2.2. Применение дельта функции

Содержание
Введение ____________________________________________________________________3
Глава 1 ______________________________________________________________________4
1.1. Описание импульсных функций ________________________________________________ 4
1.2. Дельта - функция Дирака _______________________________ Error! Bookmark not defined.
1.2.1. Основные понятия и определения ___________________________ Error! Bookmark not defined.
1.2.2. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака _____ Error! Bookmark not defined.
1.2.3. Математическое определение _______________________________ Error! Bookmark not defined.
Глава 2 _______________________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.1. Применение импульсных функций _______________________ Error! Bookmark not defined.
2.2. Применение дельта функции ___________________________________________________ 9
2.2.1. Разрывные функции и их производные ________________________________________________ 9
2.2.2. Нахождение производных разрывных функций. _______________ Error! Bookmark not defined.
2.3. Оцифровка информации ________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.3.1. Определения _____________________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.3.2. Дискретные и непрерывные сигналы _________________________________________________ 11
2.3.3. Импульсная характеристика ________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.3.4. Свертка _________________________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.3.5. Корреляция ______________________________________________ Error! Bookmark not defined.
2.3.6. Применения цифровой обработки сигналов ___________________ Error! Bookmark not defined.
Заключение _________________________________________________________________13
Список литературы _________________________________________________________ 14
Введение
Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и
более «высокой математики», одним из достижений которой являются
обобщенные функции, в частности импульсная функция, дельта-функция
Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике
и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих
возможности классического математического анализа, расширяет круг
рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в
вычислениях, автоматизируя элементарные операции.
Цель дипломной работы изучить определения импульсной функции и
дельта-функции Дирака и рассмотреть их применение на практике.
3
Глава 1
1.1.
Описание импульсных функций
Рассмотрим функцию δh(t), график которой изображен на рис.1.1,
Рис.1.1
Она представляет величину, которая действует лишь на отрезке (0,h),
где имеет постоянное значение , суммарный эффект её действия равен
Предположим теперь, что h→0; семейство функций
, очевидно,
при этом расходитсяно мы введем условную функцию δ(t), которую будем
считать пределом такого семейства
вырезано
В классическом анализе не существует функции, обладающей
свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах
4
С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое
оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.
Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем
основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:
Определение 1. Изображением функции f t  или L — изображением
заданной функции
f t 
называют функцию комплексной переменной
p,определяемую равенством:

F ( p)   e  pt f (t )dt
0
При этом будем считать, что при t  0 f t   0 , а при t  0 выполняется
неравенство f (t )  Meat , где М и а – некоторые положительные постоянные.
Определение 2.Функция f t  , определенная так:
1, t  0
,
f (t )  
0, t  0
называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через  0 (t ) .
График этой функции изображен на рис.1.3.
Рис. 1.3. График функции Хевисайда
Найдем L – изображение функции Хевисайда:

L 0 t    e
0
 pt
A
dt  lim
A
e
0
 pt
 e  pA e  p0  1

dt  lim  

A
p
p  p

Итак,
5
L 0 (t ) 
1
p
Пусть функция f t  при t  0 тождественно равна нулю (рис. 1.4а).
Тогда функция f t  t0  будет тождественно равна нулю при t  t 0 (рис. 1.4б).
Рис. 1.4. а), б)
Для нахождения изображения  x  с помощью вспомогательной
функции рассмотрим теорему запаздывания:
Теорема 1. Если F  p есть изображение функции f t  , то e pt F ( p) – есть
0
изображение
функции
f t  t 0  ,
то
есть
если
L f t   F  p  ,
то
L f (t  t0 )  e  pt0 F ( p ) .
Доказательство.
По определению изображения имеем

L f (t  t0 )   e
0
 pt
t0
f (t  t0 )dt   e
 pt

f (t  t0 )dt   e  pt f (t  t0 )dt .
0
t0
Первый интеграл равен нулю, так как f t  t0   0 при t  t 0 . В последнем
интеграле сделаем замену переменной t  t 0  z :


0
0
L f (t  t0 )   e p ( zt0 ) f ( z )dz  e pt0  e  pz f ( z )dz  e pt0 F ( p) .
Таким образом, L f (t  t0 )  e  pt F ( p) .
0
6
Для единичной функции Хевисайда было установлено, что L{ 0 (t )} 
1
.
p
На основании доказанной теоремы следует, что для функции  0 (t  h) , L –
изображением будет
L 0 (t  h) 
1  ph
e , то есть
p
1  ph
e
p
Определение 3. Непрерывная или кусочно-непрерывная функция  (t ,  )
аргумента t , зависящая от параметра  , называется иглообразной, если:
 (t ,  )  0 при t   ;
 (t ,  )  0 при t   ;




