Математика, 8 класс Элементы теории делимости целых чисел

Математика, 8 класс
Карпова И.В., доцент кафедры алгебры и МПМ ДВГГУ
Элементы теории делимости целых чисел
В этой статье мы рассмотрим некоторые вопросы теории делимости целых чисел.
Интерес именно к этому разделу теории чисел в настоящее время определяется бурным
развитием информационных технологий. Многие алгоритмы теории чисел лежат в основе
инструментальных средств компьютерной алгебры.
1. Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности, произведения и частного
Говорят, что целое число а делится на отличное от нуля целое число b (или b делит а)
если существует такое целое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от
деления а на b.
Выражение «а делится на b» будем обозначать: ab ; выражение «b делит a» будем
обозначать: ba .
Рассмотрим простейшие свойства делимости целых чисел.
Для любых целых чисел a, b ≠ 0, c ≠ 0 справедливо:
1. Если ab и с – частное от деления, то с – единственное.
2. а а .
3. Если ab и b c , то a c .
4. Если ab и b a , то или a = b, или a = -b.
5. Если ab и b  a , то а = 0.
6. Если ab и а  0, то a  b .
7. Для того чтобы ab необходимо и достаточно чтобы a  b .
8. Если a1 b, a 2 b,...a n b , то a1  a2   an b . То есть, если каждое из слагаемых
делится на число b, то и вся сумма делится на это число.
9. Если ab , то a·c  b. То есть, если один из сомножителей произведения делится на
число, то и все произведение делится на это число.
10. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на число с, то и к-ое слагаемое
делится на с.
Замечания. 1. Каждое из свойств может быть доказано как теорема на основании
определения делимости двух чисел.
2. На основании свойства 7 в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением
случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость
произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных целых чисел.
Сформулированные выше простейшие свойства делимости в дальнейшем мы
будем использовать при решении различных задач.
2. Деление с остатком
Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.
Теорема 2.1 (о делении с остатком). Для любого целого а и целого b  0 существует
0  r  b.
единственная пара целых чисел q и r, таких что a  b  q  r ,
При этом q называется неполным частным, r – остатком от деления а на b.
Замечания. 1. В частности, если r  0 , то a  b  q , т.е. ab .
2. Из Т. 2.1 следует, что при фиксированном целом m>0 любое целое число а можно
представить в одном из следующих видов:
a  mq
a  m  q1  1
a  m  q2  2

a  m  q m 1  (m  1)
При этом если a  m, то будем иметь
a  m  0  a , если a  0 и
a  m  (1)  (m  a ) , если a  0 .
Например: любое целое число а можно представить в виде a  2  k (четное число) или
a  2  k  1 (нечетное число); любое целое число а можно представить в виде a  3  k или
a  3  k  1 или a  3  k  2 .
Таким образом, если фиксировано натуральное число m, то все множество целых
чисел можно разбить на m непересекающихся подмножеств, в каждое из которых входят
целые числа, имеющие одинаковый остаток при делении на m (по теореме о делении с
остатком, существует ровно m различных остатков при делении числа на число m).
Теорема о делении с остатком часто используется при решении задач теории чисел.
3. Простые и составные числа
Будем рассматривать натуральные числа.
Определение 3.1. Целое положительное число р 1 называется простым, если оно имеет
ровно два положительных делителя: 1 и р (само себя).
Определение 3.2. Целое положительное число m  1 называется составным, если оно
имеет, по крайней мере, один положительный делитель отличный от 1 и m.
Замечание. 1. Число 1 не является ни простым, ни составным, тогда учитывая
определения, множество натуральных чисел можно разбить на три подмножества:
простые числа; составные числа; 1.
2. Существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные числа
являются составными.
Перечислим основные свойства простых чисел.
1.Если р и р1 – простые числа и р  р1, то р не делится на р1 .
2.Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по
меньшей мере один из сомножителей делится на р.
3.Для любого целого положительного числа n >1 наименьший, отличный от единицы
положительный делитель всегда представляет собой простое число.
