Квантование невариационных теорий

Квантование невариационных теорий
Этот год является юбилейным – ровно 250 лет назад во II томе «Туринских записок»
вслед за трактатом о вариационном исчислении была помещена статья Лагранжа
«Приложение метода, изложенного в предыдущем трактате, для решения различных
задач динамики». В этой небольшой заметке Лагранжем был сформулирован принцип
наименьшего действия, согласно которому движение любой механической системы
происходит так, что некоторая величина – действие – принимает наименьшее
возможное значение. Рассмотрим, к примеру, материальную частицу массы m ,
движущуюся из точки A в точку B под действием некоторой потенциальной силы F .
В каждый момент времени частица обладает определенной кинетической энергией T и
потенциальной энергией U . Согласно Лагранжу действие S для материальной частицы
– это просто среднее значение разности T  U , вычисленное вдоль траектории  (см.
рис. 1).
Удивительный факт, установленный Лагранжем с помощью
созданного им вариационного исчисления, состоял в том, что B
минимум
достигается в точности на траектории,
S
удовлетворяющей уравнению Ньютона ma  F . Это открытие
привело к перестройке всего здания классической механики.
Именно
на
основе
принципа
наименьшего
действия
формулируются многие фундаментальные физические теории –
начиная от небесной механики и теории упругости и заканчивая
A
электродинамикой и общей теорией относительности.

1
2

tA
tB
Еще большее значение действие S имеет в квантовой теории. В
Рис. 1
отличие от законов классической физики предсказания квантовой
механики носят вероятностный характер. Например, бессмысленно спрашивать, по
какой траектории будет двигаться частица, чтобы попасть из точки A в точку B , но
можно спросить о вероятности того, что, находясь в начальный момент времени в
точке A , частица, спустя время t B  t A , будет обнаружена в точке B .
Оказывается, что эта вероятность P может быть вычислена по следующей формуле:
(1)
P  |  |2 ,
где

e
i
S

сум м а по всем
траекториям
.
Здесь  – постоянная Планка, i   1 – мнимая единица, а S  – значение действия
для траектории  . Суммирование ведется по всем возможным траекториям  ,
ведущим из точки A в точку B , как на рис. 1. Математический анализ выражения (1)
показывает, что для макроскопических частиц (т.е. частиц большой массы) основной
вклад в бесконечную сумму по траекториям вносит лишь одно слагаемое, а именно –
слагаемое, отвечающее минимуму S , т.е. классической траектории. В то же время для
микрочастиц примерно одинаковый вклад вносят как классическая траектория, так и
все близкие к ней траектории. С этой точки зрения квантовая частица движется не по
одной, а как бы по всем траекториям одновременно, и вероятность перехода из A в B
определяется результатом интерференции вкладов от всех траекторий. Формула (1)
была предложена в 1948 году замечательным американским физиком-теоретиком
Ричардом Фейнманом.
С момента выхода в свет двух упомянутых работ Лагранжа вариационные принципы
проникли буквально во все разделы физической науки, однако их господство не
является абсолютным. В теоретической физике исследуется большое число интересных
моделей, в основе которых лежат уравнения движения, не вытекающие из принципа
наименьшего действия. Последнее обстоятельство порождает непростой вопрос о
существовании последовательного квантового описания для таких моделей.
Действительно, как, например, определить вероятность перехода (1), не имея S ?
Изучение этого и связанных с ним вопросов и является основной темой исследований
нашей научной группы на протяжении ряда последних лет. Оказалось, что принцип
наименьшего действия Лагранжа является частным случаем более общей концепции, в
основе которой лежит новый математический объект. Отдавая дань уважения великому
математику, мы назвали этот объект лагранжевой структурой. К сожалению, формат
данной заметки не позволяет привести точного определения. Поэтому ограничимся
лишь общей идеей, лежащей в основе лагранжевой структуры. Как отмечалось выше,
основной вклад в вероятность перехода P дает классическая траектория. Все остальные
траектории, входящие в сумму (1), могут рассматриваться как отклонения от
классической (физики называют их виртуальными). Ясно, что сдвигая каждую точку
классической траектории в некотором направлении (но так, чтобы близкие точки
переходили в близкие), можно получить любую виртуальную траекторию из
классической. В фейнмановской формулировке квантовой механики все траектории, а
следовательно, и отклонения являются возможными и равноправными. Однако, можно
рассмотреть ситуацию, когда сдвиги производятся не по всем, а только по некоторым
направлениям, а величина сдвига зависит от точки пространства, через которую
проходит классическая траектория. Так вот, вся информация о допустимых
отклонениях от классической траектории и кодируется лагранжевой структурой.
Вместе с классическими уравнениями движения лагранжева структура позволяет
вычислять вероятности переходов P , а, следовательно, строить полноценную
квантовую теорию.
Последующее изучение лагранжевой структуры показало, что она может быть
использована не только в задаче о квантовании, но также при исследовании некоторых
вопросов классической динамики. Например, одним из центральных положений
классической механики является утверждение о сохранении полной энергии замкнутой
механической системы. Последняя, как известно, дается суммой кинетической и
потенциальной энергий T  U . Другими хорошо известными примерами
сохраняющихся величин являются импульс и момент импульса системы. Оказывается,
что существование в природе упомянутых законов сохранения есть отражение
некоторых фундаментальных свойств симметрии пространства и времени. Так, закон
сохранения энергии является прямым следствием однородности времени (т.е.
независимости физических законов от выбора начала отсчета времени). Однородность
пустого пространства приводит к сохранению импульса, а его изотропность (т.е.
равноправность всех направлений) является причиной сохранения момента импульса.
Общее утверждение о связи симметрий с законами сохранения составляет содержание
знаменитой теоремы Нётер (1918 г.). Следует отметить, что как в формулировке, так и
в доказательстве теоремы Нётер существенно используется предположение о том, что
уравнения движения системы вытекают из принципа наименьшего действия. Поэтому
эта теорема не может быть непосредственно применена к невариационным уравнениям.
В наших работах было показано, что наличие лагранжевой структуры позволяет
устанавливать систематическое соответствие между симметриями и законами
сохранения и в отсутствие действия S . Полученное обобщение теоремы Нётер является
еще одним указанием на фундаментальность и плодотворность концепции лагранжевой
структуры и стимулирует ее дальнейшее изучение.
12.12.12