Практические занятия по математике тики ОГПУ Черемисина М. И.

Практические занятия по математике
Преподаватель: к.п.н., доцент кафедры алгебры и истории математики ОГПУ Черемисина М. И.
Занятие № 1 (2ч.)
Тема: Элементы математической логики. Высказывания
Цель: обеспечить научно-теоретическую подготовку слушателей в области математической логики, необходимой им для качественного осуществления образовательного процесса в современных условиях.
Задачи:
- сформировать у слушателей научно-теоретическую базу в области математической логики для дальнейшего самообразования в предметной области.
- повысить уровень профессиональной компетенции на основе повышения уровня их предметной математической компетенции.
Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно
истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.
Примеры высказываний: «О < 1», «2 • 3 = 6», «5 есть четное число», «1
есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний «истина», истинностное значение последних двух - «ложь».
Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются
тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как
целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет
интересовать.
1
Логические операции над высказываниями.
Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно
получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение
сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний,
составляющих сложное высказывание.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через А и читается «не А» или «неверно, что А». Операция отрицания
полностью определяется истинностной таблицей
А
А
И Л
Л И
Пример. Высказывание «неверно, что 5 — четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А  В. По определению, высказывание А  В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А  В. Запись «А  В» читается как «А
и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид
А В
А В
И И
И
И Л
Л
Л И
Л
Л Л
Л
Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно,
как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется
высказывание, обозначаемое А  В, истинное в том и только в том случае,
когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно. Соответственно этому
высказывание А  В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба
ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым
членами дизъюнкции А  В. Читается запись А  В как «А или В». Союз
«или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А  В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:
А В
А В
И И
И
И Л
И
Л И
И
Л Л
Л
Пример. Высказывание «3<8 или 5<2» являющееся дизъюнкцией двух
высказывании, одно из которых истинно, имеет значение И.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Высказывание, обозначаемое А  В, ложное только в
том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А  В читается как «если А, то В» , или «А влечет В», или «из А следует В». Истинностная таблица
для импликации такова:
А В
АВ
И И
И
И Л
Л
Л И
И
Л Л
И
3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Высказывание, обозначаемое через А  В, истинное в
том и только в том случае, когда А и В имеют одно и то же истинностное
значение, называется эквиваленцией. Высказывание А  В читается как «А
тогда и только тогда, когда В», или «А эквивалентно В», или «А необходимо
и достаточно для В». Истинностная таблица для эквиваленции имеет вид
А В
АВ
И И
И
И Л
Л
Л И
Л
Л Л
И
Пример. Высказывание «2>5 тогда и только тогда, когда 3+0=4» истинно, как эквиваленция двух ложных высказываний.
Формулы логики высказываний.
Основной задачей логики высказываний является изучение логических
форм сложных высказываний с помощью логических операций. Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью вводимого
ниже понятия формулы логики высказываний.
Для построения формул логики высказываний кроме символов
p, q, r,..., p1 , q1 , r1 ,... - будем называть их элементарными формулами или атома-
ми, используются знаки логических операций
,  , ,  ,  ,
а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения
формул, - левая и правая скобки: ( , ).
Понятие формулы логики высказываний определим следующим образом:
1) элементарные формулы (атомы) суть формулы логики высказываний;
4
2) если А и В - формулы, то А ,  А  В  ,  А  В  ,  А  В  ,  А  В  тоже являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для
которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы содержит перечисление правил образования
формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо
есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2). Например, выражения
р, (q ) ,
r  s   t  ,  p  ( p)  ( p  q)
являются формулами логики высказываний.
Обозначать произвольные формулы логики высказываний будем большими буквами латинского алфавита
А, В, С,...
При этом не исключено, что одна и та же формула может быть обозначена
различными буквами.
Заметим, что никакой атом не имеет вида
А ,  А  В,  А  В,  А  В,  А  В , Такой вид имеют сложные формулы.
Число скобок в формулах можно уменьшить, введя соглашения: 1) в
сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок. 2) упорядочим знаки логических операций по «старшинству»: , , ,  , . В этом списке знак
 имеет самую большую область действия, а знак
- самую маленькую.
Под областью действия знака операции понимаются те части формулы, к которым «применяется» (на которые «действует») рассматриваемое вхождение
этого знака. Договоримся опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая «порядок старшинства». При восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака
(при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем
вхождениям знака  и т. д.
