Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ

Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ
по теме «Множество значений функции»
Множество значений функции.
Множеством (областью) значений Е(y) функции y=f(x) называется
множество всех таких чисел 𝑦0 , для каждого из которых найдется число 𝑥0 ,
такое что: 𝑓(𝑥) = 𝑦0 .
Напомним области значений основных элементарных функций.
Областью значений всякого многочлена четной степени является
промежуток [m,+∞), где m – наименьшее значение этого многочлена, либо
промежуток [–∞, 𝑛], где n – наибольшее значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.
1
𝐸 ( ) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
𝑥
2𝑘+1
𝐸( √𝑥 ) = 𝑅.
𝐸(log 𝑎 𝑥) = 𝑅.
𝜋 𝜋
∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) = [− , ] .
2 2
𝐸(𝑡𝑔𝑥) = 𝐸(𝑐𝑡𝑔𝑥) = 𝑅
∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥) = (0, 𝜋).
2𝑘
𝐸( √𝑥 ) = [0, +∞).
𝐸(𝑎 𝑥 ) = (0, +∞).
𝐸(𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝐸(𝑐𝑜𝑠𝑥) = [−1,1].
∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) = [0, 𝜋].
𝜋 𝜋
∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥) = (− , ).
2 2
1.У любой функции y=f(x) есть множество значений, которое обозначается
E(y) или E(f).
Как найти множество значений? Проще всего это сделать если построить
эскиз графика заданной функции. А это проще всего сделать, если уметь
строить графики элементарных функций и их композиций (сложных
функций).
𝜋 2𝜋
Пример 1.: Найдите множество значений функции y=sin x, x∊ [ ; ]
4 3
Решение.
Функция не является монотонной на заданном промежутке. Можно,
например, посмотреть множество значений на тригонометрическом круге.
Видно (рис.1), что при изменении x от
при изменении х от
𝜋
2
до
2𝜋
3
𝜋 2𝜋
Ответ: [
4 3
√2
;1]
2
√2
;1]
2
4
до
𝜋
2
синус изменяется от
синус изменяется от 1 до
что синус принимает все значения от
ℇ (sinx; x∊ [ ; ])=[
𝜋
√2
2
до 1, т.е.
√3
2
√2
2
√2
2
до 1, а
> . Отсюда следует,
у
2𝜋
1
3
𝜋
2
𝜋
3
-1
1
х
-1
𝑥 2 +8
Пример 2.:Найдите множество значений функции 𝑦 =
.
𝑥+1
Решение.
Основной способ решения таких задач известен: надо построить график
функции и с его помощью найти E(f). Но чтобы построить график заданной
функции, следует провести ее исследование на экстремум с помощью
производной, если учащиеся пока не знают. То поступим по-другому:
𝑥 2 +8
выясним, при каких значениях параметра а уравнение
= 𝑎 имеет корни.
𝑥+1
Множество таких значений а совпадает с множеством значений функции.
𝑥 2 +8
Имеем:
= 𝑎; 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + (8 − 𝑎) = 0; 𝐷 = 𝑎2 + 4𝑎 − 32. Уравнение имеет
𝑥+1
корни, если 𝑎2 + 4𝑎 − 32 ≥ 0, т. е. 𝑎 ≤ −8 и 𝑎 ≥ 4. Значит, E(f)=(−∞; −8] ∪
[4; +∞).
Пусть f(x) является сложной функцией, в которой можно выделить
«подфункцию» t=t(x). Тогда y=f(t)=f(t(x)).Сначала мы находим E(t), потом
E(f).
Пример 1.: Найдите множество значений функции
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 )
2.
2
Решение. В задачах, если это возможно, лучше перейти к основанию,
большему 1. (с ним работать проще)
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 )= −𝑙𝑜𝑔2 (6-x-𝑥 2 )= −𝑙𝑜𝑔2 (6,25-(х+0,5)2 )
2
Квадратный трехчлен
25
1
25
f(x)=6-x-𝑥 2 = - (x+ )2 принимает все значения из промежутка (∞; ].
4
2
4
Логарифмы существуют только у положительных чисел, поэтому
25
25
1
ℇ(𝑓) = (∞; ] тогда 𝑙𝑜𝑔2 ( - (x+ )2 ) принимает все значения из промежутка
(-∞;𝑙𝑜𝑔2
25
4
4
4
2
]. Отсюда следует, что 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 ) принимает все значения из
промежутка [-𝑙𝑜𝑔2
2
25
4
1
;+∞), т.е. ℇ(𝑦)=[−𝑙𝑜𝑔2 6 ; +∞)
4
Пример 2.:Найдите множество значений функции
|𝑥+2|+|𝑥−4|
y=𝑙𝑜𝑔6+4𝑥−2𝑥 2 (
)
3
Решение.
