Основное содержание курса

Основное содержание курса.
I. Целые рациональные уравнения и их корни.
Уравнение f(x)=φ(x), где функции f(x) и φ(x) заданы целыми
рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.
Например, 2x+5=3(8–x) и
х( х  3) x
  0.
6
2
Целые рациональные уравнения определены на множестве всех
действительных чисел.
Выполнив тождественные преобразования рациональных выражений
стоящих в левой и правой частях уравнения, получим целое рациональное
уравнение p(x)=0. Первой, второй, третьей или более высокой степени, в
зависимости от степени многочлена p(x).
Значение переменной при котором получаем верное числовое равенство,
называют корнем уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней
нет.
Целое рациональное уравнение первой степени (или линейное) имеет вид
b
a
ax +b=0, где a≠0. Оно всегда имеет единственный корень x   .
Например, 1) 3x  5  0 или 2)  x 11  0
x
5
;
3
x  11.
Целое рациональное уравнение второй степени (или квадратное) имеет
вид ax2 + bx + c=0, где a≠0. Число его корней зависит от дискриминанта
D  b 2  4ac.
Если дискриминант D  0 , то уравнение имеет два корня
b D
b D
.
и x2 
2a
2a
Если дискриминант D  0 , то уравнение имеет один двукратный корень
b
x
.
2a
Если дискриминант D  0 , то уравнение не имеет действительных корней.
Например, 3) 5x2  8x  3  0,
D  64  5  3  4  4, D  0, поэтому
x1 
8 4 8 2

1 и
5 2
10
8 4 82
x2 

 0,6.
52
10
x1 
Ответ: 1; 0,6.
4) 2 x2  x  1  0,
D  1  4  2 1  1  8  7, D  0, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.
5) 9 x 2  6 x  1  0,
D  36  4  9 1  36  36  0, D  0, уравнение имеет единственный корень
6
1
x

29 3
1
Ответ: x  .
3
Кроме того, следует помнить, что коэффициент b при x и свободный член
в квадратном уравнении ax 2  bx  c  0 и тогда имеем неполное квадратное
уравнение.
Например, если свободный член c равен нулю, то уравнение имеет вид
ax 2  bx  0,
x(ax  b)  0,
x  0 или ax  b  0,
ax  b
b
b
x   .Получаем два корня x  0 и x   ;
a
a
Если коэффициент при x b равен нулю, то получаем уравнение
ax 2  c  0,
ax 2  c
c
x2   .
a
Такое уравнение может иметь два корня x  
1


c
c
и x 2    , если
a
a
c
c
 0; один корень x  0, если   0 или не имеет корней совсем, если
a
a
c
 0.
a
Таким образом, квадратное уравнение не может иметь более двух корней.
Целое рациональное уравнение третьей степени имеет вид
3
ax  bx2  cx  d  0, где a  0 и оно не может иметь более трех корней.
Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что целое
рациональное уравнение n -ой степени имеет вид a0 x n  a1x n 1    an 1x  an  0,
где a0  0 и оно может иметь не более n корней. При n  4, получаем
рациональное уравнение четвертой степени, при n  5 - уравнение пятой
степени и т.д.
Для уравнений третьей и четвертой степени существуют формулы для
вычисления корней, как и для квадратного. Однако эти формулы столь
сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и
выше не существует общих формул вычисления корней. Но это не означает,
что их нельзя решить. Цель нашего курса научиться решать уравнения,
степень которых выше второй, используя известные вам методы.
Решая уравнения, мы выполняем различные тождественные
преобразования над выражениями входящими в уравнение. При этом
исходное уравнение заменяется другими, имеющими те же корни. Такие
уравнения называются равносильными.
Уравнение f ( x)   ( x) равносильно уравнению f1( x)  1( x) , если каждый
корень первого уравнения является корнем второго и, обратно, каждый
корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения
совпадают.
Любые уравнения, не имеющие корней, считают равносильными.
Тот факт, что уравнения f ( x)   ( x) и f1( x)  1( x) равносильны, обозначают
так f ( x)   ( x)  f1( x)  1( x).
В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях
данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение:
1) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в
другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному,
2) Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля
число, то получится уравнение равносильное данному.
x3  x  5
 x 2 и x3  3x 2  x  5  0 равносильны. Если
Например, уравнения
3
каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то
уравнение два называют следствием первого уравнения. Этот факт
записывают так: f1( x)  1( x)  f2 ( x)  2 ( x). В том случае, когда первое
уравнение есть также следствие второго, эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны в том и только в том случае, когда, каждое из
них является следствием другого.
Например, уравнения 4 x 2  2 x  1  2 x и 4 x 2  1  0 равносильны, т.к. каждое
уравнение является следствием другого.
Решить уравнения:
Пример 1) 7 x 2 
1
,
28
1
28  7
1
x2 
196
1
1
x1 
и x2  
14
14
1
1
Ответ: ; .
14 14
Пример 2) 4 x 2  9 x  2  0 ,
D  81  4  4  2  81  32  49,
x2 
D  0, x 
9  49
;
24
97
97 1
 2 и x2 
 .
8
8
4
1
Ответ: 2, .
4
Пример 3) (2 x  4)( x  3)  x  13,
x1 
2 x 2  4 x  6 x  12  x  13  0,
2 x 2  3x  1  0,
D  9  4  2 1  9  8  1,
D  0, x 
3 1
,
22
3 1
3 1 1
 1 и x2 