5
Пример. В формуле В  С  D  А скобки восстанавливаются следующими шагами:
В  С   D  А
В  С   D  А
В  С   D  А
В  С   D  А
Не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в формулах А  ( В  С ) , А  В  дальнейшее исключение скобок невозможно.
Задание № 1. Даны следующие элементарные высказывания:
А  {Число 3 является делителем числа 171},
В  {Коля Петров - отличник},
С  {Число 2 больше числа 3},
D  {Идет дождь},
и пусть А и В истинны, а С и D ложны.
Применяя к данным элементарным высказываниям операции отрицания,
дизъюнкции, эквиваленции и импликации, можно получить 34 сложных высказывания. Сколько среди них истинных?
Задание № 2. По мишени произведено три выстрела.
Пусть Аk  {Мишень поражена при k-м выстреле}, {k=1, 2, 3}.
Что означают следующие высказывания:
а) А1  А2  А3
б) А1  А2  А3
в) ( А1  А2  А3 )  ( А1  А2  А3 )  ( А1  А2  А3 )
г) ( А1  А2 )  ( А1  А2  А3 )  ( А1  А2  А3 ) ?
Задание № 3. Составить таблицу истинности для высказывания
(А  В)  ( А  С )
6
Занятие № 2 (2ч.)
Тема: Законы логики.
Цель: обеспечить научно-теоретическую подготовку слушателей в области математической логики, необходимой им для качественного осуществления образовательного процесса в современных условиях.
Задачи:
- сформировать у слушателей научно-теоретическую базу в области математической логики для дальнейшего самообразования в предметной области.
- повысить уровень профессиональной компетенции на основе повышения уровня их предметной математической компетенции.
Существуют формулы, которые принимают значение И независимо от
того, какие значения принимают входящие в них атомы. Например,
А  А , А  А ,  А  В  В  А, А  В  А .
Такие формулы играют особую роль в логике.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула логики высказываний, которая принимает
значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой, тавтологией или
законом логики.
Существуют формулы, которые принимают значение «ложь» независимо
от того, какие значения принимают входящие в них атомы. Например,
А  А , А  А   А  А  .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула логики высказываний, принимающая значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу
атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием.
Легко убедиться, что если А - противоречие, то А будет тавтологией, и
наоборот.
7
Существуют формулы, которые принимают как значение И, так и значение Л в зависимости от того, какие значения принимают входящие в них
атомы. Например,
А  А , АВ , А В В С .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формулы А и В называются равносильными (логически эквивалентными), если при любом выборе истинностных значений атомов, входящих в А и В, формулы А и В принимают одинаковые истинностные значения.
Запись А  В означает, что формулы А и В равносильны.
Логические эквивалентности:
А А
А А  А
А А А
А В В А
А В  В А
А  ( В  С )  ( А  В)  С
А  ( В  С )  ( А  В)  С
А  ( В  С )  ( А  В)  ( А  С )
А  ( В  С )  ( А  В)  ( А  С )
А А
 А  В  В  А
 А  В   В  А
А  В   А  В
А  В   А  В
 А  В   А  В 
А  В  С   В   А  С 
АВ  А В
А  В  ( А  В)  ( В  А)
8
Пример 1. Доказать равносильность
( А  В)  ( В  С )  ( А  В)  ( А  С )  ( В  С ) .
Используя законы де Моргана, можем записать
( А  В)  ( В  С )  ( А  В)  ( В  С )  ( А  В)  ( В  С ) .
Согласно закону двойного отрицания, получаем
( А  В)  ( В  С ) ;
теперь, используя первый дистрибутивный закон, преобразуем полученное выражение далее
(( А  В)  В)  (( А  В)  С )  (( А  В)  ( В  В))  (( А  С )  ( В  С ))
Ассоциативность дизъюнкции позволяет опустить две пары скобок
( А  В)  ( В  В)  ( А  С )  ( В  С )
Учитывая законы: А  А  L и А  L  A , окончательно получаем
( А  В)  ( А  С )  ( В  С ) .
Пример 2. Упростить высказывание
( А  В  В)  ( А  А)  ( В  С  С )
Так как
А В В А L L
A AL
В С С  B  L  L ,
то предложенное высказывание равносильно высказыванию L  L  L  L ,
т.е. является тождественно-ложным.
