ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности mn с действительными
(комплексными) элементами.
Определение 8. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.
Если арк и врк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то
срк = арк + врк .
Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:

Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна.

А + В = В + А для любых матриц А и В из Mmn.

(А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из Mmn .

Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и
называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А ).

Если обозначить
А матрицу, все элементы которой противоположны
соответствующим элементам матрицы А, то А + (А) = О, т.е. матрица (А) противоположна
матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную.
Определение 9. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число
 называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А,
умноженным на .
Если арк – элемент матрицы А, то в матрице В элемент врк =арк .
Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно.

1А = А для любой матрицы А из Mmn .

0А = О для любой матрицы А из Mmn .

()А = (А) для любой матрицы А из Mmn и любых чисел  и .

( + )А = А + А для любой матрицы А из Mmn и любых чисел  и .

(А + В) = А + В для любых матриц А и В из Mmn и любого числа .

Если А  квадратная матрица n-го порядка, то А = nА .
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется простой суммой
обозначается
n
a
k 1
k
. Следовательно,
n
a
k 1
k
и
= а1 + а2 + … +аn.
Свойства простых сумм:
n
n
n
1 .  (ak  bk )  ak   bk ,
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
2 .  (ak )     ak .
0
0
k 1
Определение 10. Сумма вида
(a11  a12  ...  a1n )  (a21  a22  ...  a2n )  ...  (am1  am 2  ...  amn ) называется двойной суммой и
обозначается
m
n
 a
p 1 k 1
pk
.
Свойства двойных сумм:
m
10.
n
 a pk =
p 1 k 1
n
k 1
m
n
 a1k   a2k  ...   amk ;
k 1n
k 1
20 .
n
 a pk =
p 1 k 1
n
m
 a
k 1 p 1
pk
.
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности mn и В – матрица размерности n к. Произведением
матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим
образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го
столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в
пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т.е. срq =
n
a
s 1
ps
b sq
(11).
Размерность матрицы С равна m к.
2 0 

3  2 0 1 

  5  1
Пример 1.
 4  7 5 2  

1 2  2 0  4 2 

 3 7 


 3  2  (2)  5  0  4  1  3 3  0  (2)  (1)  0  2  1  7    1 9 

 

=  4  2  (7)  5  5  4  2  3 4  0  (7)  (1)  5  2  2  7     1 31  .
 1  2  2  5  (2)  4  0  3 1  0  2  (1)  (2)  2  0  7   4  6 

 

2 0 

 3  2 0 1

 5  1 
Пример 2. Произведение матриц 
не определено.
  4  7 5 2

4 2 



 3 7  1 2  2 0


Но даже если АВ и ВА определены, то они не обязаны быть равны.
2 0 1 
  1 9
4 
3  2 0 1 

  5 1 3  



1
31

6
Пример 3. АВ =  4  7 5 2   

,

 1 2  2 0  4 2 5   4  6  3

  3 7  1 



2 0 1 
 7 2 2 2 

 3  2 0 1 

  14
3
 11 3 
 5 1 3  
  4  7 5 2  
АВ = 
.
4 2 5 
25  12 0
8





 3 7  1  1 2  2 0   36  57 37 17 




В этом примере АВ и ВА определены, но АВ  ВА . Следовательно, для умножения матриц
коммутативный закон не имеет места. Можно проверить:
0
1 . Если (АВ)С и А(ВС) определены, то (АВ)С = А(ВС).
20. Если (А + В)С определено, то (А + В)С = АС + ВС.
30. Если АВ определено, то (А)В =(АВ).
Умножение квадратных матриц одного порядка.
Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При
умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.
Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен
произведению определителей сомножителей.
 a11 a12 ... a1n 
 b11 b12 ... b1n 




 a21 a22 ... a2 n 
 b21 b22 ... b2 n 
Доказательство. Пусть А = 
, В= 
. Составим
.
. ... . 
.
. ... . 




a

b b

a
...
a
...
b
nn 
nn 
 n1 n 2
 n1 n 2
 a11

 a21
 .

a
С =  n1
 1
 0

 .
 0

a12 ... a1n
a22 ... a2 n
. ... .
an 2
0
1
.
0
0
0
.
0
0
.
...
...
...
... ann 0
0
... 0 b11 b12
... 0 b21 b22
... .
.
.
...  1 bn1 bn 2
...
...
...
...
...
Тогда в (n +1)-м столбце на первых
АВ, а на остальных местах – нули.
a11 a12 ... a1n c11 c12 ...
a21 a22 ... a2 n c21 c22 ...
.
. ... .
.
. ...
a
a
... a nn cn1 cn 2 ...
С1 = n1 n 2
 1 0 ... 0
0
0 ...
0  1 ... 0
0
0 ...
.
. ... .
.
. ...
0
0 ...  1 0
0 ...