Следующее свойство мы сформулируем непосредственно в форме теоремы.
Теорема 3.3.(основная теорема арифметики). Всякое целое положительное число,
отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых
сомножителей и при том единственным образом (с точностью до порядка следования
сомножителей).
Таким образом, если m – целое положительное число, а р1, р2, …рк - простые, то m
= p1  p 2    p k . Если, при этом, среди чисел р1, р2, …, рк есть одинаковые, то
m = p11  p 2 2   p k k - каноническое представление целого числа.
Из доказательства теоремы следует алгоритм разложения любого целого
положительного числа в произведение простых сомножителей:
Пусть m – целое положительное число, отличное от единицы.
Если это число четное, то разделим его на первое простое число 2. Если полученное
частое остаётся четным числом, поделим и его на 2, и т.д., пока в частном не получится
число нечетное.
Если число m – нечетное, то если это, возможно, делим его на следующее простое
число 3. Частое от этого деления делим на три, если это возможно, если нет то
Делим полученное частное на следующее простое число и т.д., пока в частном не
получится простое число.
Мы выяснили, что множество натуральных чисел можно разбить на три
подмножества. Встает вопрос о числе простых чисел в бесконечном натуральном ряду.
Существуют ли простые числа среди больших натуральных чисел, или с какого то
определенного числа все натуральные числа, следующие за ним, будут составными?
Оказывается, что хотя в натуральном ряду можно найти участки составных чисел любой
длины, множество простых чисел бесконечно. Это утверждение было доказано ещё
древнегреческим математиком Евклидом и входит в его знаменитые «Начала».
Теорема 3.4. Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть множество простых
чисел конечно, и пусть р – наибольшее простое число. Рассмотрим натуральное число N,
которое является произведением всех простых чисел, т.е.
N  1 2  3  ...  p
и прибавим к этому числу 1: N  1  1 2  3  ...  p  1 . Очевидно, что полученное число не
делится ни на одно простое число от 1 до р, следовательно получаем, что N = 1, но
непосредственно видно, что N >1. Получили противоречие, которое возникло из за того,
что мы сделали неправильное предположение. Следовательно, множество натуральных
чисел бесконечно.
Таким образом, какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы
ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею
найдется ещё бесконечное множество простых чисел.
Рассмотрим вопрос о нахождении или о выделении простых чисел в натуральном
ряду. Алгоритм отделения простых чисел основан на следующей теореме:
Теорема 3.5. Если натуральное число n (n>1) не делится ни на одно простое число, не
превосходящее n , то оно простое.
Алгоритм выделения простых чисел
в последовательности первых n натуральных чисел
(Решето Эратосфена)
1. Выписываем все натуральные числа от 2 до n.
2. Вычеркиваем последовательно каждое второе число после двух. Первое, не
зачеркнутое число 3, является простым.
3. Вычеркиваем каждое третье число после трёх. Первое, не зачеркнутое число 5,
является простым.
4. Вычеркиваем каждое пятое число после пяти и т.д., пока не дойдем до числа, большего
n.
Все числа, которые остаются не вычеркнутыми, являются простыми.
Замечание. У простых чисел всего два делителя, у числа 6 делителями будут числа 1,2,3 и
само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа, то в этом случае снова
получаем 6=1+2+3. Есть ли еще такие числа?
Числа, которые равны сумме всех своих делителей, исключая само число,
называются совершенными.
Эти числа до сих пор остаются загадкой для математиков. Во-первых, все
известные совершенные числа четные, и неизвестно, могут ли существовать нечетные
совершенные числа. Во-вторых, хотя найдено уже несколько десятков совершенных
чисел, но неизвестно, конечно их число или бесконечно.
4. Вопросы для самопроверки
Прежде чем переходить к рассмотрению примеров решения задач и выполнению
контрольного задания проверьте себя, ответив на ниже сформулированные вопросы.
1. Когда говорят, что целое число а делится на целое число b, отличное от нуля?
2. Перечислите основные свойства делимости целых чисел.
