Ссылка для скачивания работы

Оглавление
Введение ………………………………………………………………………………………………..
2
Глава 1 Неинерциальные системы отсчёта
Силы инерции ……………………………………………………………………………………
4
Центробежная сила инерции ……………………………………………………………
9
Законы сохранения в неинерциальных системах отсчета ………………
14
Глава 2 Изучение действия центробежной силы инерции
Выбор системы отсчёта …………………………………………………………………….
17
Жидкость во вращающейся системе отсчёта …………………………………..
18
Глава 3 Экспериментальная часть
Прямое определение угловой скорости вращения …………………………
21
Исследование устойчивости вертикального положения отвеса ……
22
Определение фокусного расстояния параболического зеркала …….
23
Результаты измерений и расчётов …………………………………………………..
24
Заключение ……………………………………………………………………………………………. 25
Литература …………………………………………………………………………………………….. 26
-1-
Введение
Мотивация данной работы связана с отсутствием
лабораторных работ по механике тем посвящённым
гидростатике с одной стороны и неинерциальному движению с
другой.
Современные учебные установки по механике жидкости
достаточно дороги. Это и послужило созданию установки
подручными средствами
Первоначальной целью работы было разработать
методику, а вслед за этим и создать доступными средствами
экспериментальную установку позволяющую изучать законы
движения в неинерциальных системах отсчёта.
Особенностью нашего подхода к решению данного
вопроса является простота, наглядность и доступность
установки. В то же время, не смотря на простоту установки,
работа требует некоторого экспериментального искусства
аккуратности. Чтобы получить хороший результат необходимо
первоначально настроить установку, что требует обдуманного
подхода.
Данная работа позволяет изучать действие
центробежной силы инерции на примере равномерно
вращающейся жидкости. Вследствие своего вращения
жидкость образует поверхность, которая со временем не
меняется. Из условия равновесия мы можем вывести вид
кривой, по которой пересекается поверхность жидкости с
вертикальной плоскостью. Эта кривая называется
параболоидом вращения. Нахождение фокуса этой
-2-
поверхности и является основной задачей лабораторной
работы. Измерения следует проводить для двух скоростей
вращения. Измерив фокусное расстояние, можно по формуле
рассчитать угловую скорость вращения диска. Затем нужно
сравнить полученные данные с реальными.
Цель работы и оборудование.
Цель работы: изучение равновесия тел в
неинерциальных системах отсчёта.
Оборудование: проигрыватель, миллиметровая линейка,
секундомер, штатив, зажимы, отвес, лазер, сосуд с
глицерином.
-3-
Глава 1. Неинерциальные системы отсчёта.
1.1. Силы инерции.
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных
системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем

данное тело движется с одинаковым ускорением w . Любая
неинерциальная система отсчета движется относительно
инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому

ускорение тела в неинерциальной системе отсчета w будет

отлично от w . Обозначим разность ускорений тела в

инерциальной и неинерциальной системах символом a :
  
w  w  a
(1.1)
Для поступательно движущейся неинерциальной


системы a одинаково для всех точек пространства ( a  const ) и
представляет собой ускорение неинерциальной системы

отсчета. Для вращающейся неинерциальной системы a в
  
разных точках пространства будет различным ( a  a( r  ) , где

r   радиус-вектор, определяющий положение точки
относительно неинерциальной системы отсчета).
Пусть результирующая всех сил, обусловленных дейст
вием на данное тело со стороны других тел, равна F . Тогда
согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно
 1 
w F
m
Ускорение же тела относительно некоторой
неинерциальной системы можно в соответствии с (1.1)
представить в виде
-4-
(1.2)

  1  
(1.3)
w  w  a  F  a
m

Отсюда следует, что даже при F  0 тело будет дви-
гаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с

ускорением  a , т. е. так, как если бы на него действовала

сила, равная  ma .
Сказанное означает, что при описании движения в
неинерциальных системах отсчета можно пользоваться
уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так на
зываемые силы инерции Fin , которые следует полагать
равными произведению массы тела на взятую с обратным
знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной
и неинерциальной системам отсчета:

 

