Пусть Г= - классическая коалиционная игра

Министерство образования
Российской Федерации
Ростовский ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет
С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина,
А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по курсу "Методы оптимизации"
для студентов механико-математического факультета
дневного и вечернего отделения
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
Часть 5
Ростов-на-Дону
2000
2
Методические указания рекомендованы к печати
заседанием кафедры исследования операций
механико-математического факультета РГУ
протокол № от
2000 г.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
10.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
10.2. Частные классы кооперативных игр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
10.3. С-ядро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10.4. Условия существования С-ядра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Выпуклые игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР
Кооперативные
направлением
(коалиционные)
теории
игр.
экономические явления,
Они
игры
являются
моделируют
современным
такие
социально-
когда интересы участников не являются ни
строго антагонистическими, ни полностью совпадающим: рыночные
отношения, управление производством, международные переговоры,
работа законодательных органов и т.д. Например, продавец и покупатель,
понимая, что им лучше договориться, тем не менее энергично торгуются
при выборе цены товара.
10.1. Основные понятия
Кооперативные
(нестратегических)
(нормальной)
игры
игр.
форме
относятся
Они
и
могут
в
к
классу
непозиционных
заданы
в
быть
новой
форме,
не
стандартной
свойственной
антагонистическим играм.
Кооперативной игрой в форме характеристической
ф у н к ц и и называется пара
Г=<N,>,
множество (множество игроков),
где
n  3,
N={1,…,n} – конечное
 - функция, ставящая в
соответствие каждому подмножеству множества N вещественное число
(характеристическая
функция).
Игра
часто
отождествляется
с
ее
характеристической функцией.
В таком виде формализуются ситуации, когда детальное описание
действий игроков либо не представляет интереса, либо настолько сложно,
что трудно ожидать математических результатов.
5
Непустое подмножество S множества N называется к о а л и ц и е й .
Коалиция N, состоящая из всех игроков, называется м а к с и м а л ь н о й .
Значение (S) интерпретируется как максимальный выигрыш (доход)
коалиции
S,
который она может получить независимо от поведения
других игроков.
Игра
Г
называется также
классической кооперативной
и г р о й или и г р о й с п о б о ч н ы м и п л а т е ж а м и (предполагается, что
выигрыш (S) любой коалиции S можно произвольно поделить между
ее членами, т.е. игроки из
S могут передавать друг другу побочные
платежи в виде премий или взяток после того как благодаря действиям
коалиции был получен общий доход).
Без ограничения общности будем считать характеристическую
функцию  неотрицательной, т.к. в противном случае можно перейти к
эквивалентной игре
 = ( S )   (i )  0,
i S
S  N.
Предполагается, что
()=0,
(S) + (T)  (ST) для
ST=.
(1)
Условие (1) называется с у п е р а д д и т и в н о с т ь ю и означает, что две
непересекающиеся коалиции S и T после объединения получают не
меньший доход, чем действуя самостоятельно. Большинство игр,
возникающих
в
экономике,
-
супераддитивны.
В
таких
играх
максимальный выигрыш (N) получает коалиция всех игроков. Задача
заключается в "справедливом" его распределении между участниками
игры.
6
Исход
кооперативной
игры
определяется
вектором
x =( x1 ,…, xn ), где xi интерпретируется как п л а т е ж игроку i.
Множество исходов, удовлетворяющих условиям
xi  (i), iN,
(2)
 xi = (N),
(3)
i N
называется м н о ж е с т в о м д е л е ж е й
и обозначается D(). Дележ
можно содержательно понимать как договор между игроками о
распределении получаемой ими всеми суммы
называется
индивидуальной
(N).
Условие
(2)
(игрок
не
рациональностью
присоединится к максимальной коалиции, если его выигрыш будет
меньше величины, которую он может гарантировать себе сам), а условие
(3) – о п т и м а л ь н о с т ь ю п о П а р е т о (нельзя увеличить выигрыш
любого игрока, без уменьшения выигрыша другого игрока). Для
супераддитивной игры D().
Пример 1 ("Д ж а з - о р к е с т р " [1]).
Владелец ночного клуба обещает 1000 долларов певцу, пианисту и
ударнику за совместное выступление в его клубе. Выступление дуэта
певца и пианиста он расценивает в 800 долларов, пианиста и ударника – в
650 долларов, а одного пианиста – в 300 долларов. Другие варианты его не
устраивают. Дуэт певец-ударник может заработать в метро 500 долларов
за вечер, певец зарабатывает в среднем 200 долларов за вечер в открытом
кафе. Ударник один ничего не может заработать.
Какое распределение максимального общего дохода
(1000 дол.)
музыкантов следует признать справедливым, учитывая их возможности в
смысле частичной кооперации и индивидуального поведения?
7
Если считать, что игрок 1 – певец, игрок 2 – пианист, игрок 3 –
ударник, то
(1)=200,
(2)=300,
(3)=0,
(1,2)=800, (1,3)=500, (2,3)=650,
(1,2,3)=1000.
8
Множество дележей определяется системой
x1  200, x2 300, x3 0,
x1 + x2 + x3 =1000.
Рассмотрим, например, равномерное распределение
333.3,
i=1,2,3,
ударник}.
Оно
гонорара максимальной коалиции
принадлежит
множеству
xi =1000/3
{певец, пианист,
дележей,
но
против
"уравниловки" x
будет возражать коалиция {1,2}={певец, пианист}, т.к. x1 + x2 =2000/3
666.6, а самостоятельно этот дуэт зарабатывает (1,2)=800 (дол.).
Можно также вычислить дополнительный доход
(2) - (3)=500 (дол.)
равное
распределение
(1,2,3) - (1) -
от совместного выступления музыкантов. Его
дает