Пример 3. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии
в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле.
На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»;
Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это
был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно что, желая
запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет. Какого цвета автомобиль и какой марки?
9
Решим задачу алгебраически. Рассмотрим высказывания:
А  {Машина синего цвета},
В  {Машина марки «Бьюик»},
С  {Машина черного цвета},
D  {Машина марки «Крайслер»},
E  {Машина марки «Форд Мустанг»},
Так как либо цвет машины, либо марка каждым из соучастников преступления названы верно, то
А В  I,
CDI ,
А E  I .
Отсюда следует, что
 А  В  C  D  А  E   I  I  I  I .
В левой части конъюнкцию трех дизъюнкций можно, используя первый дистрибутивный закон, заменить дизъюнкцией восьми конъюнкций
( А  С  А)  ( А  С  Е )  ( A  D  A) 
 ( A  D  E )  ( B  C  A)  ( B  C  E ) 
 ( B  D  A)  ( B  D  E )  I
Это преобразование аналогично преобразованию в обычной алгебре чисел:
(a  b)(c  d )( f  e)  acf  ace  adf  ade  bcf  bce  bdf  bde .
Но
AC  AC  L L,
AC  E  L  E  L,
A D  A L  D  L,
A D E  A L L,
B C  E  L С  L,
B  D  A L  A L,
10
B D E  L E  L,
и, следовательно,
B  C  A  I , т.е.
преступники скрылись на черном «Бьюике».
Задание № 1.Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них
совершил преступление.
На следствии каждый из них сделал два заявления.
Браун. Я не делал этого.
Смит сделал это
Джонс. Смит не виновен.
Браун сделал это
Смит. Я не делал этого
Джонс не делал этого.
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – дважды сказал
правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?
Задание №2. Упростить:
а)  А  В  ( В  С)  ( А  С)
б) ( А  В)  (( В  С )  ( А  С ))
Задание № 3. Равносильны ли формулы:
а) ( А  ( А  В))  ( А  В) и А  В
б) А  ( В  С ) и ( А  В)  С
Задание № 4. Найти Х если ( Х  А)  ( Х  А)  В
11
Занятие № 3 (2ч.)
Тема: Предикаты.
Цель: обеспечить научно-теоретическую подготовку слушателей в области математической логики, необходимой им для качественного осуществления образовательного процесса в современных условиях.
Задачи:
- сформировать у слушателей научно-теоретическую базу в области математической логики для дальнейшего самообразования в предметной области.
- повысить уровень профессиональной компетенции на основе повышения уровня их предметной математической компетенции.
Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. Например,
средствами логики высказываний нельзя установить правильность такого
рассуждения: «Всякое целое число является рациональным числом; 25 - целое число, следовательно, 25 - рациональное число». Это объясняется тем,
что в логике высказываний простые высказывания, из которых с помощью
логических операций строятся сложные, рассматриваются как нерасчленяемые. Они не подвергаются анализу структуры в смысле связей объектов и их
свойств. Поэтому возникает необходимость в построении такой логической
системы, средствами которой можно исследовать строение тех высказываний, которые в логике высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой логической системой является логика предикатов, содержащая как
часть логику высказываний.
Рассмотрим предложение
(1) х+у=3
содержащее натуральные переменные х и у. Это предложение не является
высказыванием, так как о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Оно
12
называется предикатом или условием (на х и у). Приведем другие примеры
предложений с переменными:
(2) х есть простое число;
(3) х есть четное число;
(4) х меньше у,
(5) х есть общий делитель у, z.
Будем считать, что допустимыми значениями переменных х, у и z являются натуральные числа. Если в предложениях (1) - (5) заменить переменные
их допустимыми значениями, то получатся высказывания, которые могут
быть как истинными, так и ложными. Например,
0+1=3;
2 есть простое число;
3 есть четное число;
5 меньше 7;
3 есть общий делитель 6 и 12.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предложения с переменными, дающие высказывания в
результате замены переменных их допустимыми значениями, называются
предикатами.
Предложения (1) - (5) могут служить примерами предикатов.
По числу входящих переменных различают предикаты одноместные,
двухместные, трехместные и т. д. Предикаты (2) и (3) - одноместные, предикаты (1) и (4) - двухместные, предикат (5) - трехместный. Высказывания будем считать нульместными предикатами.