Fin  m( w  w )  ma
(1.4)
Соответственно уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид
 

mw  F  Fin
(1.5)
Поясним наше утверждение следующим примером.
Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к
которому подвешен на нити шарик (рис.1).
Рис.1
-5-
Пока тележка покоится или движется без ускорения,

нить расположена вертикально и сила тяжести P

уравновешивается реакцией нити Fr . Теперь приведем

тележку в поступательное движение с ускорением a . Нить
отклонится от вертикали на такой угол, чтобы


результирующая сил P и Fr сообщала шарику ускорение,

равное a . Относительно системы отсчета, связанной с
тележкой, шарик покоится, несмотря на то что


результирующая сил P и Fr . отлична от нуля. Отсутствие
ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета


можно формально объяснить тем, что, кроме сил P и Fr ,

равных в сумме ma , на шарик действует еще и сила инерции


(1.6)
Fin  ma .
Введение сил инерции дает возможность описывать
движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же
уравнений движения.
Следует отчетливо понимать, что силы инерции нельзя
ставить в один ряд с такими силами, как упругие, гравитационные силы и силы трения, т. е. силами, обусловленными
воздействием на тело со стороны других тел. Силы
инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в
которой рассматриваются механические явления. В этом
смысле их можно назвать фиктивными силами.
Введение в рассмотрение сил инерции не является
принципиально необходимым. В принципе любое движение
можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной
системе отсчета. Однако практически часто представляет
-6-
интерес как раз движение тел по отношению к
неинерциальным системам отсчета, например по отношению к
земной поверхности. Использование сил инерции дает
возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто
оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения
в инерциальной системе.
Рис.2
Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе тела. Благодаря этому свойству силы
инерции оказываются аналогичными силам тяготения.
Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех
внешних тел закрытой кабине, которая движется с

ускорением g в указанном на (рис.2) направлении. Тогда все
тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как

если бы на них действовала сила инерции  mg . В частности,
пружина, к концу которой подвешено тело массы m,
растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу

инерции  mg . Однако такие же явления наблюдались бы и в
том случае, если бы кабина была неподвижной и находилась
вблизи поверхности Земли. Не имея возможности «выглянуть»
за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри
-7-
кабины, мы не смогли бы установить, чем обусловлена сила

 mg  ускоренным движением кабины или действием
гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об
эквивалентности сил инерции и тяготения (в однородном
гравитационном поле). Эта эквивалентность лежит в основе
общей теории относительности Эйнштейна.
-8-
1.2. Центробежная сила инерции.
Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси z  с угловой скоростью 
(рис.3). Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик,
соединенный с центром диска пружиной.
Рис.3
Шарик занимает на спице такое положение, при котором

сила натяжения пружины Fпр оказывается равной
 

произведению массы шарика т на его ускорение wn   2 R ; R
 радиус-вектор, проведенный к шарику из центра диска (R 
расстояние шарика от центра диска):


Fпр  m 2 R .
(1.7)
Относительно системы отсчета, связанной с диском,
шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что,
кроме силы (1.7), на шарик действует сила инерции


Fцб  m 2 R ,
(1.8)
направленная вдоль радиуса от центра диска.
Силу инерции (1.8), возникающую во вращающейся (по
отношению к инерциальным системам) системе отсчета,
называют центробежной силой инерции. Эта сила действует
на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того,
-9-
покоится тело в этой системе (как мы предполагали до сих

пор) или движется относительно нее со скоростью v .
Если положение тела во вращающейся системе отсчета

характеризовать радиусом-вектором r  , то центробежную
силу инерции можно представить в виде двойного векторного
произведения:

 
(1.9)
Fцб  m[  [ r  ]]

 
Действительно, вектор b  [ r , ] направлен «на нас»


перпендикулярно к векторам  и Fцб (рис.4) и равен по
модулю r  sin  R .
Рис.4
Векторное произведение взаимно перпендикулярных


векторов m и b

совпадает по направлению с Fцб и имеет модуль, равный
mb  m 2 R  Fцб
При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную
силу инерции, равную m 2 R , где т  масса тела,   угловая
скорость вращения Земли вокруг ее оси, R  расстояние тела
от земной оси (рис.5).
- 10 -
Рис.5
В случаях, когда высота тела над поверхностью Земли
невелика, можно положить R равным Rз cos  ( R з  радиус
Земли,   широта местности). Тогда выражение для
центробежной силы инерции примет вид
Fцб  m 2 Rз cos 
(1.10)
Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного

падения тела g обусловлено действием силы Fg , с которой

тело притягивается Землей, и силы Fцб . Результирующая этих
сил
 

P  Fg  Fцб
(1.11)

есть сила тяжести, равная mg .