x =(200+500/3,
дележ
500/3)(366.7, 466.7, 166.7). Однако, при дележе

300+500/3,

x
коалиция

{2,3}={пианист, ударник} получает x2 + x3 =300+1000/3633.3 (дол.), что
меньше ее собственного дохода (2,3)=650 (дол.). Таким образом, эта
коалиция скорее отделится, чем будет терпеть ущерб от такого
распределения гонорара.
Дележи,
удовлетворяющие
минимальным
требованиям
всех
коалиций, будут описаны в п.10.3.
10.2. Частные классы кооперативных игр
Если характеристическая функция  а д д и т и в н а (все условия (1)
выполняются как равенства), то
 (i ) =(S),
i S
S  N.
9
Такая игра называется н е с у щ е с т в е н н о й , ее множество дележей состоит из единственной точки x 0 с координатами xi0 =(i), iN ("точка
разлада"). Если  (i ) <(N), то игра называется с у щ е с т в е н н о й .
i N
Говорят, что игра задана в ( 0 , 1 ) - н о р м а л ь н о й ф о р м е , если ее
характеристическая функция удовлетворяет условиям
(i)=0, iN;
(N)=1.
При таком представлении игры значение
демонстрирует
силу
коалиции
(S)
непосредственно
т.е. дополнительную прибыль,
S,
которую получают члены коалиции S, образовывая ее.
Заметим, что смешанные стратегии в бескоалиционных играх и
дележи в (0,1)-нормальных кооперативных играх описываются одним и
тем же способом – как точки симплекса { x  R n :  xi =1, x 0}. Но
i N
компонентами смешанной стратегии игрока являются вероятности тех или
иных его действий
(чистых стратегий), а компоненты дележа – доли
выигрышей различных игроков.
Каждая
существенная
игра

эквивалентна
единственной
(0,1)-нормальной игре  , имеющей вид
( S )  [ ( S )   (i )] / [ ( N )   (i )] , S  N.
i S
i N
Такое преобразование, называемое ( 0 , 1 ) - н о р м а л и з а ц и е й , допускает
следующую интерпретацию: вначале каждому игроку i выплачивается
сумма
(i),
измерялись.
а затем меняются единицы, в которых эти платежи
10
Например, игра
"Д ж а з - о р к е с т р "
эквивалентна следующей
(0,1)-нормальной игре
(i ) =0, i=1,2,3;  (1,2)=3/5,  (1,3)=3/5,  (2,3)=7/10,  (1,2,3)=1.
После
такого
преобразования
становится
ясно,
что
коалиции
{1,2}={певец, пианист} и {1,3}={певец, ударник} имеют одинаковую
силу
(дополнительный доход),
которая
меньше
силы
коалиции
{2,3}={пианист, ударник}.
Игры, у которых характеристическая функция может принимать
только два значения 0 или 1, называется п р о с т ы м и . Если (S)=1, то
коалиция
S
называется
выигрывающей,
если
(S)=0,
то
S –
п р о и г р ы в а ю щ а я коалиция. Простую игру можно компактно задать в
виде пары (N, B), где B – множество выигрывающих коалиций.
Если игра простая, то игрок i * , у которого (i * ) =1, называется
д и к т а т о р о м , т.к. в этом случае (с учетом супераддитивности) имеем

