АОВ≈ А&#39

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДИРАЦИИ
ФГБОУ ВПО«БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Физико-математический факультет
Кафедра математики и методики обучения математике
Курсовая работа
На тему: Треугольники на плоскости Лобачевского
По дисциплине: математика
Исполнитель:
Студент группы 3 «озо» __________ Калуцких М. В.
Руководитель:
к. ф.- м. н., доцент математики и методики обучения математике __________
Алутин П. П.
Благовещенск 2014
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………….......3
1. Система аксиом Н. И. Лобачевского……………………………...…………..…6
1.1 Понятие о математической структуре……………………………………...…..6
1.2 Суть аксиоматического метода. Требования, предъявляемые к системе
аксиом…………………………………………………………………………….....10
1. 3 Система аксиом Гильберта……………………………………………………16
1. 4 Система аксиом геометрии Н. И. Лобачевского……………………………..24
2. Треугольники на плоскости Н. И. Лобачевского………………………….......27
2.1 Сумма углов треугольника…………………………………………………….27
2.2 Дефект треугольника и площадь треугольника и многоугольника…………32
2.3 Предельные случаи треугольников……………………………………………36
2.4 Конгруэнтность и подобие треугольников…………………………………...38
Заключение………………………………………………………………………….40
Список литературы…………………………………………………………………41
Приложение…………………………………………………………………………42
3
ВВЕДЕНИЕ
По своей сути математика занимается изучением математических структур.
Основным ее методом служит аксиоматический метод: структура каждого рода
определяется при помощи соответствующего списка аксиом, а дальше чисто
логическим путем строится теория структур этого рода.
Таким образом, хотя математика в наше время и является чрезвычайно
обширной отраслью знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый
взгляд разобщенные направления исследования, мы можем сказать, что
математика — это единая наука. Ее предмет исследования — множество
математических структур; ее основной метод — аксиоматический метод,
который берет свое начало от «Оснований геометрии» Д. Гильберта и «Начал»
Евклида. В данной работе рассматривается математическая структурагеометрия Н. И. Лобачевского.
Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат Евклида. Неудачи
этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V
постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы
это доказать, Н. И. Лобачевский построил логическую систему, в которой,
сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его
противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема
представляет собой новую геометрию. Открывая все новые и новые факты, Н.
И. Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо логических
противоречий. Исследования, проделанные им, привели к убеждению, что его
логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что
его геометрия никогда не приведет к противоречию, Н. И. Лобачевский дает ее
аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей
геометрии. Таким образом, Лобачевский считает, что его геометрия может быть
развита так же успешно, как и геометрия Евклида.
4
В настоящее время геометрия Н. И. Лобачевского достаточно развита, и с
пользой может быть приложена в различных разделах математики. Например, в
математическом анализе можно вычислить много интегралов, которые ранее не
поддавались вычислению. На наш взгляд геометрия Н. И. Лобачевского имеет
право быть изучаемой в школьном курсе математики, даже если это будет
поверхностное изучение или просто ознакомление.
Это послужило выбору темы курсовой работы: «Треугольники в плоскости
Н. И. Лобачевского».
Объектом исследования является математическая структура - геометрия Н.
И. Лобачевского.
Предмет исследования: треугольники на плоскости Н. И. Лобачевского.
Цель курсовой работы: изучение свойств треугольников на плоскости Н. И.
Лобачевского.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1.
Изучить и проанализировать математическую литературу для
уточнения
сущности
понятий
«математическая
структура»,
«аксиоматический метод», а также требований, предъявляемых к
системе аксиом.
2.
Изучить систему аксиом евклидовой геометрии по Гильберту.
3.
Описать систему аксиом Н. И. Лобачевского.
4.
Исследовать
треугольник
как
объект
геометрии
Н.
И.
Лобачевского.
5.
Решить набор задач по теме исследования.
В процессе работы были использованы методы исследования:
1. Анализ математической литературы.
2. Аналитико-синтетические методы доказательства теорем и их следствий.
5
3. Метод от противного при решении задач.
Курсовая работа состоит из введения, двух параграфов, заключения, списка
используемой литературы, приложения. В работе имеется 24 рисунка, которые
иллюстрируют доказательства теорем и решение задач.
6
1. Система аксиом Н. И. Лобачевского
1. 2 Понятие о математической структуре
Пусть даны непустые множества M1 М2, ..., Мn.Всякое подмножество Δ
M1×М2,× ... × Мn называется n-арным (или n -местным) отношением, определенным в множествах M1, М2,, ..., Мn.Говорят, что элементы m1 т2, ..., тп (mi
принадлежит Mi ) находятся в отношении Δ, если (т1 т2.....тп) принадлежит Δ.
Если М1 = М2=...= Мn = М и, значит, M1×М2,× ... × Мn = Мп (п- я декартова
степень множества М), то говорят, что n-арное отношение Δ включает Мn
определено в множестве М.
В случае бинарного отношения (n = 2) Δ включает M1×М2 вместо (тъ т2)
принадлежит Δ пишут: тхΔтг.
Если на множестве Е≠Ø определена алгебраическая операция (внутренний
закон композиции), то ее можно рассматривать как тернарное отношение (n =
3), определенное в множестве Е при помощи подмножества Δ включает Е3, где
Δ={(а, b , с) принадлежит Е3: φ (а, b)=с}.
Если на множестве Е определен внешний закон композиции f с
множеством операторов Λ:
f:Λ×E→E
(в мультипликативной записи: f (λ, а) =λа), то его можно рассматривать как
тернарное отношение, определенное в множествах Λ, Е при помощи
подмножества Δ включает Λ×Е×Е, а именно: Δ = {(λ, a, b)принадлежит Λ×Е×Е
: λa = b}.
Если в декартовом произведении M1×М2,× ... × Мn
мы выделим два
различных подмножества Δ1 и Δ2, то получим два различных отношения,
определенных на системе множеств M1, М2,, ..., Мn . Свойства отношения Δ1
будут в чем-то отличаться от свойств отношения Δ2 (так как Δ1 ≠ Δ2).
7
Таким образом, на системе множеств M1, М2,, ..., Мn, существует столько
различных отношений, сколько различных элементов содержит множество Ψ
(M1×М2,× ... × Мn ), Этих отношений будет бесконечное множество, если хоть
одно из множеств Mi бесконечно. Поэтому было бы безнадежным делом
ставить такую задачу: изучить свойства всевозможных отношений, которые
существуют на данной системе множеств. M1, М2,, ..., Мn
Возьмем конечную систему различных непустых множеств. Для простоты
ограничимся тройкой множеств Е, F, G. Обозначим через Δ1,
Δ2 . . ., Δk
некоторые отношения на системе множеств Е, F, G. Эти отношения мы не
будем фиксировать как определенные подмножества декартова произведения
Е×F×G, а лишь потребуем, чтобы они обладали заданными свойствами:
Аи А2,
.... At , которые явно формулируем.
Может случиться, что с заданными свойствами существует не одна система
отношений { Δ1, Δ2 . . ., Δk
} =σ (т. е. не одна система подмножеств Δj
включает Е×F×G (j=1, 2, ..., k)), а несколько. Вот простой пример.
