. Решения 0–0.

Математическая игра «Граф-Домино». Решения. 26 декабря 2012 года.
0–0. В стране Африкании живут 8 племён. Одно племя имеет ровно 1 дружественное племя, 2 племени
имеют по 2 дружественных племени, 3 племени имеют по 3 дружественных племени и ещё одно
племя имеет 4 дружественных племени. Сколько дружественных племён могло быть у 8-го племени?
(0, 2, 4 или 6 племён. Рассмотрим граф, в котором племена – вершины, дружбы племён – рёбра,
тогда согласно теореме о чётном количестве нечётных вершин 8-я вершина должна иметь
чётную степень, т.к. без неё имеется ровно 4 нечётные вершины. При этом возможны все 4
случая чётной степени 8-й, что можно проверить, построив соответствующие графы.)
0–1. Дайте определение связного графа. (Связный граф – это граф, в котором между любыми двумя
вершинами есть путь.)
0–2. Дайте определение графа – дерева. (Дерево – это связный граф без циклов.)
0–3. Сколько компонент связности в графе ходов слона на шахматной доске? (2 – множества белых и
чёрных клеток)
0–4. Сколько рёбер в полном графе К8? (87/2=28 рёбер)
0–5. (письменно) В аудитории 35 человек. Может ли быть так, что 15 из них имеют по 3 друга (в этой
аудитории), 7 – по 6 друзей, 13 – по 8 друзей? (Нет не может. В графе «дружбы» сумма степеней
всех вершин должна быть чётна, а сумма 153+76+138 – нечётна, отсюда такого графа не
существует, поэтому такого быть не может.)
0–6. (письменно) Является ли эйлеровым граф ходов ладьи на шахматной доске? (Этот граф является
эйлеровым, т.к. он связный и в нём все вершины – чётные (со степенью 14).)
1–1. Сколько вершин и рёбер в двудольном графе чёрных клеток шахматной доски, где чёрная клетка –
ребро на пересечении строки и столбца? (16 вершин  строки и столбцы, 32 ребра – чёрные
клетки)
1–2. В государстве 50 городов, и из каждого из них выходит по 3 дороги. Сколько всего дорог в
государстве? (503/2=75 дорог)
1–3. (письменно) Перед вами схема мостов Калининграда. Начертите план своей
прогулки, в которой вы пройдёте каждый мост ровно один раз. (Такой план не
возможен. Для существования такого плана граф, в котором вершины –
острова и берега, рёбра – мосты, должен оказаться эйлеровым, т.е. он по
критерию эйлеровости должен быть связным и иметь не более двух
нечётных вершин. У нас же получится граф с 4 нечётными вершинами.)
1–4. Сколько вершин со степенью 3 в графе ходов коня на шахматной доске? (8, это все вершины,
соответствующие клеткам, имеющим общую сторону с угловой)
1–5. Какую наименьшую степень имеет вершина-клетка в графе ходов ферзя на шахматной доске? (21,
если вершина-клетка находится с краю доски)
1–6. В системе связи, состоящей из 2013 абонентов, каждый абонент связан ровно с n>0 другими.
Определите все возможные значения n. (n - любое чётное число от 2 до 2012. Так как каждый из
2013 абонентов связан ровно с n другими, то общее число направлений связи равно 2013n.
Отсюда общее число связанных пар абонентов равно 2013n/2, так как каждая связанная пара
имеет ровно 2 направления связи. Поскольку число 2013n/2 должно быть целым, а число 2013 нечетное, то число n должно быть чётным. Докажем, что для каждого n=2t (t=0, 1, ... , 1006)
существует система связи из 2013 абонентов, в которой каждый связан ровно с n другими. В
самом деле, расположив всех абонентов на окружности и связав каждого из них с t
ближайшими к нему по часовой стрелке и с t ближайшими к нему против часовой стрелки,
получим пример такой сети связи.)
2–2. В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой
по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник?
Сколько очков набрали шахматисты все вместе? (15 партий; 5 партий; 15 очков. Каждый
шахматист сыграл по 5 партий (по одной партии с каждым участником турнира, естественно,
кроме себя). Но сказать, что эти шесть шахматистов сыграли между собой 30 партий (т.е.
каждый из шести шахматистов по 5), будет неверно, потому что тогда каждую партию мы
сосчитаем дважды: во-первых, как партию, сыгранную первым партнёром, а во-вторых —
вторым. Так что всего было сыграно (65) : 2 = 15 партий. Как бы ни сыграл каждый
конкретный участник турнира, общая сумма очков будет постоянной, поскольку она зависит
только от количества игр. В каждой игре в сумме набирается одно очко (либо 1 + 0; либо 0, 5 +
0, 5; либо 0 + 1). Таким образом, всего в 15-ти партиях будет набрано 15 очков.)
