XI открытый конкурс научно-технических работ школьников и студентов «Старт в науку» Секция: Биология Тема: «Элементы теории вероятности в генетике» Автор: Кантемирова Дина СОШ № 27, 10 кл. МОУ ДОД ДДТТ Научный руководитель: Бегиева Тамара Борисовна кандидат педагогических наук, заслуженный работник образования РСО – Алания, победитель конкурса «Лучший учитель России», учитель – методист, преподаватель математики г. Владикавказ 2011 г. Тезисы В данной работе рассматривается применение статистики и теории вероятностей при решении задач по биологии. Объект исследования: статистика и теория вероятностей. Предмет исследования: математические аспекты законов Менделя и Харди как проблема генетики. Основные задачи исследования: • выделить соотношение между статистическими и вероятностными методами решения проблемы; (1, с.35-49) • показать применение метода математического моделирования для решения задач по биологии. (2.с.5-8) В основной части работы приведено доказательство закона Харди с применением элементов теории вероятностей (классическое определение вероятности события, теорема о сумме несовместимых и теорема о произведение независимых событий). Структура популяции вида: АА Аа аа P2 2pq q2 стационарна, т.е. не меняется от поколения к поколению, где P2 2pq q2 соответствующая вероятность генотипа АА Аа аа. Значение работы состоит в том, что показано применение математических методов при решении прикладной задачи. В заключении представлены выводы. Работа содержит список литературы. План Введение___________________________________________________________2 1. Законы Менделя: статистика и теория вероятностей в биологии___________3 2. Закон Харди: математический аспект__________________________________5 3. Заключение________________________________________________________9 4. Литература_______________________________________________________10 Введение «Без знания математики нельзя понять основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления» А.М. Колмогоров В данной работе рассматривается применение статистики и теории вероятностей при решении задач биологии. Объект исследования: статистика и теория вероятностей. Предмет исследования: математические аспекты законов Менделя и Харди как проблемы генетики. Основные задачи исследования: • выделить соотношение между статистическими и вероятностными методами решения проблемы; • показать применение метода математического моделирования для решения задач в биологии; Значение работы состоит в том, что показано применение математических методов прикладной задачи. В заключении представлены выводы. Работа содержит список литературы и приложение. Законы Менделя: статистика и теория вероятностей в биологии В нашу современную жизнь вторгается математика с её особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога» Б.В. Гнеденко Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов, отвечающих за цвет цветков потомства, - красный или белый. Эти гены могут находиться в двух состояниях – доминантном (оно обозначается буквой А) и рецессивном (оно обозначается буквой а). Поэтому пары генов могут быть такими: АА, Аа или аА, аа Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый – доминантный, второй – смешанный, третий – рецессивный. Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи. Например, для гороха красный цвет цветков – доминантный признак, а белый – рецессивный. Из опытов известен первый закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе (внешнее проявление признака) обладают доминантным признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным признаком. Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красный цвет цветков, и только особи с рецессивным генотипом имеют белый цвет цветков. (2.с.36-42) Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа – поколение F0 (родительские формы). После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа поколение F0 образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение в генетике принято обозначать F1. В поколении F1 других генотипов, кроме генотипа Аа, нет. При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется поколение F2 в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: АА, Аа, аА, аа. Из опытов известен второй закон Менделя: в поколении F2 происходит расщепление фенотипов в отношении 3:1 (три части составляют особи с доминантным признаком в фенотипе, одна часть приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе). Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность того, что в фенотипе особи проявится доминантный признак, равна ¾, а вероятность того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна ¼. Законы Менделя интересны также тем, что они наглядно показывают связь между классической и статистической вероятностями. На первом этапе Мендель проводил статистический анализ и обнаружил устойчивость частот. Затем была построена теория, согласно которой цвет семян определяется комбинацией хромосом. Из четырех возможных комбинаций три соответствуют красному цвету, а одна – белому, причем эти четыре комбинации равновероятны. В других опытах Менделя вероятности различных исходов также определяются равновероятными комбинациями хромосом Следовательно, законы Менделя укладываются в рамках классической вероятности, которая опирается на понятие «равновероятный исход» Таким образом, сначала мы видим переход от статистической вероятности к классической. А при экспериментальной проверке закона проводилось большое число опытов, и вычислялись частоты появления семян красного и белого цветов. Следовательно, здесь мы видим переход уже от классической вероятности к статистической. (4.