Лекция (4 часа) Динамика твердого тела Момент инерции

Лекция (4 часа)
Динамика твердого тела
1. Момент инерции материальной точки и твердого тела.
2. Теорема Штейнера.
3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
4. Работа при вращательном движении.
5. Кинетическая энергия вращающегося тела.
6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
7. Сопоставление основных величин и уравнений поступательного и
вращательного движений.
1.
При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения
наряду с понятием о массе вводят понятие – момент инерции I – мера
инертности во вращательном движении.
О
mi
ri

О
i
Пусть точка массой mi вращается вокруг неподвижной оси 00/, находясь на
расстоянии ri от нее, то ее момент инерции определяется по формуле:
Ii=mi·r2i – момент
I=(кг·м2)
инерции материальной точки.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен
произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Это
скалярная величина.
Всякое тело можно рассматривать как систему, состоящую из n
материальных точек, поэтому момент инерции твердого тела будет равен:
n

I=
i 1
(произведению масс n материальных точек систем на
mi r2i
квадратное расстояние до рассматриваемой оси).
В случае непрерывного распределения масс, эта сумма будет сводиться к
интегралу: I= ∫r2dm
Интегрирование производится по всему объему.
В качестве примера выведем формулу момента инерции прямого, тонкого,
однородного
стержня
длиной
и
l
массой
относительно
m,
оси
перпендикулярной стержню, проходящей через его конец.
x
dm
S
dx
l
Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm,
удаленной от оси 00/ на расстоянии х. в виду малости этого участка он может
быть принят за материальную точку и его момент инерции может быть равен:
dI=x2mi. но dm=ρ·dv=sdx
тогда dI=x2ρsdx
Для нахождения момента инерции всего стержня проинтегрируем
последнее выражение от l1 до l2, но l1=0 до оси вращения:
l
l
0
0
I=  x2ρsdx=ρs  x2dx=ρs
x3
3
l
l3
3
1
3
1
3
|0 =ρs = ρsll2= ml2.
Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных,
однородных тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс.
1. Стержня I 
1
ml 2
12
O
l
O
2. Диска I 
1
mR 2
2
R
2
3. Для обруча или тонкостенного цилиндра I  mR
4. Шара I 
2
mR 2
5
z
R
x
y
2.
Теорема Штейнера.
Во всех перечисленных примерах ось вращения
O
проходит через центр масс. При определении
O
моментов инерции тел относительно оси, не
проходящей через центр масс, используя теорему
Штейнера.
Согласно
этой
теореме,
момент
инерции
относительно оси О′′О′′ равен моменту инерции I0
относительно
параллельной
оси,
d
проходящей
через центр масс тела О′О′, сложенному с
произведением массы тела на квадрат расстояния
O
между этими осями.
O
I  I 0  md 2 .
2
Например: I  I 0  md 
1
3
mR 2  mR 2  mR 2 .
2
2
O
O
R
O
O
3.
Тело вращается под действием силы F, а материальная точка mi под

действием силы Fi. Вращающийся момент М i
Mi=FiRi=miaiRi, т. к. по 2-му закону Ньютона F = ma
Известно, что ai=Riε, c учетом этого момент перепишется
Mi=miεRi2
miRi2=Ii
Mi = εIi
M = εI
Mi=Iε→ε=

M
I
Мi
d
или M=I
I
at
– основное уравнение динамики вращательного движения (второй
закон Ньютона для вращательного движения).

O

mi
Ri

i

Fi
О
Угловое
ускорение
вращающегося
тела
прямопропорционально
суммарному моменту сил, приложенных к нему, и обратно пропорционально
моменту инерции тела относительно оси.
Сравним: ε=
M
F
- вращательное, а= - поступательное,
I
m
Видно, что момент инерции I является аналогом массы и характеризует
инертные свойства тела при вращении.
4.
Если тело вращается под действием силы, то происходит изменение его
кинетической энергии, а следовательно совершается работа, которая
определяется по формуле:
dA  M  d ,
где М – момент силы, dφ – угол поворота тела.
5.
Пусть твердое тело вращается вокруг оси 00/. Линейная скорость
элементарной
массы

i .
mi:
Кинетическая
энергия
поступательно
mi vi2
движущейся материальной токи определяется по формуле WKi 
, но
2
mi  2 ri 2

.
2
υi = ωRi, подставим WKi
O


ri

i
mi
О
Известную энергию всего вращающегося тела найдем как сумму
кинетических энергий его элементарных объемов:
n
W =w
k
i 1
Ki
n
1
= ω2
2
m r
i 1
i i
2
1
2
= Iω2, так как miri2=Ii – момент инерции.
I 2
Wk=
- кинетическая энергия вращающегося тела.
2
В случае, если тело движется поступательно одновременно вращаясь, то
полная кинетическая энергия будет равна:
mv2 Iw 2
Wk=
+
(катится шар).
2
2
6.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:
M=I*ε. но угловое ускорение ε=
M=I
dw
, следовательно,
dt
dw
d ( Iw)
или M=
.
dt
dt
Величина L=I·W – называется моментом импульса.
Момент импульса равен произведению момента инерции на угловую
скорость. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
dL
dL
d dL
=I
=Iε=M,
=M – основное уравнение динамики вращательного
dt
dt
dt dt
движения. Так как L=I  , то
d ( I )
=М.
dt
Если система замкнута, то момент внешних сил M=0, а  I умноженное на
 есть const.
I·  =const –закон сохранения момента импульса.
В изолированной замкнутой системе момент импульса ( момент количества
движения) сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
7.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

1. Линейная скорость - 
2. Линейное ускорение 3. Сила -
1. Угловая скорость 
а
2. Угловое ускорение – ε
3. Момент силы -

F

M
4. Момент инерции -
4. Масса – m

5. Импульс - m  =ΔР mv=const
5. Момент
НЬЮТОНА
6.

I
импульса
IW=const
ВТОРОЙ ЗАКОН

w
  
M  I 
М=
dL
at

-
I w =L
6.

dP

F  m  a , F  dt
КИНЕТИЧЕСКАЯ
7.

m  2
Wк 
2
ЭНЕРГИЯ

I 2
Wк 
7.
2