  (t,  )dt    (t,  )dt  1
Определение 4. Числовую функцию f , определенную на некотором
линейном пространстве L, называют функционалом.
Зададим совокупность тех функций, на которых будут действовать
функционалы. В качестве этой совокупности рассмотрим множество K всех
вещественных функций  x , каждая из которых имеет непрерывные
производные всех порядков и финитна, то есть обращается в нуль вне
некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций  x  ). Эти
функции будем называть основными, а всю их совокупность К – основным
пространством.
Определение 5. Обобщенной функцией называется всякий линейный
непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К.
Расшифруем определение обобщенной функции:
1. обобщенная функция f есть функционал на основных функциях
 , то есть каждой  сопоставляется (комплексное) число  f ,  ;
2. функционал f линейный, то есть ( f , 11  22 )  1 ( f ,1 )  2 ( f ,2 )
для любых комплексных чисел 1 и 2 , и любых основных
функций 1 и  2 ;
7
3. функционал f непрерывный, то есть ( f , k )  ( f ,  ), k   , если
k   .
Определение 6. Импульс – одиночный, кратковременный скачок
электрического тока или напряжения.
Определение 7. Средняя плотность – отношение массы тела m к его
объему V , то есть   m / V .
Теорема 2. (Обобщенная теорема о среднем).
Если f t  – непрерывная, а  (t ) — интегрируемая функции на a, b ,
причем  (t ) на этом отрезке не меняет знака, то
b

b
f (t ) (t )dt  f ( )   (t )dt , где
a
a
  (a; b) .
Теорема 3. Пусть функция f x  , ограничена на a, b и имеет не более
x
конечного числа точек разрыва. Тогда функция F ( x)   f (u)du является
a
первообразной для функции f x  на отрезке a, b и для любой первообразной
x  справедлива формула
b
 f (u)du  Ф(b)  Ф(a) .
a
Определение
8.
Совокупность
всех
непрерывных
линейных
функционалов, определенных на некотором линейном пространстве Е,
образует
линейное
пространство.
Оно
называется
пространством,
сопряженным с Е, и обозначается Е*.
Определение 9. Линейное пространство Е, в котором задана некоторая
норма, называется нормированным пространством.
вырезано
В обоих случаях, как и раньше, до момента
t 
движения
тождественны. В момент t   первая точка под действием импульсной силы
первого порядка получает, как и при отсутствии сопротивления, мгновенную
дополнительную скорость v0 . Но в движение второй точки, находящейся под
8
действием импульсной силы второго порядка, наличие сопротивления вносит
дополнительное искажение: в момент t   эта точка получает не только
мгновенное
дополнительное
смещение
h
(как
и
при
отсутствии
сопротивления), но и мгновенную дополнительную скорость, равную — 2nh
(чего при отсутствии сопротивления не было). Чтобы в этом убедится,
достаточно продифференцировать x по t и положить t   : множитель при
ut   в выражении для xt  обратится при этом в – 2nh .
Таким образом, наличие сопротивления не оказывает влияния на
действие импульсных сил первого порядка, но изменяет характер действия
импульсных сил второго порядка, придавая им, в дополнение к своим,
функции импульсных сил первого порядка (не только смещение, но и
изменение скорости!).
2.2. Применение дельта функции
2.2.1. Разрывные функции и их производные
Дельта-функция решает вопрос о производной в точке разрыва (в
частности, для разрыва, имеющего вид конечного скачка).
Рассмотрим интеграл функции  x  в зависимости от его верхнего
предела, то есть функцию
x
 ( x)    ( x)dx .

График этой функции имеет вид «ступеньки» (рис.2.1).
Рис. 2.1. График функции x 
9
Пока x  0 , область интегрирования целиком находится там, где  x  0 .
Следовательно, x   0 при x  0 . Если же x  0 , то при интегрировании
включается окрестность начала координат, где  (0)   . С другой стороны,
так как при x  0 также  x  0 , то значение интеграла не изменяется, когда
верхний предел меняется от 0,1 до 1, или до 10, или до ∞. Следовательно, при
x  0 имеем
x