4
4
2
1
Ответ: 1, .
2
3x 2  x 2  7 x 3x 2  17
Пример 4)


,
4
5
10
5(3x 2  x)  4(2  7 x)  2(3x 2  17),
x1 
15x 2  5x  8  28x  6 x 2  34  0,
9 x 2  33x  42  0,
3x 2  11x  14  0,
D  121  4  3 14  121  168  289, D  0,
 11  289
 11  17 6
 11  17  28
14
2
  1 и x2 

   4
, x1 
6
6
6
6
3
3
23
2
Ответ: 1,4 .
3
x
Задачи для самостоятельного решения:
1. Сколько корней имеет данное уравнение? Ответ объясните.
а) 5x2  x  2  0;
б) 4 x 2  8 x  4  0.
2. Решите уравнение:
а) 441  x 2  0;
б) 23x  15x 2  0;
в) 14 x 2  5  0;
г) x 2  16 x  15  0;
д)  x 2  x  11  0;
е) 2 x 2  5x  6  0;
ж)
11x x  4 2 x( x  7)


 1.
10
4
6
3. Найдите все такие значения x , при которых выражения (3x  19)  (19  x) и
(25  x)2 принимают равные значения.
Стартовая контрольная работа (можно предложить два уровня
сложности) рассчитана на один урок:
Вариант II.
1. Решите уравнение:
а) 10 x 2  5x  0;
б) 25  100 x 2  0;
в) 2 x 2  3x  5  0;
г) (3x  1) 2  2  80  6 x;
д)
2 x( x  1) ( x  20)(30  x) ( x  14)2