Пусть Δ — алгебраическая операция на множестве R вещественных чисел
(выше отмечалось, что можно рассматривать операцию Δ как отношение Δ
включает R3), и мы требуем, чтобы это отношение обладало таким свойством А1
: Δ (a, b) — Δ(b, а), для любых а и b принадлежащих R (коммутативность).
Можно указать две коммутативные операции на множестве R (два значения
отношения Δ, обладающего свойством А1 ): Δ' —сложение и Δ" —умножение
вещественных чисел.
Обозначим через Т множество всех систем σ = { Δ1,
Δ2 . . ., Δk
}
отношений Δ1, Δ2 . . ., Δk , каждая из которых обладает заданными свойствами
(1). Если Т≠Ø то говорят, что элемент σ принадлежащий Т определяет на
множествах Е, F, G структуру рода Т (точнее, математическую структуру рода
Т).
8
Явно сформулированные свойства (1), определяющие множество Т, называются
аксиомами структур рода Т, а множества Е, F, G —базой структур рода Т. Всем
структурам одного и того же рода дают специальное название: структура
группы, структура n-мерного евклидова пространства и т. д.
Пример (структура группы).
База состоит из одного множества Е≠Ø, система отношений состоит из одного
отношения Δ, которое должно удовлетворять четырем аксиомам:
А1.Δ — алгебраическая операция на множестве Е;
А2: Δ (Δ (а, Ь), с) —Δ (а, А(Ь, с)), для любых a, b, c принадлежащих Е
(ассоциативность);
А3: Существует е принадлежащее Е : Δ(а, е) = Δ(е, а) = а, для любого a
принадлежащего Е (существование нейтрального элемента);
А4: для любого a принадлежащего Е существует а' принадлежащее Е : Δ(а, а') =
Δ(а', а)=е
(существование элемента а', симметричного элементу а).
Множеству, на котором определена структура данного рода, дают
специальное название. Так, в рассмотренном примере мы скажем: «Е —
группа», а полностью следовало бы сказать так: «на множестве Е определена
структура рода структуры группы».
Если база состоит из нескольких множеств, например из трех: Е, F, G, то
обычно одно из этих множеств, например Е, играет основную роль в
определяемых структурах. Тогда говорят, что эти структуры определены на
множестве Е, а множества F и G рассматривают как вспомогательные.
9
Так, при определении структуры «-мерного векторного пространства над
заданным полем К база состоит из двух множеств V (его элементы — векторы)
и К, причем множество К вспомогательное.
Теория структур рода Т — это множество Γ (T) предложений (теорем),
каждое из которых является логическим следствием аксиом, определяющих Т.
Так, мы имеем теорию групп, теорию колец, теорию (геометрию) аффинных
пространств, геометрию евклидовых пространств и т. д.
10
1.2. Суть аксиоматического метода. Требования,
предъявляемые к системе аксиом
Всякая аксиоматическая теория строится по следующему плану:
1. Сначала перечисляются основные неопределяемые понятия, которые
делятся на основные объекты и на основные отношения между ними.
2. Приводится список аксиом- предложений, в которых описываются
свойства основных объектов и отношений, необходимых для построения
теории. Аксиомы не требуют доказательств.
Замечание: так как свойства основных понятий описывают аксиомы, то
иногда говорят, что аксиомы не явно определяют основные понятия. Поэтому в
методике
преподавания
математики
существует
вид
определения
-
«аксиоматическое определение».
3. Все понятия, не являющиеся основными должны быть определены через
основные понятия или понятия, ранее определенные.
4. Все свойства понятий, не являющиеся аксиомами, должны быть доказаны
в виде теорем. Все последующие теоремы доказываются с помощью
аксиом и ранее уже доказанных теорем с помощью логических выводов
или логики.
Совокупность понятий и предложений, построенных на базе данной
системы аксиом, с помощью логических выводов представляет собой
аксиоматическую теорию.
Введение без определений того или иного числа основных понятий
неизбежно, так как последовательность определений, выражающих одни
понятия через другие должна иметь начало. Это обосновывает и необходимость
введения аксиом.
Используя аксиоматический метод, мы отвлекаемся от конкретной
природы изучаемых объектов и опираемся на те их свойства, которые
11
отражены в аксиомах. Однако аксиомы не условные соглашения, они имеют
опытное происхождение. Кроме того, не всякую совокупность теорем можно
назвать системой аксиом. Система аксиом должна отвечать требованиям
непротиворечивости, независимости и полноты.
Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом
1.Система аксиом называется непротиворечивой, если построенная на ее
базе теория не содержит противоречий. Существует база, на которой можно
задать рассматриваемую структуру рода Т. Чтобы доказать непротиворечивость
системы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой
системы аксиом. При построении интерпретации
нужно использовать
«достаточно надежные» понятия, относительно которых есть уверенность, что
их система внутренне непротиворечива. Только в этом случае можно
утверждать, что система аксиом А1 А2, .... At, внутренне непротиворечива, и,
значит, в теории Г (Т) не будет двух теорем, отрицающих одна другую.
Если система аксиом А1 А2, .... At противоречива (Т = Ø), то она не
определяет никакой структуры: не существует множеств Е, F, G (базы), таких,
чтобы какие-либо отношения на них обладали свойствами А1 А2, .... At .
Следовательно, такая система аксиом бесполезна.
Таким образом, система аксиом А1 А2, .... At , для которой мы собираемся
строить теорию Г(Т), должна быть непротиворечивой. Это важнейшее
требование, предъявляемое ко всякой системе аксиом.
При построении интерпретаций систем аксиом, определяющих структуры,
изучаемые в геометрии, используются различные числовые множества, считая
«наиболее надежными» понятия, взятые из арифметики вещественных чисел.
Поэтому при исследовании непротиворечивости системы аксиом А1 А2, .... At,
не прибегая к средствам математической логики,
в лучшем случае можно
12
прийти к утверждению такого вида: система аксиом А1 А2, .... At ,
непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.
2. Мы знаем, что система аксиом ∑ = (А1 А2, .... At ) представляет собой
перечень явно сформулированных требований, которым должны удовлетворять
отношения Δ1, Δ2 . . ., Δk на множествах Е, F, G базы.
Пусть система аксиом∑ непротиворечива, и, значит, можно строить теорию Г
(Т) структур рода Т. Возникает вопрос: все ли аксиомы системы ∑ необходимы
для определения данного рода структур, т. е. нельзя ли число этих аксиом
уменьшить, не меняя Т?
Пусть А — одна из аксиом системы ∑. Аксиома А называется зависимой
от остальных аксиом системы ∑, если предложение А является логическим
следствием из остальных аксиом системы ∑. В этом случае аксиома А
выполняется, как только выполняются аксиомы системы ∑′ — ∑\{А}. Ясно, что
в этом случае любая интерпретация системы ∑' является также интерпретацией
и системы ∑ (т. е. ∑′ определяет то же множество Т).