2–3. Какую степень имеет каждая вершина в графе доминошек стандартного комплекта домино? (8, т.к.
каждая вершина-цифра соединена с шестью другими цифрами и имеет одно ребро-петлю,
соответствующую дублю)
2–4. В некоторой области 2012 городов, и некоторые из них соединены дорогами. При этом любые два
города соединяет ровно один путь. Сколько в области дорог? (2011. Граф дорог в этой области –
дерево, а в дереве число рёбер меньше на одно числа вершин.)
2–5. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с четырьмя мальчиками.
При этом в классе 12 парт, за каждый из которых сидит не больше двух человек, и 16 отличников и
отличниц. Сколько учеников в классе? (21 школьник. Количество дружб в классе равно 3m=4d,
где m и d - количества мальчиков и девочек соответственно. Тогда в силу взаимной простоты
3 и 4 число m делится на 4, т.е. m=4n, где n - натуральное 40 27 60 9 38 25 54 7
число. Тогда d=3m/4=3n, а всего в классе m+d=4n+3n=7n 61 16 39 26 59 8 37 24
человек, т.е. количество учеников кратно 7. С учётом условия, 28 41 10 15 46 55 6 53
что в классе не меньше 16, но не больше 12∙2=24 человек, 17 62 47 56 13 58 23 36
получаем, что в классе 21 человек, т.к. в интервале от 16 до 24 42 29 14 11 48 45 52 5
только это число делится на 7.)
63 18 31 44 57 12 35 22
2–6. Приведите пример гамильтонова пути в графе ходов коня на
30 43 2
49 20 33 4
51
шахматной доске.
3–3. (письменно) Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, 1 64 19 32 3 50 21 34
чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими? (Нет, нельзя. Если рассмотреть граф, в
котором отрезки – вершины, пересечение отрезков – ребро между соответствующими
вершинами, то получим граф с 9 вершинами степени 3, т.е. с нечётным количеством нечётных
вершин, что невозможно согласно теореме о чётности числа нечётных вершин.)
3–4. (письменно) Верно ли, что два графа изоморфны, если у них по 10 вершин, степень каждой из
которых равна 9? (Верно. Каждая вершина соединена с каждой.)
3–5. В однокруговом турнире (каждая команда играет с каждой ровно 1 раз) участвуют 7 команд. В
некоторый момент у трёх команд было сыграно по 2 матча, а ещё у трёх команд – по 3 матча.
Сколько матчей могла сыграть к этому моменту 7-я команда? (1, 3 или 5 матчей. Рассмотрим граф,
в котором команды – вершины, матчи –
рёбра, тогда согласно теореме о чётном
количестве нечётных вершин 7-я вершина
должна иметь нечётную степень (т.е. 7-я
команда
должна
сыграть
нечётное
количество матчей, не превосходящее при
этом 6), т.к. без неё имеется ровно 3 нечётные
вершины (3 команды, сыгравшие по 3
матча). При этом возможны все 3 случая нечётной степени 7-й вершины – 1, 3 и 5 (см. рис.).)
3–6. Незнайка закрасил в белом квадрате 10×10 несколько (может быть, и ноль) рядов одного
направления в чёрный цвет (но не весь квадрат). Какое минимальное количество клеток может
назвать Знайка одновременно так, чтобы по ответам Незнайки про их цвет узнать, какие же ряды
закрасил Незнайка? (19. Рассмотрим двудольный граф, в котором в одной доле вершины –
строки, а в другой доле – столбцы. Рёбра графа – это названные Знайкой клетки. Тогда граф
должен быть связным, иначе невозможно распознать между собой раскраску Незнайкой
только столбцов или только строк, которые соответствуют вершинам ровно одной
компоненты связности, если окажется, что только рёбрам этой компоненты связности
соответствуют чёрные клетки, а всем другим рёбрам – белые клетки. Кроме того, заметим
отдельно, что не могут быть изолированные вершины, иначе Знайка не сможет распознать
раскраски, в одной из которых изолированной вершине соответствует закрашенный ряд, а в
другом случае ничего не закрашено. Примером на 19 названных клеток являются, например,
все клетки верхней строки и правого столбца. В этом случае нетрудно показать, что Знайка
всегда по ответу Незнайки укажет раскраску.)
4–4. (письменно) Является ли эйлеровым граф ходов коня на шахматной доске? (Нет, т.к. в н`м восемь
нечётных вершин (это вершины, соответствующие клеткам, имеющим общую сторону с
угловой), что не соответствует критерию эйлеровости.)
4–5. Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы - квадраты со стороной b,
всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы
заасфальтировать все улицы, если он начинает и заканчивает свой путь в угловой точке A? (Стороны
квадрата

тоже
улицы).
(Минимальная длина маршрута
асфальтоукладчика равна 28b; один из возможных маршрутов
приведён
на
рисунке.