3. Какие из следующих утверждений верны, а какие нет? Ответ обоснуйте.
а) Если одно из слагаемых делится на 24, а другое не делится на 24, то сумма не делится
на 24.
б) Если каждое из слагаемых не делится на 24, то сумма не делится на 24.
в) Если каждый из двух сомножителей не делится на 24, то и произведение не делится
на 24.
г) Если один из двух сомножителей делится на 24, а другой не делится на 24, то их
произведение не делится на 24.
д) Если один из сомножителей делится на 3, а другой на 8, то их произведение делится
на 24.
ж) Если произведение двух сомножителей делится на 24, то хотя бы один из
сомножителей делится на 24.
4. Сформулируйте теорему о делении с остатком.
5. Каким будет остаток при делении числа а на число b с остатком, если a < b?
6. Какие остатки могут быть при делении целого числа а на 7?
7. Могут ли все натуральные числа a, b, c, d оказаться нечетными, если с – частное
отделения а на b, а d – остаток от этого деления?
8. Какое натуральное число называется простым?
9. Какое натуральное число называется составным?
10. Простым или составным является число 1?
5. Примеры решения задач
Задача 1. Доказать, что если ab и b c , то a c (см. п.1, свойство 3).
Решение. Так как ab , то существует такое целое число n, что а = b·n …….(1)
b c следовательно, существует целое число m, такое что b =с · m……….(2)
Подставим (2) в (1), получим а = с · (m · n), тогда по определению a c .
Задача 2. Доказать, что если ab +cd делится на а – с, то ad +bc делится на а – с.
Решение. При доказательстве этого утверждения воспользуемся свойствами 8. Для этого
рассмотрим разность
(ab +cd) – (ad +bc) = (ab– bc) + (cd –ad) = – b(а – с) + d(а – с) = (а – с)·( d – b).
Очевидно (ab +cd) – (ad +bc)  (а – с), по условию ab +cd  а – с, следовательно, по
свойству 8, (ad +bc)  (а – с), что и требовалось доказать.
Задача 3. Какой остаток при каждом натуральном n дает число 2n2 +5n – 3 при
делении на n + 4?
Решение. Для того чтобы найти остаток от деления 2n2 +5n – 3 на n + 4 представим первое
число в виде (n + 4)q + r. Это можно сделать следующим образом:
2n2 +5n – 3 = (n + 4)(2n – 3) + 9.
Тогда, если n + 4 > 9, то остаток от деления 2n2 +5n – 3 на n + 4 равен 9.
Если n + 4 = 9 (при n = 5), то остаток равен 0.
Рассмотрим случай, когда n + 4 < 9:
если n + 4 = 5 (при n = 1), то остаток равен 4;
если n + 4 = 6 (при n = 2), то остаток равен 3;
если n + 4 = 7 (при n = 3), то остаток равен 2;
если n + 4 = 8 (при n = 4), то остаток равен 1.
Ответ: при n = 1, r = 4; при n = 2, r = 3; при n = 3, r = 2; при n = 4, r = 1; n = 5, r = 0;
при n > 5, r = 9.
Задача 4. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел
делится на 3.
Решение. Произведение трех последовательных натуральных чисел может быть записано
в виде n(n – 1)(n + 1). Если число n делится на 3, то и все произведение делится на 3. Если
n на 3 не делится, то оно делится на три с остатком 1 или 2, то есть n = 3k + 1 или n = 3m
+2. Тогда, в первом случае n – 1 = 3k, во втором случае n + 1 = 3(m + 1), а значит и в
первом и во втором случае произведение n(n – 1)(n + 1) делится на 3.
Задача 5. Доказать, что разность между кубом натурального числа и самим числом
делится на 6.
Решение. Рассмотрим произвольное натуральное число n. Запишем разность между кубом
этого числа и самим числом: n3 – n. Преобразуем полученную разность в произведение: n3
– n = n(n – 1)(n + 1). Получили произведение трех последовательных натуральных чисел,
которое делится на 3 (см. задачу 3).