 2( x  1).
8
4
3
е) x2+2(1+√8)x+8√2=0.
2. При каких значениях k уравнение x2  (k  5) x  k  13  0 имеет один
корень?
3. При каких значениях x значения многочленов 16 x 2  3x  9 и 7 x 2  15 x  14
равны?
4. При каком значении a один из корней уравнения 5x 2  2(a  7) x  14  0
равен 42?
5. При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3x2+x+2m-3=0
равен нулю?
Вариант I.
1. Решите уравнение:
а) 4 x2  20 x  0;
б) 36-x2=0,
в) 3x2  5x  2  0;
г) (2 x  5) 2  2(2 x  9);
д) x2-6x+8=0,
е)(x2-x)/3=(2x-4)/5
2. Какие из чисел 0; 1/3; -1; -0,5; 2 являются корнями уравнения x2-x-2=0?
3. Сколько корней имеет уравнение а) x2-2x+1=0,
б) x2+3x+3=0?
4. Решите уравнение, используя формулу корней с четным вторым
коэффициентом 5x2+38x-16=0.
Темы рефератов:
1. Алгебраические новации Виста и его последователей.
2. Кубические уравнения у Виста.
3. Графическое исследование кубического уравнения.
4. Судьба и королевская карьера Виста.
5. Решение систем Виста.
II. Методы решения целых рациональных уравнений.
Процесс решения уравнений степень которых выше второй заключается в
сведении данных уравнений к линейным или квадратным. Для этого
применяют два основных метода: разложение на множители и введение
новой переменной.
2.1. Метод разложения на множители способом группировки и по
формулам сокращенного умножения.
2
Рассмотрим уравнение ( x  3x  2)  ( x  6)  0.
Известно, что произведение двух чисел равняется нулю, если хотя бы
одно из них равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения
( x 2  3x  2)  0 и ( x  6)  0, а затем объединить их решения. Решением первого
уравнения являются числа 1 и 2, решением второго – число 6. Объединив эти
решения, получим решение уравнения: x1  1, x2  2 , x 3  6.
В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяющие хотя бы
одному из данных уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений.
Для обозначения совокупности уравнений иногда используется квадратная
скобка,
т.е.
в
нашем
примере
имеем,
что
уравнение
2
 x  3x  2  0,
( x 2  3x  2)  ( x  6)  0  
 x  6  0.
Решением совокупности уравнений с одной переменной является
объединение решений каждого из уравнений, входящих в совокупность. В
общем случае справедлива теорема:
Уравнение f ( x)   ( x)  0 , определенное на всей числовой оси, равносильно
совокупности уравнений f ( x)  0 и  ( x)  0.
Пример 1.
Решим уравнение 2x3  3x2  8x  12  0.
Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители способом
группировки: 2x3  3x2  8x  12  2x( x2  4)  3( x2  4)  ( x2  4)(2x  3).
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2 x  3)( x 2  4)  0,
которое равносильно совокупности уравнений 2x  3  0 и x 2  4  0.
Решая каждое, находим: 2x  3 , x1  1.5 и x 2  4  0, x 2  4 , x2  2 , x3  2.
Ответ: x  1.5, x  2, x  2.
Пример 2.
Решим уравнение x3  6 x  5  0. Для этого представим  6 x  5 x  ( x) ,
тогда ( x3  x)  (5x  5)  x( x2  1)  5( x  1)  x( x  1)( x  1)  5( x  1)  ( x  1)( x2  x  5).
Получим,
что
исходное
уравнение
равносильно
уравнению
 x  1  0,
( x  1)( x 2  x  5)  0 , которое равносильно  2
 x  x  5  0;
Решив каждое из уравнений совокупности, получим x1  1, x2 
x3 
 1  21
,
2
 1  21
.
2
 1  21
 1  21
,x
.
2
2
Пример 3. Решить уравнение x 4  12 x3  32 x  8 x  4  0.
Ответ: x  1, x 
Разложим на множители левую часть уравнения по формуле разности
32 x  36 x  4 x,
квадратов.
Для
этого
представим
тогда
x 4  12 x3  32 x  8 x  4  ( x 4  12 x3  36 x)  (4 x 2  8 x  4)  x 2 ( x 2  12 x  36)  4( x 2  2 x  1) 
 x 2 ( x  6)2  4( x  1)2  ( x( x  6)  2( x  1))( x( x  6)  2( x  1))  ( x 2  4 x  2)( x 2  8 x  2).
Получили, что ( x2  4 x  2)( x2  8x  2)  0,
x2  4x  2  0
D  16  8  24,
x2  8x  2  0
или D  64  8  56
 4  24
 8  56
 2  6
x3; 4 
 4  14.
2
2
Ответ: x  2  6 и x  4  14.
Пример 4. Решить уравнение x 4  3x 2  2  0.
x1; 2 
Разложим левую часть уравнения на множители, заменив  3x 2   x 2  2 x 2 ,
тогда x4  3x2  2  ( x4  x2 )  (2 x2  2)  x2 ( x2  1)  2( x2  1)  ( x2  1)( x2  2) .
 x 2  1  0,
Получим, что ( x 2  1)( x 2  2)  0  
2
 x  2  0;
 x  1,

 x  2;
x  1,
x   2.
Ответ:  2 ;1;1; 2 .
Пример 5. Решить уравнение x5  5 x3  6 x 2 .
Заменим  6 x2   x2  5x2 , тогда
x 5  5 x3  6 x 2  x 5  5 x 3  x 2  5 x 2  ( x 5  x 2 )  (5 x 3  5 x 2 )  x 2 ( x 3  1)  5 x 2 ( x  1) 
 x 2 ( x  1)( x 2  x  1)  5 x 2 ( x  1)  ( x  1)( x 4  x 3  x 2  5 x 2 )  ( x  1)( x 4  x3  4 x 2 ) 
 ( x  1)( x 2  x  4)  x 2 .
Получим уравнение x 2 ( x  1)( x2  x  4)  0, которое равносильно
 x  0,

 x  1  0,
 x 2  x  4  0;

2
Ответ: 0;1;

 x  0,

 x  1,

 x  1  17 .