 ( x)    ( x)dx    ( x)dx  1 ,
вырезано
10
2.3.2. Дискретные и непрерывные сигналы
Теорема Котельникова
Большинство реальных сигналов (например, звуковых) являются
непрерывными функциями (если пренебречь квантовыми эффектами). Для
обработки на компьютере требуется перевести сигналы в цифровую форму.
Один из способов сделать это – равномерно по времени измерить
значения
сигнала
на
определенном
промежутке
времени
и
ввести
полученные значения амплитуд в компьютер. Если делать измерения
достаточно часто, то по полученному дискретному сигналу можно будет
достаточно точно восстановить вид исходного непрерывного сигнала.
Процесс замера величины сигнала через равные промежутки времени
называется равномерной (по времени) дискретизацией. Многие устройства
для ввода данных в компьютер осуществляют дискретизацию. Например,
звуковая карта дискретизирует сигнал с микрофона, сканер дискретизирует
сигнал,
поступающий
с
фотоэлемента.
В
результате
дискретизации
непрерывный (аналоговый) сигнал переводится в последовательность чисел.
Устройство, выполняющее этот процесс, называется аналогово-цифровым
преобразователем (АЦП, analogue-to-digital converter, ADC). Частота, с
которой АЦП производит замеры аналогового сигнала и выдает его
цифровые значения, называется частотой дискретизации.
Встает вопрос: при каких условиях на исходный сигнал и на частоту
дискретизации можно с необходимой степенью точности восстановить
исходный сигнал по его цифровым значениям? Ответ на этот вопрос дает
важная теорема Котельникова. Однако чтобы ее понять, необходимо
познакомиться с понятием спектра непрерывного сигнала.
Как известно из анализа, любая непрерывная функция может быть
разложена на конечном отрезке в ряд Фурье. Смысл этого разложения
состоит в том, что функция представляется в виде суммы ряда синусоид с
различными амплитудами и фазами и с кратными частотами. Коэффициенты
11
(амплитуды) при синусоидах называются спектром функции. У относительно
гладких функций спектр быстро убывает (с ростом номера коэффициенты
быстро стремятся к нулю). Для относительно «изрезанных» функций спектр
убывает медленно, т.к. для представления разрывов и «изломов» функции
нужны синусоиды с большими частотами.
Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после
определенного номера все коэффициенты спектра равны нулю. Другими
словами, на заданном отрезке сигнал представляется в виде конечной суммы
ряда Фурье. В этом случае говорят, что спектр сигнала лежит ниже частоты F
(ограничен частотой F), где F – частота синусоиды при последнем ненулевом
коэффициенте ряда Фурье.
Теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона: если сигнал таков, что его
спектр ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не
менее
2F
можно
восстановить
исходный
непрерывный
сигнал
по
полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно
проинтерполировать цифровой сигнал «между отсчетами» специального вида
функциями.
На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно,
что большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности
считать сигналами с ограниченным спектром. Их спектр, в основном, лежит
ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц,
мы можем потом более-менее точно восстановить исходный аналоговый
звуковой сигнал по его цифровым отсчетам. Абсолютной точности достичь
не удастся, так как в природе не бывает сигналов с идеально ограниченным
спектром.
Устройство,
которое
интерполирует
дискретный
сигнал
до
непрерывного, называется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП,
digital-to-analogue converter, DAC). Эти устройства применяются, например, в
проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука по цифровому
звуковому сигналу, записанному на компакт-диск. Частота дискретизации
12
звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц. Таким
образом, и ЦАП на CD- плеере работает на частоте 44100 Гц.
вырезано
Заключение
В дипломной работе были изучены импульсная функция и дельтафункция Дирака. В ходе рассмотрения применений этих функций было
установлено их значение в области математического анализа, физики
(особенно в разделе механики). Также рассмотрели применение импульсной
функции для оцифровки информации.
13
Список литературы
1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу: учебник для
университетов и пед. вузов / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий,
В.Н. Чубариков. Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк.,
1999.
2. Большая советская энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.:
Советская энциклопедия, 1972.
3. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн,
К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1967.
4. Владимиров, В.С. Обобщенные функции и их применение / В.С.
Владимиров. – М.: Знание, 1990.
5. Владимиров, В.С. Обобщенные функции в математической
физике / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1981.
6. Дирак, П. Принципы квантовой механики / П.Дирак. - М.: Наука,
1979.
7. Дубайлова, М.Н. Применение рядов Фурье при решении задач
Электродинамики / Выпускная квалификационная работа. –
Киров, ВГГУ 2003.
8. Ершова, В.В. Импульсные функции. Функции комплексной
переменной. Операционное исчисление / В.В. Ершова. Под ред.
В.И. Азаматовой. - Минск: Вышэйш. школа, 1976.
9. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих / Я.Б.
Зельдович. – М.: Наука, 1970.
10.Зельдович Я.Б., Мышкин А.Д. Элементы прикладной математики
– М.: Наука, 1967
11.Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального
анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1972.
14
12.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления /
Н.С. Пискунов // учеб. для втузов. В 2-х т. Т. II: - М.: ИнтегралПресс, 2001.
13. Соболев,
В.И.
Лекции
по
дополнительным
главам
математического анализа / В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968
14.Шостак Р.Я. Операционное исчисление / Учебное пособие для
втузов – М.: Высшая школа, 1972.
15. Айфичер
Э.,
Джервис
Б.
Цифровая
обработка сигналов.
Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.
16.Машеров Е.
Цифровая обработка сигналов – некоторые
основные понятия. http://www.nsi.ru/~EMasherow/DSP.htm
17.Давыдов А.В. Теория сигналов и систем.
15