В системе∑ заменим аксиому А ее отрицанием Ā (не А) и обозначим новую
систему аксиом через ∑*, т. е. ∑* = ∑′ U {Ā}. Всякая интерпретация системы
∑* служит также интерпретацией и системы ∑′. Если аксиома А зависима от
остальных аксиом системы ∑, то она должна выполняться в интерпретации
системы ∑* , в которой выполняется и аксиома Ā. Но любое отношение Δj не
может обладать свойствами А и Ā одновременно. Следовательно, если аксиома
А зависима от остальных аксиом системы ∑, то система аксиом ∑*
противоречива (не существует ее интерпретаций).
Таким образом, чтобы доказать независимость аксиомы А принадлежащей
∑ от остальных аксиом системы ∑, достаточно доказать, что система ∑*
содержательно непротиворечива.
13
Замечание. Если аксиома А независима от остальных аксиом системы ∑,
то система ∑* непротиворечива и определяет структуры рода Т*, отличные от
структур рода Т определяемых системой ∑.
3. Пусть дана непротиворечивая система аксиом ∑, описывающая свойства
отношений Δ1, Δ2 . . ., Δk . Допустим, что существует аксиома А, которая
удовлетворяет условиям:
а) аксиома А сформулирована в терминах теории Г(∑), и, следовательно, она не
вводит новых отношений;
б) аксиома А независима от аксиом системы ∑;
в) система аксиом ∑ U {А} непротиворечива.
В этом случае система аксиом ∑ называется неполной (точнее, дедуктивно
неполной). Если же такой аксиомы А не существует, то система ∑ называется
полной (дедуктивно полной).
Пусть система аксиом ∑ неполная, и, значит, существует аксиома А,
удовлетворяющая указанным выше условиям а), б), в). По условию в) система
аксиом ∑′ = ∑U {А} непротиворечива, а так как А не зависит от аксиом системы
∑ (по условию б) ), то непротиворечива и система аксиом ∑" = ∑ U {Ā}.
Обозначим
через
М',
М"
какие-либо
интерпретации
систем
∑',
∑"
соответственно. Так как ∑ включает ∑' и ∑ включает ∑", то М' и М" являются
также интерпретациями и системы аксиом ∑.
Но в интерпретации М' выполнена аксиома А, а в М" — Ā (не А), и,
следовательно, интерпретации М' и М" (системы ∑) не изоморфны. (Если
предположить, что интерпретации М' и М" изоморфны, то мы получим, что
основные отношения Δ1,
Δ2 . . ., Δk должны обладать одновременно как
свойствами {А1 А2, .... At, А}, так и свойствами {А1, А2,…, At, Ā} , что, конечно,
невозможно). Таким образом, если система аксиом ∑ неполная, то для нее
существуют неизоморфные интерпретации.
14
Из определения полной (неполной) системы аксиом следует, что всякая
непротиворечивая система аксиом либо является полной, либо неполной.
Поэтому если все интерпретации системы аксиом изоморфны (такую систему
аксиом часто называют категоричной), то эта система заведомо полная. Но
отсюда никак не следует, что если система аксиом дедуктивно полная, то она
будет и категоричной.
Мы приходим к такому выводу: чтобы доказать, что данная система
аксиом полная, достаточно доказать, что все ее интерпретации изоморфны.
Пусть система аксиом ∑ непротиворечива и определяет структуры рода Т. Если
все эти структуры изоморфны (т. е. система аксиом ∑ категоричная), то
говорят, что теория Г {Т) однозначна. Если же не все структуры рода Т
изоморфны (т. е. система аксиом∑ некатегоричная), то говорят, что теория
Г (Т) многозначна.
Замечание. Дедуктивную полноту системы аксиом иногда определяют
иначе. Пусть система аксиом ∑ дедуктивно неполная в смысле данного выше
определения. Что можно сказать о предложении А? Из условия а), указанного в
определение знаем, что предложение А сформулировано в терминах теории
Г(Т), Из условия б) следует, что предложение А недоказуемо в теории Г(Т) (т. е.
его нельзя вывести как логическое следствие, аксиом ∑). Из
условия в) заключаем, что и предложение Ā
(не А)
недоказуемо в этой
теории.
Говорят, что предложение А опровержимо, если Ā доказуемо. Мы
приходим к такому определению: система аксиом∑ называется дедуктивно
неполной, если существует предложение Аг сформулированное в терминах
теории Г (Т), которое недоказуемо и неопровержимо в данной теории.
15
Если же для всякого предложения А, сформулированного в терминах
понятий теории Г (Т), оказывается доказуемым либо это предложение, либо
его отрицание Ā, то система аксиом ∑ является дедуктивно полной.
16
1.3 Система аксиом Гильберта
Рассмотрим систему аксиом евклидовой геометрии Гильберта, так как на
ее основе будет построена система аксиом Лобачевского.
По Гильберту, база структуры евклидова пространства состоит из трех
множеств Е, F, G. Элементы первого множества Е называются точками и
обозначаются буквами А, В, С, ...; элементы множества F — прямыми и
обозначаются буквами а, Ь, с, ...; элементы множества G — плоскостями и
обозначаются буквами α, β, γ, ... (или П, ∑, Ω, ...).
На множествах базы существуют отношения, которые обозначены
словами: „принадлежит“ (или „лежит на“), „лежит между“ и „конгруэнтны“.
Какой конкретный характер этих отношений — неважно, лишь бы эти
отношения удовлетворяли ниже перечисленным аксиомам (которые и
выражают явно сформулированные свойства этих отношений).
Список аксиом Гильберта содержит двадцать аксиом, которые разбиты на
пять групп.
I группа аксиом — аксиомы принадлежности.
Эта группа содержит следующие восемь аксиом:
I1. Для любых А, В принадлежащих Е, А≠В существует a принадлежащее F: A
принадлежит a, В принадлежит а. Такая прямая а единственная (она
обозначается также через (АВ)).
I2. Для любой a принадлежащей F (существуют A, В принадлежащие Е, А≠В): A
принадлежит a, В принадлежит а.
I3. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
Если точки А, В, С не лежат на одной
прямой, то пишут: А не принадлежит
(ВС), или В не принадлежит (АС), или С не принадлежит(АВ).
17
I4. Для любых А, В, С принадлежащих Е, А не
принадлежит(ВС),существует П
принадлежащее G : A, В, С принадлежат П. Такая
плоскость
единственная
(она обозначается также через (ABC)).
I5. Для любой П принадлежащей G
существует А принадлежащая Е : А
принадлежит П.
I6. (А, В принадлежат а, А≠В; А, В принадлежат П, С принадлежит а)=> С
принадлежит П. В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости П или
что плоскость П проходит через прямую а.
I7 .
(А принадлежит П, А принадлежит ∑ , П≠∑)=> существует
В≠А : В
принадлежит П, В принадлежит ∑.
I8. Существуют А, В, С, D принадлежащие Е : A не принадлежит (BCD).
II группа аксиом — аксиомы порядка.
Если точка В лежит между точками А и С, то запишем это так: μ(ABC).
II1. μ(АВС)=>μ(СВА) и А, В, С —три различные точки прямой.
