Гимназия № 4

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 4» Управление образования
Администрации городского округа Электросталь Московской области
Линейное уравнение, линейная функция
вокруг нас
Работу выполнили учащиеся 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 4»
Демич Ливия, Перова Анастасия,
Кислякова Екатерина,
Санников Тимур, Чурилин Даниил,
под руководством учителя математики Бродецкой Т. А.
2013г.
1
Цель: обобщить знания учащихся по темам «Линейные уравнения. Линейная функция».
Содержание:
I.
стр.
Уравнения ……………………………………………………………………………... 3
1. Уравнение и его корни. Свойства уравнений …………………………………….. 3
2. Линейное уравнение с одной переменной ………………………………………… 3
3. Алгоритм решения линейного уравнения. Примеры уравнений ………………… 4
4. Примеры решения задач с помощью линейных уравнений ……………………… 5
II.
Линейная функция ……………………………………………………........................ 6
1. Функция………………………………………………………………….…………… 6
2. Линейная функция ……………………………………………………..……………. 6
3. Частные случаи линейной функции ……………………………………………….. 7
4. Прямая пропорциональность ………………………………………………..……… 8
III.
Линейная функция и линейные уравнения вокруг нас ……………………………… 9
IV.
Используемая литература …………………………………………………………… 10
2
I.
Уравнения.
1. Уравнение и его корни. Свойства уравнений.
Уравнение – равенство, содержащее переменную.
Корень уравнения - это значение переменной, при котором уравнение обращается в
верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.
Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Свойства уравнения
1.В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
2.В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
3.Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на
противоположный.
4.К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
5.Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
6.Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от
нуля.
2. Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение — это уравнение вида ax=b, где х – переменная, a и b – некоторые
числа.
1
Например, 3х+15=0; 6,4х=0,4;
-х=- 4 .
3
Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение.
если a≠0
если a=0; b=0
если a=0; b≠0
уравнение имеет
единственный корень
уравнение имеет
бесконечное множество
корней
уравнение не имеет корней
Примеры
Пример
Пример
1) 6х = 42
х = 42 : 6
х=7
Ответ: 7.
6х - 42 = 6х – 42
6х – 6х = - 42 + 42
0·х = 0
х – любое число
Ответ: любое число.
6х - 42 = 6х – 40
6х – 6х = - 40 + 42
0·х = 2
нет корней
Ответ: нет корней.
2) 5х + 20 = 0
3
5х = - 20
х = - 20 : 5
х=-4
Ответ: - 4.
3) 4,5х = 0
х=0
Ответ: 0.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
3. Алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным.
1. Раскрыть скобки в уравнении, если они есть.
2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а слагаемые без
переменной – в другую часть уравнения, изменив при этом их знаки.
3. Привести подобные слагаемые.
4. Найти корень уравнения.
5. Выполнить проверку.
6. Записать ответ.
Примеры решения уравнений, сводящихся к линейным.
1) 5х – 3,5х = 0
1,5х = 0
х=0
Ответ: 0.
2) 0,8х + 14 = 2 – 1,6 х
0,8х + 1,6х = 2 – 14
2,4х = - 12
х = - 12 : 2,4
х=-5
Ответ: - 5.
6х  5 2х  1