В произведении n – 1 и n последовательные натуральные числа, следовательно,
одно из них четное, поэтому произведение n(n – 1) делится на 2.
Так как произведение одновременно делится на 2 и 3, то оно делится на 6.
Задача 6. Найти все такие значения А, при которых все три числа А, А+14, А+16 будут
простыми.
Решение. Попытаемся подобрать простое число А, удовлетворяющее условию задачи.
Очевидно, что при А = 2 числа А+14 = 16 и А+16 = 18 являются составными. Если А = 3,
то А+14 = 17 – простое, А+16 = 19 – простое. Таким образом, простое число 3
удовлетворяет условию задачи. Нетрудно убедиться в том, что для нескольких следующих
простых чисел 5, 7, 11 хотя бы одно из чисел А+14 или А+16 будет составным. Так как
множество простых чисел бесконечно, все простые числа перебрать невозможно.
Докажем, что для всех простых чисел А ≠ 3, условие задачи не выполняется. По
теореме о делении с остатком любое целое число А можно представить в одном из
следующих видов:
А = 3q или A = 3q + 1 или A = 3q +2. Если А ≠ 3 и А = 3q – число составное, следовательно
этот случай мы рассматривать не будем.
Пусть A = 3q + 1, тогда А+14 = 3q + 15 – число составное, следовательно простые
числа вида A = 3q + 1 условию задачи не удовлетворяют.
Пусть A = 3q +2, тогда А+16 = 3q + 18 – число составное, следовательно простые
числа вида A = 3q +2 условию задачи не удовлетворяют.
Таком образом, мы получили, для любого простого числа А ≠ 3 хотя бы одно из
чисел А+14 или А+16 будет составным. Следовательно существует единственное простое
число А = 3, для которого А+14, А+16 – простые.
Ответ:
А = 3.
Задача 7. Доказать, что а4 + 4 есть составное число при любом натуральном а, больше
1.
Решение. По определению 3.2 число является составным, если его можно разложить в
произведение двух сомножителей, каждый из которых отличен от 1.
Разложим число а4 + 4 на множители:
а4 + 4 = (а4 + 4 + 4а2) – 4а2 = (а2 + 2)2 – 4 а2 = (а2 + 2 – 2а)( а2 + 2 +2а).
Очевидно, что при любом натуральном а, число а2 + 2 +2а ≠ 1. Рассмотрим, может
ли при каких либо натуральных а ≠ 1, число а2 + 2 – 2а быть равным 1.
а2 + 2 – 2а = (а – 1)2 +1, очевидно, что при любом натуральном а ≠ 1, число
а2 + 2 – 2а ≠
1. Таким образом, мы получили, что а4 + 4 = (а2 + 2 – 2а)( а2 + 2 +2а), причем а2 + 2 +2а ≠
1 и а2 + 2 – 2а ≠ 1 для любого натурального а ≠ 1, следовательно число а4 + 4 является
составным при любом натуральном а, больше 1.
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №2 для учащихся 8
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу
680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно
набрать не менее 15 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла)
М.8.2.1. Пусть произведение ab и сумма a + b делятся на c. Докажите, что
а) a2 + b2 делится на c, б) a3 + b3 делится на c2.
М.8.2.2. Доказать, что если одно из двух натуральных чисел при делении на 3 дает в
остатке 1, а другое – остаток 2, то их произведение при делении на 3 дает в остатке 2.
М.8.2.3. Доказать, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.
М.8.2.4. При каждом натуральном n найти остаток при делении
а) n2 + 3n + 5 на n + 1; б) 4n + 7 на 2n + 1.
М.8.2.5. Найдите каноническое представление числа 60984.
М.8.2.6. Выделить все простые числа от 157 до 211.
М.8.2.7. Найти такие значения р, при которых все три числа р, р+ 4, р+14 будут
простыми.
М.8.2.8. Докажите, что р2 – 1 кратно 24, если р – простое число, большее 3.
Найти все простые числа р, которые можно записать в виде m4 +4n4, где m и n
натуральные числа. Доказать, что других нет.