II2. Для любых А, В принадлежащих Е, А≠В существует С принадлежащая (АВ) :
μ(АВС).
II3. Из трех различных точек прямой не более одной точки лежит между двумя
другими. Далее, используя отношение μ, можно дать обычное определение
отрезка и его внутренних точек и определение луча.
II4 (аксиома Паша). Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой, а —прямая в
плоскости (ABC), не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если
прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка [АВ], она проходит также
через внутреннюю точку отрезка [АС] или через внутреннюю точку отрезка
[ВС]. При этом можно доказать, что прямая а не может пересечь каждый из
трех отрезков [АВ], [АС], [ВС].
18
Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом I и II групп.
1. Для любых А, В принадлежащих Е, А ≠ В, существует М принадлежащая (АВ)
: μ (АМВ).
2. Из трех различных точек прямой всегда одна точка лежит между
двумя другими.
3. Любой отрезок содержит бесконечное множество точек.
4. Прямая а, лежащая в плоскости П, делит множество точек плоскости
П,
не принадлежащих а, на две части.
Далее можно ввести обычное определение полуплоскости и ее границы, определение угла и его сторон, определение многоугольника.
5. Если прямая проходит через вершину выпуклого угла и имеет непустое
пересечение с его внутренней областью, то она пересекает отрезок с концами
на двух сторонах этого угла.
Пользуясь аксиомами I и II групп, устанавливаем, что множество точек
прямой бесконечное. Однако нельзя доказать, что это множество несчетное.
III группа аксиом — аксиомы конгруэнтности.
Конгруэнтность будем обозначать знаком ≈ .
III1. Если даны отрезок [АВ] и луч [ОХ), то существует В' принадлежащая [OX)
принадлежащая [АВ]≈ [OB'] (единственность такой точки можно доказать).
III2 [А' В'] ≈[АВ] и [А" В"] ≈[АВ]=> [А' В']≈ [А" В"]
III3. (μ(ABC), μ(A'B'C′), [AB]≈[A'B′], [ВC]≈[ B'C′])=> [AС]≈[A'С′]
III4. Пусть даны выпуклый угол АОВ, луч [О'А') и полуплоскость П',
ограниченная прямой (О'А'). Тогда в полуплоскости П' существует один и
только один луч [О'В') : угол АОВ≈ А'О'В'(рис. 1).
19
Кроме того, требуется, что каждый угол
конгруэнтен самому себе; т. е. всегда угол
П’
O’
B’
B
АОВ≈ углу АОВ.
III5. Если для двух треугольников ABC и
A’
O
A
А'В'С′ имеем: [АВ]≈[А'В'],[АС]≈[А'С′],угол
BAC≈ углу B'A'C, то угол ABC ≈ углу А'В'С′.
Рис. 1.
Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны.
2. Первый, второй и третий признаки конгруэнтности треугольников (при
этом треугольник ABC называется конгруэнтным треугольнику А'В'С′, если
[АВ]≈[А'В'], [АС]≈[А'С′], [ВС] ≈[В'С′], угол A≈углу A', угол B≈углуB′,угол
C≈углуC').
3. Отношение ≈ является отношением эквивалентности, как на множестве
отрезков, так и на множестве углов.
Далее даются обычные определения понятий „больше" и „меньше" для
отрезков и устанавливаются свойства сравнения отрезков. То же для углов.
4. Теорема о внешнем угле треугольника (внешний угол треугольника больше
каждого внутреннего, с ним не смежного).
5. В каждом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
6. Любой отрезок можно разделить пополам.
IV группа аксиом — аксиомы непрерывности.
IV1 (аксиома Архимеда). Пусть [АВ] и [CD] — какие-либо отрезки. Тогда на
прямой (АВ) существует конечное множество точек А1, А2, ... Ап,
20
удовлетворяющих следующим условиям:
а) μ(A А1А2),μ( А1А2А3),…,μ(Аn-2Ап-1Ап),
б) [А А1] ≈ [А1А2] ≈ ... ≈ [Ап-1Ап] ≈ [CD]
в) μ(ABAn).
IV2 (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная
последовательность отрезков [А1В1], [А2В2], ..., удовлетворяющая двум
условиям:
а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего;
б) для любого наперед заданного отрезка [CD] найдется натуральное число п :
[AnBn]<[CD].
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из
отрезков этой последовательности.
Ясно, что такая точка М единственная.
В самом деле,
если
предположить, что точка N ≠ М также принадлежит каждому из отрезков
данной последовательности, то получим: [АпВп]≥[MN] при любом п, что
противоречит аксиоме.
Можно доказать, что аксиомы IV1 — IV2 при сохранении аксиом I—III
групп эквивалентны следующему предложению Дедекинда. Пусть дано
разбиение точек отрезка [АВ] на два класса K1, K2, т. е. K1 UK2 =[АВ], K1 ∩K2=Ø
удовлетворяющее двум условиям:
1) A принадлежит K1, В
ПРИНАДЛЕЖИТ
K2
И
классы K1,K2 содержат точки,
отличные от А и В;
2)
если X принадлежит K1 , X ≠ А и Y принадлежит K2, то имеет место
отношение μ(AXY).
21
Тогда существует М0 принадлежащая [АВ] : (μ(АХ М0) => X принадлежит
К1 и (M0YB) => Y принадлежит K2).
Разбиение отрезка [АВ] на классы K1,K2, удовлетворяющее условиям 1—2,
называют дедешндовым сечением. О точке М0 говорят, что она производит это
сечение. Можно доказать, что такая точка единственная.
V группа аксиом —аксиома параллельности.
Пусть даны прямая а и точка А не принадлежащая а. Тогда в плоскости (А,
а) существует не более одной прямой,
проходящей через точку А и не
пересекающей прямой а.
Аксиома параллельных имеет большое значение для данного курсового
исследования. Если в системе аксиом геометрической теории данная аксиома
имеет место, то геометрию называют евклидовой. Рассмотрим пример
неевклидовой геометрии- геометрию Н. И. Лобачевского.
IV1 (аксиома Архимеда). Пусть [АВ] и [CD] — какие-либо отрезки. Тогда на
прямой
(АВ)
существует
конечное
множество
точек
А1,
А2,
...
Ап,
удовлетворяющих следующим условиям:
а) μ(A А1А2),μ( А1А2А3),…,μ(Аn-2Ап-1Ап),
б) [А А1] ≈ [А1А2] ≈ ... ≈ [Ап-1Ап] ≈ [CD]
в) μ(ABAn).
IV2 (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная
последовательность отрезков [А1В1], [А2В2], ..., удовлетворяющая двум
условиям:
а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего;
22
б) для любого наперед заданного отрезка [CD] найдется натуральное число п :
[AnBn]<[CD].
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из
отрезков этой последовательности.
Ясно, что такая точка М единственная.
В самом деле,
если
предположить, что точка N ≠ М также принадлежит каждому из отрезков
данной последовательности, то получим: [АпВп]≥[MN] при любом п, что
противоречит аксиоме.