Заменяя в одноместном предикате (2) переменную натуральными числами, будем получать высказывания:
0 есть простое число;
1 есть простое число;
2 есть простое число;
3 есть простое число и т. д.
13
Некоторые из них являются истинными. Таким образом, данный одноместный предикат выделяет среди натуральных чисел те, при подстановке которых вместо переменной получается истинное высказывание, и его можно
рассматривать как условие на значения переменной, входящей в предикат. В
данном случае числа, удовлетворяющие этому условию, - простые.
Предикаты можно задавать различными способами. В алгебре часто рассматривают предикаты, заданные с помощью уравнений, неравенств, а также
систем уравнений или неравенств. Например, неравенство х  х 1  0 задает
одноместный предикат, уравнение x 2  y  0 двухместный, а система уравнений x  y  0 , x  y  z  0 трехместный (Х, у, z - рациональные переменные).
Обозначать предикаты будем большими буквами латинского алфавита
(возможно, с нижними индексами) с указанием в скобках всех переменных,
входящих в этот предикат. Например, А (х, у) - обозначение двухместного
предиката, R (х, у, z) - трехместного и Q( x1 ,..., x n ) - обозначение n-местного
предиката.
В дальнейшем мы будем говорить об истинностном значении произвольного предиката на том или ином наборе входящих в него переменных,
понимая под этим истинностное значение высказывания, которое получается
в результате замены переменных соответствующими им значениями из рассматриваемого набора.
Высказывание, которое получается при подстановке в предикат
R( x1 ,..., x n ) набора допустимых значений (a1 ,..., a n ) вместо его переменных,
будем обозначать R(а1 ,..., а n ) . Если это высказывание истинное (ложное), говорят, что набор значений (a1 ,..., a n ) удовлетворяет (не удовлетворяет) предикату R( x1 ,..., x n ) .
Отметим, что следует различать предикаты, выражающие одно и то же
условие, но имеющие переменные с различными допустимыми значениями.
Например, предикат, заданный уравнением 2х - 3 = 0, где х - целочисленная
14
переменная, следует отличать от предиката, заданного тем же уравнением,
если при этом х рассматривается как рациональная переменная. Первый предикат не принимает значений И ни при каких допустимых значениях х, а
второй принимает значение И при допустимом значении переменной х  3 2 .
Таким образом, при задании предиката нужно указывать область допустимых
значений переменных этого предиката.
Операции над предикатами.
Предикаты, как и высказывания, принимают значения И и Л, поэтому
над ними можно производить логические операции, аналогичные операциям
логики высказываний.
Начнем с простого частного случая - одноместных предикатов, у которых области допустимых значений переменных совпадают. Образуем из двух
предикатов Р(х) и Q(у) новый предикат Р( х)  Q( у ) . Это предикат от двух переменных х и у, и истинностное значение его на любом наборе (а, b) допустимых значений переменных определяется как истинностное значение высказывания Р(a)  Р(b) . Аналогично определяются предикаты
Р( х)  Q( y ) , P (x) , Р( х)  Q( y ) , Р( х)  Q( y ) .
Следует различать предикаты: двухместный Р( х)  Q( y ) и одноместный
Р ( х)  Q( х) ; в первый допустимые значения подставляют вместо переменных
х и у независимо друг от друга, а во второй - вместо единственной переменной х.
Над многоместными предикатами аналогично определяются операции:
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция. Рассмотрим, например, случай двухместных предикатов. Пусть Р ( х, у ) , Q ( y, z ) - два
предиката, у которых совпадают области допустимых значений переменных.
Тогда Р ( х, у )  Q ( y, z ) есть трехместный предикат от х, у, z, истинностное значение которого на любом наборе (а, b, с) допустимых значений переменных
определяется как значение высказывания Р(a, b)  Q(b, c) . Заметим, что при
15
рассмотрении операций над предикатами нужно следить, какие переменные
обозначены различными буквами, а какие - одинаковыми.
Рассмотрим еще несколько примеров:
1) A( x)  B( x, y) - предикат от переменных х и у,
2) A ( y)  D( z, x) - предикат от переменных х, у, z;
3) E ( x, y, z )  F ( z ) - предикат от переменных х, у, z.