2
1  17
.
2
Задачи для самостоятельного решения:
Решить уравнение: 1) x3  3x  2  0,
2) x 3  7 x  6  0,
3) x 3  x  10  0,
4) x 3  5x  12  0,
5) x3  6 x 2  9 x  2  0,
6) x3  3x2  6 x  8  0,
7) 3x3  3x 2  16 x  48  0,
8) 24 x4  16 x3  3x  2  0,
9) (10 x  4)(3x  2)  0,
1
3
1
11) ( x  1)(5 x  ).
2
10) ( x  5)( 2 x  ),
2.2. Метод разложения на множители с использованием теоремы Безу.
Один из способов решения уравнений высоких степеней является способ
разложения на множители, основанный на применении теоремы Безу:
Остаток от деления многочлена p (x ) на двучлен ( x   ) равен p( ) (т.е.
значению p (x ) при x   ).
Если число  является корнем многочлена p (x ) , имеющего степень n , то
этот многочлен можно представить в виде p( x)  ( x   )  Q( x) , где Q (x) частное от деления p (x ) на ( x   ) , многочлен степени n 1.
Т.о., если известен хотя бы один корень уравнения p( x)  0 степени n , то с
помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени
n  1, т.е. понизить степень уравнения.
Возникает естественный вопрос: как найти хотя бы один корень
уравнения? В случае уравнения с целыми коэффициентами можно отыскать
рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют.
Необходимое условие для того, чтобы несократимая дробь
p
была
q
корнем уравнения a0 x n    a n 1x  an  0 , где a0  0 с целыми коэффициентами,
формулируется следующим образом: Для того чтобы несократимая дробь
p
была корнем уравнения, необходимо, чтобы числитель p этой дроби был
q
делителем свободного члена an , а знаменатель q - делителем старшего
коэффициента a0 .
Т.о., чтобы найти рациональные корни
p
уравнения a0 x n    a n 1x  an  0 ,
q
надо:1) найти все целые делители свободного члена an (как положительные,
так и отрицательные);
2) найти все натуральные делители коэффициента a0 при старшем члене;
3) составить все дроби с найденными значениями числителя и
знаменателя;
4) из найденных дробей отобрать те, которые удовлетворяют заданному
уравнению.
Пример 1. Найдем корни уравнения 2 x 4  17 x3  17 x 2  8 x  6  0 .
Свободный член 6 имеет целые делители  1;2;3;6 . Старший
коэффициент 2 имеет натуральные делители 1 и 2. Значит надо испытать
1
2
1
3
следующие числа:  1;2;3;6; ; . Подставляя эти числа в уравнение,
1
2
отбираем следующие корни: x1  1, x2  . Отсюда следует, что многочлен
1
2 x 4  17 x3  17 x 2  8 x  6  2( x  1)( x  )( x 2  10 x  6) . Чтобы найти остальные корни,
2
2
надо решить уравнение x  10 x  6  0 . Его корнями являются x3, 4  5  19 .
1
2
Ответ: x1  1, x2  , x3, 4  5  19 .
Пример 2. Решить уравнение 6 x 4  19 x3  7 x 2  26 x  12  0 .
Свободный член 12 имеет целые делители  1;2;3;4;6;12 , а старший
коэффициент 6 имеет натуральные делители 1;2;3;6 . Т.о., рациональные корни
1
2
3
2
2
3
4
3
1
6
уравнения надо искать среди чисел  1;2;3;4;6;12; ; ; ; ; . Во
многих случаях вычисления по схеме Горнера удобнее, чем
непосредственная подстановка.
Верхняя строка таблицы содержит коэффициенты уравнения, а первое
число
p
второй строки таблицы это одно
6
19
-7
-26
12
1
-1
2
-2
3
6
6
6
6
6
25
13
31
7
1
18
-20
55
-21
-10
-8
-6
84
16
4
4
18
180
-20
0
1
2
6
4
-8
0
q
их чисел
p
, второе число является
q
старшим коэффициентом уравнения.
Затем выполняются операции:
1 6  19  25. Результат
записывается под числом 19.
1  25  (7)  18 . Результат
записывается под числом (-7).
1 18  (26)  8 . Результат записывается под числом (-26). 1  (8)  12  4 .
