Лекция 3 Предисловие рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).

Лекция 3
Динамика вращательного движения
Предисловие
Обращаю внимание студентов на то, что ЭТОТ материал в школе не
рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
План
Закон динамики вращательного движения
a.
Закон динамики вращательного движения
b.
Момент силы
c.
Момент пары сил
d.
Момент инерции
Моменты инерции некоторых тел:
a.
Кольцо (тонкостенный цилиндр)
b.
Толстостенный цилиндр
c.
Сплошной цилиндр
d.
Шар
e.
Тонкий стержень
Теорема Штейнера
Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс
момента силы. Закон сохранения момента импульса
Работа при вращательном движении
Кинетическая энергия вращения
Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного
движения
1a. Рассмотрим твердое тело,
которое
может
вращаться
вокруг
неподвижной оси ОО (рис.3.1). Разобьем
это
твердое
тело
на
отдельные
элементарные
массы
Δmi.
Равнодействующую
всех
сил,

приложенных к Δmi, обозначим через Fi .
Достаточно
 рассмотреть случай, когда
Fi
сила
лежит
в
плоскости,
перпендикулярной
оси
вращения:
составляющие сил, параллельные оси, не
могут влиять на вращение тела, так как
ось закреплена. Тогда уравнение второго
закона
Ньютона
для
касательных
Рис.3.1
1
составляющих силы и ускорения запишется в виде:
Fik  mi aik .
(3.1)
Нормальная составляющая силы Fin обеспечивает центростремительное
ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (1.27): aik    ri , где ri – радиус
вращения i-той точки. Тогда
Fik  mi    ri .
(3.2)
Умножим обе части (3.2) на ri :
Fik  ri  mi    ri  ri .
(3.3)
Заметим, что
Fik  ri  Fi  sin   ri  Fi  li ,
(3.4)


где α – угол между вектором силы Fi и радиус-вектором точки ri (рис.3.1), li –
перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо
силы). Введём понятие момента силы M .
1b. Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по
оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль
которого равен произведению силы на ее плечо: M  F  l . Плечо силы l
относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы
до оси вращения. Размерность момента силы:
M   Í  ì .
В векторной форме момент силы относительно
   точки:
(3.5)
M  r F .
Вектор момента силы перпендикулярен и силе, и радиус-вектору точки её
приложения:
 
 
M F;
M r .
Если вектор силы перпендикулярен оси, то вектор момента силы направлен
по оси по
 правилу правого винта, а величина
момента M силы относительно этой оси (проекция
на ось) определяется формулой (3.4):
(3.6)
M z  r  F z  F  r  sin   F  l .
Момент силы зависит и от величины силы, и от
плеча силы. Если сила параллельна оси, то M z  0 .


1c. Пара сил – это две равные по величине и
противоположные по направлению силы, линии
действия которых не совпадают (рис.3.2). Плечо
пары сил – это расстояние между линиями действия
Рис.3.2
2


сил. Найдём суммарный момент пары сил F1 и F2 ( F1  F2  F ) в проекции на
ось, проходящую через точку О:
M  F2  l2  F1  l1  F  l1  l   F  l1  F  l .
То есть момент пары сил равен произведению величины силы на плкчо пары:
M ïàðû ñèë  F  l .
(3.6)
Вернёмся к (3.3). С учётом (3.4) и (3.6):
M i  mi  ri2   .
(3.7)
1d. Определение: скалярная величина mi ri 2 , равная произведению массы
материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом
инерции материальной точки относительно оси ОО:
(3.8)
I  mr 2 .
Размерность момента инерции
I   êã  ì
2
.
Из (3.7):
I i  mi  ri2 ;
M i  Ii   .
(3.9)


Векторы M i и  совпадают по направлению с осью вращения, связаны с
направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (3.9) можно
переписать в векторной форме:


M i  I i ;


M i  mi  ri2   .
(3.10)
Просуммируем (3.10) по всем элементарным массам, на которые разбито
тело:


(3.11)
 M i    mi ri2 .

i

i
Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и
его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов
всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по
третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с
другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по
направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг
друга. Таким образом, в левой части (3.11) остается суммарный момент только


внешних сил:  M i  M âíåøíèõ .
i
3
Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси
вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной
оси:


I   mi ri2 .
(3.12)
i


Таким образом, M âíåøí.  I ; – это и есть основной закон динамики
вращательного движения твёрдого тела (аналог второго закона Ньютона

 F âíåøí .
): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному
a
m
моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела:

 M âíåøí .

