Простые числа

Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 27
с углубленным изучением отдельных предметов
эстетической направленности»
Реферат
по дисциплине «Математика»
на тему: «Простые числа»
Выполнил:
ученик 6в класса
МОУ СОШ № 27
Маслов Фёдор
Руководитель:
Иванова О.В.
учитель математики,
учитель высшей категории
Тверь
2013
Оглавление
Оглавление............................................................................................................................................. 2
1.Введение ............................................................................................................................................. 3
2. Основная часть. ................................................................................................................................. 4
§1.Определение и свойства простого числа. ...................................................................................... 4
§2.Теорема Евклида о бесконечности ряда простых чисел. ............................................................. 4
§3.Таблицы простых чисел. .................................................................................................................. 6
§4. Таблица Эратосфена........................................................................................................................ 8
§5. Расположение простых чисел в натуральном ряду...................................................................... 9
§6. Проблема Гольдбаха. .................................................................................................................... 10
§7 .«Решето» Матиясевича — Стечкина. .......................................................................................... 11
3. Заключение ...................................................................................................................................... 13
4.Библиография: .................................................................................................................................. 14
2
1.Введение
Изучая на уроках математики тему «Простые числа», я узнал из
учебника и от учителя много интересных фактов по этой теме и мне
захотелось познакомиться с этой темой более подробно.
Используя книги, журналы «Квант» и ресурсы Интернета, я узнал
многое из истории простых чисел, об ученых-математиках, которые внесли
свой вклад в развитие этой теме. Это отражено в семи параграфах моего
реферата. Конечно, развитие электронно-вычислительной техники вносит
много нового в данные исследования, т.к. в настоящее время можно
быстро производить вычисления, на которые раньше математики тратили
годы. Но меня также заинтересовало составление компьютерных программ
для поиска простых чисел, но это планирую сделать в следующей своей
работе.
Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько
загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением
простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни
на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи,
относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются
настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее они
настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики
считают их вообще не разрешимыми. [2]
2. Основная часть.
§1.Определение и свойства простого числа.
1) Простым числом называется такое натуральное число, которое не
имеет никаких делителей, кроме самого себя и единицы.
2) Натуральные числа, имеющие, кроме самого себя и единицы, еще
какие-нибудь делители, называются составными.
3) Единица не относится ни к простым, ни к составным числам. Это
единственное натуральное число, которое имеет только один
делитель.
Примеры: 2, 3, 5, 7, 23 и т.п. – простые числа;
9, 18, 64, 125 и т.п. – составные числа.
Теорема о свойстве любого натурального числа.
Всякое натуральное число, кроме единицы, имеет по крайней мере один
простой делитель.
§2.Теорема Евклида о бесконечности ряда простых чисел.
Ряд простых чисел бесконечен.
Д а н о : 2, 3, 5, 7, 11, … , К – простые числа.
Д о к а з а т ь : существует простое число, большее простого числа К.
4
1) Составляя произведение всех простых чисел от 2 до К включительно,
получим: 2*3*5*7*11*13*…*К = Р.
2) Прибавляя к произведению Р единицу, получим число Р+1.
3) Если полученное число Р+1 есть простое, то теорема доказана, так
как Р+1>К. Если же Р+1 есть число составное, то, по определению,
оно, кроме самого себя и единицы, должно иметь еще какой-нибудь
простой делитель.
4) Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел взятого
нами в условии теоремы ряда 2, 3, 5, 7, 11, … , К, потому что число
Р+1 есть сумма двух слагаемых, из которых первое Р =
2*3*5*7*11*13*…*К делится на всякое число ряда простых чисел 2,
3, 5, 7, 11, … , К, а второе слагаемое – единица – не делится ни на
одно из этих чисел, а поэтому и сумма Р+1 не разделится ни на один
из данных простых делителей.
5) Таким образом, число Р+1 должно иметь некоторый простой
делитель
К1 , больший К. Аналогичным рассуждением мы могли бы доказать,
что и К1 не является последним простым числом. Следовательно, ряд
простых чисел бесконечен.
Рассмотренная теорема была доказана впервые великим греческим
математиком Евклидом (20-я теорема 9-й книги его «Начал»).
Пример.
Число Р+1, составленное указанным способом, может быть как
составным, так и простым. В самом деле:
2+1=3
– число простое
2*3+1=7
– число простое
2 * 3 * 5 + 1 =31
– число простое
2 * 3 * 5 * 7 + 1 = 211
– число простое
2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 2311 – число простое
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 + 1 = 30031 = 59 * 509 – число составное
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 + 1 = 510511 = 19 * 97 * 277 – число
составное
Видно, что первые пять чисел Р+1, составленных указанным
способом, числа простые, шестое и седьмое – составные.
§3.Таблицы простых чисел.
С древних времен простые числа привлекали внимание математиков.
Евклид только доказал, что простых чисел бесконечное множество, но
не дал формулы составления простых чисел.