Результат записывается под числом 12. Последним числом строки таблицы
должно являться число нуль, что будет означать, что данный многочлен,
стоящий в левой чисти уравнения, делится на это число без остатка (остаток
равен 0).
Мы нашли, что числа  3 и
1
являются корнями нашего уравнения и
2
тогда числа, полученные в последней строке являются коэффициентами
квадратного трехчлена, т.к., мы нашли два корня уравнения, а значит,
понизим четвертую степень уравнения на 2.
1
2
Т.о., мы получили, что 6 x 4  19 x3  7 x 2  26 x  12  ( x  3)( x  )(6 x 2  4 x  8)  0 , а
1
2
значит (x+3)(x- ( x  3)( x  )(6 x 2  4 x  8)  0 . Остается решить квадратное
6 x 2  4 x  8  0,
3 x 2  2 x  4  0,
уравнение D  4  48  52, D  0,
 2  52
,
6
 1  13
 1  13
x3 
, x4 
.
3
3
1
 1  13
 1  13
, x4 
.
Ответ: x1  3, x2  , x3 
2
3
3
x
Из теоремы Безу вытекают два очевидных следствия:
1)
Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами
является делителем его свободного члена.
2)
Если старший коэффициент уравнения с целыми
коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они
существуют – целые.
Пример 3. Решить уравнение x 4  3x3  24 x 2  17 x  3  0 .
Т.к. это уравнение имеет целые коэффициенты и является приведенным,
то его рациональные корни должны быть целыми и являться делителями
свободного члена 3. Значит надо проверить числа  1,3.
Следовательно, x1  1 является
1
3
-24
17
3
корнем уравнения, и теперь мы имеем
x 1
1
4
-20
-3
0
уравнение третьей степени
x3  4 x 2  20 x  3  0 .
Значит, число -1 не является корнем, а
1
4
-20
-3
число 3 является корнем кубического
-1
1
3
-23
20
уравнения, а нам остается только решить
x3
1
7
1
0
квадратное уравнение x 2  7 x  1  0 .
D  49  4  45, D  0,
 7  45
,
2
73 5
x3 
 3,5  1,5 5
2
x4  3  1,5 5.
x
Ответ: x1  1; x2  3; x3  3,5  1,5 5; x4  3  1,5 5.
Пример 4. Решить уравнение x5  2 x 4  13x3  26 x 2  36 x  72  0 .
Свободный член уравнения равен (-72), поэтому, если уравнение имеет
рациональные корни, то их нужно искать среди чисел
 1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72 .
1
-2
-13
26
36
-72
По схеме Горнера мы нашли
1
2
3
-3
1
1
1
1
-1
0
3
0
-14
-13
-4
-4
12
0
-12
0
48
36
0
-24
0
x1  2, x2  3, x3  3 , и остается решить квадратное уравнение x 2  4  0
x2  4
x4  2, x5  2 .
Ответ: x1  2; x 2  3; x3  3; x 4  2; x5  2.
Задачи для самостоятельного решения.
Найти все действительные корни уравнения:
1) x 4  4 x 3  25x 2  16 x  84  0,
2) x 3  2 x 2  5x  6  0,
3) 2 x3  5x 2  x  2  0,
4) 4 x4  7 x2  5x  1  0,
5) x4  4 x3  x2  16 x  12  0,
6) 4 x4  8x3  x2  8x  3  0,
7) x4  2 x3  6 x2  22 x  55  0,
8) 2 x5  3x4  6 x3  20 x2  60 x  36  0,
9) x6  x5  8x4  14 x3  x2  13x  66  0,
10) 2 x 4  x 3  9 x 2  4 x  4  0,
11) x 4  x 3  5 x 2  3x  2  0.
2.3. Разложим на множители методом неопределенных коэффициентов.
При решении уравнений высоких степеней часто приходится
раскладывать многочлен на множители. И если не помогают
предварительные преобразования: добавить или вычесть одночлен, или
разбить его на два слагаемых, представив тем самым многочлен в виде
разности квадратов или в виде разности сумм кубов, то используется метод
неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 6 x 2  5 x  1.
Допустим, что данный многочлен второй степени можно представить в
виде произведения 6 x 2  5x  1  (ax  b)(cx  d ) , где коэффициенты a, b, c, d неизвестные нам целые числа. Тогда 6 x2  5x  1  acx2  x(bc  ad )  bd . Это
будет Верн, если
ac  6,

