Задачи для геометрического хоккея. Уроки обобщающего

1. Какое наименьшее число лучей нужно провести из данной точки, чтобы при этом образовались два
прямых угла и один развернутый угол? (3)
2. Какое наибольшее число лучей можно провести из данной точки, чтобы все углы между соседними
лучами были прямыми? (4)
3. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведена третья прямая, не являющаяся
биссектрисой угла между ними. Сколько пар равных острых углов при этом образовалось? (2)
4. Чему равен угол между биссектрисами смежных углов? (90)
5. Точка С – середина отрезка АВ, а точка D – середина отрезка АС. Во сколько раз отрезок АВ больше
отрезка CD? (4)
6. Через вершину угла  проведена прямая, перпендикулярная к его биссектрисе. Эта прямая образует
со сторонами данного угла углы, равные  . Каким должен быть угол  , если   45 0 ? (острым)
7. В данном треугольнике построили все медианы и все биссектрисы. Определите наибольшее и
наименьшее возможное количество построенных отрезков. (6 и 3)
8. В треугольнике ABC каждый из отрезков AD , AE и AF является либо медианой, либо
биссектрисой, либо высотой. Известно, что ADB  ADC , BAE  CAE . Назовите биссектрису
треугольника. ( AF )
9. К двум сторонам треугольника провели медианы, биссектрисы и высоты. При этом оказалось, что
построено четыре отрезка. Сколько отрезков добавится, если построить медиану, биссектрису и высоту
к третьей стороне? (3)
10. Несколько прямых пересечены секущей. Среди образовавшихся углов в условии указано четыре
равных. Определите наибольшее возможное количество прямых, параллельность которых можно
доказать при таком условии. (четыре)
11. Две параллельные прямые пересечены секущей. Известно, что среди образовавшихся углов есть три
острых угла. Сколько тупых углов образовалось? (4)
12. Четырехугольник ABCD имеет оси симметрии AC и BD . Определите вид треугольника BCD .
(равнобедренный)
13. Определите вид четырехугольника, если в нем есть две пары равных углов, но нет двух пар равных
сторон. (равнобедренная трапеция)
14. Даны числа a , b и c , причем 0  a  b  c и a, b, c - стороны прямоугольного треугольника.
Найдите площадь прямоугольника со стороной 3b и диагональю 3c . ( 9ab )
15. В треугольнике ABC точка M - середина стороны AB , точка N - середина стороны BC . Во
сколько раз площадь трапеции AMNC больше площади треугольника MBN ? (в 3)
16. В треугольнике ABC C  90 0 . Найдите значение выражения sin 2 A  sin 2 B . (1)
17. Градусные меры двух углов параллелограмма относятся как 4:5. Найдите все углы параллелограмма.
(80 и 100)
18. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK и KC . Найдите
периметр параллелограмма, если известно, что AB  4 и BK в два раза меньше KC . (32)
19. В равнобедренном треугольнике ABC AB  BC  10 см. Точки K , N и D - середины сторон AB ,
BC и AC соответственно. Найдите периметр четырехугольника KBND . (20см).
20. Биссектрисы острых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на меньшем
основании трапеции. Большее основание трапеции равно 18 см, а боковая сторона – 4 см. Найдите
среднюю линию трапеции. (13)
21. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см, а его основание равно 6 см. Найдите
биссектрису треугольника, проведенную к основанию. (4)
22. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см, а большая диагональ является
биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции. (112)
23. Диагонали ромба относятся как 3:4, а сторона равна 50 см. Найдите диагонали и высоту ромба. (60,
80, 48)
24. Диагональ прямоугольника равна 8 см и образует с одной из сторон угол 60 градусов. Найдите
стороны прямоугольника. (4, 4 3 )
25. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а медиана, проведенная к нему, равна 2 13 см.