Можно доказать, что аксиомы IV1 — IV2 при сохранении аксиом I—III
групп эквивалентны следующему предложению Дедекинда. Пусть дано
разбиение точек отрезка [АВ] на два класса K1, K2, т. е. K1 UK2 =[АВ], K1 ∩K2=Ø
удовлетворяющее двум условиям:
1) A принадлежит K1, В
ПРИНАДЛЕЖИТ
K2
И
классы K1,K2 содержат точки,
отличные от А и В;
2)
если X принадлежит K1 , X ≠ А и Y принадлежит K2, то имеет место
отношение μ(AXY).
Тогда существует М0 принадлежащая [АВ] : (μ(АХ М0) => X принадлежит
К1 и (M0YB) => Y принадлежит K2).
Разбиение отрезка [АВ] на классы K1,K2, удовлетворяющее условиям 1—2,
называют дедешндовым сечением. О точке М0 говорят, что она производит это
сечение. Можно доказать, что такая точка единственная.
V группа аксиом —аксиома параллельности.
Пусть даны прямая а и точка А не принадлежащая а. Тогда в плоскости (А,
а) существует не более одной прямой,
пересекающей прямой а.
проходящей через точку А и не
23
Аксиома параллельных имеет большое значение для данного курсового
исследования. Если в системе аксиом геометрической теории данная аксиома
имеет место, то геометрию называют евклидовой. Рассмотрим пример
неевклидовой геометрии- геометрию Н. И. Лобачевского.
24
1.4.Система аксиом геометрии Н. И. Лобачевского
Евклид первым
поставил задачу обоснования геометрии, т. е.
перечисления определений и аксиом, на основе которых можно развивать
геометрию строго логическим путем и изложил в своей работе «Начала»,
состоящей из 13 книг. В этом историческая заслуга Евклида перед наукой.
Логическое построение геометрии было проведено Евклидом для его времени
чрезвычайно точно. Однако если рассматривать изложение «Начал» с точки
зрения современной математики, то надо признать его несовершенным. Прежде
всего отметим, что основы, на которых строится все здание геометрии, не
вполне
удовлетворительны.
Многие
определения
неясны
(например,
определение прямой), в ряде случаев определения включают такие понятия,
которые сами должны быть определены, например, «длина», «ширина»,
граница и т. д.
Что касается постулатов и аксиом, то содержащиеся в них утверждения
существенны и составляют основу при доказательстве геометрических
предложений. Однако список аксиом и постулатов является недостаточным,
чтобы на его основе можно было построить геометрию строго логическим
путем.
Некоторые недостатки «Начал» Евклида были замечены учеными
древности. Так, Архимед добавил аксиому, играющую существенную роль в
теории измерения длин, площадей и объемов. И после Архимеда делались
попытки уточнить основные положения геометрии, однако на протяжении
многих веков никто не добавил чего-либо существенно нового по сравнению с
тем, что было сделано Евклидом. Интересно отметить, что очень немногие
ставили перед собой задачу пополнения списка евклидовых постулатов.
Основная задача, по мнению ученых, заключалась в том, чтобы свести систему
постулатов и аксиом Евклида к минимуму.
25
В этой связи особое место занимают исследования, связанные с пятым
постулатом Евклида. Этот постулат играет существенную роль в евклидовой
геометрии. На нем основана теория параллельных прямых и все связанные с
ней разделы геометрии — подобие фигур, теоремы о сумме углов треугольника
и выпуклых многоугольников, тригонометрия, теория площадей и объемов и т.
д.
V постулат: «Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении
с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы,
сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с
которой эта сумма меньше двух прямых».
До начала XIX столетия ни одна из попыток доказательства V постулата не
увенчалась успехом. Таким образом, проблема V постулата оставалась
неразрешимой/ И только в начале XIX в. были получены результаты, которые
привели к решению этой проблемы. Основная заслуга в этом принадлежит
знаменитому русскому ученому Н. И. Лобачевскому.
Н. И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих
попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V
постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы
это доказать, Н. И. Лобачевский построил логическую систему, в которой,
сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его
противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема
представляет собой новую геометрию, которая может быть развита так же
успешно, как и геометрия Евклида.
Н. И. Лобачевский развивает свою геометрию на плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова геометрия,
включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию он назвал
«воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевского
или гиперболической геометрией).
26
Открывая все новые и новые факты, Н. И. Лобачевский не встретил в своей
геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования, проделанные
им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических
противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведет к
противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает
проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для
того времени.
Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложена
в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не
поддавались вычислению.
Аксиоматическая теория, построенная на I, II, III, IV
группах аксиом
системы аксиом Гильберта и аксиоме V*- отрицание V(аксиомы параллельных)
называется геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией.
V*: Существует такая прямая а и точка А не принадлежащая а, что через А
проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в
одной плоскости.
Основные понятия: точка, прямая, плоскость.
Отношения: принадлежность, «лежать между», конгруэнтности.
Их свойства описывают 5 групп аксиом:
I – аксиомы принадлежности системы аксиом Гильберта.
II – аксиомы порядка системы аксиом Гильберта.
III – аксиомы конгруэнтности системы аксиом Гильберта.
IV – аксиомы непрерывности системы аксиом Гильберта.
V – аксиома V*, которую называют аксиомой параллельных Лобачевского.
27
2.Треугольники на плоскости Н. И. Лобачевского
2.1 Сумма углов треугольника
Исследуем, прежде всего, связь постулатов Евклида и Лобачевского с
вопросом о сумме углов треугольника, покажем, что постулат Евклида
равносилен предложению, что сумма углов треугольника равна двум прямым
углам, а постулат Лобачевского - что эта сумма меньше двух прямых углов.
Прежде всего исключим предположение, что сумма углов треугольника может
быть больше двух прямых углов.
Теорема
1 . Сумма углов треугольника не может быть больше двух
прямых углов.
Доказательство: (от противного)
Предположим, что сумма углов треугольника АВС (рис. 2) равна 2d+φ.
B
B
Пусть угол ВАС=α- наименьший угол
этого треугольника (в частном случае,
D
если АВС - равносторонний или равнобедренный треугольник, основание ко-
A
Рис. 2
торого больше боковой стороны, то
α- один из его равных углов). Проводим медиану АD противоположной стороны и откладываем отрезок DВ1, равный этой медиане. Из равенства треугольников АВD и В1DС выводим, что угол DВ1С = углу DАВ, таким образом,
в треугольнике АВ1С (назовем его первым выводным треугольником). Сумма
трех углов равна также 2d+φ, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы исходного треугольника равна α, а наименьший угол
≤ α ∕ 2. Из первого выводного треугольника получаем аналогичным постро-
28
ением второй выводной: берем наименьший угол, проводим медиану противоположной стороны, и т. д. В полученном таким образом втором выводном образом втором выводном треугольнике сумма трех углов равна по прежнему
2d+φ, сумма углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы первого выводного треугольника ≤ α ∕ 2, а наименьший угол α ∕ 22. Продолжая
процесс далее, получим ряд выводных треугольников; в n- ом треугольнике
сумма углов равна 2d+φ, а сумма углов с вершинами в концах удвоенной
медианы (n- 1)- го выводного треугольника ≤ α ∕ 2n-1. Если взять n достаточно
большим, то α ∕ 2n-1 можно сделать меньше φ, т. е. третий угол этого треугольника будет меньше 2d, мы получаем противоречие.