1,
( S )  

0,
i* S ,
i*  S.
Простая игра несущественна тогда и только тогда, когда она имеет
(единственного) диктатора. Простые игры используются в политике.
Пример 2 ("В з в е ш е н н а я м а ж о р и т а р н а я и г р а " [2]).
Игрок i имеет ki голосов. Коалиция выигрывает (побеждает), если
сумма ее голосов не меньше некоторой доли Q от их общего количества
(Q   ki ). Эта игра задается (n+1)-м числом (Q; k1 ,…, k n ). Игра
i N
является простой, т.к. характеристическая функция имеет вид
11
1,

( S )  
0,

 ki  Q ,
i S
 ki  Q.
i S
Взвешенные мажоритарные игры возникают во многих случаях.
Например, игроки могут быть акционерами компании, а число голосов
игрока соответствовать его доле акций. В качестве игроков можно
рассматривать также избирательные округи. Число голосов, которыми
обладает округ в законодательном органе, соответствует численности
населения.
Число голосов у игрока не всегда соответствует его реальной силе.
Например, в игре
(51; 49, 48, 3)
для победы необходимо простое
большинство в 51 голос. Выигрывающие коалиции: {1,2}, {1,3}, {2,3} и
{1,2,3}. Такие же выигрывающие коалиции имеет игра (2; 1,1,1), у
которой все игроки равной силы, т.к. обладают одинаковым числом
голосов. Следовательно, и в игре (51; 49, 48, 3) игроки также имеют
одинаковую силу относительно их способности войти в выигрывающую
коалицию. Возможна следующая интерпретация этого результата: если в
политической системе нет партии, обладающей большинством, и каждый
голосует согласно линии своей партии, то небольшая партия может иметь
такую же реальную власть, как и каждая из превосходящих ее партий.
Игра (51; 49,48,3) существенна, как не имеющая диктатора. Игра
(51; 51,48,1) несущественна, т.к. игрок 1 – диктатор, он побеждает всех.
Игра называется с и м м е т р и ч н о й , если значение
(S) зависит
только от мощности коалиции S, т.е. коалиции с одинаковым числом
игроков имеют одинаковый выигрыш. Характеристическая функция
симметричной игры имеет вид
12
(S)= f(s), где s=S , S N.
Например,
характеристическую
функцию
взвешенной
м а ж о р и т а р н о й и г р ы (5; 3,3,2) можно записать в виде
0,
( S )  
1,
S  2,
S  2,
т.е. эта игра является симметричной.
Пример 3 ("Ч и с т ы е т о р г и " [2]).
Администрация города может выделить
n
фирмам сумму в
d
долларов для ремонта дорог. Если фирмы не смогут договориться между
собой о распределении денег, то деньги не выделяются. Итак, (N)=d >0
и
(S)=0, если S< n. Это симметричная игра, при анализе которой
нужно выяснить, смогут ли фирмы договориться.
Кооперативная игра называется игрой с п о с т о я н н о й с у м м о й ,
если
(S)+ (N \S)= (N), S  N.
Все несущественные игры являются играми с постоянной суммой
( (S) + (N\S)=  (i ) +  (i ) =  (i ) =(N) ), но не наоборот. Так,
i S
i N \ S
i N
в з в е ш е н н а я м а ж о р и т а р н а я и г р а (2; 1,1,1) является
существенной игрой с постоянной суммой.
10.3. С-ядро
Как уже говорилось, участники супераддитивной кооперативной
игры,
руководствуясь
некоторым
принципом
справедливости
(оптимальности), должны договориться о способе дележа общего дохода
13
(N).
Принципов справедливости много, например, всякое общество
пытается обосновать справедливость своей системы распределения.
Некоторые
из
принципов
могут
оказаться
нереализуемыми
для
конкретных игр. С другой стороны, принципу оптимальности может
удовлетворять некоторое множество дележей. Такая "множественность"
не
является
недостатком
теории,
а
необходимым
свойством
кооперативной игры, т.к. ее представление в форме характеристической
функции не учитывает массу факторов (личные качества игроков,
симпатии и антипатии и т.д.).
Дележ, удовлетворяющий выбранному принципу оптимальности,
называется
решением игры
в смысле этого принципа, а игра,
обладающая решением, - р а з р е ш и м о й . То есть разрешимость является
не
абсолютным
понятием,
характеризующим
игру,
а
лишь
относительным. Если решение не единственно, то окончательный выбор
осуществляется на основании дополнительной информации о каждой
конкретной игре.
Среди различных подходов к определению решения кооперативной
игры центральное место занимает понятие С-ядра (core).