Понятно,
что
длина
маршрута
асфальтоукладчика не меньше 24, так как он должен проехать по
каждой улице хотя бы один раз. Докажем, что по крайней мере по
четырём улицам ему придётся проехать по два раза. Ровно на восьми
перекрёстках пересекается нечётное число улиц. Следовательно, любой
кольцевой маршрут асфальтоукладчика должен проходить по два раза
по крайней мере по 8/2 = 4 улицам. Минимальная длина маршрута асфальтоукладчика равна
28 улицам; один из возможных маршрутов приведён на рисунке.)
4–6. Наташа стала ходить на секцию волейбола. Стоя в 3-ей зоне она заметила, что сетка имеет вид
прямоугольника 500х60. Уходя с тренировки она задумалась, какое максимальное кол-во верёвочек
длины 1 можно удалить из сетки так, чтобы она не распалась. Помогите ей решить эту задачу.
(30000. Представим сетку в виде графа с 50161=30561 вершинами и 50061+60501=60560
рёбрами, тогда в конечном итоге нам достаточно получить граф-дерево в 30561 вершинами и
30560 рёбрами (св-во дерева). Значит, можно удалить максимум 60560-30560=30000 ниточек
длины 1.)
5–5. (письменно) В городе будущего есть лишь один вид транспорта – аэрогидромобиль. От
Университета выходит 2011 аэрогидролиний, из Лицея – одна, а из всех жилых домов  2012. Всегда
ли будет существовать путь, по которому можно будет добраться от Лицея до Университета с
помощью аэрогидромобилей? (Да, всегда. Представим схему города в виде графа, вершинами
которого будут являться жилые дома, Лицей и Гимназия, а рёбрами – дороги. Рассмотрим
компоненту связности, содержащую Университет. Нам нужно доказать, что она содержит
также и Лицей. Предположим противное. Тогда в этой компоненте связности из одной
вершины (Университета) выходит 2011 ребёр, а из всех остальных вершин – по 2012 ребёр.
Таким образом в этом графе (компоненте связности) ровно одна нечётная вершина.
Противоречие. Значит, Университет и Лицей находятся в одной компоненте связности.)
5–6. У выпуклого многогранника все грани  правильные пятиугольники или правильные
шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников? (12. Обозначим через П число
пятиугольников, через Ш - число шестиугольников среди граней данного многогранника.
Обозначим также через Г, Р, В соответственно количества граней, рёбер и вершин данного
многогранника. Тогда Г=П+Ш. Далее, каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а
поскольку пятиугольникам принадлежат 5 рёбер, а шестиугольникам 6, можно составить
уравнение: Р=(5П+6Ш)/2. В каждой вершине сходится по 3 грани. Действительно, угол
правильного пяти- и шестиугольника не меньше 108; поэтому если бы в некоторой вершине
сходилось не менее четырёх граней, то сумма плоских углов многогранного угла, отвечающего
этой вершине, была бы не меньше 4108>360, что невозможно. (Для доказательства этого
факта проведем прямую внутри многогранного угла, спроектируем угол на плоскость,
перпендикулярную этой прямой; проекции плоских углов будут давать в сумме 360, а при
проектировании величина угла не уменьшается.) Отсюда следует, что В=(5П+6Ш)/3.
Воспользуемся формулой Эйлера, связывающей число вершин, граней и рёбер выпуклого
многогранника: ВР+Г=2. Подставим значения В, Р, Г, выраженные через П и Ш, получим:
(5П+6Ш)/3(5П+6Ш)/2+(П+Ш)=2. Преобразуя это выражение, видим, что Ш сокращается, и
равенство принимает вид П/6=2, откуда П=12. Хорошо известен пример одного из
многогранников, о которых идет речь в условии – классический "футбольный мяч".)
6–6. (письменно) В классе 20 учеников, причем каждый дружит не менее, чем с 14-ю другими. Можно
ли утверждать, что найдутся четыре ученика, которые все дружат между собой? (Можно. Соберём
весь класс в одной комнате. Рассмотрим некоторого человека А. Пусть теперь из комнаты
выйдут все ученики, которые не дружат с А. По условию таких не более пяти человек. Поэтому
в комнате осталось по крайней мере 15 учеников. Далее, выберем из оставшихся в комнате
ученика Б, отличного от А. Пусть из комнаты выйдут все ученики, которые не дружат с Б.
После этого в комнате осталось не меньше 10 учеников. Наконец, выберем из оставшихся в
комнате ученика В, отличного от А и от Б. Пусть из комнаты выйдут все ученики, которые не
дружат с В. После этого в комнате осталось не меньше 5 учеников. Эти 5 учеников - это А, Б, В
(А, Б, В дружат между собой), и ещё 2 ученика Г и Д, которые дружат с А, Б, В. Итак, искомая
четверка учеников - это, например, А, Б, В, Г.)