Интересный поиск в этом направлении предпринял французский
ученый Марен Мерсенн (1588 – 1648). Мерсенн известен более всего как
физик и философ, но и как человек, завязавший переписку и
подружившийся со многими крупнейшими учеными того времени:
Э.Торричелли, Б.Паскалем, Р.Декартом, П.Ферма, Х.Гюйгенсом. Мерсенн
способствовал
открытиями,
установлению
постановке
контактов
новых
между
научных
учеными,
задач.
Из
обмену
ученых,
группировавшихся вокруг Мерсенна в Париже, через несколько лет после
его смерти образовалась Парижская Академия наук.
Мерсенн заинтересовался числами вида 2р – 1, где р – простое число.
Составим таблицу таких простых чисел.[4]
Числа вида Мр = 2р – 1
р
2
3
5
7
11
13
2р
4
8
32
128
2048
8192
131072 524288
Мр
3
7
31
127
2047
8191
131071 524287
17
19
Леонарду Эйлеру удалось доказать, что М31 =231 – 1 =2147483647 есть
простое число. Очень долго оно считалось самым большим из известных
науке простых чисел, но в 1883 году Иван Михеевич Первушин (1827 –
6
1900) сумел доказать, что М61 = 261 – 1 = 2 305 843 002 913 693 951 есть
простое число. Иван Михеевич Первушин по профессии не был
математиком, но с детства до конца своей жизни с увлечением занимался
исследованием свойств чисел.
Через 20 столетий после Евклида знаменитый французский математик
П.Ферма думал, что нашел формулу, по которой всегда можно получить
простое число при любом целом неотрицательном значении n. Сам Ферма
нашел, что формула Fn = 2 2
n
 1 дает простые числа при n, равном 0, 1,
2, 3.
20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8
При этих значениях показателя 2n
действительно получаются
следующие простые числа: 3; 5; 17; 257. Основываясь на этом наблюдении
(и на некоторых соображениях о свойствах простых чисел), П.Ферма
высказал предположение, что формула
Fn = 2 2
n
1
должна давать
простые числа при всяком n.
Но
уже
в
XVIII
веке
великий
математик
Л.Эйлер,
член
Петербургской Академии наук, доказал, что при n=5 получается составное
число 4 291 967 297, которое делится на 641. Впоследствии нашли, что
предположение Ферма о том, что число Fn
– простое при любом
положительном n, неверно и для n, равного 6; 7; 8; 9; 11;12; 18; 23; 36; 38
и 73.
С числами Fn связан замечательный геометрический факт,
установленный немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777
– 1855). Правильный р-угольник для простого р>2 можно построить при
помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда р есть простое
число вида Fn. Иначе говоря, треугольник с равными сторонами и углами
построить с помощью циркуля и линейки можно; пятиугольник,
семнадцатиугольник – тоже; даже 257 и 65 537-угольник – можно. А вот,
например, семиугольник, пользуясь только этими инструментами,
построить нельзя, так как Fn не равно 7 ни при каком n.
Гаусс, сделавший это открытие в девятнадцатилетнем возрасте,
придавал ему настолько большое значение, что позднее завещал
выгравировать правильный семнадцатиугольник на своем надгробии, хотя
многие другие открытия Гаусса имеют для науки гораздо большее
значение.[2]
Все другие известные в науке попытки найти формулы, которые
давали бы всегда простое число, оказались также неосуществимыми. Но
если не существует общей для всех простых чисел формулы, то таблицы
простых чисел и до сих пор незаменимы в случаях, когда требуется
определить, принадлежит ли данное число к категории простых или
составных чисел.
§4. Таблица Эратосфена.
Один из самых простых вместе с тем самых древних способов
составления таблицы простых чисел принадлежит другу Архимеда,
александрийскому математику, астроному и географу Эратосфену (род. в
276 г. и ум. в 196 г. до н.э.). Способ, предложенный Эратосфеном, состоит
в следующем: выписываются числа натурального ряда, начиная с двух: 2,
3, 4, 5,6,7, … , 1000 и вычеркиваются все составные числа. Первое число
этого ряда 2, как удовлетворяющее определению простых чисел,
сохраняется. Вычеркиваются же сначала все числа, которые делятся на 2,
т.е. все четные числа, кроме самого числа 2. Первое невычеркнутое после
двух число есть 3. Это число простое, так как оно не делится на 2 (иначе
оно оказалось бы вычеркнутым), следовательно, 3 делится только на 1 и на
самого себя. Далее вычеркиваются все числа, кратные 3, кроме самого
числа 3. Таким образом, вычеркиваются числа, кратные 5, 7, 11, 13 и т.д.,
8
пока не будет исчерпан весь ряд. Оставшиеся вычеркнутыми числа –
простые.
Этот способ составления таблицы простых чисел известен под именем
«Решето Эратосфена». Такое название он получил потому, что Эратосфен
писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех
местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась
как бы решетом, через которое «просеивались» все составные числа, а
оставались только простые числа. Эратосфен дал таблицу простых чисел в
пределе 1000.