Теорема 2: Если в каком-нибудь треугольнике сумма углов равна 2d, то
это имеет место во всяком другом треугольнике.
Доказательство:
Для удобства обозначим сумму углов треугольника АВС через SАВС. Пусть
в треугольнике АВС(рис. 3) сумма углов равна 2d; тогда два угла острые, и нетрудно показать, что высота BD, опу –
B
щенная из выршины B, пройдет внутри этого треугольника, т.е., что BC=
=SABD +SDBC- 2d и принимая во
A
Рис. 3
D
C
внимание предыдущую теорему, что
SABC=SABD=2d.
Покажем теперь, что в каждом прямоугольном треугольнике сумма углов
равна 2d. для этого возьмем треугольник АВD и дополним его до прямоугольника, пристроив к нему равный ему треугольник АЕВ с прямым углом в вершине Е и катетами АЕ=BD и ЕВ=АD.(рис.4) В этом прямоугольнике
AEBD
29
M
Y
сумма углов равна 4d. Откладывая сторону AD n раз вдоль прямой AX, а сторону
AE n раз вдоль прямой AY и приклады-
E
ваяя затем один к другому прямоуголь-
B
A
K ники, равные AEBD, построим прямо X
D Рис. 4
угольник ALMK, составленный из n2 прямоугольников, равных AEBD. В прямоугольнике ALMK сумма углов также равна 4d. Диагональ AM разбивает этот прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых сумма углов равна 2d (на основании теоремы
1). Принимая n достаточно большим, получим прямоугольный треугольник
АМК, у которого катеты будут больше катетов некоторого заданного прямоугольного треугольника PQR (рис. 5). Откладывая отрезки QT=KM, QS = AK,
получим треугольник STQ, равный треугольнику AMK и вмещающий в себе заT
данный треугольник PQR. Отрезок PT разбивает треугольник STQ на два треугольR ника, и так как
SSQT=SSPT+SPTQ-2d, то
SSPT+SPTQ=4d, откуда (на основании
S
P
Рис. 5
Q той же теоремы) SSPT=SPTQ=2d.
Применяя то же рассуждение к тре-
угольнику PTQ отрезку PR, устанавливаем, что SPQR=3d.
Итак, в каждом прямоугольном треугольнике сумма углов равна 2d. Но мы
видели выше, что каждый треугольник может быть разбит на два
прямоугольных. Учитывая соотношение SАВС= SАВD+SDВС- 2d, получаем, что
в любом треугольнике сумма углов равна 2d.
30
Возможны только два случая: или во всех треугольниках сумма равна 2d,
или же во всех она меньше 2d.
Возможны только два случая: или во всех треугольниках сумма равна 2d,
или же во всех она меньше 2d.
Теорема 3: Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место
постулат Евклида, если же она меньше 2d, то справедлив постулат
Лобачевского.
Доказательство: Покажем, что если сумма углов треугольника равна 2d, то
через точку Р (рис. 6), не лежащую на прямой АА', можно провести прямую,
B
P
B'
образующую с прямой BB'(AA' и
α
BB' перпендикулярны к PQ) сколь
угодно малый угол и пересекаR
A
Q
Q
Q
ющую AA'. Для этого построим отРис. 6
Q
A'
резок QQ1=PQ; тогда угол B'PQ1=
=d/2. Откладываем отрезок Q1Q2= РQ1; угол В'РQ2 =d ∕ 22. Затем продолжаем
этот процесс: строим отрезки Q2Q3= РQ2, Q3Q4= РQ3, …, Qn-1Qn= РQn-1 . Получаем лучи РQ3, РQ4 ,…, РQn , образующие с лучом РВ' углы d ∕ 23, d ∕ 24,…,d ∕ 2n .
При увеличении n мы можем, таким образом, получить угол, меньший
любого заданного.
Теперь докажем постулат Евклида. Пусть некоторый луч PR образует с РВ'
угол α. Выбирая n достаточно большим (так, чтобы d ∕ 2n <α), мы получим
треугольник PQQn., причем луч PR проходит внутри угла QPQn, т. е. пересекает
сторону QQn.
Рассмотрим теперь предположение, что сумма углов треугольника меньше
2d. Покажем, что имеются прямые, отличные от ВВ' проходящие через точку Р
и не пересекающие АА'.
31
Соединим некоторую точку М, лежащую на АА', с Р (рис. 7) и проведем луч PR
так, чтобы угол MPR был равен углу PMQ. Из предположения о сумме углов
B
P
B'
треугольника вытекает, что угол MPB' > угла
PMQ, т. е. луч PR пройдет внутри угла МРВ';
этот луч не пересекает АА', так как в против-
A
Q
M
A'
ном случае получился бы треугольник, у которого внешний угол QMP равен внутрен-
Рис. 7
нему (MPR), с ним не смежному.
Таким
образом,
первая
половина
теоремы
доказана,
а
из
нее
непосредственно вытекает обратное предложение.
Теорема 4: Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же
для всех треугольников.
Доказательство: Предположим противное, что эта сумма постоянна. Пусть А',
С'- внутренние точки сторон АВ и ВС треугольника АВС (рис. 8). По пред-
A'
α'
β
B
φ
A
положению SА'ВС'= S АВС т. е. α'+β+γ'= α+
α
+β+γ=>α'+γ' α+γ, (α'+φ= 2d, γ'+ψ=2d)=>
ψ
γ'
C'
Рис. 8
=>(α'+γ')=( φ+ψ)=4d. Из всех этих раγ
C
венеств следует α+γ+φ+ψ=4d, т. е. в простом четырехугольнике АА1С1С сумма
внутренних углов равна 4d, чего быть не может. Следовательно S А'ВС'≠ S АВС.
32
2.2 Дефект треугольника и площадь треугольника и многоугольника
Учитывая, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника
меньше 2d, введем понятие о дефекте треугольника, который равен разности
между 2d и суммой углов этого треугольника: DАВС =2d- SАВС.
Нетрудно видеть, что если отрезок BD разделяет треугольник ABC па
треугольники ABD и DBC, то DАВС =DАВD+DDВС.
Два простых многоугольника называются равносоставленными, или
равновеликими по разложению, если их можно разложить на конечное число
конгруэнтных треугольников. Иначе, равносоставленные простые первого
многоугольника составить второй многоугольник, и обратно. Отношение
равносоставленности обладает теми же свойствами, что и в евклидовой
геометрии.
В частности, два простых многоугольника, равносоставлетых с третьим,
равносоставлены между собой.
Теорема 5: Два треугольника, имеющие равные дефекты и по равной
стороне, равновелики.
