содержат общих промежуточных вершин. Под связностью графа относительно пары вершин u1 , u2 будем понимать максимальное количество независимых путей которые могут быть организованы между вершинами определим как p min pu1 , u2 . u1 , u 2 U pu1, u2 , u1 , u2 . Связность графа G Связность графа может быть достаточно просто вычислена с помощью потоковых методов. Однако этот способ требует большого объема вычислений. В главе 1 предложен эффективный непотоковый алгоритм проверки на графе трех независимых путей между всеми парами вершин. Трех независимых путей между несоседними вершинами не существует, если эти два узла разделяет разрез, состоящий из двух узлов. Предложен непотоковый алгоритм нахождения всех разрезов, состоящих из двух узлов. Сформулировано и доказано следующее утверждение. Между двумя соседними узлами A и Bв графе G без вершин с одной и двумя соседними вершинами и без кратных ребер не существует трех независимых путей тогда и только тогда, когда либо соединяющее их ребро является разрезом сети, либо существует вершина C , такая, что пары вершин A, C и B, C являются разрезами в этом графе. Выводы. В главе 1 предложены алгоритмы анализа связности графа, являющиеся в некоторых приложениях существенно эффективнее существующих потоковых. Во второй главе предлагаются алгоритмы решения трех задач оптимального использования сети. Первой из решаемых задач является задача максимизации коэффициента удовлетворения потребностей для многих соединяемых пар узлов. Имеется конечная неориентированная сеть узлов, v - множество дуг. Путём на сети S u, v, где u - множество S , соединяющем корреспондирующую 7 u1 , u k , будем, как обычно, считать последовательность узлов и дуг, пару узлов начинающуюся с узла u1 и заканчивающуюся узлом количество корреспондирующих пар, соединяющих k -й потребных bi 0 . k -ю Sk Тогда условия существования Обозначим через K - множество всевозможных путей, корреспондирующую пару, корреспондирующей паре, uk . bi на Qk ёмкость сети S количество каналов, i -го элемента сети, требуемого потока (удовлетворения потребности всех корреспондирующих пар) могут быть записаны в виде K a k 1 s k S k w s k S k Sk iSk wS k bi , i 1,..., m, Qk , k 1,..., K , wS k 0 где wS k - часть заявки для (1) (2) (3) k -й корреспондирующей пары по пути sk S k 1, если i й элемент сети входит в путь sk aiSk 0, если не входит m - количество рёбер в сети S . Не всегда можно сразу сказать, существует ли в заданной сети требуемый поток. Однако ясно, что при достаточно малом z 0 поток, удовлетворяющий ограничениям (1), (3) и 8 w zQk , Sk s k S k (4) существует всегда, таким образом, возникает задача max z при (1), (3), (4) (5) После необходимых преобразований задача 1 может быть решена методом Данцига-Вулфа. С помощью значений двойственных переменных в оптимальном решении задачи 1 выделяется подмножество коррепондирующих пар (корреспондирующие пары задачи 2), и ставится задача 2: сохраняя оптимальность решения задачи 1, максимизировать удовлетворение для всех корреспондирующих пар задачи 2. Не умаляя общности, можем считать, что номера корреспондирующих пар задачи 2 начинаются с k1 1k1 1 и идут подряд до K . Формально задача 2 может быть записана z2 max w z1оптQk , k 1,..., K , (6) w z2Qk , k k1 ,..., K , (7) sk S k sk Sk Sk Sk K a k 1 sk S k wS k 0 iSk wSk K a k k1 1 sk S k iSk wSk bi (8) 9 При решении задачи 2 методом Данцига-Вулфа генерируемые столбцы aj , uv min обеспечивающие i 1 (1) i ij a , где i1, i 1...U V - значения двойственных переменных в оптимальном решении задачи 1. Столбец пригоден для ввода в базис, если кроме того для относительной оценки выполняется неравенство c j 1 uv i 1 a 0, ( 2) i ij где i2 , i 1...U V - двойственные оценки при слабых переменных в задаче 2. Искомый столбец может быть найден как столбец, на котором достигается минимум скалярного произведения u v ( 2) min i M i(1) aij i 1 Константа M определяется из условия uv M M* где 2 i( 2) i 1 (1) 1 l l0(1) , l0(1) l0(1) ( (1) ) , l1(1) l1(1) ( (1) ) - легко вычисляемые функции, зависящие от значений двойственных переменных в задаче 1. Аналогичным образом формулируется и решается задача 3 и т.