Делимость

делимость
Найти наибольший общий делитель всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3,
4, 5, 6 (без повторений).
(?)
Ответ. 3.
Решение.
Каждое из этих чисел делится на 3. С другой стороны, если d - наибольший общий
делитель этих чисел, то разность 123465  123456  9 делится на d . Однако d  9 ,
поскольку сумма цифр 21 не делится на 9, т.е. d  3 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На каждом километре между селами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной
стороне которого написано, сколько километров до Ёлкино, на другой – до Палкино.
Гуляя по этой дороге, Леня для каждой таблички подсчитал наибольший общий делитель
пары написанных на ней чисел. Все делители оказались равны либо1, либо 3, либо 5.
Сколько километров от Ёлкино до Палкино?(ПермьТЮМ)
Ответ.15 км.
Решение.
Рассмотрим какую-нибудь табличку. Пусть на одной стороне написано k км, тогда на
другой будет написано ( S  k ) км, где S - расстояние между селами. Если
НОД k , S  k =3, то S  k  S  k  делится на 3. Аналогично получаем, что S делится на
5, т.е. расстояние от Ёлкино до Палкино равно 15k км. Если k  2 , то найдется столб с
табличкой, на сторонах которой написаны числа 15 и 15k  1 , НОД которых равен 15,
что противоречит условию. Нетрудно убедиться, что число 15 удовлетворяет условиям
задачи.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Может ли произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел быть равным
2004?
Ответ: нет.
Решение.
Если чисел четыре или больше, то их произведение делится на 8, а 2004 на 8 не делится.
Значит чисел не больше трех. Рассмотрим два случая.
1. Если чисел три, то среди них должно быть ровно одно четное число, кратное четырем,
но не кратное восьми ( если среди чисел имеется два четных числа, то их произведение
делится на 8, а если четное число одно и оно не кратно четырем, то и произведение всех
чисел не делится на 4). Тогда искомые числа имеют вид: 4k-1, 4k, 4k+1, где k – некоторое
нечетное число. Возможны случаи: k=1, k=3, k=167, k=501. Рассматривая каждый случай,
убеждаемся, что ни один из них не подходит.
2. Если чисел два, то по условию имеем: n × (n+1) = 2004. Однако, это уравнение не имеет
решения в натуральных числах.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Натуральное число делится на 11, но не делится на 121. Докажите, что сумма всех его
натуральных делителей делится на 3.
(?)
Доказательство.
Все делители этого числа можно разбить на пары: a ( a не делится на 11) и 11a .Тогда,
что делится на 3. Значит, сумма всех пар, т.е. сумма всех делителей, делится на 3.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найти остаток от деления 100
...
00 на 99
...
99 .


20
(?)
Ответ. 1.
Решение.
10
делимость
100
...

0
20
999
...
9

100
...
...

0  100

0
10
10
10
999
...
9
10
 100
...

0  1 
10


100
...

0

1 
10
 100
...
...
...

0  999...9  100

0  1  999...9   100

0  999...9 

10
10
10

 

10
10
10


100
...