Отличие силы тяжести P от силы притяжения к Земле Fg
невелико, так как центробежная сила инерции значительно


меньше Fg . Так, для массы 1 кг наибольшее значение Fцб ,
наблюдаемое на экваторе, равно
m 2 Rз  1  ( 2 / 86400 )2  6 ,4  106  0 ,035 Н,

в то время как Fg равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в
300 раз больше.
- 11 -


Угол  между направлениями Fg и P (см. рис.5) можно
определить, воспользовавшись теоремой синусов:
sin  Fцб m 2 Rз cos  0 ,035



cos   0 ,0035cos  ,
sin 
P
mg
9 ,8
откуда
sin   0 ,0035sin  cos   0 ,0018 sin 2 .
Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла. В результате получим, что
  0 ,0018 sin 2 .
(1.12)
Таким образом, угол  изменяется в пределах от нуля
(на экваторе, где   0 , и на полюсах, где   90 ) до 0,0018
рад или 6  (на широте 45°).

Направление силы P совпадает с направлением нити,
натянутой грузом, которое называется направлением отвеса

или вертикальным направлением. Сила Fg направлена к
центру Земли. Следовательно, вертикаль направлена к центру
Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на
промежуточных широтах на угол  , определяемый
выражением (1.12).
Разность Fg  P равна нулю на полюсах и достигает
максимума, равного 0,3% силы Fg , на экваторе. Из-за
сплюснутости Земли у полюсов сила Fg сама по себе
несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно
на 0,2 % меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение
свободного падения изменяется с широтой в пределах от
9,780 на экваторе до 9,832
м
на полюсах. Значение g =
с2
- 12 -
9,80665
м
принято в качестве нормального (стандартного)
с2
значения.
Заметим, что относительно инерциальной, например
гелиоцентрической, системы отсчета свободно падающее тело

F


движется с ускорением w  g (а не g ). Из рис.5 видно, что из
m
равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство
ускорений w. Действительно, треугольники, построенные на


векторах Fg и P для разных тел, подобны (углы  и  для
всех тел в данной точке земной поверхности одинаковы).
Следовательно, отношение
отношением
Fg
P
, которое совпадает с
w
, для всех тел одно и то же, откуда вытекает,
g
что при одинаковых g получаются одинаковыми и w.
- 13 -
1.3. Законы сохранения в неинерциальных
системах отсчета.
С учетом сил инерции уравнения движения в
неинерциальной системе ничем не отличаются от уравнений
движения в инерциальной системе отсчета. Поэтому все следствия, вытекающие из уравнений движения остаются
справедливыми и в неинерциальных системах отсчета. В
неинерциальной системе формула E2  E1  Aнеконсерв имеет вид
(1.13)
E2  E1  A12неконсерв  A12инерц ,
где A12инерц  работа сил инерции.
N
d  N 
d
p x   Fxi выглядят в
p   Fi и
Формулы
dt
dt
i 1
i 1
неинерциальной системе следующим образом:


d 
p   Fвнеш  Fинерц ,
dt


d 
M   N внеш  N инерц .
dt
(1.14)
(1.15)

Здесь Fвнеш  сила, обусловленная

взаимодействием, Fинерц  сила инерции;


N инерц и N внеш  моменты указанных сил.


Центробежная сила инерции Fцб  m 2 R является
консервативной. Действительно, работа этой силы равна
2 
 

2
  Fцб dr  m  Rdr
2
A12цб
1
- 14 -
1
Рис.6

Из рис.6 видно, что проекция вектора dr на напра

вление вектора R равна dR  приращению модуля R .
Следовательно,
 R2 
Rdr  RdR  d   .
 2 
Таким образом,
2
 R2 
R2
R2
A12цб  m 2  d    m 2 2  m 2 1
2
2
1  2 
(1.16)
Полученное выражение, очевидно, не зависит от пути,
по которому происходит перемещение из точки 1 в точку 2.