C - я д р о м называется подмножество таких дележей, для которых
суммарный выигрыш игроков каждой коалиции S не меньше (S)
 xi  (S),
i S
S N,
(4)
и обозначается через C ().
Представим, что игроки обсуждают возможность выбора дележа x 1
в качестве решения игры. Если x 1 не удовлетворяет условию (4) для
некоторой коалиции S, то она будет возражать против такого дележа,
14
требуя более выгодного для себя распределения общего дохода, например,
распределения
x 2 D(), для которого
xi2 > xi1 , iS. Выдвигая такое
требование, игроки из S угрожают в противном случае нарушить общую
коалицию и эта угроза реальна, т.к. для достижения максимального
дохода требуется единодушное согласие всех игроков.
Таким образом, С-ядро можно интерпретировать как подмножество
дележей, устойчивых относительно коалиционных угроз, а условие (4) –
как
тест
на
о т д е л е н и е . Условие
(4)
называется также
групповой рациональностью.
Идеальным является случай, когда С-ядро состоит из единственной
точки. Ясно, что любая коалиция не имеет ни возможности, ни желания
возражать против такого дележа. Однако, С-ядро может быть очень
большим, например, совпадать с множеством всех дележей, а может и не
существовать.
Пустота С-ядра наблюдается в случае, когда промежуточные
коалиции достаточно сильны: хотя всеобщая кооперация дает наибольший
доход, она может быть несовместима с коалиционными правами. В играх
с пустым С-ядром коалиция может быть вынуждена согласиться на
меньшее, чем она могла бы получить. Это происходит из-за того, что
игроки входят в несколько коалиций и в каждой подтверждают свою
лояльность.
Игры с пустым С-ядром требуют другого подхода к определению
решения.
В общем случае С-ядро определяется системой (2)-(4), содержащей
( 2 n + n - 1)
ограничений и
n
переменных, т.е. число ограничений
15
экспоненциально растет при увеличении количества игроков. Однако, для
конкретных игр часть ограничений можно не рассматривать.
Например, для неотрицательной характеристической функции
несущественными являются неравенства системы (4), соответствующие
(S)=0,
S >1.
соответствующее
Если S1 и S2 такие коалиции, что
S2
неравенство системы
(4)
В игре "Д ж а з - о р к е с т р " С-ядро задается системой
x1 + x2 800, x1 + x3 500, x2 + x3 650,
то
также является
несущественным.
x1  200, x2 300, x3 0,
S1  S2 ,
16
x1 + x2 + x3 =1000.
Размерность соответствующего многогранника равна 2, поэтому его
вершины можно определить графическим методом. Так как x3 =1000- x1 -
x2 , то получаем систему
200 x1 350,
300 x2 500,
800  x1 + x2 1000.
Множество всех дележей соответствует треугольнику ABC рисунка 1 а
С-ядро – маленькому заштрихованному треугольнику внутри него.
Вычислив
вершины
заштрихованного
треугольника
и
используя
выражение для x3 , получаем вершины С-ядра игры "Д ж а з - о р к е с т р "
(350,450,200), (350,500,150), (300,500,200).
17
Таким образом, для дележей из
С-ядра выигрыш каждого игрока
определяется с точностью до 50 долларов. Типичным представителем С-ядра
*
является его центр x (333.3, 483.3, 183.3) (среднее арифметическое вершин).
Для
x * характерно то, что все двухэлементные коалиции {i,j} имеют
одинаковый дополнительный доход
xi + x j (i , j ) =16.6.
Дележ
x*
является справедливым компромиссом внутри С-ядра.
Во в з в е ш е н н о й
мажоритарной игре
(2; 1,1,1)
С-ядро
определяется системой
x1 , x2 , x3 0,
x1 + x2 1, x1 + x3 1, x2 + x3 1,
x1 + x2 + x3 =1.
Складывая последние три неравенства получаем
противоречит соотношению
x1 + x2 + x3 3/2, что
x1 + x2 + x3 =1 (оптимальности по Парето).
Следовательно, C ()=.
В игре "Ч и с т ы е т о р г и " С-ядро совпадает с множеством всех
дележей D().
Пример 4 ("Р а с п р е д е л е н и е п р и б ы л и " [3]).
Некоторый объект коллективного пользования может обслуживать
четырех потребителей
(районы, фирмы и т.п.). Каждый потребитель
может быть либо обслужен либо нет, например, подключен к локальной
системе водоснабжения или нет.
Минимальные затраты на обслуживание пользователей наиболее
эффективным способом таковы:
18
один потребитель -
40,
два потребителя -
60,
три потребителя -
70,
четыре потребителя - 80,
т.е. функция затрат симметрична и имеет вид
40, S

