Микроэкономика (продвинутый уровень) Существование равновесия по Вальрасу Утверждение. Пусть избыточный спрос z ( p ) для каждого товара является функцией, определенной для всех неотрицательных ненулевых векторов цен p 0, p 0 . Если функции избыточного спроса z ( p ) – непрерывны для всех p 0, p 0 , однородны нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса, то p такой, что z i ( ~ существует вектор цен ~ p) 0 и ~ pi z i ( ~ p ) 0 для всех i 1,..., N . Утверждение. Если в экономике обмена все потребители имеют локально ненасыщаемые, непрерывные, строго выпуклые предпочтения и положительные начальные запасы каждого блага ( k 0 для всех k 1, , M ), то равновесие существует. Утверждение. Если в экономике обмена все потребители имеют строго монотонные, непрерывные, строго выпуклые предпочтения и совокупные начальные запасы каждого блага в экономике положительны ( i 0 для всех 1 1, , N ), то равновесие существует. Равновесие и ядро Любое непустое подмножество потребителей S M будем называть коалицией. Определение. Коалиция S M блокирует допустимое распределение x ( x1 ,, x M ) , если существует распределение x ( x 1 ,, x M ) RNM такое, что: 1) x k k xk для любого k S и 2) xk Y kS kS k . Определение. Ядром экономики называется совокупность допустимых распределений, ни для одного из которых не существует блокирующей это распределение коалиции. Утверждение. Если в экономике все потребители характеризуются непрерывными, строго монотонными предпочтениями и x - распределение, принадлежащее ядру, то x - парето оптимальное распределение. p ,~ x ,~ y ) – равновесие по Вальрасу в экономике, где все потребители имеют локально Утверждение. Если ( ~ ненасыщаемые предпочтения, а производственное множество обладает постоянной отдачей от масштаба, то ~ x принадлежит ядру данной экономики. Определение. Будем называть R - кратной репликой экономики такую экономику, где имеется R потребителей каждого типа. Утверждение (об одинаковом подходе в ядре) Предположим, что все потребители имеют строго выпуклые, непрерывные, строго монотонные предпочтениями, а производственное множество фирмы обладает постоянной отдачей от масштаба. Если x - распределение, принадлежащее ядру R раз реплицированной экономики, то любые два агента одного типа в этом распределении должны иметь одинаковые потребительские наборы. Утверждение (Теорема о сжимающемся ядре) Пусть все потребители обладают строго выпуклыми, непрерывными, строго монотонными предпочтениями, а производственное множество фирмы выпукло и обладает постоянной отдачей от масштаба. Если x распределение, отличное от вальрасовского равновесия, то существует такая реплика R , что x не принадлежит ядру R раз реплицированной экономики.