ad  bc  5,
bd  1.

Мы получили систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако
нам не обязательно находить все решения этой системы, т.к., так как отыскав
одно из них, мы найдем коэффициенты многочлена и, следовательно, решим
поставленную задачу – разложим данный многочлен на множители. Начнем с
наиболее простого уравнения bd  1 т.к. b и d - целые числа, то возможны
лишь два варианта: b  d  1 или b  d  1 .
Если b  d  1 , a  c  5 и ac  6 . Подбором находим, что a  2 и c  3 или
a  3 и c  2 , в данном случае это не существенно, т.к.
6 x 2  5x  1  (2 x  1)(3x  1) или 6 x 2  5 x  1  (3x  1)( 2 x  1) , что одно и тоже.
Второй случай, когда b  d  1 , можно не рассматривать, т.к. разложение
уже выполнено. Замечу, что в случае b  d  1 мы получили бы
6 x 2  5x  1  (2 x  1)(3x  1) .
Пример 2. Решить уравнение x3  5 x  2 способом разложения на
множители методом неопределенных коэффициентов.
Если многочлен, стоящий в левой части уравнения можно разложить на
множители, то его можно представить хотя бы в виде произведения двух
многочленов первой и второй степени.
Учитывая, что коэффициент при x3 равен 1, то
x3  5 x  2  ( x  a)( x 2  6 x  c)  x3  ax 2  bx 2  adx  cx  ax 
 x3  x 2 (a  b)  x(ab  c)  ac.
Т.о. x3  5x  2  x3  x2 (a  b)  x(ab  c)  ac .
Для того чтобы равенство было тождеством, необходимо считать
a  b  0,

ab  c  5,
ac  2.

Начнем с наиболее простого уравнения ac  2. Его решением (в целых
числах) являются четыре пары чисел: (2;1), (1;2); (2;1) и (-1;-2).
Если a  2 и c  1 , то b  2 и 2  (2)  1  4  1  3  5 .
Получили, что эти числа не удовлетворяют уравнению ab  c  5 .
Если a  1 и c  2 , то b  1 и тогда 1  (1)  2  1  2  1  5 , также получили
неверное равенство.
Если a  2 и c  1 , то b  2 и поэтому  2  2 1  4 1  5 .
Т.о., мы нашли значения a, b, c и следовательно, x3  5x  2  ( x  2)( x2  2 x  1) .
Возвращаясь к решению уравнения, получим ( x  2)( x2  2 x  1)  0 ,
x2  2x  1  0
D  4  4  8, D  0,
x2  0
или
22 2
x1  2
x2 
 1  2 ,
2
x3  1  2 .
Ответ: 2;1  2 ;1  2.
Пример 3. Решить уравнение x3  4 x 2  5 x  2  0 .
Разложим левую часть уравнения на множители используя метод
неопределенных коэффициентов. Т.к., старший коэффициент равен 1, то
x3  4 x 2  5 x  2  ( x  a)( x 2  bx  c)  x3  ax 2  bx 2  abx  ac  xc 
 x3  x 2 (a  b)  x(ab  c)  ac.
Т.о., x3  4 x2  5x  2  x3  x2 (a  b)  x(ab  c)  ac.
a  b  4,
Учитывая равенство многочленов, получим систему: ab  c  5,
ac  2,

a  2, c  1; a  1, c  2; a  2, c  1 или a  1; c  2.
При a  2, c  1 имеем b  4  2  2 , тогда 2  2  1  4  1  5.
Значит x 3  4 x 2  5x  2  ( x  2)( x 2  2 x  1). И тогда ( x  2)( x2  2 x  1)  0,
x 2  2 x  1  0,
x2  0
или ( x  1)2  0,
x1  2
x2  1.
Ответ: 2; -1.
Пример 4. Решить уравнение x 4  x3  8 x 2  3x  5  0. Решим уравнение
способом разложения множителей методом неопределенных коэффициентов.
Попытаемся представить левую часть уравнения в виде произведения двух
квадратных множителей с целыми коэффициентами:
x 4  x3  8 x 2  3x  5  ( x 2  ax  b)( x 2  cx  d )  x 4  ax3  bx 2  cx3  acx 2  bcx  dx 2  adx  bd 
 x 4  x3 (a  c)  x 2 (b  ac  d )  x(bc  ad )  bd .
a  c  1,
b  d  ac  8,
Получаем систему из четырех уравнений 
bc  ad  3,
bd  5.
Из последнего уравнения b  1, d  5 или b  1, d  5, или b  5, d  1, или
b  5, d  1.
ac  14
целых решений такая система
a  c  1,
Если b  1, d  5, тогда 1  5  ca  8, 
не имеет.
Если b  1, d  5, тогда ac  8  5  1  2, a  c  1. Получаем, что либо
a  2, c  1, либо a  1, c  2. Третьему уравнению удовлетворяет пара
a  1, c  2, т.к.  1  2  (1)  (5)  2  5  3. Т.о., a  1, b  1, c  2, d  5. В итоге
x 4  x3  8x 2  3x  5  ( x 2  x  1)( x 2  2 x  5)  0, т.е.,
x2  x  1  0
D  1  4  5,
или
x 2  2 x  5  0,
D  4  20  24,
22 6
1 5
x
 1  6.
2
2
1 5
;1  6 .
Ответ:
2
Пример 5. Решить уравнение x 4  12 x  323  0. Разложим левую часть
x
уравнения
на
два
квадратных
множителя
x  12 x  323  ( x  ax  b)  ( x  cx  d )  x  cx  dx  ax  acx  bd  bx  bcx  adx 
4
2
2
4
3
2
3
2
2
 x 4  x3 (c  a)  x 2 (d  ac  b)  x(bc  ad )  bd .
a  c  0,
d  ac  b  0,
Получаем систему уравнений 
bc  ad  12,
bd  323.
Поскольку 323  17 19 , тогда предположим, что b  17 и d  19 , тогда
17c  19a  12,