д. Количество задач в возникающей иерархии зависит от исходных данных и в конкретной серии доходило до 8. При решении задачи оптимального использования сети с использованием метода Данцига-Вулфа для генерации столбцов необходимо нахождение кратчайших путей для всех корреспондирующих пар. Длинами линий при этом 10 служат двойственные оценки. В начальных итерациях большинство длин равны нулю. На основе этого свойства модифицирован классический алгоритм нахождения кратчайших путей Дийкстры, что позволило уменьшить объем вычислений при решении задачи на 15%. Экономия вычислений достигается за счет отсутствия необходимости поиска минимума временных пометок. Другим подходом использования большого количества нулевых длин является построение поля кратчайших путей. Рангом вершины называется минимальное количество линий в возможных путях ее соединения с начальной вершиной. Поле кратчайших путей определяется как ориентированный граф, в котором дуги ориентируются от любой вершины к вершинам следующего ранга. Поля (по одному для каждой начальной вершины) строятся в начале решения задачи (при нулевых длинах). Пути соединения каждой вершины с начальной находятся последовательным переходом в произвольную вершину меньшего ранга. Подполем, зависящим от некоторой дуги v называется множество дуг поля, на которые можно пройти вдоль ориентации дуг лишь через дугу v. После совершения очередной итерации наступают изменения двойственных оценок при слабых переменных. Корректировка поля состоит из двух операций – освобождение подполей, если соответствующие двойственные оценки изменились и стали равными нулю, и закрытие подполей, если соответствующие двойственные оценки, изменившись, стали не равными нулю. Пути строятся по свободной части поля. Использование полей при решении задачи оптимального использования сети уменьшило объем вычислений на 10-15%. Поля нашли применение также и при нахождении троек независимых путей. Во второй главе решена задача максимизации прибыли владельца сети при предоставлении каналов в аренду. Владелец сети предоставляет потребителям (парам узлов) каналы, взимая тарифную плату за каждый предоставленный канал. Для обеспечения нормативных показателей надежности должен быть обеспечен стопроцентный резерв – передача по двум независимым путям. Тариф различен для 11 различных пар узлов. Себестоимость эксплуатации одного канала в каждой линии передачи также может быть различной. Рыночный спрос на предоставление каналов между парами узлов может быть ограничен сверху. Этот же спрос, исходя из социальных условий, может быть ограничен и снизу. Целью владельца сети является максимизация прибыли в этих условиях. Задача решается как конечная последовательность задач линейного программирования большой размерности. В рыночных условиях важным фактором становится прибыль при эксплуатации сети. Для достижения этой цели может потребоваться изменение трасс соединения узлов и количество предоставляемых каналов. Предлагаются соответствующие формализации и методы решения задачи максимизации прибыли. Приведен численный пример. Дополнительно обозначим: корреспондирующей пары, Qk - верхняя граница потребности qk - нижняя граница потребностей корреспондирующей пары, gk - тариф для предоставления одного канала k -ой k -ой k -ой корреспондирующей пары, hi - переменная часть себестоимости эксплуатации сети - себестоимость предоставления канала в Ограничения на совместное i - м элементе сети (линии или узле). предоставление каналов для корреспондирующих пар узлов могут быть записаны в виде: K aiSk f Sk bi , i 1,|u||v| k 1sk S k (9) q k f sk Qk , k 1, K (10) f sk 0 (11) sk Целевая функция: K Z ( gk k 1 sk Sk h )f isk Sk i sk max всех 12 Элемент целевой функции формируемого столбца ckj вычисляется следующим образом: сkj Qkj ( g kj где i U V a i 1 iskj ( i hi )) , - двойственные оценки в текущем базисе. Если временно отбросить ограничения (10), то задача может решаться модифицированным симплексметодом с генерацией столбцов с условными длинами линий li i hi . Если в оптимальном решении некоторые верхние ограничения не выполняются, то в задачу добавляется одно дополнительное ограничение и задача решается снова. Так возникает конечная последовательность задач, в результате которой верхние ограничения будут выполнены. Для удовлетворения нижних ограничений в (10) решается первая задача главы 2. Выводы. Рассмотренные в главе 2 задачи оптимального использования сети в интересах потребителей позволяют получить оптимальное распределение ресурсов сети для заданного множества равноправных потребителей. Предложенные алгоритмы нахождения кратчайших путей имеют преимущества перед стандартными в условиях, когда большинство длин дуг равны нулю. Предложен алгоритм генерации столбцов в оптимизационных задачах по последовательно применяемым критериям, объем вычислений в котором не растет при росте номера критерия оптимизации. Задача максимизации прибыли и алгоритм ее решения позволяют получить максимальную прибыль владельцу сети при сдаче каналов в аренду. Алгоритмы успешно применены при решении задач оптимального использования сети. В третьей главе предлагаются