Аудиторные задачи к семинару №2

«Теория вероятностей и математическая статистика» (2011-2012 уч.год)
Аудиторные задачи к семинару №2
Формула сложения вероятностей. Независимость. Функция правдоподобия.
Условная вероятность. Условная независимость.
Задача 3.5. Рассмотрим случайный эксперимент – правильный игральный кубик кидается
1 раз. Вычислите вероятности этих событий:
 выпавшее число очков четное и больше двух
 выпавшее число очков четное и/или больше двух
 выпавшее число очков не меньше 4 и кратно двум
 выпавшее число очков не меньше 4 и/или кратно двум
 выпавшее число очков не больше 5 и не кратно двум
 выпавшее число очков не больше 5 и/или кратно двум
 выпавшее число очков не является четным, кратным трем
Задача 3.10. Между пятью кандидатами на должность мэра города (Ивановым, Петровым,
Сидровым, Булочкиным и Попрошайкиным) проводится жеребьевка, определяющая место
кандидата в избирательном бюллетене. Какова вероятность того, что Петров займет пятое
место?
Задача 3.11. В урне 6 шаров: 2 белых и 4 черных. Случайным образом извлекаются 3
шара. Какова вероятность того, что будут вытащены:
 2 белых шара
 2 черных шара
 все черные шары
 ни одного черного шара
Задача 3.16. Проводится фокус-группа, посвященная электоральной тематике. Для
участия в фокус-группе отобраны 4 сторонника «Единой России», 3 сторонника
«Справедливой России», 3 сторонника ЛДПР, 5 сторонников оппозиционных
либеральных партий и движений. При этом 2 «единоросса» - сторонники рыночной
экономики, а два других – социального государства; из «справороссов» двое выступают за
социальное государство, а один – за рыночную экономику; два ЛДПРовца – сторонники
социального государства, третий выступает за рыночную экономику. Все либералы –
сторонники либеральной экономики.
Какова вероятность того, что рядом с первым занявшим место в фокус-рум (focus room)
единороссом, выступающим за социальное государство, окажется:
 участник, имеющий такие же электоральные предпочтения или такие же
идеологические предпочтения;
 участник, имеющий противоположные электоральные или идеологические
предпочтения.
Задача 3.17. Задача кавалера де Мере.
Антуан Гомбо (Antoine Gombaud, 1607 – 1684) был французским писателем и известным
участником салонов (форм организации общественности в Европе XVII – XIX вв.). Кроме
того, он был известным игроком. Первая (любимая) игра кавалера де Мере состояла в
следующем: он и его партнер кидают правильный игральный кубик 4 раза. Если хотя бы
один раз выпадет шестерка, то выигрывает кавалер де Мере. Кавалер де Мере заметил, что
1
«Теория вероятностей и математическая статистика» (2011-2012 уч.год)
эта игра выгодна ему, хотя не знал, почему. Вскоре это заметили его партнеры по игре и
заставили его изменить правила. Вторая игра состояла в следующем: 2 правильных
игральных кубика бросаются 24 раза. Если хотя бы раз выпадают 2 шестерки, то
выигрывает де Мере. Оказалось, что эта игра ему невыгодна. Расстроенный кавалер де
Мере обратился к Блезу Паскалю за разрешением этой задачи, с которой тот, конечно,
справился.
Покажите, рассчитав соответствующие вероятности, что первая игра, действительно, была
выгодна кавалеру, а вторая – невыгодна.
Задача 3.18. Задача о днях рождения.
В комнате сидят n человек. Какова вероятность, что у них одинаковые дни рождения?
Задача 3.19. Для выполнения большого исследования по заказу частной фирмы
социологическая служба набирает дополнительные кадры. Ввиду того что исследование
предполагает анкетирование населения, сотрудник отдела по работе с персоналом
обращает особое внимание на две характеристики кандидата:
 наличие опыта анкетирования населения,
 владение пакетами для обработки количественных данных.