Найдите периметр треугольника. (24)
26. Диагональ прямоугольной трапеции равна 4 2 см и делит трапецию на два равнобедренных
прямоугольных треугольника . Найдите стороны и острый угол трапеции. (4, 4, 8 и 4 2 , 45 градусов)
27. Прямая задана уравнением 3 x  2 y  12  0 . Найдите координаты точек A и B пересечения прямой
с осями координат. ((4,0), (0,6))
28. Даны точки С3,4 и D 3,4 . Известно, что CD - диаметр некоторой окружности. Найдите
координаты центра и радиус этой окружности. ((0,0), 5)
29. Разность диагоналей ромба равна 10 см, а его периметр – 100 см. Найдите диагонали ромба. (30 и
40)
30. Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 4:5, а одно из оснований на 9 см больше
другого. Большая диагональ трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции. (11,5)
31. В параллелограмме тупой угол равен 150 градусов. Биссектриса этого угла делит сторону
параллелограмма на отрезки 16 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь
параллелограмма. (168)
32. Две стороны треугольника равны 7 2 см и 10 см, а угол между ними равен 45 градусов. Найдите
площадь треугольника. (35)
33. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, диагональ – 17 см, а разность оснований –
12 см. Найдите площадь трапеции. (120)
34. Две стороны треугольника равны 10 см и 17 см, а высота, проведенная из вершины угла между
ними, равна 8 см. Найдите отрезки, на которые эта высота делит среднюю линию, перпендикулярную
ей. (3 и 7,5)
35. Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит ее на отрезки
длиной 9 см и 16 см. Найдите тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю. (4/3)
36. В треугольник, углы которого относятся как 1:3:5, вписана окружность. Найдите углы между
радиусами, проведенными в точки касания. (80, 120, 160)
37. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности. (3)
38. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус
окружности, описанной около трапеции, если диагональ равна 12 см, а боковая сторона – 9см. (7,5)
39. Меньшее основание трапеции относится к средней линии как 1:3, а большее основание равно 30 см.
Найдите среднюю линию трапеции. (18)
40. Сколько углов с градусной мерой меньше 10 градусов может быть в выпуклом многоугольнике? (не
более 2)
41. В треугольнике ABC точка K - середина AB , M  AC , причем AM  4 , MC  6 . Отрезки CK и
BM пересекаются в точке N . Найдите KN : NC .(1:3)
42. На луче с началом в точке A отмечены точки B и C . Известно, что AB  10,3 см, BC  2,4 см.
Какую длину может иметь отрезок AC ? (12,7 или 7,9)
43. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 42 градуса. Найдите все
образовавшиеся углы (69, 111)
44. Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса
большего угла со сторонами меньшего. (75, 105)
45. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите стороны этого треугольника, если
его боковая сторона относится к основанию как 5:4. (25,25,20)
46. Найдите углы треугольника ABC , если угол A на 60 градусов меньше угла В и в два раза меньше
угла С. (30, 60, 90)
47. В прямоугольном треугольнике ABC (угол С – прямой) биссектрисы CD и AE пересекаются в
точке O . Угол AOC равен 105 градусов. Найдите острые углы треугольника ABC . (60, 30)
48. Два равнобедренных треугольника имеют равные углы при основаниях. Основание и боковая
сторона первого треугольника относятся как 6:5. Найдите стороны второго треугольника, если его
периметр равен 48 см. (15, 15, 18)
49. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на отрезки 21 см и 7 см, считая от ближайшей к
данному углу вершины. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит диагональ прямоугольника.
(15 и 20)
50. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между ними – 60 градусов. Найдите
стороны параллелограмма. (14 и 2 19 )
51. Внутренний угол правильного многоугольника в 3 раза больше внешнего угла. Найдите сторону
многоугольника, если его периметр равен 96 см. (12)
52. Найдите длину и радиус окружности, если центральному углу 72 градуса соответствует дуга длиной
2 см. ( 10 см, 5см)
53. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна 12 3 см. Найдите сторону
правильного шестиугольника, вписанного в данную окружность. (6)
54. Сторона правильного вписанного многоугольника стягивает в окружности радиуса 6 см дугу длиной
3 см. Найдите периметр многоугольника. ( 24 2 )
55. Площадь ромба равна 120, а одна из диагоналей больше другой на 14 см. Найдите диагонали ромба.
(10 и 24)
56. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см, а периметр треугольника – 20 см. Найдите
площадь треугольника. (12)
57. Найдите площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой равны 12 и 13, а основания
относятся как 4:9. (78)
Прямоугольник-ромб-квадрат-трапеция
1) В таком четырехугольнике есть неравные стороны. (прямоугольник, трапеция)
2) Диагональ делит такой четырехугольник на два равнобедренных треугольника (ромб, квадрат)
3) Такой четырехугольник может иметь два острых угла (ромб, трапеция)
точки пересечения биссектрис-серединных перпендикуляров-медиан-высот
1) При соединении такой точки с вершинами треугольника образуются три треугольника, площади
которых равны. (медианы)
2) Такая точка равноудалена от всех вершин треугольника (сер.перп.)
3) В прямоугольном треугольнике такая точка совпадает с одной из вершин (высота)
4) При соединении такой точки с вершинами треугольника образуется три треугольника, площади
которых относятся как стороны данного треугольника. (биссектрисы0
n  3-4-6
1) В таком правильном
2) В таком правильном
3) В таком правильном
4) В таком правильном
n  угольнике внешние углы – не острые. (3,4)
n  угольнике все углы тупые. (6)
n  угольнике радиус вписанной окружности равен половине стороны. (4)
n  угольнике количество осей симметрии меньше пяти (3,4)