Консервативность силы Fцб позволяет ввести потенциальную энергию частицы U цб (центробежную энергию), убыль
которой определяет работу центробежной силы инерции:
A12цб  U цб1  U цб2
(1.17)
Из сопоставления формул (1.16) и (1.17) заключаем, что
1
U цб   m 2 R 2  const
2
Константу можно положить равной нулю. Тогда для
центробежной энергии получится следующее выражение:
1
U цб   m 2 R 2
2
Если выражение (1.18) добавить к потенциальной
- 15 -
(1.18)
энергии частицы, то в величину A12инерц в формуле (1.13) не
следует включать работу центробежной силы инерции.
- 16 -
Глава 2. Изучение действия центробежной силы
инерции.
2.2. Выбор системы отсчёта.
При описании движения тел большое значение имеет
рациональный выбор системы отсчета. Такой выбор обычно
позволяет получить более простые уравнения движения и
делает понятнее само исследуемое явление. Так, если тело
движется по окружности с постоянной угловой скоростью,
удобно рассматривать его поведение в системе отсчета,
вращающейся вместе с телом (в такой системе отсчета, тело
покоится). Тогда вместо дифференциального уравнения
движения записывается условие равновесия тела.
Вращающаяся система отсчета уже не является
инерциальной и в ней, вообще говоря, не выполняется второй
закон Ньютона. Однако, если кроме сил взаимодействия
между телами, ввести ещё силы инерции, второй закон
Ньютона в такой системе становится справедливым. В данной
работе опыты проводятся с использованием вращающегося
диска проигрывателя, с которым и связывается система
отсчета, поэтому кроме сил взаимодействия между телами
необходимо учитывать силы инерции.
- 17 -
2.3. Жидкость во вращающейся системе отсчёта.
Покажем, что поверхность жидкости, которая
покоится во вращающейся системе отсчета, образует
параболоид вращения.
Выделим вблизи поверхности элементарный объем
жидкости, масса которого равна m (рис.8).
Рис.8
Вид поверхности вращающейся жидкости
На выделенный объем будут действовать сила тяжести
mg , центробежная сила инерции mx и сила давления N
(сила Архимеда). В состоянии покоя сумма равна нулю.
Воспользуемся этим условием для проекций сил на
направление касательной к поверхности жидкости:
m 2 x cos   mg sin   0
(2.3)
Из этого выражения следует, что
tg 
 2x
g
(2.4)
Здесь α  угол между касательной и осью Ох, поэтому
выражение (2.4) можно переписать в виде:
- 18 -
dy  2 x

dx
g
(2.5)
Интегрируя это выражение, получим вид кривой, по
которой пересекается поверхность жидкости с вертикальной
плоскостью:
dy  2 x
 
dx
g
 dy  
y
 2x
g
dx
 2 x2
2g
(2.6)
т.е. эта кривая действительно является параболой.
Экспериментально убедиться в том, что поверхность
имеет форму параболоида вращения, можно на основе
свойства параболического зеркала. Из оптики известно, что
такое зеркало собирает параллельный оптической оси пучок
света в точку, называемую фокусом зеркала. Найдем связь
между скоростью вращения ω и фокусным расстоянием
зеркала F, образованного поверхностью жидкости.
Рассмотрим отражение некоторого луча, параллельного
оси Оу. Пусть он падает на поверхность жидкости в точке с
координатами x1 и y1 (рис.9). Из рис.9 видно, что
y0  y1  x1tg
(2.7)
причем
tg  ctg 2 
ctg  tg
2
(2.8)
Тогда из формулы (2.7) с учетом выражений (2.4), (2.6)
и (2.8) следует
- 19 -
 2 x1
g

  2 x12 
 2 x1
g
  x1
y0  
2
 2g 
(2.9)
или
y
g
2 2
F
(2.10)
Рис.9.
Ход луча при отражении от поверхности вращающейся
жидкости.
Видно, что значение y0 не зависит от координат точки
поверхности, в которую попадает луч, т.е. все параллельные
оси Оу лучи соберутся в точке с координатами (О, y0 )
Величина y0  фокусное расстояние зеркала. Измерив его,
можно на основании формулы (2.10) рассчитать угловую
скорость вращения системы координат:

g
2F
- 20 -
Глава 3. Экспериментальная часть.
3.1. Прямое определение угловой скорости
вращения.
С помощью секундомера определяем время 20 – 30
оборотов диска проигрывателя. Угловую скорость вращения
рассчитаем по формуле:

2N
t
Измерения следует проводить для трёх скоростей
вращения диска проигрывателя.
- 21 -
(3.1)
3.2. Исследование устойчивости вертикального
положения отвеса.
Поставим на диск плоскую кювету с водой. Передвигая
штатив с отвесом, добьемся, чтобы он висел точно над
центром диска. Включаем проигрыватель, и, изменяя длину
нити отвеса l, находим её максимальное значение, при
котором вертикальное положение остаётся устойчивым. Для
проверки устойчивости следует вывести отвес рукой из
положения равновесия и посмотреть, возвращается ли он в
исходное положение.
Грузик отвеса должен полностью находиться под водой,
которая нужна, чтобы гасить колебания отвеса.
Определив, таким образом, значение lm ax , подсчитаем
угловую скорость вращения по формуле:

g
lmax
(3.2)
Опыт проделаем для трёх скоростей вращения диска и
сравним полученные значения с результатами первого
упражнения.
- 22 -
3.3. Определение фокусного расстояния
параболического зеркала.
Поставим на диск проигрывателя стакан с глицерином и
включим лазер. Изменяя наклон лазера (см. рис.3), установим
луч, падающий на поверхность глицерина, вертикально. Для
этого нужно добиться, чтобы при неподвижном диске луч
после отражения от глицерина попадал обратно в выходное
окно лазера. Практически достаточно того, чтобы он попал в
сравнительно небольшой круг, центром которого является
выходное окно лазера.
Поместим над диском отвес так, чтобы грузик был
погружён в глицерин над центром диска, и включим
проигрыватель. Луч света, падающий вертикально на
поверхность жидкости, будет пересекать нить (оптическую
ось) в фокусе, образуя светлое пятно. Для каждой скорости
вращения диска длину отвеса следует установить немного
меньше lm ax (найденную во втором упражнении). Фокусное
расстояние F измеряется линейкой. На основе проделанных
измерений рассчитаем угловые скорости вращения диска с
помощью (2.11) и сравним их с полученными ранее.
- 23 -
3.4. Результаты измерений и расчётов
Угловая
Время
Частота
Реальная
скорость
Фокусное
20
вращения угловая
полученная
Скорость
расстояние
оборотов
диска
скорость
в ходе
вращения
опыта
диска
t, с
, Гц
ω, рад/с
F, м
ω, рад/с
N=20 об
1-ая
скорость
2-ая
скорость
26.7
0.75
4.70
22.0
4.72
15.45
1.29
8.13
7.4
8.14
- 24 -
Заключение
В ходе выполнения данной работы была изучена тема
“неинерциальные системы отсчёта”. На основе этих знаний
была собрана установка, позволяющая изучать действие
центробежной силы инерции в лабораторных условиях. Так
же было составлено подробное описание к данной
лабораторной работе.
При сравнительно простых исходных элементах,
проведённые эксперименты показали высокую
жизнеспособность и действенность установки. Это
подтверждается высокой стабильностью полученных
результатов при погрешности измерений не превышающей
2%.
Следует отметить, что не смотря на важность и
обширность вопросов связанных с действием центробежных
сил, до сих пор в лабораторном практикуме, существующем
на кафедре, отсутствуют работы, посвящённые данной
тематике. Мне кажется, что данную установку можно успешно
использовать в лабораторном практикуме.
- 25 -
Литература:
1. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы
физики. Механика. Молекулярная физика.
Электродинамика. М.:Наука, 1981.
2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.
М.:Наука, 1985.
3. Буховцев Б.Б., Климонтович Ю.Л., Мякишев Г.Я.
Физика. Механика. М.:Просвещение, 1971.
4. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.1. Механика.
М.:Астрель, 2003.
5. Хайкин С.Э. Силы инерции и невесомость. М.:Наука,
1967.
6. Гершензон Е.М. Курс общей физики. Механика.
М.:Просвещение, 1987.
- 26 -