Найдем сначала область определения Д(y)
6 + 4х − 2х2 > 0, −1 < х < 3
↔{
2±√14
{
х≠
6 + 4ч − 2х2 ≠ 1
2
Из найденной области определения следует, что
х+2>0 и х-4<0, поэтому |х+2|+|х-4|=х+2-х+4=6, тогда
|𝑥+2|+|𝑥−4|
|𝑥+2|+|𝑥−4|
3
=2 и
𝑙𝑜𝑔2
=1
3
Поэтому в области определения
y(x)= 𝑙𝑜𝑔6+4𝑥−2𝑥 2 (
|𝑥+2|+|𝑥−4|
3
)=
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2
|𝑥+2|+|𝑥−4|
3
(6+𝑥+4𝑥−2𝑥 2
=
1
𝑙𝑜𝑔2 (6−(𝑥−1)2 )
квадратный трехчлен f(x)=8-(x-1)2 принимает все значения из промежутка
(-∞;8], логарифм 𝑙𝑜𝑔2 f(x) существует для всех значений f(x)∊(0;8]. Но
логарифм стоит в знаменателе – поэтому необходимо разбить промежуток на
два, исключив значение f(x)=1.
Итак,
−∞<𝑦(𝑥)<0
0<8−(х−1)2 <1
−∞;<𝑙𝑜𝑔2 (8−(х−1)2 )<0
[
⇒
[
1
2
2
1<8−(х−1) ≤8 0<𝑙𝑜𝑔2 (8−(х−1) )≤log2 8=3
≤𝑦(𝑥)<+∞
3
1
Поэтому ℇ(y)=(-∞;0)∪[ ;+∞)
1
3
Ответ: (-∞;0)∪[ ;+∞)
3
Пример 3. Найдите наименьшее целое значение функции:
y=√16 − 13 ∙ 3−|𝑥|
Решение.
y=√16 − 13 ∙ 3−|𝑥| . Пусть y=√𝑡,где t≥0 монотонно возрастает. 𝑦наим , если t
наименьшее, то выражение т.е. при 13 ∙ 3−|𝑥| - наибольшее значение
принимает; 13 ∙ 3−|𝑥| - - наибольшее, если x=0, то 13 ∙ 30 =13. 𝑡наим =1613=3. 𝑦наим = √3 ≈1,7. Наименьшее целое число y=2.
Ответ: 2.
Примеры для решения:
5
1). y= √(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + 3.
2
3
4
2).y=7∙3𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥
6
6
3).y=9∙4𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥
4).y=√25 − 16 ∙ 2−|𝑥|
Пример 4. Найдите наибольшее целое значение функции:
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 +
3
)
2|𝑥|
Решение.
Рассмотрим функцию:
3
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 + |𝑥| )
2
Найдем E(y) и выберем наибольшее целое:
выражение |𝑥| ≥ 0 при 𝑥 ∊ 𝑅, 2|𝑥| ≥ 20 ; 0 <
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 +
3
) ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1,
2|𝑥|
−4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 < 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 +
3
𝜋
≤
4
∙
)
4
2|𝑥|
𝑦наиб.целое = 3.
Ответ:3.
Примеры для решения:
1).𝑦 =
12
5
√26𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 18
2). 𝑦 = −
5
1 + 2𝑥 2
3
≤ 3, −2 < −2 +
|𝑥|
2
3
2|𝑥|
≤1
Пример 6.Найдите наибольшее целое значение функции:
𝑦 = 4 ∙ 32𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+3)−2 𝑠𝑖𝑛(𝑥+3)𝑐𝑜𝑠2𝑥−3
Решение:
𝑦 = 4 ∙ 32𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+3)−2 sin(𝑥+3)𝑐𝑜𝑠2𝑥−3 ,преобразуем показатель степени по
формуле сложения тригонометрических функций. y=4∙32 𝑠𝑖𝑛(𝑥−3)−3 Найдем
множество значений выражения 2 sin(𝑥 − 3), –2≤ 2 sin(𝑥 − 3) ≤ 2, −5 ≤
2 sin(𝑥 − 3) − 3 ≤ 1, Наибольшее значение 2sin(x-3) –3=–1, то наибольшее
1
4
3
3
значение 32 𝑠𝑖𝑛(𝑥−3)−3 = 3−1 , 𝑦наим. = 4 ∙ = . Наибольшее целое равно 1.
Ответ: 1.