Доказательство: Пусть треугольники ABC и А'В'С' (рис. 9) имеют равные стоC
φ
E
φ
C' роны АВ и А'В' и одинаковые
дефекты σ =π – (А+В+С), σ' =
ψ
P
Q F
G
E'
ψ
P'
F
'
Q' =π- (А' + В' + С'), σ = σ'. Для
G'
каждого треугольника выполA
B A'
Рис. 9
B'
ним следующие построения.
Середины Р и Q сторон АС и СВ треугольника ABC соединим прямой и из точек А и В опустим перпендикуляры АЕ и BF на эту прямую. Из точки С также
опустим перпендикуляр СG на эту прямую. Такое же построение выполним для
треугольника А'В'С'. Прямоугольные треугольники РGС и АЕР равны, так как
33
имеют равные гипотенузы и равные острые углы при Р как вертикальные. Аналогично заключаем о равенстве треугольников CGQ и QFB. Отсюда легко
понять, что четырёхугольник AEFB равновелик треугольнику ABC. Точно так
же четырёхугольник A'E'F'B' равновелик треугольнику А'В'С'. Но четырёхугольники EFBA и E'F'B'A' - четырёхугольники Саккери, так как ЕА=СG — FB,
А'Е = С'G' = B'F и углы Е, F, Е и F — прямые. Сумма углов А и В при ,,верхнем" основании АВ первого четырёхугольника равна сумме углов треугольника
ABC; это следует из того, что угол С построением разбит на два угла φ и ψ и
каждый из них прибавлен к углам А и В. Точно так же видим, что четырёхугольник E'F'B'A' имеет сумму углов при „верхнем" основании, равную сумме
углов треугольника А'В'С'. Но так как по условию дефекты треугольников равны, а следовательно, равны и суммы их углов, то отсюда заключаем, что четырёхугольники EFBA и E'F'B'A' — конгруэнтны, как имеющие равные „верхние”
основания АВ—А'В' и равные углы при верхних основаниях, ибо на долю каждого угла падает полусумма углов треугольника. Следовательно, треугольники
ABC и А'В'С' равновелики.
Замечание: Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником
(рис 10), если два угла, прилежащие к одной стороне прямые. Эта сторона
называется «нижним» основанием, противоположная сторона-«верхним»
основанием, две другие - боковыми сторонами.
C
B
Четырехугольник Саккери-двупрямоугольник с равными боковыми
сторонами (рис 11). Для него спра-
A
Рис. 10
D
ведливо утверждение: Четырех-
34
B
угольники Саккери с равными верх-
C
ними основаниями и равными соответвенно острыми углами при них
Рис. 11
A
D
конгруэнтны.
Треугольник допускает два направления обхода, или две ориентации.
Обход
против
часовой
стрелки
считаем
прямым. Если не оговорено
противное, треугольники задаются
вместе с прямой ориентацией.
Выбор ориентации одной
из сторон
треугольника вполне определяет его ориентацию. Так же, как и в евклидовой
планиметрии имеет место:
Теорема 6: Если соединить произвольную точку О с тремя вершинами
данного
треугольника,
то
разность
между
суммой
«чисел S» всех
полученных треугольников с вершиной О с прямой ориентацией и суммой
«чисел S» таких треугольников с обратной ориентацией равна „числу S"
данного треугольника.
Доказательство: Не останавливаясь на всевозможных случаях рас полоC
γ1
α1
A
жения точки О относительно треугольника
γ2
ABC, рассмотрим некоторые из них:
α2
Рис.12
а) Точка О лежит на одной из сторон
B
треугольника (рис. 12). Имеем, при впол-
не понятных обозначениях: SАВС= k2 (π –А – В– С); SАОС=k2 (π– α1– γ1); SОВС=
= k2 (π – В– α2– γ2), откуда: SАОС+ SОВС= k2 (2π –А – В– (α1+α2) – (γ1+γ2))= k2 (π–
–А – В– С)= SАВС.
35
b) Точка О лежит на продолжении одной из
C
γ
сторон треугольника.(рис. 13) SОСА= k2 (π –
–А – (С+γ) – β); SОВС= k2 (π – α – β – γ).
α
B
A
β
O
Рис. 13
SОСА – SОВС= k2 (–А – В–β – γ + α +β+γ)=
=k2(–А– С+α)= k2 (–А– С+ (π– В)=SАВС.
с) Точка О лежит внутри треугольника (рис. 14) SОСА + SОВС+ SОАВ= k2 (π– α2–
– γ1 –μ3)+ k2 (π – β2– γ2 –μ2)+ k2 (π – α1– β1–
C
γ1
γ2
–μ1)=k2 (3π– (α1+α2) – (β1+β2) – (γ1+γ2) –
μ3 μ2
α2
α1
O
μ1
β1
A
β2
– (μ1+μ2+ μ3))= k2 (π –А – В– С)= SАВС. ДокаB
Рис. 14
зательство остальных случаев аналогично.
36
2.3 Предельные случаи треугольников
Остановимся теперь на некоторых следствиях, вытекающих из формулы S= k2
[π – (А + В+ С)]. Ясно, что чем меньше сумма А + В+ С углов треугольника,
тем больше его площадь. Наоборот, чем меньше треугольник по своим разкмерам, т. е. чем меньше его площадь, тем ближе сумма его углов к π.
Рассмотрим такой предельный случай
B
треугольника. Взяв треугольник ABC
b
α'
C
(рис. 15) и оставив неподвижными вер-
α
A
A'
a
Рис. 15
шины В и С, будем вершину А перемещать вдоль основания неограниченно,
например, вправо. Тогда, как известно, угол α= углу А будет стремиться к нулю, а сторона ВА займёт предельное положение b, причём b параллельна а, и
треугольник ABC в пределе превратится в полосу между параллельными а и b,
ограниченную прямой ВС.
Естественно считать ограниченную полосу «треугольником» с одним
углом, равным 0, и такому треугольнику приписать площадь S= k2 [π – ( В+ С)].
B
В качестве примера найдём площадь
π(р)
p
b
a
C
треугольника, у которого один угол равен нулю и один прямой, тогда третий
угол будет равен П(р) (рис. 16), где р —
Рис. 16
длина стороны ВС. Площадь такого «треугольника»: S= k2 [π – (П(р)+ π/2)] или
S= k2 [π/2– П(р)].
В качестве второго примера рассмотрим
условное изображение
которого
имеем
«треугольник с нулевыми углами»,
на
(рис. 17). Все три угла этого
треугольника равны нулю. Сумма его углов А + В+ С равна нулю.
37
Следовательно, этому треугольнику можно
приписать площадь: S= k2π. Ни один треугольник не может иметь площадь, большую или
равную площади k2π нулевого «треугольника».
«Треугольник» с нулевыми углами имеет самую
Рис. 17
большую площадь.
малую сумму углов и, следовательно, самую
Отметим, наконец, что
окружность,
вписанная в
"треугольник" с нулевыми углами, будет наименьшей из всех тех, около
которых нельзя описать треугольник.
Сопоставляя
это предложение с известными фактами евклидовой
геометрии, видим, что предложение о том,
что около всякой
можно описать треугольник, эквивалентно постулату Евклида.