Предикат A( x)  B( x, y) принимает значение И на наборе значений (а, b),
если хотя бы одно из высказываний А(а) и В(а, b) будет истинно, и принимает значение Л, если оба эти высказывания ложны. Аналогично можно установить истинностные значения остальных предикатов на том или ином наборе значений переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предикат А( х1 ,..., х n ) называется тождественно истинным, если для любого набора допустимых значений входящих в него переменных его истинностным значением является И.
Примером тождественно истинного предиката может служить трехместный предикат, заданный неравенством ( x  y) 2  z 2  0 , где х, у, z - рациональные переменные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предикаты А( х1 ,..., хm ) и B( y1 ,..., y n ) называются равносильными (логически эквивалентными), если предикат А( х1 ,..., хm )  B( y1 ,..., y n ) является тождественно истинным. Запись А( х1 ,..., хm )  B( y1 ,..., y n ) означает, что
предикаты А( х1 ,..., хm ) и B( y1 ,..., y n ) равносильны.
Нетрудно доказать, что предикаты А( х1 ,..., хm ) и B( х1 ,..., х n ) равносильны
тогда и только тогда, когда их истинностные значения совпадают на любом
наборе допустимых значений переменных х1 ,..., х n . Примером равносильных
предикатов могут служить предикаты, заданные уравнениями x 3  y 3  0 и
2( x  y)( x 2  xy  y 2 )  0 , где х, у - рациональные переменные.
16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предикат А( х1 ,..., х n ) называется тождественно ложным, если его истинностным значением является Л для любого набора допустимых значений входящих в него переменных.
Например, тождественно ложным является предикат х+1=х, где х — целочисленная переменная.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предикат А( х1 ,..., х n ) называется выполнимым, если
существует хотя бы один набор допустимых значений входящих в него переменных, на котором его истинностным значением является И.
Например, выполнимыми являются предикаты «х - простое число», «х делится на у», « х 2  5 х  6  0 », где х - целочисленная переменная.
Любой предикат либо тождественно истинен, либо выполним, либо тождественно ложен.
Задание № 1. Изобразите схематически множества истинности предикатов А(х) и В(х) и покажите штриховкой множества истинности следующих
предикатов:
а) А( х)  В ( х)
в) А( х)  В( х)
б) А( х)  В( х)
г) А( х)  В( х)
Задание № 2. Контрольную работу, содержащую одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии, писали 105 учащихся. Задачу по алгебре решили 70 человек, по геометрии – 59, по тригонометрии – 62.
90 учащихся решили задачи по алгебре или геометрии, 89 – по геометрии или тригонометрии. По алгебре или тригонометрии задачи были решены
91 учащимся, а 6 школьников не решили ни одной задачи.
Сколько учащихся решили все три задачи?
Задание № 3. Записать на языке логики предикатов высказывание:
«Всякое число, кратное 6, делится на 3».
Записать на языке логики предикатов высказывание: «Некоторые четные
числа простые».
17
Занятие № 4 (2ч.)
Тема: Кванторы.
Цель: обеспечить научно-теоретическую подготовку слушателей в области математической логики, необходимой им для качественного осуществления образовательного процесса в современных условиях.
Задачи:
- сформировать у слушателей научно-теоретическую базу в области математической логики для дальнейшего самообразования в предметной области.
- повысить уровень профессиональной компетенции на основе повышения уровня их предметной математической компетенции.
Рассмотрим новые операции, которые применяются к предикатам или
высказываниям и дают в результате их применения предикаты или высказывания. Эти операции выражают утверждения общности или существования.
Квантор общности.
Пусть А(х) - предикат от одной переменной х. Под выражением хА(х) будем
подразумевать высказывание, истинное, если А(х) принимает значение И для
всех допустимых значений переменной х, т. е. если предикат А(х) тождественно истинен, и ложное в противном случае. Высказывание хА(х) уже не
зависит от х. Символ х , приписываемый слева к предикату А(х), называется
квантором общности по переменной х. Если же А есть высказывание, то хА
есть высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А истинно.
Рассмотрим теперь предикат от нескольких переменных, например предикат А (х, у, z) от трех переменных. Этот предикат при произвольной замене
всех переменных, кроме х, их значениями b и с представляет собой предикат,
зависящий только от х, а выражение
хА( х, b, c)
18
есть высказывание. Предикат хА( х, y, z ) становится высказыванием в результате задания значений всех входящих в него переменных, кроме х, значит, от
х не зависит. Таким образом, хА( х, y, z ) зависит от всех переменных, входящих в А(х, у, z), кроме х, т. е. это двухместный предикат от у и z. Этот предикат на данном наборе значений переменных b, с принимает значение И тогда
и только тогда, когда предикат А( х, b, c) , зависящий только от одной переменной х, является тождественно истинным. Символ х можно читать так: «для
всякого х» или «для всех х», а запись хА( х, y, z ) читается так: «для всякого х
имеет место А( х, y, z ) » или, короче, «для каждого хА( х, y, z ) ».