Пример для решения:
𝑦 = 7 ∙ 52𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥−2
Пример 7. Найдите наибольшее целое значение функции:
𝑦 = 7 ∙ 3,1sin(𝑙𝑔7 𝑥+5)
Решение:
Областью определения данной в условии функции является интервал (0;+∞).
На этой области определения, то есть при x >0 выражение 𝑙𝑔7 𝑥 + 5 пробегает
все множество действительных чисел. Следовательно, –1≤ sin(𝑙𝑔7 𝑥 + 5) ≤ 1
при x >0. Тогда в силу монотонности функции (3,1)𝑥 на всем множестве
действительных чисел, при x >0 выполняется неравенство (3,1)(−1) ≤
(3,1)sin(𝑙𝑔7𝑥+5) ≤ (3,1)1 . Поэтому
7
70
≤ 7 ∙ (3,1)sin(𝑙𝑔7 𝑥+5) ≤ 7 ∙ 3,1 ⇒
≤ 7 ∙ (3,1)sin(𝑙𝑔7 𝑥+5) ≤ 21,7.
3,1
31
Значит, наибольшим целым значением функции 𝑦 = 7 ∙ 3,1sin(𝑙𝑔7𝑥+5) является
21.
Ответ: 21.
Пример для решения:
𝑦 = 2 ∙ 4,3cos(𝑒
𝑥 +𝑥 3 −3)
Пример 8. Найдите наибольшее целое значение функции:
32 + 2𝑥 2
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 ( 2
)
𝑥 +1
2
Решение: D(y)=R при x∊R.
32+2𝑥 2
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (
2
𝑥 2 +1
дробной части
𝐸(
) Преобразуем дробь,т.е. представим в виде суммы целой и
2𝑥 2 +32
𝑥 2 +1
=2+
30
𝑥 2 +1
30
30
(0;
=
30],
𝐸
+
)
(2
) = (2; 32],
𝑥2 + 1
𝑥2 + 1
𝐸 (𝑙𝑜𝑔1 (2 +
2
30
)) = [−5; −1]
𝑥2 + 1
Наибольшее целое y= –1.
Ответ: –1.
Пример 9. Найдите наибольшее целое значение функции:
𝑦 = √8 + √15 − 2𝑥 − 𝑥 2
Решение:
Чтобы ответить на поставленный вопрос задания, найдем множество
значений данной функции. Для этого найдем множество неотрицательных
значений функции 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 .
Так как функция 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 является квадратным трехчленом с
отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшее значение этой
функции достигается в абсциссе вершины параболы, соответствующей этому
трехчлену. Указанная абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:
𝑥=−
𝑏
−2
=−
= −1
2𝑎
2 ∙ (−1)
(a и b – старший и второй коэффициенты трехчлена 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 ). Значит,
наибольшее значение 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 равно y(−1)=15−2∙(−1) −1=16.
Таким образом, отрезок [0;16] является множеством неотрицательном
значений этой функции. Так как функция 𝑦 = √𝑥 является возрастающей, то
множеством значений исходной функции
𝑦 = √8 + √15 − 2𝑥 − 𝑥 2 является отрезок [√8; √12]. Этот отрезок содержит
единственное целое число, равное 3, которое и будет наибольшим целым
значением данной в условии функции.
Ответ: 3.
Пример 10.
Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции
𝑦 = (2𝑥 − 6)2 𝑙𝑜𝑔2 (0,5𝑥 − 0,5), заданной на промежутке [2;5].
Найдем область определения E(y) данной функции. Рассмотрим данную
функцию как произведение двух функций: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 6)3 и 𝑔(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔2 (0,5𝑥 − 0,5). Обе эти функции возрастают на отрезке [2;5]. Однако,
каждая из функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) меньше нуля на [2;3], равна нулю при 𝑥 =
3 и больше нули на (3;5]. Поэтому функция 𝑦(𝑥) убывает на [2;3] и
возрастает на [3;5]. Значит, минимальное значение функции 𝑦(𝑥) на отрезке
[2;5]
–
это
𝑦(3)=0,
а
максимальное
значение
равняется
max {𝑦(2), 𝑦(5)}=max{8,64} = 64. следовательно, E(y)=[0;64].
Ответ: 64.
Пример 11.
Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции
𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|)
Решение:
Для ответа на вопрос задания найдем множество значений функции
𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|). На множестве действительных чисел функция
𝑦 = sin𝑥 принимает любое значение из отрезка [–1;1]. Поэтому функция
𝑦 = |sin𝑥| принимает любое значение из отрезка [0;1]. Найдем множество
значений функции 𝑦 = 6arcctg𝑥 на отрезке [0;1]. Функция 𝑦 = 6arcctg𝑥
является непрерывной и убывающей на всей числовой оси и, в частности, на
отрезке [0;1]. Поэтому множеством ее значений на отрезке [0;1] является
𝜋 𝜋
отрезок [arcctg1;arcctg0]= [ ; ]. Учитывая коэффициент 6, получаем, что
4 2
отрезок [
3𝜋
42
; 3𝜋] – область значений функции 𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|), заданной
на всей числовой оси. Наибольшее целое число из отрезка [
3𝜋
42
; 3𝜋] – 9.
Ответ: 9.
Примеры для решения:
1).Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции
𝑦 = 4𝑥+1 − 2𝑥+2 + 8, заданной на промежутке [–2;3].
2).Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции
𝑦 = 27𝑙𝑜𝑔27 (√3𝑐𝑜𝑥 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥).
3).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции
3
𝑦 = 44𝑙𝑜𝑔8 (√2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + √2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥).
4).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции
𝑦 = 40𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥).
5).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции
𝑦 = 100 ∙ 3−12𝑠𝑖𝑛8𝑥−5𝑐𝑜𝑠8𝑥−15 .
6).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции
300 + 10𝑥 2
𝑦 = 5 + 𝑙𝑔 (
).
𝑥2 + 3
Пример 12.
Найдите разность между наибольшим целым и наименьшим целым
значениями функции 𝑦 = √11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2
Решение . 𝐷(𝑦): 7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ≥ 0,
𝑦 = √11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 .
𝑓(𝑥)наиб = 𝑓(𝑥0 ), 𝑥0 =
3
9 9
9
; 𝑓(𝑥)0 = − + + 7 = 7 ,
−8
16 8
16
𝑔(𝑥) = √7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ;
𝐸(𝑔) = [0;
11
11
] , 𝐸 (2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ) = [0; ]
4
2
𝐸 (√11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ) = [√11; √16,5].
Наибольшее целое y=4, наименьшее целое y=4. Разность равна 0.
Ответ: 0 .
Пример 13.
Найдите количество целых значений функции 𝑦 = 17 ∙ 21−𝑡𝑔
4 𝑥−𝑐𝑡𝑔4 𝑥
.
Решение.
Согласно равенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом,
𝑎+𝑏
2
≥ √𝑎 ∙ 𝑏,
𝑡𝑔4 𝑥+𝑐𝑡𝑔4 𝑥
2
≥ √𝑡𝑔4 𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔4 𝑥,
𝑡𝑔4 𝑥+𝑐𝑡𝑔4 𝑥
2
≥ 1,
𝑡𝑔4 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔4 𝑥 ≥ 2. Следовательно, 𝑦 ≤ 17 ∙ 2−1 . С другой стороны, при
𝜋
x∊(0; ) обе функции 𝑡𝑔4 𝑥 и 𝑐𝑡𝑔4 𝑥 определены, неотрицательны и
2
множество значений функции 𝑡𝑔4 𝑥 на этом интервале совпадает с
интервалом (0;+∞), следовательно их сумма может принимать любое
значение из промежутка [2; +∞). Поэтому 0 < 𝑦 ≤ 17 ∙ 2−1 ,0< 𝑦 ≤ 8,5;
значит количество целых значений функции 𝑦 равно 8.
Ответ: 8.
Пример 14.Найдите количество целых значений функции
𝑦 = 160 ∙
1
1
1−
2 𝑥 −𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠
3
𝜋
Решение.𝐷(𝑦) = 𝑅, кроме 𝑥 = ∙ 𝑘, 𝑘 ∊ 𝑍
2
𝑦 = 160 ∙
1−
1
1
1−
2 𝑥 −𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠
3
1
1
1
1
1
4
−
=
1
−
+
=
1
−
=
1
−
.
(
)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
0 < 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 ≤ 1, 4 ≤
−∞ < 1 −
4
4
<
∞,
−∞
<
−
≤ −4,
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
1
1
4
1−
−
−∞
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ≤ 3−3 ,
≤
−3,
3
<
3
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
1
1
1−
−
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
0 < 160 ∙ 3
≤
160
25
,0 < 𝑦 ≤ 5 .
27
27
Количество целых значений 5.
Ответ:5
Пример 15.
Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции
𝑦 = (−7𝑥 2 + 92𝑥 − 13)−4,5 ?
Решение.