60, S
c( S )  
70, S
80, S

 1,
 2,
 3,
 4.
Подключение к рассматриваемому объекту приносит пользователям
следующие доходы:
b1 =41, b2 =24, b3 =22, b4 =12.
Ясно, что потребителю i не выгодно обслуживаться, если он должен
заплатить больше, чем bi .
Вычислим характеристическую функцию. Максимально возможная
прибыль любой коалиции пользователей есть наибольшая прибыль по
всем ее подкоалициям, включая нулевую прибыль, когда никто не
обслуживается
(S)= max {  bi  c(T ), 0} .
T  S i T
Например,
(3,4)=max{0, 22 - 40, 12 - 40, (22 + 12) - 60}=0,
(1,2)=max{0, 41 - 40, 24 - 40, (41 + 24) - 60}=5,
(1,4)=max{0, 41 - 40, 12 - 40, (41 + 12) - 60}=1
и т.д.
19
Таким образом, игроки 3 и 4 не могут получить никакой прибыли ни по
отдельности ни вместе, поскольку их доходы слишком малы. Если
коалиция состоит из игроков 1 и 2, то они получают прибыль в 5 единиц.
Если игрок 4 присоединяется к игроку 1, то ему это в действительности не
помогает, т.к. обслуживаться будет только игрок 1.
Окончательно получаем
(1)=1,
(2)=(3)=(4)=0,
(1,2)=5, (1,3)=3, (1,4)=1, (2,3)=(2,4)=(3,4)=0,
(1,2,3)=17, (1,2,4)=7, (1,3,4)=5, (2,3,4)=0,
(1,2,3,4)=19.
Максимальная
прибыль
19
достигается
при
совместном
обслуживании всех пользователей. Задача заключается в ее распределении
между игроками.
С-ядро этой игры определяется системой
x1 1,
x2 , x3 , x4 0,
x1 + x2 5, x1 + x3 3,
x1 + x2 + x3 17,
x1 + x2 + x4 7,
x1 + x3 + x4 5,
x1 + x2 + x3 + x4 =19,
в которой отброшены несущественные неравенства ( x1 + x4 1, x2 + x3 0 и
т.д.).
С-ядро не совпадает с множеством дележей, но устанавливает
достаточно широкие границы распределения прибыли. Так, С-ядру
принадлежит дележ
x 1 =(19,0,0,0), при котором вся прибыль отдается
игроку 1, а также дележ
x 2 =(1,8,8,2), где игрок 1 остается на своем
20
собственном гарантированном уровне прибыли, а вся выгода от
кооперации идет остальным игрокам.
Существуют другие концепции решения (цена Шепли, N-ядро),
которые в каждой игре приводят к отбору единственного дележа [3].
10.4. Условия существования С-ядра
Возможная пустота С-ядра является главным недостатком этого
понятия, поэтому важной проблемой кооперативной теории является
вывод условий его существования.
Известно, например, что С-ядро существенной игры с постоянной
суммой пусто.
Для проверки непустоты С-ядра можно решить задачу линейного
программирования
f(x) =  xi  min,
(5)
N
 xi  ( S ) , S= 2 \N \ ;
(6)
i N
i S
где 2 N – множество всех подмножеств множества N,
 - множество
собственных коалиций.
Пусть x * - оптимальное решение задачи (5)-(6). С-ядро не пусто
тогда и только тогда, когда
f( x * )  (N).
(7)
Если условие (7) выполняется и x * не принадлежит С-ядру, то
точку x С() можно получить по формуле
21
 ( N ) *
  x * xi ,
j