2
7
3
Умножить каждую часть
уравнения на
НОК(7;3)=21
6у  5 у

3
8
Воспользуемся
основным свойством
пропорции
6х  5
2х  1
 21  (
 2)
7
3
3(6х – 5) = 7(2х – 1) + 42
18х – 15 = 14х – 7 + 42
18х – 14х = - 7 + 42 + 15
4х = 50
х = 50 : 4
х = 12,5
Ответ: 12,5.
8(6у - 5) = 3у
48у – 40 = 3у
48у – 3у = 40
45у = 40
у = 40 : 45
8
у=
9
8
Ответ: .
9
4)
21 
5)
3) 12-(4х-18)=(36+4х)+(18-6х)
12-4х+18 = 36+4х+18-6х
-4х – 4х + 6х = 36 + 18 – 12 – 18
- 2х = 24
х = 24 : (-2)
х = - 12
Ответ: - 12.
6) При каком значении у значение
выражения (1,7 у + 37) меньше
значения выражения (9,3у–25) на
14?
Составим и решим уравнение:
(1,7у + 37) + 14 = 9,3у – 25
1,7у + 37 +14 = 9,3у – 25
9,3у – 1,7у = 37 + 14 + 25
7,6у = 76
у = 76 : 7,6
у = 10
Ответ: при у = 10.
4
4. Примеры решения задач с помощью линейных уравнений.
При решении задач с помощью линейных уравнений поступают следующим образом:
1. Обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи,
составляют уравнение.
2. Решают это уравнение.
3. Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Пример1. В двух папках было одинаковое количество тетрадей. После того, как из
второй папки переложили в первую 6 тетрадей, в первой папке тетрадей стало в 3 раза
больше, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой папке первоначально?
Решение:
1 папка
Было
?, х т.
Стало
(х + 6) т., в 3 раза
больше, чем
(х – 6) т.
2 папка
?, х т.
Составим уравнение:
3(х – 6) = х + 6
3х – 18 = х + 6
3х – х = 6 + 18
2х = 24
х = 12
12 тетрадей было в каждой папке первоначально.
Ответ: 12 тетрадей.
Пример 2. 78 книг необходимо расставить на трёх полках так, чтобы на первой полке
было в 2 раза меньше книг, чем на второй, а на третьей – на 12 книг больше, чем на
первой. Сколько книг необходимо поставить на первую полку?
Решение:
Пусть на первую полку поставили х книг. Тогда на вторую полку следует поставить (2х)
книг, а на третью – (х + 12) книг. Так кА общее число книг 78, то составим уравнение:
х + 2х + (х + 12) = 78
х + 2х + х + 12 = 78
4х = 66
х = 16,5
По смыслу задачи значение х должно быть натуральным числом, а корень уравнения –
дробное число. Значит, распределить книги на трёх полках таким образом нельзя.
Ответ: Такое распределение книг невозможно.
Пример 3. Старинная задача. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долу первого
1
1
пришлось этой суммы, на долю второго - , а на долю третьего – 17 флоринов. Как
4
7
велик весь выигрыш?
Решение:
1
1
Пусть х флоринов – весь выигрыш. Тогда первый выиграл ( х ) флоринов, второй – ( х )
4
7
флоринов. По условию задачи составим уравнение:
1
1
х  х  17  х I умножим каждую часть уравнения на НОК(4;7) = 28
4
7
5
7х + 4х + 476 = 28х
17х = 476
х = 28
28 флоринов – выигрыш.
Ответ: 28 флоринов.
Линейная функция.
1. Функция.
II.
Функция – зависимость одной переменой от другой, при которой каждому
значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой
переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом (обычно обозначают x), а
зависимую – функцией (обычно обозначают y) от этого аргумента.
Область определения функции - все значения, которые принимает независимая
переменная.
Область значений функции - все значения, которые принимает зависимая
переменная.
График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы
которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
График даёт наглядное представление зависимости между величинами.
Пример 1.
График функции y = x(6-x) при -1 ≤ x ≤ 5.
Рис. 1
x
-1
0
1
2
3
4
5
y
-7
0
5
8
9
8
5
Функцию можно задать с помощью формулы, с помощью графика, описанием
зависимости между величинами.
Понятие функции сложилось не сразу. С 1636 года в трудах П. Ферма, Р. Декарта,
И. Барроу, И. Ньютона встречаются примеры, указывающие на функциональную
зависимость двух переменных величин, в 1692 году Г. Лейбниц пользуется термином
«функция», но пользуется им не совсем в современном его понимании.
Первые определения функции в смысле, близком к современному, встречаются у
И. Бернулли (1718г.), Л. Эйлера (1748г.). Современное определение функции связывают с
именем П. Дирихле (1837г.).
2. Линейная функция.
Линейная функция – функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x
– независимая переменная, k и b – некоторые числа. Коэффициент k называется угловым
коэффициентом прямой.
6
Частным случаем линейной функции (при
)
является прямая
пропорциональность.
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух
точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них
прямую.







СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ (Рис.
2).
Область определения – любое число.
Область значений – любое число.
При
прямая образует острый угол с
осью абсцисс.
При
прямая образует тупой угол с
осью абсцисс.
При
прямая параллельна оси абсцисс.
Коэффициент является показателем
ординаты точки пересечения прямой с осью
ординат. График линейной функции проходит через точку (0;в).
Рис. 2
При
прямая проходит через начало координат.
Взаимное расположение графиков линейных функций. (Рис. 3)
Рис. 3
Если k1  k 2 , то графики функций
Если k1  k 2 , в1  в 2 , то графики функций
у1  k1 х  в1 и у2  k 2 х  в2 пересекаются в
у1  k1 х  в1 и у2  k 2 х  в2 являются
одной точке
параллельными прямыми
3.
Частные случаи линейной функции.
1. Если в = 0, то линейная функция является прямой
пропорциональностью. Рис. 4.
Рис. 4
2. Если k = 0, в  0 , то является
постоянной функцией, график которой является прямая, параллельная оси
абсцисс пересекающая ось ординат в точке (0;в). Рис.5.
Если k = 0, в=0, то графиком является прямая, совпадающая с
7
Рис. 5
осью абсцисс.
4. Прямая пропорциональность.
Прямая пропорциональность – функция, которую можно задать формулой вида
y=kx, где x – независимая переменная, k – число, k  0 .
Например, прямой пропорциональностью являются:
- зависимость пути, пройденного с постоянной скоростью, от времени t;
- зависимость стоимости товара, продаваемого по одной цене, от колличества товара.
График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую
через начало координат.
Чтобы построить график функции y=kx,
достаточно найти координаты какой-нибудь точки
графика этой функции, отличной от начала
координат, отметить эту точку и через неё и начало
координат провести прямую.
Например, график функции у = 2х – прямая,
проходящая через начало координат и точку (2;4).
(Рис. 6).
Рис. 6






СВОЙСТВА ПРЯМОЙ ПРОПОРЦОНАЛЬНОСТИ (Рис. 7).
Область определения – любое число.
Область значений – любое число.
При
прямая расположена в 1 и 3 координатной четверти, образует острый
угол с осью абсцисс.
При
прямая расположена во 2 и 4 координатной четверти, образует тупой
угол с осью абсцисс.
График проходит через начало координат.
Переменные х и у изменяются прямо пропорционально на всей числовой прямой:
при возрастании аргумента функция пропорционально возрастает, при убывании
аргумента функция пропорционально убывает.
Рис. 7
8
III.
Линейная функция и линейные уравнения вокруг нас.
В нашей повседневной жизни есть много примеров использования линейной
функции.
Например :
1) Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры
может быть найдена по формуле:
v = 331 + 0,6t, где
v - скорость в метрах в секунду, t – температура.
График такой зависимости является графиком линейной функции
2) Численность тигров в заповеднике может быть найдена по формуле:
y= 30 + 4t, где
y - количество особей, t - время в годах.
3) В результате практического исследования было установлено, калорийности
молока зависит от его жирности, и такая зависимость является линейной
функцией.
4) Зависимость силы тяжести от массы тела: Fтяж = mg;
5) Зависимость массы тела от плотности вещества (при V = Const): m – является
прямопропорциональной величиной плотности вещества.
Примеры функций в пословицах.
9
10
IV.
Используемая литература.
1. Учебник «Алгебра – 7», под ред. С.А.Теляковского. Москва «Просвещение»
2011г.
2.Учебник "Алгебра - 7", ред. Мордкович А.Г.
3. Дидактический материал «Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра,
геометрия – 7». А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. С.Ершова. Москва «Илекса»,
2011г.
3. Дидактический материал «Алгебра – 7», под ред. Л.И. Звавич и др.
4. «Задачи по алгебре 6 – 8 класс», ред. Д.К. Фадеев и др.
5. Интернет – ресурсы. http://ru.math.wikia.com/wiki/
https://docs.google.com/presentation и др.
11