0 
b1n 
b2 n 

. 
bnn 
0
0
.
матрицу С и вычислим её определитель двумя
способами.
Сначала используем теорему
Лапласа, разложив его по первым n строкам.
Получим
С = АВ.
Для вычисления вторым способом
преобразуем матрицу С, используя те
преобразования,
которые
не
меняют
определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С
прибавим 1-ый столбец, умноженный на b11 ,
2-ой столбец, умноженный на b21 , … ,
n-ый
столбец, умноженный на bn1 .
n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы
Продолжая аналогичные преобразования с
(n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу
С1. Здесь скр – элементы произведения АВ.
Очевидно, С1 = С. Определитель матрицы С1
вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по
последним n строкам. Получим
С = (1)n(1)кАВ, где к = 1 + 2 + …+ n +
+ (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )n. Так как
(2n + 1 )n + + n = 2(n + 1 ), то С = АВ . Итак,
АВ  = АВ
(12).
Если А  0, то матрица А называется невырожденной, если же А = 0, то матрица А
вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных
матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц
вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
Квадратная матрица Е = 
называется единичной матрицей. Легко
. . ... . 


 0 0 ... 1 


проверить, что ЕА = АЕ для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е.
Очевидно, Е = 1.
Определение 11. Матрица В называется правой обратной для матрицы А, если ВА=
Е и левой обратной для А, если АВ = Е.
Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную
матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) ВА = АВ = 1, т.е.
матрица А не может быть вырожденной.
Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для
всех её элементов. Составим новую матрицу А следующим образом: алгебраические
дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А, т.е.
 A11 A21 ... An1 


A
A
...
A


12
22
n
2
А = 
. Матрица А называется присоединённой для матрицы А. По
.
. ... . 


A

 1n A2 n ... Ann 
правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что
c1n
c2 n
.
cnn
0
0
.
0
 A 0 ... 0 


0
A
...
0


АА= АА = 
= АЕ.
.
. ... . 


 0 0 ... A 


1
Так как А  0, то матрица В =
 A* существует и АВ = ВА = Е, т.е. матрица В
A
является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется
обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили
Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная
матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле
1
А-1=
(13)
 A*
A
1  2 4 


Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А =  3 5  4  .
0 1
2 

Решение. Найдём А = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.
Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения.
5 4
3 4
3 5
2 4
1 4
А11 =
= 14, А12 = 
=  6, А13 =
= 3, А21 = 
= 8, А22 =
= 2,
0 2
0 1
1 2
0 2
1 2
1 2
2 4
1 4
1 2
А23 = 
= 1, А31 =
= 28, А32 = 
= 16, А33 =
= 11. Используя
0 1
5 4
3 4
3 5
 14 8 28 


1
теорему 8, получим А-1 =
   6 2 16  .
36 

 3  1 11 
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида АХ = В
(14) и ХА = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная;
2) матрица А  либо
вырожденная, либо прямоугольная.
1) Если А – квадратная и А  0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение
каждое:
Х = А-1В и Х = ВА-1 соответственно, если эти произведения определены. И не
имеют решения, если они не определены.
2) А – квадратная матрица, но А = 0, либо А  прямоугольная матрица. Если матрица А
имеет размерность mn, а матрица В – размерность рк, то, при m  р уравнение (14) не имеет
решения, а при n  к не имеет решения уравнение (15). Если же m = р , то в уравнении (14)
матрица Х должна иметь к столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь р строк. Решение
этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.
1  2 4 
 5  3




Пример 5. Найдите матрицу Х, если АХ = В, где А =  3 5  4  , В =  2
4 .
0 1
3 6 
2 



А имеет обратную, поэтому Х = А-1В. Используя
 14 8 28   5  3 
 

1 
-1
найденную в примере 5 матрицу А , получим
Х =
   6 2 16    2
4  =
36 

 
 3  1 11    3 6 
 2 158 

1 
=
   74 122  .
36 

  20 53 
5 1 


 2  2
 , В =  3 4  . Так как
Пример 6. Найдите матрицу Х, если ХА = В, где А = 
 1 1 
 7  6


А = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В столько
строк, сколько их в матрице Х, и столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие
выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается
ограничения: в матрице Х должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой
 x1 x2 


матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х =  x3 x4  . Тогда
x x 
6
 5
 2 x1  x2  2 x1  x2 


ХА =  2 x3  x4  2 x3  x4  . Полученная матрица равна матрице В тогда и только тогда, когда
 2x  x  2x  x 
5
6
 5 6
 2 x  x  5,
их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений.  1 2
 2 x1  x2  1;
 2 x3  x4  3,
 2 x5  x6  7,
Эти системы не имеют решений, следовательно, не имеет


 2 x5  x6  6.
 2 x3  x4  4;
решения и данное матричное уравнение.
Из примера 5 следует, что матрица