Переменная х, от которой предикат хА( х, y, z ) не зависит, называется
связанной переменной (в отличие от переменных у, z, которые являются свободными).
Квантор существования.
Для квантора существования употребляется символ х , приписываемый
слева к предикату или высказыванию. Пусть А(х) — предикат от одной переменной х. Под выражением хА(х) будем подразумевать высказывание, истинное, если А(х) принимает значение И хотя бы для одного из допустимых
значений переменной х, т. е. предикат А(х) является выполнимым, и ложное в
противном случае. Если же А - высказывание, то хА есть высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А истинно.
Пусть теперь А( х, y, z ) есть трехместный предикат. Если в этом предикате
заменить все переменные, кроме х, их значениями, например значениями b, с,
то получится предикат А( х, b, c) , зависящий только от одной переменной х, а
выражение
хА( х, b, c)
будет высказыванием. Значит, выражение хА( х, y, z ) есть предикат, становящийся высказыванием в результате задания значений всех переменных, кроме х, и, значит, от х не зависит. Таким образом, выражение хА( х, y, z ) есть
19
предикат, зависящий только от у и z, значит, применение квантора к трехместному предикату привело к двухместному предикату. Переменная х, от
которой предикат хА( х, y, z ) не зависит, называется связанной переменной.
Предикат хА( х, y, z ) принимает значение И на данном наборе b, с допустимых значений тогда и только тогда, когда одноместный предикат А( х, b, c)
выполним.
Символ х называется квантором существования по переменной х и читается так: «существует х такое, что». Выражение хА( х, y, z ) читается так:
«хотя бы при одном х имеет место А( х, y, z ) или «существует такое х, что
А( х, y, z ) ».
Совершенно аналогично применяются кванторы к любому предикату с
большим числом переменных. В результате применения квантора к nместному предикату (при n>0) получается (n-1)-местный предикат.
К одному и тому же предикату можно применять кванторы несколько
раз. Например, применив к предикату А( х, y ) квантор существования по x, мы
получим одноместный предикат хА( х, y ) , к которому опять можем применить квантор существования или квантор общности по переменной у. В результате получим высказывание
у (хА( х, y )) или у (хА( х, y )) .
Скобки обычно опускают, получая при этом выражения
ухА( х, y ) или ухА( х, y ) .
Отметим, что одинаковые кванторы можно переставлять, получая при
этом эквивалентные высказывания, т. е. истинные эквиваленции:
хуА( х, y )  ухА( х, y ) ;
хуА( х, y )  ухА( х, y ) .
В самом деле, высказывания хуА( х, y) и ухА( х, y) оба истинны тогда и
только тогда, когда предикат А( х, y ) тождественно истинен. Высказывания
хуА( х, y ) и ухА( х, y ) оба истинны тогда и только тогда, когда А( х, y ) - вы-
20
полнимый предикат. Однако если к предикату применять последовательно
разные кванторы, то порядок их следования существен. Например, высказывания ухА( х, y ) и хуА( х, y ) , вообще говоря, не эквивалентны, т.е. могут
иметь разные истинностные значения.
Применение к предикату одного или нескольких кванторов (общности,
существования) называется квантификацией.
Рассмотрим применение кванторов на примере. Пусть х+у>0 – двухместный предикат, где х и у -целочисленные переменные. Этот предикат выражает положительность суммы двух целых чисел и представляет собой некоторое высказывание всякий раз, когда переменным х и у придаются конкретные значения. Если к этому предикату применить квантор существования по переменной у, то получится одноместный предикат
у ( х  y  0)
Когда переменной х этого предиката придается какое-либо значение, то получается высказывание. Предикат у( х  y  0) истинен для тех значений переменной х, для которых существует целое число у, дающее в сумме с х положительное число. Легко убедиться, что этот предикат тождественно истинен, поэтому если применить к нему квантор общности по переменной х, то
получится истинное высказывание
ху ( х  y  0)
утверждающее, что для всякого целого числа х существует некоторое целое
число у такое, что их сумма положительна. Это высказывание надо отличать
от высказывания
ух( х  y  0)
утверждающего, что существует целое число, сумма которого со всяким целым числом положительна. Это последнее высказывание ложно.