0
10
1
999
...
9
10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Докажите, что в любом шестидесятизначном числе, десятичная запись которого не
содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что получившееся в результате
число будет делиться на 1001.
(?)
Доказательство.
Число, состоящее из 6 одинаковых цифр, делится на 1001 ( аааааа 1001  ааа ), а в
шестидесяти (и да же в 54) цифрах есть, по крайней мере, 6 одинаковых.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В 2003 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в
подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом
свечек, сколько лет исполнилось имениннику. Могло ли так случится, что всего было
послано 2004 свечки?(СПБО)
Ответ. Такого быть не могло.
Решение. Каждый президент получил 14 тортов с одним и тем же числом свечек (равным
его новому возрасту). Поэтому общее число свечек, полученных каждым президентом,
делится на 14. Значит, и количество свечек во всех подарках делится на 14. Поскольку
2004 на 14 не делится, то свечек не может быть ровно 2004.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Окружением натурального числа N назовем все натуральные числа, не превосходящие N
такие, что любая цифра числа из окружения является делителем N. Сколько чисел в
окружении числа 2004?
Ответ. 280.
Решение.
Поскольку 2004 = 22 × 3 × 167, то искомые числа могут состоять только из цифр 1, 2, 3, 4
и 6. Однозначных чисел получается 5, двузначных чисел – 52 = 25, трехзначных чисел – 53
= 125 и четырехзначных чисел – 1 × 53 = 125. Всего – 280 чисел.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить наибольшее возможное число, делящееся на 9? (Московская олимпиада)
Ответ. Две последние тройки.
Решение.
Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6. Из
двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две
тройки. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят
большие цифры. Поэтому нужно стереть две последние тройки. Получаем число:
3213212121.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Верно ли, что число 1+2+3+…+999+1000 делится на 143?(?)
Ответ. Да.
Решение.
1  2  3  ...  999  1000  1  1000  2  999  ...  499  502  500  501 
.
 1001 500  143  7  500
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
делимость
В темнице царя Дадона томилось 100 узников. Все они сидели в 100 камерах, дверь
каждой из которых один поворот ключа открывал, второй закрывал, третий снова
открывал и т.д. Однажды царь решил выпустить узников на свободу и послал гонца
повернуть ключ в каждой камере. Не успел гонец вернуться, царь послал второго, чтобы
он повернул ключ в каждой второй камере, за ним третьего – повернуть ключ в каждой
третьей камере и т.д. до сотого гонца, повернувшего ключ в сотой камере. После этого все
узники, двери камер которых оказались открытыми, получили свободу. Сколько же их
было?(ПермьТЮМ)
Ответ. 10 узников.
Решение.
Свободу получат узники из тех камер, ключ в двери которых повернули нечетное число
раз. Это означает, что номер камеры имеет нечетное число делителей. Докажем, что тогда
номер камеры является точным квадратом.
a
Пусть k - некоторый делитель числа a . Тогда число
также является делителем числа
k
a
различны, то все делители числа a
a . Если для каждого такого k числа k и
k
a
разбиваются на пары и их четное число. Если для некоторого k выполняется k  , то
k
a  k 2 и a является точным квадратом и имеет нечетное число делителей (т.к. кроме k
все другие делители по-прежнему разбиваются на пары).
Следовательно, свободу получат те узники, номера камер которых являются точными
квадратами. Это номера 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Трехзначное число abc делится на 37. Докажите, что сумма чисел bca и cab также
делится на 37.(Московская олимпиада)
Доказательство.
abc  bca  cab  111  a  b  c  37 (т.к. 111  37). По условию число abc делится на 37,
поэтому и сумма bca  cab  111  a  b  c   abc делится на 37.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Два натуральных числа таковы, что сумма цифр куба одного числа равна кубу суммы
цифр второго числа. Докажите, что разность этих чисел делится на три.
Доказательство.
Куб числа имеет такой же остаток от деления на три, что и само число, кроме того, такой
же остаток от деления на три, что и само число, имеет сумма его цифр. Поэтому оба числа
имеют одинаковые остатки при делении на три, следовательно, их разность делится на
три.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все натуральные числа, кратные 2003 и имеющие ровно 2003 различных
натуральных делителя.
(?)
Ответ. 2003 2002
Решение.
2002
Все числа, имеющие 2003 делителя, имеют вид p
, где p - простое число. А так как
искомое число кратна 2003, то p  2003 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли записать натуральные числа от 1 до 16 в строку так, чтобы сумма любых
четырех подряд идущих чисел делилась на 3?(Московская олимпиада)
Ответ. Нельзя.
делимость
Решение.
Разобьем записанные числа на четверки: первое – четвертое, пятое – восьмое, девятое –
двенадцатое, тринадцатое – шестнадцатое. Если бы числа можно было бы записать так,
как требуется в условии, то сумма чисел в каждой четверке делилась бы на три и,
следовательно, сумма всех чисел делилась бы на три. Но сумма 1+2+3+…+16=136 – не
делится на 3.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Конструктор «Ёлки-палки» состоит из палочек длиной 5 и 6 сантиметров, причем есть
палочки и той, и другой длины. Суммарная длина палочек составляет 6 метров. Докажите,
что из этих палочек можно составить правильный десятиугольник.
(?)
Доказательство.
Пусть имеется П палочек длины 5 и Ш палочек длины 6. Тогда 5П  6Ш  600 , а,
значит, П делится на 6, а Ш делится на 5. Таким образом, разбив 5-сантиметровые
палочки на шестерки, а 6-сантиметровые палочки на пятерки, получим набор палочек
длины 30см. Из этих палочек легко составить правильный десятиугольник (как именно).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек.
Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Найдите все
варианты кодов, открывающих сейф.(Московская олимпиада)
Ответ. Такой код один – 2222232.
Решение.
Т.к. двоек больше, чем троек, двоек может быть 4, 5, 6 или 7. В первом случае сумма цифр
– 17, во втором – 16, в третьем – 15, а в последнем – 14. По признаку делимости на три
число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит,
годится только третий вариант.
Т.е. в коде 6 двоек и 1 тройка. По признаку делимости на 4 число, образованное
последними двумя цифрами, должно делиться на 4. Это 32.