После Эратосфена лишь в 1656 году появляется новая таблица простых
чисел в пределе 10 000. Затем составляется ряд таблиц всё для большего и
большего числа простых чисел и, наконец, американец Лемер составил
таблицу простых чисел в пределах от 1 до 10 006 721 (издана в 1914 г. в
Вашингтоне).[1]
§5. Расположение простых чисел в натуральном ряду.
В множестве простых чисел есть еще немало интересного. Справедлива,
например, теорема: существуют сколь угодно большие промежутки
натурального ряда, не содержащие простых чисел.
Из этой теоремы, да и из простых наблюдений, следует, что в
натуральном ряде простые числа располагаются очень неравномерно – гдето их много, где-то их мало, кое-где и совсем нет.
Рассматривая таблицы простых чисел, мы видим, что эти числа чаще
встречаются в пределах от 1 до 100; в пределах от 100 до 1 000 они
появляются реже, и чем дальше, тем все реже и реже встречаются простые
числа.
Так, в промежутке от 1 до 100 имеем 25 простых чисел; в промежутке
от 1 до 1 000 – 168; в промежутке от 1 до 1 000 000 – 78 439; в промежутке
от 1 до 2 000 000 – 148 932. Количество простых чисел, взятых в пределе
100, 1 000 и других промежутков натурального ряда, называется
абсолютной плотностью простых чисел.[5]
От деления абсолютной плотности на промежуток получается
относительная плотность простых чисел, которая выражается в
следующих процентах: от 1 до 100 – 25%, от 1 до 1 000 – 16,8%, от 1 до
1 000 000 – 7,84% и т.д. Расположение простых чисел в натуральном ряду
не отличается закономерностью.
Вопросом о том, как найти точный закон, по которому убывает
плотность
простых
чисел,
много
занимался
знаменитый
русский
математик Пафнутий Львович Чебышёв (1821 -1894 г.).
§6. Проблема Гольдбаха.
Член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к знаменитому
математику Эйлеру выдвинул предположение, что всякое четное число,
большее 4, может быть представлено в виде суммы двух простых
чисел или в виде суммы единицы и простого числа. В своем ответном
письме Эйлер пишет: «Что каждое четное число есть сумма двух простых
чисел, я считаю совершенно справедливой теоремой, несмотря на то что я
ее доказать не могу». В течение двухсот лет проблема
Гольдбаха
оставалась неразрешенной.
В 1937 году академик Иван Матвеевич Виноградов доказал, что всякое
нечетное число, большее некоторой постоянной величины, есть сумма
трех простых чисел.
10
Что же касается четных чисел, то из работы академика Виноградова
следует, что они, начиная с некоторого числа, являются суммами четырех
простых чисел. Однако полного решения проблема Гольдбаха все еще не
получила.[1]
§7 .«Решето» Матиясевича — Стечкина.
Оказывается,
у
всем
известной
параболы
y=x2
есть
еще
необщеизвестные свойства, да еще и теоретико-числовые.
Возьмем положительные числа a и b и отметим на оси Ох точки –а и b.
Поднявшись на параболу, получим точки с координатами (-a; a2)и (b;b2 ).
Соединим точки, отмеченные на параболе, отрезком.
Как первым
отметил Август Мёбиус (1790-1868), ордината точки пересечения равна
произведению ab. [6]
12
Если рассмотреть всевозможные натуральные числа a и b, начиная с
двойки, то отрезки, соединяющие соответствующие точки на параболе,
проходят через все составные числа на оси. Точки оси, имеющие простую
координату, не пересекает ни один отрезок.
Такая интерпретация – параболическое решето – была отмечена
Ю.В. Матиясевичем и Б.С.Стечкиным.[6]
3. Заключение
Простые числа составляют мультипликативный базис множества N, т.е.
любое натуральное число а может быть представлено в виде произведения
a = р1
е
.
р2
е
.
р3
е .
… . рne, где р - различные простые числа и е –
натуральные показатели степеней.
Это утверждение называется основной теоремой арифметики.[4]
Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая
популярная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они
скрываются в "породе" остальных чисел.
Неслучайно так много математиков разных времен и народов
занимались простыми числами. А в настоящее время к этой теме
привлечены и ЭВМ: как для вычислений с большими числами, так и
составление программ на разных языках программирования для поиска
простых чисел. Их изучению я посвящу свою следующую работу.
4.Библиография:
1. Гальперин Г. Просто о простых числах. - ж.Квант №4, 1987
2. ГарднерМ. “Математические досуги" -М.Мир, 1972 стр. 410
3. Колмогоров А.Н. Решето Эратосфена - ж.Квант,№3 ,1984
4. Тудинов Б.А. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. - М.:
Просвещение,1990.
5. Чекмарев Я.Ф. Арифметика. – М.: Учпедгиз, 1948.
6. Математические этюды http://www.etudes.ru/ru/sketches/
14