21
Запись высказываний на языке логики предикатов.
Рассмотрим четыре основных типа высказываний, часто встречающихся
в математике, В символической записи этих высказываний (записи на языке
логики предикатов) используются кванторы.
Пусть А(х) - обозначение предиката «х - нечетное число», а В(х) - обозначение предиката «х - простое число», где х - целочисленная переменная.
1. Высказывание «Всякое нечетное число является простым числом»
можно переформулировать следующим образом: «Для всякого х, если х - нечетное, то х - простое число». Теперь ясно, что это высказывание на языке
предикатов запишется так:
х( А( х)  В( х)) .
2. Высказывание «Никакое нечетное число не является простым числом», или «Для всякого х, если х - нечетное, то х не является простым», в
символической форме запишется так:
х( А( х)  В( х)) .
Заметим, что истинностное значение высказывания в наших рассуждениях не
играет роли.
3. Следующий тип высказывания: «Некоторые нечетные числа - простые». Суть его в том, что существует такое х, которое одновременно является и нечетным числом, и простым. Поэтому высказывание третьего типа на
языке логики предикатов запишется в виде
х( А( х)  В( х)) .
Эта последняя запись не эквивалентна записи
х( А( х)  В ( х)) ,
которая выражает совсем не тот смысл, что исходное высказывание.
4. К четвертому типу относится высказывание «Некоторые нечетные
числа не являются простыми». Это высказывание записывается так:
х( А( х)  В( х)) .
22
Рассмотренные примеры показывают, как любое высказывание, относящееся к одному из четырех основных типов, можно записать в символической форме.
Иногда для высказывания «Существует положительное х такое, что А(х)»
вместо символической записи
х( х  0  A( х))
будет употребляться более короткая запись х  0 A( x) . Аналогично, для высказывания «Для всякого положительного х имеет место А(х)» вместо записи
х( х  0  A( х))
будет употребляться запись (х  0) A( х)
Рассмотрим ряд равносильностей, играющих большую роль в логике
предикатов. Равносильность (законы логики)
(1) (хА( х))  х( A( х))
соответствует обычному пониманию смысла кванторов. Высказывания «Неверно, что всякий объект х удовлетворяет условию А(х)» и «Существует объект х, не удовлетворяющий условию А(х)» имеют одинаковый смысл, что и
отражает равносильность (1).
Равносильность
(2) (хА( х))  х( A( х))
соответствует тому, что высказывание «Неверно, что существует объект х
удовлетворяющий условию А(х)» обычно понимают в том же смысле, что и
высказывание «Ни один объект х не удовлетворяет условию А(х)».
Применяя отрицание к обеим частям (1) и (2) и учитывая закон двойного
отрицания, получаем еще две равносильности:
(3) хА( х)  (х A( х))
(4) хА( х)  (х A( х))
23
они показывают, что квантор существования можно выразить через квантор
общности и наоборот.
Следующие две равносильности выражают свойства дистрибутивности
квантора общности относительно конъюнкции и квантора существования относительно дизъюнкции:
(5) хА( х)  хВ( х)  х( А( х)  В( х))
(6) хА( х)  хВ( х)  х( А( х)  В( х))
С истинностью этих равносильностей находятся в соответствии следующие
содержательные рассуждения. Левая часть (5) принимает значение И в том и
только в том случае, когда или А(х), или В(х) принимает значение И хотя бы
для одного допустимого значения х, т. е. когда по крайней мере один из предикатов А(х) и В(х) выполним. Но как раз в этом и только в этом случае будет
выполним предикат А( х)  В( х) , т. е. будет истинным высказывание
х( А( х)  В( х)) . Аналогичные рассуждения можно провести относительно рав-
носильности (6).
Квантор существования не дистрибутивен относительно конъюнкции, т.
е. формулы х( А( х)  В( х)) и хА( х)  хВ( х) не равносильны. Нетрудно подобрать пример двух выполнимых предикатов, конъюнкция которых невыполнима. Для таких предикатов первая формула принимает значение Л, а вторая
- И. Также не равносильны формулы х( А( х)  В( х)) и хА( х)  хВ( х) , т. е.
