Открытый урок – семинар по теме «Задачи на оптимизацию» (10 -11 класс) Цель: Показать связь математики с реальной действительностью; формировать умение наблюдать, обобщать, проводить рассуждения по аналогии; развивать мышление и речь учащихся. Сформировать умение применять алгебраический аппарат к изучению реальной действительности. За неделю до проведения урока – семинара класс делиться на 5 – 6 групп, каждая из которых получает индивидуальное задание. Все учащиеся группы решают 2 – 3 задачи, а один из них готовит сообщение или решение одной данной задачи для остальных учащихся класса. Ход урока. I. Исторический экскурс. Урок начинается вступительными словами учителя. Учитель: Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем был наибольшим? В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога проходящая через него и соединяющая два города была кратчайшей? А самая простая и самая древняя задача была такой: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решена она была древнегреческим математиком Евклидом. Все задачи такого содержания в древней Греции были объединены одним названием – «задачи Дидоны». Они названы по имени легендарной основательницы одного из старейших городов Греции и его первой царицы Дидоны. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки, и разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной шкурой. Если учесть, что царица выбирала участок примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая L, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Ну, а мы с вами постараемся разобрать такие задачи, с которыми каждый из нас может встретиться. Сначала, мне бы хотелось, чтобы вы познакомились с одним законом, диктующим размеры и формы всех промышленных продуктов. Прослушаем о нем сообщение (сообщение Метелкиной Е.). II. Что такое ГОСТы. I группа: В технике все держится на стандартизации. Много в мире делается механизмов, и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в сборочный цех, некоторые из них привозят из других городов, а также из разных стран. И все детали подходят друг к другу. Если бы это было не так, невозможно было бы собрать ни один прибор. Соответствие деталей друг другу обеспечивает стандартизация – установление единых норм и требований, предъявляемых к сырью, полуфабрикатам, готовым изделиям и материалам. Службы стандартизации разрабатывают систему государственных (а часто и межгосударственных) стандартов – ГОСТов. 1 ГОСТ – это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов. Стандартизуется все – детали машин, профили проката (балки, уголки, швеллеры, трубы), формы и размеры досок, кирпичей, бутылок и пакетов и многое, многое другое. [4] Методы математики являются основой стандартизации, а значит и фундаментом всей промышленности. Вспомним один старый анекдот. Портной сказал заказчику, что на его костюм пойдет 4 метра, но потребовал принести 7 метров материи, объяснив необходимость в лишних метрах очень просто: «Остальное я искромсаю». Портной, очевидно, не собирался экономить материал заказчика, а в технике экономия материалов занимает важнейшее место. И следя за экономией, прежде всего ГОСТы. Они не допускают, чтобы заготовка, из которой делается деталь, намного превосходила размеры самой детали. Иначе ценные материалы – металл или дерево будут уходить в стружку в процессе вытачивания маленькой детали из слишком большой заготовки. III. Решение задач по группам (методами дифференциального исчисления и графически). Учитель: Решение многих задач практически приводит к отысканию наибольшего или наименьшего значений некоторой функции на некотором промежутке. Сейчас, каждая группа, имея свою задачу, над которой должны были подумать дома, попытается решить ее графически с помощью компьютера, а потом продемонстрирует всем остальным ее решение как графически, так и методом дифференциального исчисления (с помощью производной) Итак, вам дается 7 минут, для того, чтобы решить и подготовиться к защите своих задач. IV. Защита решений задач. I группа: Задача: Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p? Решение: Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длина другой стороны будет (p – x), а потому площадь участка S ( x) x( p x) . При этом х [0; p ] . Найдем критические точки функции S(x). Производная S(x) равна: S ( x) ( x( p x) ( xp x 2 ) p 2 x . р Она обращается в 0 при х . Итак, надо найти наибольшее значение функции S ( x) x( p x) 2 р 1 1 1 при х , p-x=p - р р прямоугольник – квадрат со стороной р и его площадь равна 2 2 2 2 p p2 p p S p . Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь 2 4 2 2 квадрата. II группа: Задача: из круглого бревна, толщина которого d см., следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab2 (a, b – измерения сечения балки в см.). При каких значениях а и b прочность балки будет наибольшей? Решение: Под толщиной круглого бревна понимается диаметр его более тонкого конца. Факторами на прочность балки являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена (но этим условием мы пренебрегаем при решении задачи). Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через k (k>0). По условию задачи Р=kab2. Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом: «При каких значениях переменных а и b функция Р принимает наибольшее значение? d b2=d2 – a2 (AB=b, AD=a, BD=d) (рис.1). 2 P (a ) k (d 2 3a 2 ) . Найдем критические d d функции: Р (а ) 0 , k (d 2 3a 2 ) = 0 a . или a (0;d) (рис.2). 