Область определения функции 𝑦 = (−7𝑥 2 + 92𝑥 − 13)−4,5 является
множество решений неравенства −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13 > 0. Решим его, для чего
определим корни трехчлена −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13:
𝑥1,2 =
−46 ± √2116 − 7 ∙ 13 46 ± √2025 46 ± 45
=
=
⇒
−7
7
7
1
1
𝑥1 = , 𝑥2 = 13. Значит, промежуток ( ; 13) является множеством
7
7
Решений неравенства −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13 > 0, а соответственно и областью
определения исходной функции. Найденный промежуток содержит целые
числа с 1 по 12, среди которых 6 нечетных чисел.
Ответ: 6.
Примеры для решения:
1).Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции
𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥 − 48)−0,3 ?
2).Сколько целых чисел входит в область определения функции
𝑦 = (15 + 4,5𝑥 − 𝑥 2 )1,5 ?
3).Сколько целых чисел входит в область определения функции
𝑦 = (−𝑥 2 + 3,5𝑥 + 36)1,25 ?
Пример 16.
Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
𝑦=
12
arccos(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥).
𝜋
Решение.𝐷(𝑦) : − 1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
𝑦=
12
12
12
arccos(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥) , 𝑦 =
arccos ( 𝑠𝑖𝑛2𝑥).
𝜋
𝜋
𝜋
1 1
1
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ 1, − ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ , 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑡 монотонно убывает,
2 2
2
1
𝜋 2𝜋
1 𝜋
12
1
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) = 𝜋 − =
; 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 = , 4 ≤
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( 𝑠𝑖𝑛2𝑥) ≤ 8.
2
3
3
2 3
𝜋
2
Разность между наибольшим и наименьшим значением равна 8-4=4.
Ответ: 4.
Пример для решения:
Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
𝑦=
24
arcs𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥).
𝜋
Пример 17.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 𝒚 =
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 на отрезке [-1;a].
Решение.
У этой задачи только одна трудность – наличие параметра a.
Найдем абсциссу вершины параболы 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥, получим –x=2. Значит,
при x≤ 2 функция 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 убывает, а при x≥2 – возрастает. Дальнейшие
рассуждения зависят от того, попала ли точка 2 в заданный отрезок или нет.
Если -1≤ a≤ 2, то на [-1;a] функция убывает, следовательно 𝑦наим = 𝑦(𝑎) =
𝑎2 − 4𝑎; 𝑦наиб = 𝑦(−1) = 5.
Если a> 2, то 𝑦наим = 𝑦(2) = −4. Что касается наибольшего значения, то
его функция достигает либо в точке 𝑥 = −1, и тогда это значение равно 5,
либо в точке 𝑥 = 𝑎, и тогда это значение равно 𝑎2 − 4𝑎. Сравним эти
значения, выясним, когда наибольшим значением функции является первое
из них. Решив неравенство 5> 𝑎2 − 4𝑎, получим: -1< 𝑎 <5. Поскольку мы
рассматриваем случай 𝑎 > 2, то получаем 2< 𝑎 < 5, в этом случае 𝑦наиб = 5.
Если 𝑎 > 5, то 5< 𝑎2 − 4𝑎. В этом случае 𝑦наиб = 𝑎2 − 4𝑎.
Если, наконец, 𝑎 = 5, то 5=𝑎2 − 4𝑎. В этом случае 𝑦наиб = 5
Итак, если -1≤ 𝑎 ≤ 2, то 𝑦наим = 𝑎2 − 4𝑎, 𝑦наиб = 5; если 2< 𝑎 ≤ 5, то
𝑦наим = −4, 𝑦наиб = 5; если 𝑎 >5, то 𝑦наим = −4, 𝑦наим = 𝑎2 − 4𝑎.
Пример 18. При каком значении параметра 𝒂 наибольшее значение
функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) равно наименьшему значению функции 𝒚 = 𝒈(𝒙):
a) 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 − 𝟐𝟒𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝒂 − 𝟏, 𝒈(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙.
Решение. Поскольку √72 + 242 = 25, выражение 7𝑠𝑖𝑛5𝑥 − 24𝑐𝑜𝑠5𝑥 можно
преобразовать к виду 25sin(5𝑥 + 𝛼), где 𝛼 − вспомогательный аргумент.
Значит, 𝑓(𝑥) = 25sin(5𝑥 + 𝛼) + 𝑎 − 1, а потому для функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
получаем: 𝑦наиб = 𝑎+24. Так как далее 𝑔(𝑥) = 3 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑥, то для функции
𝑦 = 𝑔(𝑥) получаем: 𝑦наим = 1. Осталось решить уравнение 𝑎 + 24 =
1, откуда 𝑎 = −23.
Ответ: -23.