.
(3.13)
I
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств
твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором
законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее
распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном
оси).
В случае непрерывного распределения массы сумма в (3.12) сводится к
интегралу по всему объему тела:
I   r 2 dm .
(3.14)
m
2a. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его
центр перпендикулярно плоскости кольца.
I   r 2 dm   R 2 dm  R 2  dm  R 2 m ,
m
m
m
(3.15)
I  mR 2 ,
поскольку для любого элемента кольца dm его расстояние до оси одинаково и
равно радиусу кольца: r  R .
2b. Толстостенный цилиндр (диск) с внутренним радиусом R1 и внешним
радиусом R2 .
Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h,
внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 (рис.3.3) относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск
на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца
равен r , внешний – r  dr . Объем такого кольца dV  h  dS  h  2  r  dr , где
dS  2  r  dr – площадь основания тонкого кольца. Его масса:
(3.16)
dm    dV    h  2  r  dr .
Подставим dm в (3.14) и проинтегрируем по r ( R1  r  R2 ):
4
R
4 2

r
I   r 2  dm   r 2   h  2  r  dr  2     h  r 3dr  2     h  
 4 
m
R1
R1
  R1
R2

R2



    h  R24  R14     R22  R12 R22  R12


2

2
Рис.3.3.


Масса диска m    h  S    h    R22  R12 , тогда окончательно:
m R22  R12
I
.
2


(3.17)
2c. Сплошной цилиндр (диск).
В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в
(3.17) R1=0, R2=R и получим:
I
mR 2
.
2
(3.18)
2d. Шар.
Момент инерции шара радиуса R и массой m
относительно оси, проходящей через его центр (рис.3.4),
равен (без доказательства):
2
(3.19)
I  mR 2 .
5
Рис.3.4
5
2e. Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно
оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню (рис.3.5).
Рис.3.5
Стержень разобьём на бесконечно малые участки длиной dr . Масса такого
m
участка dm  dr . Подставим в (3.14) и проинтегрируем от 0 до l :
l
l
ml 2
m  r 3 
m l 3 ml 2
2
2 m
I   r dm   r  dr   r  dr  
  
,
 3
l
l
l
l
3
3
m
0
0
 
l
0
ml 2
.
(3.20)
3
Если ось проходит через центр стержня перпендикулярно ему, можно
рассчитать момент инерции половины стержня по (3.20) и затем удвоить:
I
2
 m  l 
  
ml 2
2  2 

Iñ  2 

.
3
12
(3.21)
3. Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис.3.6),
вычисления по формуле (3.14) могут быть довольно сложными. В этом случае
расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера:
момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции Ic тела относительно оси, проходящей через центр масс тела
параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния
d между осями :
I  Ic  m  d 2 .
(3.22)
Посмотрим, как работает теорема
Штейнера, если применить её к стержню:
I  Ic  m  d
Рис.3.6
2

2
ml 2 ml 2
l

 m  .
3
12
2
Нетрудно убедиться, что получилось
тождество, поскольку в этом случае расстояние
между осями равно половине длины стержня
6
l
d .
2
4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс
момента силы. Закон сохранения момента импульса.

 M
Из закона динамики вращательного движения  
и определения
I

 d
углового ускорения  
следует:
dt 



M d


Mdt  Id .
I
dt



Если I  const , то Mdt  d I . Введём момент импульса L твёрдого тела как


L  I ;
(3.23)
тогда


Mdt  dL .
(3.24)
Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для
вращательного движения. Его можно переписать
так:

 dL
,
(3.24)
M
dt
и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения
в импульсной форме (2.5)
 dp
.
(2.5)
F
dt
Выражение (3.24) можно проинтегрировать:


Mt  L
(3.25)
и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента
импульса
тела равно импульсу суммарного момента внешних сил. Величина


Mt называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы Ft в
формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2)



 
p  F  t ; момент импульса L  I является аналогом импульса p  mv .
Размерность момента импульса
êã  ì 2
.
L 
c
Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор,
направленный по оси вращения по правилу буравчика.
Момент импульса материальной точки
точки О (рис.3.6) – это:
  относительно

L  r  p,
(3.26)


где r – радиус-вектор материальной точки, p – её импульс. Вектор момента

L
импульса
направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в
7
 
которой лежат векторы r и p : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента
импульса
L  r  p  sin   mvl .
Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные
массы mi и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же
самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):


L   Li   ri  mi  vi   ri  mi    ri      mi  ri2    I .
i
i
i
i
Поскольку угловая скорость всех точек
одинакова и направлена по оси вращения, то
можно записать в векторной
форме:


(3.23)
L  I .
Таким образом, доказана эквивалентность
определений (3.23) и (3.26).
Если суммарный момент внешних сил
равен нулю, то момент импульса системы не
изменяется (см.3.25):
 âíåøí .

Рис.3.7
L
 const . Это закон
M

0


сохранения момента импульса. Это возможно, когда:

а) система замкнута (или  F âíåøí .  0 );
б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит
через ось/центр вращения);
в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.
Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:
1. гироскоп;
2. скамья Жуковского;
3. фигуристка на льду.
5. Работа при вращательном движении.
Пусть тело повернулось на угол d под


действием силы F и угол между перемещением dS и

силой равен  ; r – радиус-вектор точки приложения
силы (рис.3.8),
 тогда работа силы равна:
dA  F  dS  F cos  dS  F cos  r  d 
Рис.3.8
 F  l  d  M  d
поскольку dS  r  d (1.22) и M  F  l (3.6).
Итак,
dA  M  d ,
или
8
(3.24)
2
2
A   dA   M  d .
1
(3.25)
1
6. Кинетическая энергия вращения.
Пусть тело вращается относительно закреплённой оси с угловой скоростью
 . Разобьём его мысленно на элементарные массы mi и просуммируем
кинетические энергии:


mi vi2
mi 2  ri2  2
I 2
2
.
W  Wi  


 mi  ri 
2
2
2
2
i
i
i
i
Здесь воспользовались формулой связи угловой и линейной скорости

v  r   (1.23) и определением момента инерции твёрдого тела I   mi ri2

i
(3.12). Итак, кинетическая энергия вращающегося тела равна:
I 2
Wâðàù 
.
(3.26)
2
Если тело одновременно ещё и движется поступательно (например, тело
катится), то полная кинетическая энергия его равна:
m  v c2 I   2
Wêèí .  Wïîñò .  Wâðàù 

,
2
2
где v c – скорость поступательного движения центра масс.
7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного
движения.
Аналогия между поступательным и вращательным движениями (см. лекцию
1) продолжена в табл.2.1:
Таблица 2.1
Величина/закон
Перемещение
Скорость
Ускорение
Сила;
момент силы
Поступательное движение

S

 dS
v
dt
Вращательное движение




 dv d 2 S
a

dt dt 2


d d 2


dt dt 2
  
M  r F
M  F  r  sin   F  l

d

dt




F
9

Масса;
момент инерции

m
I   r 2 dm ; I   mi ri2

i
m
I  mr 2 (для материальной
точки)


Второй закон
F  ma
Ньютона


p  mv
Импульс;
момент импульса
 dp
Второй закон
F
Ньютона в
dt
импульсной
форме


Закон
 Fkâíåø .  0   pi  const
сохранения
k
i
импульса;
момента
импульса
 
Работа
dA  F  dS
Кинетическая
m v2
Wêèí . 
энергия
2
10
I  I c  m  d 2 – теорема
Штейнера


M  I 

   
L  I ; L  r  p

 dL
M
dt

 M âíåø .  0 

 L  const
dA  M  d
I 2
Wâðàù 
2