xi   j N
 ( N )
,

 n
x *  0,
(8)
x *  0,
т.е. x есть проекция x * на гиперплоскость
 xi  ( N ) .
i N
Пример 5. Рассмотрим (0,1)-нормальную игру пяти лиц:
N={1,2,3,4,5}, (N )=1;
(1,2)=(4,5)=(2,3,4)=1/2;
(S)=1/2 для всех собственных
коалиций, включающих
{1,2} или {4,5} или {2,3,4};
(S)=0 в остальных случаях.
Решим задачу линейного программирования
f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5  min,
x1 + x2 1/2, x4 + x5 1/2, x2 + x3 + x4 1/2,
x  0,
из ограничений которой исключены несущественные неравенства.
Таблица 1.
x2 x4 u1 u2 u3
x1
x5
x3
1
0
1
0
1
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
= 1/2
= 1/2
= 1/2
f(x)
1
1
-1
-1
-1
= 3/2
Таблица 2.
x3 x4 u1 u2 u3
22
x1
x5
x2
-1
0
1
-1
1
1
-1
0
0
0
-1
0
1
0
-1
= 0
= 1/2
= 1/2
f(x)
-1
0
-1
-1
0
=
Из таблиц 1-2 получаем, что
решение,
1
x * =(0, 1/2, 0, 0, 1/2) – оптимальное
f( x * )=1 - оптимальное значение. Условие (7) выполняется,
следовательно, С() . Точка
5
x * удовлетворяет уравнению  xi  1 ,
i 1
поэтому x *  С().
23
Пример 6. Пусть N={1,2,3,4,5}, (N )=1;
(1,2)=(4,5)=1/3;
(2,3,4)=1/2;
(S)=1/3 для собственных коалиций, включающих {1,2} или {4,5}.
(S)=1/2 для собственных коалиций, включающих {2,3,4};
(S )=0 в остальных случаях.
Решаем задачу линейного программирования
f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5  min,
x1 + x2 1/3, x4 + x5 1/3, x2 + x3 + x4 1/2,
x  0.
Таблица 3.
x2 x4 u1 u2 u3
x1
x5
x3
1
0
1
0
1
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
= 1/3
= 1/3
= ½
f(x)
1
1
-1
-1
-1
= 7/6
Таблица 4.
x1 x4 u1 u2 u3
x2
x5
x3
1
0
-1
0
1
1
-1
0
1
0
-1
0
0
0
-1
= 1/3
= 1/3
= 1/6
f(x)
-1
1
0
-1
-1
= 5/6
Таблица 5.
x1 x3 u1 u2 u3
x2
x5
x4
1
1
-1
0
-1
1
-1
-1
1
0
-1
0
0
1
-1
= 1/3
= 1/6
= 1/6
f(x)
0
-1 -1
-1
0
= 2/3
11
10
24
x * =(0, 1/3, 0, 1/6, 1/6),
Из таблиц 3-5 получаем, что
Условие
(7)
выполняется, следовательно,
С().
принадлежит С-ядру, то используя (8), получаем
f( x * )=2/3.
Так как
x * не
точку
x =(0, 1/2, 0, 1/4, 1/4)  С().
Задача, двойственная к (5)-(6), имеет вид
g() =  ( S ) ( S )  max,
(9)
S 
 ( S ) ( S ) = ( N ) , 0,
(10)
S 
где (S) - двойственная переменная, соответствующая коалиции S;
( S ) =( 1( S ) ,…, n ( S )) – характеристический вектор коалиции S
0, i  S ,
i ( S )  
1, i  S .
Допустимая область
D двойственной задачи уже не зависит от
характеристической функции .
Она ограничена, поэтому полностью
определяется множеством своих вершин
=vert(D).
Игра
Г
имеет
непустое C-ядро тогда и только тогда, когда
max g (  )  (N),
 
что равносильно
 ( S ) ( S )  (N),
.
(11)
S 
Система подмножеств P множества  называется м и н и м а л ь н ы м
с б а л а н с и р о в а н н ы м п о к р ы т и е м , если существует такая вершина
 P = (  P (S)) S
25
многогранника D, что
Положительные
 P (S)>0 для SP
координаты
коэффициентами
 P (S)=0 для SP.
и
P
вершины
покрытия.
Условие
(11)
называют
называется
у с л о в и е м с б а л а н с и р о в а н н о с т и игры Г.
, то для конкретной
Если известны все вершины множества

