ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА Областной конкурс «Юные дарования» Ответы и решения к заданиям заочного тура конкурса «Юный знаток математики» 6 класс 2010 – 2011 учебный год №1. (2 балла) Поставьте вместо звёздочек цифры: 18,96 +**,21 74,*3 135,4* Ответ: 18,96 +42,21 74,23 135,40 №2. (2 балла) Можно ли на плоскости взять четыре точки так, чтобы любые три из них были вершинами тупоугольного треугольника? Ответ: Можно (см. рис.1) рис. 1 №3. (4 балла) Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По внешнему виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластинку? Решение: Необходимо пластинки разделить на три равные стопки по 3 пластинки в каждой. Первым взвешиванием сравниваем любые две стопки: если они равны, то нестандартная пластинка в третье стопке, если одна из стопок легче, то нестандартная пластинка в ней. После того, как определили, в какой стопке нестандартная пластинка, приступаем ко второму взвешиванию. Вторым взвешиванием сравним любые две пластинки из стопки с нестандартной пластинкой: если они равны, то оставшаяся пластинка – легче остальных; если одна из взвешиваемых пластинок оказалась легче, то она и есть – искомая нестандартная. Процесс взвешивания завершен. №4. (4 балла) В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая – с пятой, третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13. Доказательство: Запишем данное число в общем виде: Таким образом, данное число представимо в виде произведения двух множителей, один из которых равен 1001. Так как 1001 делится на 7, 11, 13, то и данное число, представленное в виде произведения , кратно 7, 11 и 13. №5. (5 баллов) У электромонтёра был кусок провода длиной 25 м, из которого утром он собирался вырезать необходимые для работы куски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м и 12 м. Но утром обнаружилось, что ночью какой-то хулиган разрезал провод на две части. Сможет ли монтёр выполнить намеченные работы? Ответ: монтёр сможет выполнить намеченные работы. Решение: Из двух частей, на которые разрезан провод, хотя бы одна длиннее 12 м (иначе общая длина провода не превышала бы 24 м), поэтому от неё монтёр может отрезать кусок длиной 12 м. Оставшиеся после отрезания двенадцатиметрового куска две части в сумме составляют м, поэтому хотя бы одна из этих частей длиннее 6 м. От этой части монтёр может отрезать шестиметровый кусок. Оставшиеся две части в сумме составляют м, поэтому от одной из этих частей монтёр может отрезать трёхметровый кусок. Оставшиеся две части в сумме составляют м, поэтому хотя бы одна из них не короче 2 м, значит, и двухметровый кусок монтёр сможет отрезать. Из последних двух частей хотя бы одна не короче метра, поэтому монтёр сможет получить и метровый кусок. №6. (5 баллов) Три дочери американской писательницы Дорис Кей – Джуди, Айрис и Линда – тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств – пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Чикаго, Лос-Анджелес и Париж. Известно, что: 1. Джуди живет не в Париже, а Линда не в Лос-Анджелесе; 2. Парижанка не снимается в кино; 3. Та, которая живет в Лос-Анджелесе, певица; 4. Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис и какова её профессия? Ответ: Айрис живет в Париже и является балериной. Решение: Из первого и третьего условий можно сделать вывод, что Линда не является певицей. Кроме того, Линда равнодушна к балету, а значит, она снимается в кино. Из второго условия, можно сделать вывод, что Линда не является парижанкой, и так как она не живет в Лос-Анджелесе, то она проживает в Чикаго. Так как в Чикаго живет только Линда, то можно сделать вывод, что Джуди не живет в Чикаго, и по первому условию она также не живет в Париже. Значит, Джуди – жительница Лос-Анджелеса, и по третьему условию она – певица. В заключение можно сделать вывод, что Айрис живет в Париже и является балериной. Ответ: Айрис живет в Париже и является балериной. №7. (5 баллов) Ни у кого из тысячи пиратов Не наберется тысячи дукатов. Но даже самый маленький пират Имеет все же хоть один дукат. Так можно ли сказать о тех пиратах, Что среди них – безусых и усатых, Косматых, безбородых, бородатых – Есть двое одинаково богатых? Ответ: можно. Доказательство: Предположим, что среди всех пиратов нет двух одинаково богатых, то есть у каждого пирата разная сумма денег. Тогда у одного пирата 1 дукат, у другого 2 дуката, у третьего – 3 и так далее, всего 999 различных вариантов имеющихся денежных сумм. Но так как пиратов 1000, то получаем противоречие. Значит, двое одинаково богатых пиратов найдется.