с.25-27). Закон Харди: математический аспект «Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» Леонардо да Винчи Пусть в популции встречаются три генотипа: АА, Аа, аа, при этом доля особей генотипа АА равна и, доле особей генотипа Аа равна 2V и доля особей генотипа аа равна W. Тогда структуру популяции можно кратко записать следующим образом. АА Аа аа u 2v w (1) Отсюда следует, что если популяция содержит N особей, то особей генотипа АА в ней будет uN, особей смешанного генотипа Аа – 2vN и особей рецессивного генотипа аа – wN. При этом, так как uN+2vN+wN=N то u+2v+w=1 (2) Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа имеют 2 uN генов А (у каждой особи два гена А, а всего особей uN),особи смешанного генотипа имеют 2vN генов А (у каждой особи один ген А, и всего особей 2vN), у особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в популяции (1) число генов А равно: 2 uN= 2 vN= 2N (u=v), или, короче, 2Np, где p=u+v (3) Число p имеет простой вероятностный смысл – это есть Р(А), т.е.вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно, доминантных генов 2Np, а всех генов 2N (у каждой особи популяции два гена). Следовательно, P(A)=2Np = p (4) 2N Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в популяции (1) равно: 2Nq где q= w + v (5) При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл: P(a)=2Nq = q (6) 2N Из вероятного смысла чисел p и q, а также из формул (3), (5), (2) следует, что p+q=1 (7) Заметим, что числа u, 2v и w в (1) тоже имеют простой вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для доминантных генов): P(AA)=uN = u, (8) N P(Aa) = 2vN = 2v (9) N P(aa) = wN = w (10) N При этом P(Aa), P(Aa), P(aa) – вероятности того, что выбранная на удачу особь имеет генотип АА, Аа и аа соответственно. Теперь посмотрим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет структуру: АА u1 Аа аа 2v1 w1 (11) Подсчитаем u1, 2v1, w1. Числа u1, 2v1, w1 есть вероятности того, что взятый на удачу потомок имеет соответственно генотип АА, Аа и аа (см. соответственно формулы 8, 9, 10). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность u1 может рассматриваться как вероятность следующего события: на удачу и независимым образом из всего запаса выбрали два гена А. Так как выбрать каждый ген А можно с вероятностью р (формула 4), то в силу теоремы умножения вероятностей независимых событий интересующая нас вероятность равна р2, т.е. u1 = p2 (12) Аналогично с использованием формулы (6) получаем: w1 = q2 (13) Вероятность генотипа Аа в популяции потомков складывается из двух возможностей – либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А получен от матери, а ген а от отца – вероятности соответствующих событий есть pq и qp. Следовательно, вероятность генотипа Аа в популяции потомков равна 2pq, т.е. 2v1 = 2pq. Отсюда, v1 = pq (14) Следовательно, потомство (11) имеет следующую структуру: АА Аа аа p2 2pq q2 (15) Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять u1 + v1 и w1 + v1, как это делалось для родителей в формулах (3) и (5), то получим те же самые числа p и q. Действительно, согласно формулам (12), (14), (13), (7) имеем: u1 + v1 = p2 + pq = p(p + q) = p w1 + v1 = q2 + pq = q(q + p) = q так как структура (15) потомства вычислена только с использованием этих сумм, то потомки популяции со структурой (15) будут иметь ту же структуру. При этом говорят, что структура (15) стационарна, т.е. от поколения к поколению не меняется. Этот замечательный факт – со второго поколения устанавливается стационарная структура популяции – является непосредственным обобщением второго закона Менделя и называется законом Харди. На практике возможно отклонение, однако, для больших популяций, закон Харди остается в силе. Для гороха вероятность получения белой особи равна q2 (рецессивный признак), вероятность получения красной особи равна 1-q2 (как для противоположного события), и отношение числа красных и белых особей равно (1-q2):q2. Для описанного в параграфе «Законы Менделя» случая q =1 2 и мы опять получаем 3:1 (см. второй закон). (5.с.7-11) Заключение В результате исследования сделаны следующие выводы: • статистические методы теории вероятностей применимы при решении прикладных задач; • вероятностно-статистические законы – средство описания научной картины мира, моделирования социальных, экономических, естественно-научных процессов и явлений. Литература 1. Гнеденко Б.В., Хинчик А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей – М., Наука, 1970. 2. Биология. Общая биология. Профильный уровень 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений А.Б. Захаров, С.Г. Мамонтов, Н.И. Сонин, Е.Г. Захаров 5-е изд., М., Дрофа, 2009. 3. Колмагоров А.Н. Основы понятия теории вероятностей, М., 1974. 4. Алгебра учеб. Для 9 кл. общеобразовательных учреждений Ю.М. Макарычев, К.И. Нешков, С.. Суворова под ред. С.А. Теляковского 16-е изд., М., Просвещение, 2009. 5. В. Феллер Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1.-М., 1984.