алгоритмы решения трех задач оптимального развития сети. Первая задача рассматривается как задача достижения соответствия сети заданным потребностям по поткам с помощью реконструкции и нового 13 строительства при минимизации капиталовложений и эксплуатационных расходов. Формальная запись этой задачи имеет вид: m c y min ij ij i 1 jSi a~ w b d il l l w l i jSi (12) y , i 1,2,..., m, ij ij (13) 1, wl 0, (14) l где a~il , bi d ij , cij или 1; имеют такие же значения и смысл, что и в ограничениях (1) - (3); - строго положительные числа; неизвестные si , i 1,2,..., m - конечные множества переменные, такие же, как и в задаче (1) y ij принимают индексов; wl - значения 0 непрерывные - (3). Спецификой частично- целочисленной задачи (12) - (14) является отсутствие непрерывных переменных в целевой функции и чрезвычайно большое количество непрерывных переменных в ограничениях. Рассмотрим особенности применения процедуры разделения Бендерса для решения задачи (12) - (14). При фиксированных yij выпишем задачу, двойственную к (12) - (14): u b d y i i ij ij um 1 max, i 1 jSi m (15) m ui ail um1 0, (16) ui 0 i 1,2,..., m 1 (17) i 1 14 Согласно процедуре разделения Бендерса, оптимальные значения целочисленных переменных задачи (12) - (14) могут быть получены из следующей чисто целочисленной задачи: min z (18) m p p z cij yij max ui bi d ij yij um1 , p i 1 jSi jSi i 1 m (19) p 1,2,..., J p , u bi d ij yij um 1 0, i 1 jSi m r i где Jp количество вершин, Jr (20) количество лучей многогранного множества, определяемого ограничениями задачи (15) - (17). При фиксированных допустимого решения, y ij задача (12) - (14) сводится к нахождению удовлетворяющего ограничениям (13), (14). Для нахождения этих допустимых решений можно воспользоваться задачей вида (1) (3). Если в оптимальном её решении w l 1, то ясно, что решений, l удовлетворяющих ограничениям (13), (14) нет. Условия разрешимости процедуры разделения Бендерса имеют вид: r u b d y i i ij ij 1 . i 1 jS i m Вторая задача развития сети состоит в максимизации прибыли владельца сети при ограниченных капиталовложениях. Владелец сети предоставляет потребителям (соединяемым парам узлов) каналы, взимая тарифную плату за каждый предоставленный канал. Тариф различен для различных пар узлов. 15 Себестоимость эксплуатации одного канала в каждой линии передачи также может быть различной. Рыночный спрос на предоставление каналов между парами узлов ограничен сверху. У владельца для развития сети имеется ограниченная сумма средств. На эти средства могут быть построены новые линии, переоборудованы узлы. Целью владельца является такое использование имеющихся средств, которое позволит на модернизированной сети получить максимальную прибыль от предоставления каналов. Дополнительно обозначим: принимающая значения 0 или 1 (1 yip соответствует переоборудованию i - го элемента сети по р варианту, d ip - переменная, строительству или 0 - его отсутствию), приращение емкости i - го элемента сети при переоборудовании или - строительстве по p -му варианту, - стоимость i - го элемента сети при cip переоборудовании или строительстве по p -му варианту, W - сумма выделенных средств на капиталовложения. В общем виде, независимо от конкретных вариантов строительств и реконструкции, условия совместного предоставления каналов для всех корреспондирующих пар узлов могут быть записаны в виде: K a k 1 sk Sk iSk f Sk bi ,i 1, | u | | v | qk f sk Qk ,k 1, K sk f sk 0 (21) (22) (23) Условие ограниченности капиталовложений запишется следующим образом: U V c i 1 p ip y ip W (24) 16 Целью является максимизация прибыли владельца, которая запишется следующим образом: K Z (g k 1 s k S k k is k S k hi ) f sk max (25) Решение этой задачи сводится к решению конечной последовательности задач линейного частично-целочисленного программирования. Для решения временно снимаются ограничения (22). Если в оптимальном решении ограничения (22) удовлетворены, то задача решена. Если некоторые верхние ограничения не удовлетворены, то для соответствующих соединяемых пар формируются новые переменные со своими коэффициентами и одно дополнительное ограничение, обеспечивающее выполнение верхних ограничений. Задача решается снова и т.