окружности
38
2.4 Конгруэнтность и подобие треугольников
Теорема 7: Если три угла треугольника АВС соответственно конгруэнтны
трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники конгруэнтны.
Доказательство: Пусть в треугольниках АВС и А'В'С' имеем: угол A ≈ углу A',
угол B≈углу B', угол C ≈углу С'. Предположим, что [АВ] не ≈ [А'В']и пусть для
определенности [АВ] > [А'В']. Тогда существует точка В" принадлежащая [АВ]:
[А В"]≈ [А'В']. возьмем точку С" принадлежащую[АС] : [А С"]≈ [А'С'] (рис. 18).
B
Имеем треугольник АВ"С"≈ треугольнику
B'
А'В'С'. Поэтому угол 1≈ углу В, угол 2≈
В" 1
2 C"
4
3
С'
A'
C
A
Рис. 18
≈ углу С.Докажем, что [ВС]∩[В"С"]=Ø.
Предположим
противное
[ВС]∩[В"С"]=М.
тогда возникают две возможности:
1) М=С
2) μ(ВМС)
Рассмотрим их:
A
1) Если М=С(рис. 19), то С"=С и тогда
В"
угол
2
B
Рис. 19
C
2<
угла
С,
что
противоречит
условию: угол 1≈ углу В, угол 2≈ углу С.
2)
Если предположить μ(ВМС)(рис. 20),
то в треугольнике МСС' угол 2 ≈ углу С, что противоречит теореме о внешнем
угле треугольника.
Значит, [ВС]∩[В"С"]=Ø. Отсюда следует μ(АС"С). Имеем:
угол 1 + угол 2 =2d, угол 3 + угол 4 =2d, отсюда следует угол 3 + угол В =2d,
угол 4 + угол С =2d.
Значит, в выпуклом четырехугольнике ВВ"С"С сумма внутренних углов
39
равна 4d, чего быть не может. Таким образом,
A
предложение [АВ] не ≈ [А'В'] приводит к протииВ"
воречию. Значит [АВ] ≈ [А'В'] и треугольник
2 C
B
АВС конгруэнтен треугольнику А'В'С'. Сущест-
M
вование подобных фигур возможно только в
Рис. 20
С'
том случае, если справедлив постулат Евклида.
Докажем следующую теорему.
Теорема 8: Если существуют два подобных треугольника, то справедлив
постулат Евклида.
Доказательство: Пусть у треугольников ABC и А'В'С' углы попарно равны: угол
A = углу A', угол B = углу B', угол C = углу С', но сторона АВ> А'В'. На стороне
АВ отложим отрезок А1В=А'В' и проведем прямую А1В под углом ВА1М =углу
A (рис. 21). Так как А1М не может
B
A
A
M
C
C A
Рис. 21
B
пересекать прямую АС, то она переC
сечет отрезок ВС в некоторой
точке С1. Так как треугольник А1ВС1
равен треугольнику А'В'С', то в четырехугольнике АА1С1С сумма углов равна
4d . Разделяя его диагональю на два треугольника, получим, что в каждом из
них сумма углов равна 2 d , т. е. справедлив постулат Евклида.
Таким образом, можно сделать вывод, что на плоскости Н. И. Лобачевского не
существует подобных треугольников.
40
Заключение
При выполнении данной работы была изучена и проанализирована
математическая литература для уточнения сущности понятий «математическая
структура», «аксиоматический метод», а также требований, предъявляемых к
системе аксиом: непротиворечивости, зависимости и полноты.
Кроме того, была изучена система аксиом евклидовой геометрии по
Гильберту, состоящая из пяти групп аксиом, т. к. система аксиом Н. И.
Лобачевского строится на этой системе,
и описана непосредственно сама
система аксиом Н. И. Лобачевского, т. е. описаны ее основные понятия,
отношения и их свойства.
Был рассмотрен треугольник как объект геометрии Н. И. Лобачевского, его
площадь, дефект, предельные случаи, сделаны выводы о сумме углов
треугольника.
В итоге решен набор задач по теме исследования.
Таким образом, можно сделать вывод, что цель курсовой работы
достигнута.
Геометрию Н. И. Лобачевского (ее основную часть) можно изучать в
школе, только в качестве специального курса или в классах с углубленным
изучением математики.
Возможно, геометрия Лобачевского будет применена на педагогической
практике в школе в качестве разработанного элективного курса и внеклассных
занятий по математике.
41
Список литературы
1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учереждений
/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, и др.- 7-е изд. -М.:
«Просвещение», 1997.- ЗЗ5 с.
2.
Приложение
Задача 1
Доказать, что на плоскости Лобачевского угол, вписанный в окружность и
опирающийся на диаметр меньше π/2.
B
Доказательство: Предположим, что угол В= π/2.
C
2
[ОВ]= [ОС] =[ОА]=R. Угол 1 равен углу А (при
1
O
основании равнобедренного треугольника); угол
2 равен углу С (при основании равнобедренного
A
треугольника)=> угол В= угол 1 + угол 2 = угол А
= угол С (по предположению). Сумма углов треугольника АВС равна сумме
углов А, В, С, и равна 2d, что противоречит условию теоремы о сумме углов
треугольника в системе Лобачевского. Отсюда следует, что предположение
угол В= π/2 не верно => В < π/2.
Задача 2
Доказать, что сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d.
B
A
Доказательство: Пусть АВСD-четырехугольник,
C
АС- диагональ. Сумма углов А, В, С, D равна
сумме углов треугольников АВС и АDС. Сумма
D
42
углов треугольников АВС и АDС меньше 2d+
+2d=4d.
Задача3
Доказать, что в прямоугольном треугольнике вершина хотя бы одного из
его острых углов меньше π/4.
Доказательство: В треугольнике АВС угол А равен π/2. Предположим, что
угол В ≥ π/4 и угол С ≥ π/4. Тогда сумма углов А, В, С ≥ 2d, что противоречит
теореме о сумме углов.
Задача 4
Пусть (АA') и (ВВ')- две различные прямые. Прямая (АВ) называется
прямой равного наклона этих прямых, если угол ВАA' равен углу АВВ', точки А'
и В' лежат по одну и ту же сторону от прямой (АВ).
Доказать, что:
Любые две прямые равного наклона на пересекающихся прямых
1)
(АA') и (ВВ') отсекают равные отрезки.
Через каждую точку одной из двух данных непересекающихся
2)
прямых (АA') и (ВВ') проходит одна и только одна прямая равного
наклона.
Доказательство:
1) Утверждение очевидно. Оно следует из свойств
A'
B'
1
равнобедренного треугольника.
2) Воспользуемся методом от противного. Пусть
C
1
A
через точку А проходят две прямые равного наклоB
АВ и АС. Найдем сумму углов треугольника АВС:
угол А + угол С + угол В = угол А + 2d-угол 1 + угол А + угол 1 = 2 угла А +
+2d> > 2d,что противоречит теореме о сумме углов треугольника на плоскости
43
Н. И. Лобачевского. следовательно предположение о том, что через точку А
проходит две прямые равного наклона неверно. Такая прямая одна.