характеристической функции
условие (11) становится системой
числовых неравенств.
Например, для игры трех лиц задача (9)-(10) имеет вид
g()=(1)(1) + (2)(2) +(3)(3) +
+(1,2)(1,2)+ (1,3)(1,3)+ (2,3)(2,3)  max;
(1)
+ (1,2) + (1,3)
(2)
+ (1,2)
(3)
= 1,
+ (2,3) = 1,
+ (1,3) + (2,3) = 1,
0.
Минимальные сбалансированные покрытия и их коэффициенты
даны в таблице 6.
Таблица 6.
№
Минимальное
сбалансированное
покрытие
Коэффициенты
покрытия
1
{1},{2},{3}
(1,1,1)
2
{1},{2,3}
(1,1)
3
{2},{1,3}
(1,1)
26
4
{3},{1,2}
(1,1)
5
{1,2}{1,3}{2,3}
(1/2, 1/2, 1/2)
Запишем условия сбалансированности игры трех лиц
(1) + (2) + (3)
 (1,2,3),
(1)
+ (2,3)  (1,2,3),
(2)
+ (1,3)
 (1,2,3),
(3) + (1,2)
(12)
 (1,2,3),
(1,2) + (1,3) + (2,3)  2(1,2,3).
Заметим, что первые четыре неравенства системы
выполняются
для
супераддитивной
(12) всегда
характеристической
функции,
следовательно, существенным является только последнее неравенство
этой системы.
Таким образом, игра трех лиц имеет непустое С-ядро тогда и только
тогда, когда ее характеристическая функция удовлетворяет условию
(1,2) + (1,3) + (2,3)  2(1,2,3).
(13)
Например, в з в е ш е н н а я м а ж о р и т а р н а я и г р а
(40; 35,30,5)
имеет непустое С-ядро, т.к.
(1,2)=1, (1,3)=1, (2,3)=0, (1,2,3)=1,
т.е. условие (13) выполняется.
В
литературе
описаны
все
минимальные
сбалансированные
покрытия для малых n (n =3,4,5,6), но общего их описания пока нет.
Уже при n=5 минимальных сбалансированных покрытий становится
настолько "много", что их использование для анализа конкретных игр
27
практически
невозможно. Описание по
крайней мере некоторых
минимальных сбалансированных покрытий для произвольного числа
игроков позволяет получить простые, но уже только необходимые
условия существования С-ядра.
Например, с помощью минимальных сбалансированных покрытий
получено необходимое условие
( S )   [ ( N )  ( N \ i )] ,
i S
S,
которое имеет следующую интерпретацию: полезность
(S)
каждой
коалиции S не должна быть больше суммы в к л а д о в ( N )  ( N \ i ) ее
членов в максимальную коалицию.
Для некоторых частных классов кооперативных игр известны более
простые, чем (11) необходимые и достаточные условия непустоты Сядра.
10.5. Упражнения
1. Выполнить (0,1)-нормализацию следующей игры трех лиц:
(1)=(2)=1, (3)=2, (1,2)=(1,3)=3, (2,3)=4,
2. Является ли существенной игра:
3.
Являются
ли
(1,2,3)=6.
(S)=S, S N
симметричными
следующие
взвешенные
мажоритарные игры:
(51; 30,25,20), (59; 31,31,28,2)?
4. Существует ли С-ядро у следующих игр трех лиц:
а. (i)=0, i=1,2,3;
(1,2)=(1,3)=(2,3)=2/3;
(1,2,3)=1;
б. (i)=0, i=1,2,3;
(1,2)=(1,3)=(2,3)=1;
(1,2,3)=1.4.
5. Существует ли ядро у следующих взвешенных мажоритарных игр:
(51; 35,35,30),
(20; 10,10,1),
(51; 26,26,26,22),
(6; 3,3,3,1)?
28
6. Используя графический метод найти все вершины С-ядра простой
игры трех лиц с выигрывающими коалициями: {1,2}, {2,3}, {1,2,3}.
7. Используя графический метод найти все вершины С-ядра простой
игры четырех лиц с выигрывающими коалициями: {1,2,3},.{1,2,3,4}.
Литература
1. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М., 1985.
2. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к
социологическим, биологическим и экологическим задачам. М., 1989