3 3 Отсюда Р(а)=ka(d2–a2) a (0;d). – + а 0 точки d d 3 Рис.2. d d При а (0; ) Р’(a)>0 и, следовательно, функция Р(а) возрастает на (0; ). 3 3 d d При а ( ;d) Р’(a)<0 и, следовательно, функция Р(а) убывает на ( ;d). 3 3 d Таким образом, точка - точка максимума и функция Р(а) принимает в ней наибольшее 3 значение. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с ее наибольшим (наименьшем) значением на этом промежутке). Из равенства d 6 b2=d2– a2 имеем b . Таким образом функция Р принимает наибольшее значение при 3 d 3 d 6 2kd 3 и b . Тогда прочность балки составляет P . 3 3 3 3 Вывод: Уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок е службы будет меньше, а это экономически невыгодно. Учитель Отыскание наибольших и наименьших значений функции применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример. III группа. Задача: Найдем на АВ такую точку С, чтобы сумма длин отрезков МС и NC была минимальна. М N a a A x С l -x b B Рис.3. Решение: Примем точку А за начало координат на прямой и обозначим координату точки С через х. (рис.3) МС= а 2 х 2 и NC= b 2 (l x) 2 , а потому f(x)=MC+NC= а 2 х 2 + b 2 (l x) 2 . Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), вычислим ее производную и приравняем к нулю: 3 f ( x) x 2 a x 2 lx 2 b (l x) 2 0. (1) Не решая полученного уравнения, заметим, что x 2 2 lx = sin , = sin . a x b (l x) Поэтому равенство (1) означает, что sin = sin , откуда = (острые углы равны, если равны их синусы). Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет наименьшей, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч свет «выбирает» при отражении путь экстремальной длины. Учитель: Ребята, в наше время всем нам приходиться много работать с компьютером. Я думаю, что всем нам будет интересна следующая задача 2 2 IV группа.: Задача: На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы? Решение: Пусть длина печатного текста будет хсм., причем х (0;384) , тогда ширина его 384 см. х 384 Размеры страницы соответственно будут (х+4)см и ( +6)см (рис.4). х 384 Площадь страницы S=(х+4)( +6)= 3 см х В С 1536 1536 384 6 x 24 6 x 408 . x x Найдем производную S(x): 1536 S , S ( x ) 0 при S ( x) 6 x 408 6 1536 x x2 2 см 2 см 6 1536 =0 6х2=1536 х = 16 или х = - 16 x2 1 2 (0;384). Итак, размер листа должен быть 16+4=20 см, 384 30 см. 16 Ответ: 20 см. и 30 см. А D 3 см x Рис.4. V группа: Задача: Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем АВС=600. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В – поезд. Автомобиль движется по направлению к точке В со скоростью 80 км/ч, поезд - к точке С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км? 200 Решение: Пусть в момент времени t, t [0; ], т.е t [0;2,5], 80 автомобиль находится в точке Е, а поезд в точке К. Тогда ВЕ=200-80t, 4 ВК=50t. По теореме косинусов: ЕК2 = ВК2+ ВЕ2 - 2 ВЕ ВКcos В. 1 ЕК2 =(200 – 80t)2+(50t)2 – 2* *50(200 – 80t)t =12900 t2-42000 t+40000. Пусть ЕК2= S(t)= 12900 2 t2-42000 t+40000. 70 S’ (t)=25800t-42000 S’ (t)=0 25800 t=42000 t= [0;2,5], поэтому наименьшее значение 43 70 27 ЕК2 достигается при t= = 1 (часа) 43 43 Учитель: Подводя итог решению всех рассмотренных задач с помощью дифференциального исчисления, заметим, что все задачи решаются по следующему плану: 1) Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение. 2) Находят промежуток изменения независимой переменной. 3) Находят производную полученной в пункте 1 функции. 4) Находят критические точки функции ( в том числе и те, в которых производная не существует). 5) Определяют какие из них принадлежат промежутку из пункта 2. 6) Находят наибольшее или наименьшее значение функции. При этом для простоты вычислений полезно иметь в виду следующие замечания: 1) Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения задающего функцию: а) прибавление постоянного слагаемого; б) умножение на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно); в) возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна. 1 Например, функция х 49 х 2 8 имеет на отрезке [0;7] наибольшее значение в той же 3 точке, что и функция х 2 (49 х 2 ) . 2) Если положительная функция f принимает в точке а наибольшее (наименьшее) 1 значение, то функции –f и принимают в той же точке наименьшее (соответственно f наибольшее) значение. Например, функция (х-2)2+5 принимает наименьшее значение при х=2, а потому функция 1 имеет при х=2 наибольшее значение. ( х 2) 2 5 На этом уроке мы ограничились рассмотрением алгебраических задач, но и геометрические задачи тоже сводятся к алгебраическим. Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенства Коши): ab 2 ( а b ) 2 0 ( а ) 2 2 ab ( в ) 0 a b 2 ab ab , т.е. 2 a a2 a3 an ab ab или, в общем виде: n a1a2 a3 an 1 . 2 n Решим задачу: Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем был наибольшим? Решение: 5 S пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac= ab bc ac 3 3 2 2 2 ab bc ac a b c 3 S 2 ab bc ac 3 3 S 2 V2 S V 6 2 3 3 2 S S V 6 6 3 2 3a 2 2 a3 Vmax 6 6 ab=bc=ac a=b=c Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы. V. Итог урока. Мы сегодня показали, как важны знания математики человеку, сидящему за компьютером, строителю, инженеру, экономисту, а так же простому плотнику; показали связь математики с другими предметами, в частности, с физикой и информатикой. Надеюсь, что эти знания пригодятся в жизни. 6 Список используемой литературы. 1. 2. 3. 4. Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ».Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. Журнал «Математика в школе» №7, 2003 г. Детская энциклопедия», т.5, АПН РСФСР, 1960 г. 7