д. до выполнения всех верхних ограничений. Если нижние ограничения равны нулю, то задача решена. В противном случае необходимо сформировать и решить задачу вида (1)-(3) и если она имеет решение, то сформировать дополнительные ограничения, обеспечивающие удовлетворение нижних ограничений. Третья задача развития сети состоит в максимизации прибыли владельца сети в условиях получения кредита на развитие сети. Необходимо выбрать такой объем кредита, который можно было бы возвратить с процентыми в срок при максимально возможной прибыли в единицу времени. Задача решается как конечная последовательность задач максимизации прибыли при ограниченных капиталовложениях. Выводы. В главе 3 даны алгоритмы решения трех различных задач развития сети как линейных частично-целочисленных задач больших размерностей. В четвертой главе излагается оригинальный полиномиальный метод решения многомерной задачи о ранце для одного класса матриц ограничений, состоящих из нулей и единиц. 17 В общем случае многомерная задача о ранце, к которой может быть сведена чисто целочисленная задача в процедуре разделения Бендерса при решении задачи развития сети, решается методом ветвей и границ, что уже при размерностях несколько десятков переменных и ограничений приводит к практически неосуществимым объемам вычислений. Условия разрешимости имеют вид: суммы пропускных способностей проектируемых и существующих линий в сечениях должны превосходить заданные величины. Целевая функция обеспечивает минимальную стоимость строительства новых линий. Стоимость строительства каждой линии включает в себя стоимость кабеля и его прокладки, а также стоимость оборудования на узлах. При этом для расстоянияй между узлами, характерных, например, в России, стоимость оборудования составляет не более 0.5% от стоимости кабеля и его прокладки. Отсюда следует, что можно с погрешностью, не превышающей одного процента, заменить оптимальное решение исходной задачи на оптимальное решение задачи, отличающейся от исходной тем, что во всех ограничениях коэффициенты при переменных равны 0 или 1. Решение такой задачи, естественно, несколько упрощается. В главе 4 излагаются результаты разработки эффективного метода точного решения таких задач для одного частного вида матриц ограничений, состоящих из 0 и 1. Выводы. Предложенный в четвертой главе метод позволяет решать за полиномиальное время многомерные задачи о ранце со специальной структурой матрицы ограничений. Размерность решаемых задач ограничивается лишь размерностью пары соседних ограничений. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Предложены эффективные алгоритмы анализа разветвленности сети. 18 2. Предложен алгоритм решения задачи оптимального использования сети для заданного множества одноприоритетных потребителей. Предложены алгоритмы нахождения кратчайших путей, имеющие преимущества перед стандартными в условиях, когда большинство длин дуг равны нулю. Предложен алгоритм генерации столбцов в оптимизационных задачах по последовательно применяемым критериям, объем вычислений в котором не растет при росте номера критерия оптимизации. 3. Предложен алгоритм решения задачи максимизации прибыли владельца сети при сдаче каналов в аренду. 4. Предложены алгоритмы решения трех различных задач развития сети как линейных частично-целочисленных задач больших размерностей. Решена задача определения оптимального объема кредита на развитие сети. 5. Предложен метод, позволяющий решать за полиномиальное время многомерные задачи о ранце со специальной структурой матрицы ограничений. Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях: 1. Думбадзе Л.Г., Тизик A.П. Алгоритмы нахождения кратчайших путей в оптимизационных задачах на сетях связи // Сб.научн.тр. Центр.науч.-исслед. ин-та связи. Цифровые системы передачи и интегральные сети. 1988. С.12-22. 2. Думбадзе Л.Г., Тизик А.П. Многомерная задача о ранце специальной лестничной структуры // Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. №4. С.119-122. 19 3. Думбадзе Л.Г., Тизик А.П., Тресков Ю.П. Задача эффективной эксплуатации сети связи // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №6. С.113-116 4. Думбадзе Л.Г., Тизик A.П. Декомпозиционная методика решения одного класса задач программирования математическом // линейного частично-целочисленного “Декомпозиционные моделировании и методы информатике”. в Тезисы докладов 2-й Московской конференции (Москва, 21-24 июня 2004г.) - М.: Вычислительный центр им.А.А.Дородницына РАН, 2004, С.53-55. 5. Григорьев В.В., Думбадзе Л.Г., Тизик А.П. Максимизация прибыли оператора при ограниченных капиталовложениях на развитие сети // Труды института системного анализа РАН. Динамика нелинейных систем. Вып.17(1). М.: 2005. С.208-213. 6. Думбадзе Л.Г., Тизик А.П., Тресков Ю.П. Эффективный метод анализа разветвленности сети // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №4. С.65-69. 7. Григорьев В.В., Думбадзе Л.Г., Леонов В.Ю. Максимизация прибыли владельца сети при взятии кредита на развитие сети // Труды института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Вып.10(1). М.: 2006. С.204-208.