17  ac  19  0, ac  36 . Если a  6, c  6, то 17  (6)  19  6  6  (17  19) 
a  c  0,

 6  2  12  12, a  6, c  6, то 17  6  (6) 19  6  (17  19)  6  (2)  12.
Т.о., a  6, b  17, c  6, d  19.
Значит, x4  12 x  323  ( x2  6 x  17)( x2  6 x  19). Т.е.,
( x 2  6 x  17)( x2  6 x  19)  0,
x 2  6 x  17  0
D  36  68  32, D  0,
нет корней.
или
x 2  6 x  19  0
D  36  76  40, D  0,
нет корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.
Задачи для самостоятельного решения:
Решить уравнение используя метод неопределенных коэффициентов:
1) x3  4 x 2  6 x  4  0,
2) x4  4 x3  13x2  64 x  48  0,
3) 2 x 4  5x3  3x 2  2 x  8  0,
4) x4  10 x3  27 x2  14 x  2  0,
5) x4  12 x3  43x 2  42 x  6  0,
6) x4  x3  5x2  13x  6  0,
7) x 4  4 x3  20 x 2  13x  2  0.
Рефераты:
Проектная работа (групповая) “Великое искусство и жизнь Джероламо
Кардано”.
1. По пути к формуле Кардано.
2. Вокруг формулы Кардано.
3. Тарталья и Феррари.
4. Кардано – человек эпохи.
5. Как пользоваться формулой Кардано.
6. “Великое искусство” – шаг Кардано в алгебру.
III. Метод введения новой переменной.
Другим методом решения уравнений высоких степеней является введение
новой переменной.
3.1. Сведение уравнения к квадратному с помощью введения новой
переменной.
Многие уравнения высоких степеней приводятся к квадратным с
помощью данной подстановки. В общем случае метод введения новой
переменной заключается в том, что для решения уравнения f ( x)  0 вводят
новую переменную (подстановку) y  g (x) и выражают f (x) через y , получая
новое уравнение  ( y )  0 , степень которого ниже. Решая затем уравнение
 ( y )  0 , находят его корни: y1, у2 , . После этого получают совокупность n
уравнений g ( x)  y1, g ( x)  y2 , , из которых и находят корни исходного
уравнения.
Пример 1. Решим уравнение (3x  2)4  13(3x  2)2  36  0 .
Обозначим (3x  2)2  y , тогда получим квадратное уравнение
y 2  13 y  36  0,
D  169  144  25, D  0,
13  5
13  5
y1 
 4, y2 
 9.
2
2
Возвращаясь к подстановке, получаем, что (3x  2)2  4 и (3x  2)2  9 .
3x  2  2,
Первое уравнение равносильно совокупности уравнений 
3x  2  2;
4
3
3
x