По причине острой нехватки квалифицированных кадров, на работу принимаются все, кто
обладает хотя бы одной из характеристик. Все кандидаты распределились следующим
образом:
Владение
пакетами
Есть
опыт
45 %
анкетирования
Нет опыта
55 %
ИТОГО

Незнание
пакетов
ИТОГО
70 %
20%
45 %
100%
Найдите вероятность того, что случайно выбранный кандидат будет принят
на работу.
Задача 3.21. Для того чтобы сдать зачет по некоторой дисциплине студент должен
правильно решить хотя бы одну из двух блокирующих задач. Вероятность правильно
решить первую задачу равна 0,85, вероятность правильно решить вторую задачу – 0,80.
Вероятность не решить обе задачи равна 0,05. Рассмотрим два признака студента:
«Правильно решил(-а) первую блокирующую задачу» и «Правильно решил(-а) вторую
блокирующую задачу».
 Составьте не основе имеющейся информации таблицу совместного
распределения двух признаков и заполните пропуски в ней.
 Найдите вероятность того, что случайно выбранный студент решит хотя
бы одну из блокирующих задач.
Задача 4.1. Рассмотрим случайный эксперимент – правильный игральный кубик кидают
один раз. Событие А – выпало четное число очков. Событие В – выпало число очков, не
меньшее пяти. Событие С – выпало число очков, большее трех.
 Являются ли независимыми события А и В?
 Являются ли независимыми события А и С?
2
«Теория вероятностей и математическая статистика» (2011-2012 уч.год)
Задача 4.2. В шахтерском городе N прошли выборы мэра. В них участвовали два
кандидата – А.Б. Шахтик и В.Г. Энник. С точностью известно следующее:
 60% участников выборов отдали свой голос за кандидата А.Б. Шахтика
 40% участников выборов – женщины
 24% участников выборов – мужчины, проголосовавшие за В.Г. Энника.
При этом отсутствовал вариант «против всех», а сами выборы прошли образцово – не
было ни испорченных бюллетеней, ни аннулированных.
Нас интересуют гендерные различия в электоральных предпочтениях жителей г.N.
Требуется:
 Выделить два признака избирателей, изучение которых позволит установить
наличие/отсутствие гендерных различий в электоральных предпочтениях
жителей г.N.
 Составить таблицу сопряженности двух выделенных Вами признаков.
 Определить, есть ли стохастическая связь между полом и электоральным
выбором избирателей города N.
Задача 4.8. Проводится случайный эксперимент: кубик бросается 7 раз, регистрируется
выпадение или не выпадение шестерки.
 Сколько существует элементарных исходов, в которых шестерка выпадает 4 раза?
 Какова вероятность того, что наступит следующий элементарный исход
(НУНУУУН), где Н – шестерка не выпала, У – шестерка выпала?
 Какова вероятность того, что в этом случайном эксперименте шестерка выпадет 4
раза?
Задача 4.9. Рассмотрим серию из 5 независимых случайных экспериментов, в результате
которых наступает один из двух исходов А и В. Исход А наступает с вероятностью 0,7,
исход В – с вероятностью 0,3.
 Найдите вероятность того, что наступит следующая комбинация: АВВАВ, т.е.
вероятность Р(А∩В∩В∩А∩В) – значение функции правдоподобия исхода
АВВАВ при данном распределении вероятностей.
Задача 4.10. Рассмотрим серию из 6 независимых случайных экспериментов, в результате
которых наступает один из четырех исходов А, В, C, D. Исход А наступает с
вероятностью 0,4, исход В – с вероятностью 0,3, исход C – с вероятностью 0,2, исход D – с
вероятностью 0,1.
 Найдите вероятность того, что наступит следующая комбинация: АВСАDB,
т.е. вероятность Р(А∩В∩С∩А∩D∩B) – значение функции правдоподобия
исхода АВСАDB при данном распределении вероятностей.
Задача 4.14. В некотором городе N прошли выборы мэра, в которых них участвовали два
кандидата – А.Б. Васькин и В.Г. Петькин. С точностью известно следующее:
 60% участников выборов отдали свой голос за кандидата А.Б. Васькина
 40% участников выборов – женщины
При этом отсутствовал вариант «против всех», а сами выборы прошли образцово – не
было ни испорченных бюллетеней, ни аннулированных.
3
«Теория вероятностей и математическая статистика» (2011-2012 уч.год)
Нас интересует связь (стохастическая зависимость/независимость) двух признаков
избирателей: пол и электоральный выбор. Можно ли основе имеющейся информации
однозначно построить таблицу сопряженности двух признаков?
Задача 4.15. Рассмотрим два дихотомических признака А и В, регистрируемых у
некоторых объектов. Признак А принимает два значения: А1 и А2. Признак В также
принимает два значения: В1 и В2. Известен процент объектов, для которых признак А
принимает значения А1 и для которых он принимает значение А2. То же самое известно
про
значения
признака
В.
Нас
интересует
связь
(стохастическая
зависимость/независимость) двух признаков.
 Можно ли ответить на вопрос о стохастической независимости двух
признаков на основе имеющейся информации? Почему?
 Каково минимальное число совместных вероятностей, необходимых для
однозначного ответа на поставленный выше вопрос? Проиллюстрируйте
ответ конкретным примером.
Задача 5.1. Вычислите вероятности следующих событий в соответствующих случайных
экспериментах:
 Случайный эксперимент – монетка подбрасывается два раза. Событие – хотя
бы один раз выпала решка.
 Случайный эксперимент – монетка подбрасывается два раза, причем в
первый раз выпадает орел. Событие – во второй раз выпала решка.
 Случайный эксперимент – игральный кубик подбрасывается два раза, причем
во второй раз выпадает тройка. Событие – на игральном кубике в сумме
выпадет четное число очков.
 Случайный эксперимент – игральный кубик подбрасывается два раза, причем
в сумме выпадает четное число очков. Событие – при втором бросании на
игральном кубике выпадет тройка.
Задача 5.7. Трехтомник стихотворений расположен на полке в случайном порядке.
Найдите:
 вероятность того, что первый том будет расположен на своем естественном
порядковом месте
 условную вероятность того, что первый том окажется на первом месте, при
условии, что вторым на полке стоит второй том.
Задача 5.8. В семье 2 ребенка. Известно, что по первый из них мальчик. Какова
вероятность того, что другой – тоже мальчик? Рождение мальчиков и девочек считать
равновероятным.
Задача 5.9. В семье 2 ребенка. Известно, что по крайней мере один из них мальчик.
Какова вероятность того, что другой – тоже мальчик? Рождение мальчиков и девочек
считать равновероятным.
4
«Теория вероятностей и математическая статистика» (2011-2012 уч.год)
Задача 5.11. Пространство элементарных исходов разделено на 4 несовместных события
А, B, C, D с вероятностями наступления, равными 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 соответственно.
 Докажите, что P(A|B) = 0.
Задание УН.1 Дано:
 P(A|C) = 0,60
 P(B|C) = 0,40
 P(AB|C) = 0,24
Найти: Являются ли события А и В независимыми при условии С?
Задание УН.2 Дано:
 P(неA|C) = 0,40
 P(неB|C) = 0,60
 P(A и неB|C) = 0,36
Найти: Являются ли события А и В независимыми при условии С?
Задание УН.3 Дана таблица сопряженности 2х2 признаков А и В. Ниже приводятся две
другие таблицы сопряженности, разведенные по значению признака С.
В1
А1
А2
В2
240
320
200
240
1000
Признак С1
В1
В2
А1
48
72
А2
32
48
200
Признак С2
В1
В2
А1
192
128
А2
288
192
800
Вопросы:
 являются ли признаки А и В независимыми?
 являются ли признаки А и В независимыми при условии С?
5