квантор общности не дистрибутивен относительно дизъюнкции.
Задание № 1. Пусть Е – множество всех европейцев e и пусть
A(e)  {Европеец является гражданином Швейцарии},
B (e)  {Европеец владеет немецким языком},
C (e)  {Европеец владеет французским языком},
D (e)  {Европеец владеет итальянским} –
четыре предиката, заданные на этом множестве.
Что означает высказывание
24
(e) A(e)  B(e)  C (e)  D(e) ?
Задание № 2. Верны ли утверждения:
а) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;
б) Сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна
свободному члену;
в) Существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна свободному члену?
Задание № 3. Дано неравенство kx  l 2  0 . При каких значениях k истинны следующие высказывания:
A1 (k )  {При любом l неравенство имеет хотя бы одно решение},
A2 (k )  {Существует l , при котором неравенство верно для всех x },
A3 (k )  {При любом l неравенство верно для всех x },
A4 (k )  {Существует l , при котором неравенство имеет хотя бы одно ре-
шение}?
Задание № 4. Для теоремы сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной. Укажите, какие из этих теорем верны.
Т: «Если квадратное уравнение не
Т: «Если функция дифференцируема
имеет двух различных действитель-
в точке, то она непрерывна в ней»
ных корней, то дискриминант этого
квадратного уравнения неположителен»
Задание № 5. Какие из следующих шести теорем являются по отношению друг к другу обратными, противоположными, противоположными обратным? Какие из этих теорем верны?
Т. 1. Если каждое из двух натуральных чисел делится нацело на 7, то их
сумма делится на 7.
25
Т. 2. Если ни одно из двух чисел не делится на 7, то и их сумма не делится на 7.
Т. 3. Если хотя бы одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.
Т. 4. Если сумма двух чисел делится на 7, то каждое слагаемое делится
на 7.
Т. 5. Если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из слагаемых не
делится на 7.
Т. 6. Если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя бы одно из слагаемых не делится на 7.
Задание № 6 Для теоремы сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной. Укажите какие из
этих теорем верны. Запишите на языке логики предикатов.
Т. « Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны»
Задание № 7 В предложении замените многоточие словами « необходимо и достаточно», « необходимо, но не достаточно»,
«достаточно, но не обходимо» так, чтобы получилось
верное утверждение.
«Для того, чтобы функция y = ax² + bx + c при всех целых х принимала целые значения, …, чтобы 2а, а + в, с были целыми числами»
Задание № 8 В предложении заменить многоточие словами « тогда»,
«только тогда», « тогда и только тогда» так, чтобы
получилось верное утверждение:
« Неравенство а² + в² ≥ 1 / 20 справедливо …, когда справедливо равенство 2а + 4в = 1».
26
Задание № 9 Следующие утверждения либо доказать, либо опровергнуть:
а) Точка является серединой некоторого отрезка, концы которого принадлежат разным сторонам данного угла, тогда и только тогда, когда она
расположена на биссектрисе данного угла»
б) Точка является серединой некоторого отрезка, концы которого принадлежат разным сторонам данного угла, тогда и только тогда, когда она
расположена внутри данного угла.
в) Для делимости числа n² -1 ( n ≥ 5) на 24 достаточно, чтобы n было
простым числом.
г) Для делимости числа n² -1 ( n ≥ 5) на 24 необходимо и достаточно,
чтобы n было простым числом.
Задание № 10. Ученики 10 В класса хвастались тем, что они выше ростом учеников 10 А. На вопрос учителя математики:
«Что, собственно, означает, что вы выше ростом?»
Ученики 10В дали следующие ответы:
1) Любой из нас выше любого из них;
2) Самый высокий из нас выше самого высокого из них;
3) Для любого ученика нашего класса найдется ученик класса 10А
меньшего роста
4) Каждый ученик класса 10А ниже хотя бы одного ученика нашего
класса;
5) Средний рост учеников нашего класса больше среднего роста учеников класса 10А.
Есть ли среди этих ответов эквивалентные? Если есть, то какие?
27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике.
Минск, 1965.
2. Кутасов А.Д. Элементы математической логики. М., Просвещение, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., Высшая школа, 1979.
4. Стол Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., Просвещение,
1968.
5. Столяр А.А. Логическое введение в математику. Минск, 1971.
28