2  3,

Второе уравнение (3x  2)2  9 равносильно 
решением этой
3x  2  3,
1
5
4 1 5
совокупности уравнений являются числа x3  и x4   .Ответ: 0; ; ; .
3
3
3 3 3
Пример 2. Решить уравнение ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24. Раскроем скобки,
решением которой являются числа x1  0, x2   .
группируя первый множитель с последним, а второй с третьим. Тогда данное
уравнение примет вид: ( x2  5x  4)( x2  5x  6)  24 .
Полагая x2  5x  y , получим уравнение второй степени ( y  4)( y  6)  24 ,
или в стандартном виде y 2  10 y  0.
Находим корни этого уравнения y1  0, y2  10 и решаем уравнения
x 2  5 x  0,
и
x( x  5)  0,
x  5  0,
x  0 или
x  5.
x 2  5x  10,
x 2  5x  10  0,
D  25  40  15, D  0,
корней нет.Ответ: 0;-5.
Пример 3. Решить уравнение x 4  5 x 2  36  0 .
Т.к. x 4  (x 2 ) 2 , то это уравнение можно записать следующим образом:
( x2 )2  5x 2  36  0 . Сделаем подстановку x 2  y . Получим квадратное
уравнение y 2  5 y  36  0, D  25  144  169, y1  4, y2  9. Для нахождения x
осталось решить уравнения x 2  4 и x 2  9 . Первое имеет два корня
x1  2, x2  2 , а второе уравнение не имеет действительных корней.Ответ: 2;-2.
Уравнения вида ax4  bx  c  0, где a  0 , называются биквадратными. Для
решения биквадратных уравнений надо сделать подстановку y  x2 , найти
корни y1 и y 2 квадратного уравнения ay 2  by  c  0 и решить уравнения
x 2  y1 и x 2  y 2 . Они имеют решения лишь в случае, когда y1  0 и y2  0 .
Пример 4. Решить уравнение x 12  3x 6  2  0 .
Т.к. x12  (x6 )2 , то обозначив x6  y , получим квадратное уравнение
y 2  3 y  2  0, D  9  8  1, y1  1, y2  2 . Решив уравнения x 6  1 и x 6  2 , найдем
значения x : x1  1, x2  1, x3  6 2 , x4  6 2. Ответ: 1;1; 6 2 ;6 2.
Пример 5. Решить уравнение (2 x2  3x  1)2  10 x2  15x  9  0 .
Заметим, что (2 x2  3x  1)2  5(2 x2  3x  1)  5  9  0,
(2 x 2  3x  1)2  5(2 x 2  3x  1)  4  0.
Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение
четвертой степени, а с помощью подстановки y  2 x2  3x  1 , решая е го,
найдем y1  1 и y2  4 . Чтобы найти x нужно решить уравнения 2 x 2  3x  1  1 и
2 x 2  3x  1  4
2 x 2  3x  2  0
D  9  16  25
2 x 2  3x  5  0
D  9  20  29
 3  29 Ответ:  2; 1 ;  3  29 ;  3  29 .
2
4
4
4
 3  29
x4 
.
4
Пример 6. Решить уравнение (2 x  3)4 (2 x  5)4  82. Если раскрыть скобки, то
35
 2
4
1
x2  .
2
x1 
x3 
получим полное уравнение четвертой степени, решить которое нам скорее
всего не удастся. Однако удобно ввести новую переменную t 
2x  3  2x  5
,
2
т.е. 2x  4  t , тогда (t  1)4  (t  1)4  82 . Используя формулу
(a  b)4  a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4 , мы получим биквадратное уравнение,
поскольку благодаря симметризации членов с нечетными степенями
уничтожатся:
t 4  4t 3  6t 2  4t  1  t 4  4t 3  6t 2  4t  1  82,
t 4  6t 2  40  0.
Решив это биквадратное уравнение, найдем t1  2 и t2  2 . Тогда
2x  4  2
2 x  2
x  1
2 x  4  2
и 2 x  6
Ответ: x  1; x  3.
x  3
Пример 7. Решить уравнение ( x2  3x)4  ( x2  3x  4)4  32. Обозначим
x 2  3 x  4  t , тогда x 2  3x  t  4 . Получим уравнение (t  4)4  t 4  32 .
Используя треугольник Паскаля раскроем скобки:
t 4  16t 3  96t 2  256t  256  t 4  32  0,
2t 4  16t 3  96t 2  256t  224  0,
t 4  8t 3  48t 2  128t  112  0.
Если это уравнение имеет рациональные корни, то их нужно искать среди
чисел  1;2;4;7  8.
2
2
1
1
1
-8
-6
-4
48
36
28
-128
-56
0
112
0
Т.о., t1  2, t2  2. Остается решить
квадратное уравнение
t 2  4t  28  0
уравнение не имеет корней.
D  16  112  96, D  0,
Чтобы найти x решим уравнение
x 2  3x  4  2,
x 2  3x  2  0,
D  9  8  1,
 3 1
x1 
 2,
2
x2  1.
Ответ: x1  2, x2  1.
Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения, сделав подстановку: