Урок – семинар по теме: 4

Учебник «Алгебра и начала анализа». Авторы Колмогоров А.Н. и другие.
Учитель Иванкова Г.К.
МОУ СОШ №1 г. Нариманова.
 Урок – семинар по теме:
«Решение уравнений и систем уравнений».
Цели семинара:
1) Обобщить и углубить знания учащихся по данной теме, подготовить их к контрольной
работе и зачету.
2) Продолжить работу по привлечению учащихся к самостоятельной работе с учебником и
дополнительной литературой.
Дидактический материал:
1) Плакат (тема и план семинара).
2) Заготовленные на компьютере примеры и задания в виде презентации.
3) Карточки - информаторы.
4) Учебники.
5) Карточки – задания для самостоятельной работы.
6) Плакат (способы решения систем уравнений).
Ход урока.
1.Урок начинается с объявления темы и плана семинара, которые написаны на плакате:
«Решение уравнений и систем уравнений».
1.
2.
3.
4.
План семинара:
Равносильные уравнения.
Иррациональные уравнения.
Равносильные системы уравнений, способы решения систем линейных уравнений.
Способы решения систем нелинейных уравнений.
2.Подготовка учащихся по вопросам плана с помощью учебников и карточекинформаторов, содержащих теоретический материал по данной теме.
3. Опрос учащихся, согласно плану семинара, решение примеров.
1. Ученик делает краткое теоретическое сообщение о равносильных уравнениях.
2. Второй ученик после этого решает на доске уравнение:
lg(x+3) = lg8x – lg(x – 3) (условие записано на карточке и выдается ученику или заранее
записано на доске).
(Предполагаемое решение на доске.
Решение 1 способ
lg(x+3) = lg8x – lg(x – 3)  lg x  3  lg x  3  lg 8x 
 lg x  3x  3  lg 8x  x 2  8x  9  0  х = -1 и х = 9.
При потенцировании область определения уравнения расширилась. Корни х = -1 и х = 9
подлежат проверке. Число х = -1 - посторонний корень, а число х = 9 - корень уравнения.
Ответ: 9.
Решение 2 способ
х 2  8х  9  0
 х  1

 х3 0

lg(x+3) = lg8x – lg(x – 3)  
  х  9  х  9.
 х3 0
 х3


8х  0
Ответ: 9).
-1-
В это время с классом проводится фронтальная работа с помощью заданий, записанных заранее
с помощью компьютера (дети решают самостоятельно, ответы проговариваются устно или
записываются на доске).
а) х  6  5 ;
(Ответ: 19.)
б)
1
 8х  7 ;
х2
( х  -2, 8х2 +23х +13 = 0, D= 232 - 4∙8∙13 = 113, х =
 23  113
.
16
 23  113
.)
16
в) х + х2 + 9 = 11;
( х2 +х - 2 = 0; D = 1 - 4∙(-2) = 9; х1 = -2; х2 = 1.
Ответ: -2; 1.)
После того как логарифмическое уравнение на доске решено, осуществляется его проверка с
помощью класса (во время проверки обязательно задается вопрос о равносильности исходного
уравнения и системы уравнения и неравенств) и начинается работа по следующему вопросу
плана.
3. Ученик делает краткое теоретическое сообщение об иррациональных уравнениях.
4. После того как второй вопрос плана теоретически освещен, у доски работает
следующий ученик, решая иррациональное уравнение: 3  х  х  10  2,
(Предполагаемое решение на доске.
Решение 1 способ:
Решение 2 способ:
3  х  х  10  2,
3  х  х  10  2,
 3  х  0,
 х  3,
О.Д.З.

3  х  2  х  10,

 х  10  0;
 х  10.
3-х = 4 - 4 х  10 +(х – 10),
Так как О.Д.З. – пустое множество, то
Ответ:
4 х  10 = 2х – 9,
система не имеет решений. Желательно
2
16х – 160 = 4х – 36х +81,
«подтолкнуть» ученика к этому способу.
4х2 – 52х +241 = 0,
D1 = 676 – 964 = -288, так как D1< 0, то
уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет).
С классом в это время устно решаются примеры записанные заранее
с помощью компьютера в виде презентации:
а) 7 х  5;
б) 8 х  9  2.
Затем проверяется и обсуждается решенное на доске иррациональное уравнение.
5. Фронтальное обсуждение теории по третьему вопросу плана.
6. Используя готовое решение системы уравнений, дети определяют способ ее
3х  у  7,
 у  3х  7,
 у  3х  7,
 х  2,
решения: 



 х  6 х  14  0;
 у  1.
 х  2 у  0;
 7 х  14;
Ответ: (2; -1).
7. После обсуждения теории о способах решения систем нелинейных уравнений к
плакату с планом семинара добавляется плакат со способами решения систем нелинейных
уравнений:
«1. Способ подстановки.
2. Способ разложения одного из уравнений на линейные множители.
3. Способ сведения системы к квадратному уравнению.
4. Способ замены переменных.
-2-
5. Графический способ».
8. С помощью компьютера демонстрируются системы уравнений, для которых нужно указать
способ решения и довести решения до конца.
Назвать способы решения систем уравнений:
▼а)


 х  у  0,

х   у,
 2




2
2
2
2
 х  3ху  2 у  0,
х  у х  2 у   0,
3ху  7 у  1;   3 у  7 у  1; 





2
2
 х  2 у  0
  довести
 3ху  7 у  1;
 3ху  7 у  1;


 


3ху  7 у 2  1;


  решение




1
4 у 2  1,
 у   2 ,


1
  х   у;    х   ;
2
  до


 
 конца
  ...
 
1 1  1 1
Ответ:  ; ;   ; ; …
2 2  2 2
(Предполагаемое окончание решения на доске:
 х  2 у  0,
х  2 у,
 х  2 у,
 х  2,





2
2
2
 у  1;
 у  1.
 6 у  7 у  1;
3ху  7 у  1;
Дополнение к ответу: (-2; 1); (2; -1)).
▼б)
 х  у  6,

 ху  5;
z2 - 6z + 5 = 0; z1 =1; z2 = 5;
  х1  1,

  у1  5;
 х 2  5,

  у 2  1.
Ответ: (1; 5); (5; 1).
▼в)
 х  у  9,

ху  8;

х  u; y  v;
u  v  9,
довести решение до конца.

 uv  8;
 x  1,
 u  1,
 x  1,



v  8;
y  64;
 y  8;
(Предполагаемое окончание решения на доске:  
 
 
u  8,
  x  64,
 x  8,
 
 v  1;
  y  1.
  y  1;


Ответ: (1; 64); (64; 1) ).
К доске вызываются два ученика, которые заканчивают решения систем а) и в) (в то
время, пока класс работает фронтально); их решения затем проверяют все ученики.
9. Следующее задание для класса.
Составьте систему уравнений по рисунку и укажите ее решение, не выполняя
аналитических преобразований с полученной системой уравнений.
-3-
(Предполагаемое решение:
Система имеет вид:
 х 2  у 2  9,

 у  х  3;
Ее решение: (3; 0); (0; -3) ).
4. После завершения работы по основным пунктам плана урока и подведения итогов,
учащиеся выполняют самостоятельную работу по образцам уже решенных на уроке примеров.
__________________________________________________________________________________
Вариант 1
1. Решить систему уравнений
 х  у  8,

 ху  7;
способом сведения к квадратному уравнению.
2. Составьте систему уравнений и укажите ее решение,
используя чертеж.
Вариант 2
1. Является ли число х = 2 корнем уравнения ?
а) 3х + 1 = 5х – 3;
1
 1.
б)
х2
 х 2  у 2  0,
2. Решить систему уравнений  2
способом разложения одного из уравнений на
 ху  27  0;
линейные уравнения.
_______________________________________________________________________________
-4-
Вариант 3
 х  у  3,
1. Решите систему уравнений 
ху  2;

способом замены переменной.
2. Составьте систему уравнений и укажите ее
решение, используя данный чертеж.
_______________________________________________________________________________
Вариант 4
1. Решить иррациональное уравнение 3 + 2 х  1  1.
 х 2  у 2  36,
2. Решить систему уравнений 
графическим способом.
 у  х  6;
__________________________________________________________________________________
Вариант 5
1. Решить уравнение lg x + lg(x-1) = lg2.
 х 2  у 2  13,
2 . Решить систему уравнений 
способом подстановки.
 х  у  5;
Вариант 6
2
 х  2 у  5,
1 . Решить систему уравнений 
способом подстановки.
 3х  у  9;
2. Среди пар уравнений назовите равносильные
а) (х - у)2 = 4 и х – у = -2;
б) lg xу = 3
и ху = 1000.
_______________________________________________________________________________
Вариант 7
1. Найти область допустимых значений уравнений
а) х  3 = lg(5 – х)
1
1
  0.
б)
х3 у
 х  2 у  ху  2,
2. Решить систему уравнений 
способом разложения одного из уравнений
3х  у  ху  8;
на линейные множители.
5. Подведение итогов семинара, выставление оценок.
Домашнее задание: стр. 284: № 146 (а), 172(б), 181(б), 186(г).
-5-
Карточка 1
Равносильность уравнений
О п р е д е л е н и е . Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и
то же множество корней.
Теоремы равносильности уравнений.
1. Если функция  (х) определена при всех допустимых значениях переменной, то
(f1(х) = f2(х))  (f1(х) +  (х) = f2(х) + (х)).
2. Если функция  (х) определена при всех допустимых значениях переменной и ни при
одном из них не обращается в нуль, то
(f1(х) = f2(х))  (f1(х) ∙ (х) = f2(х) ∙ (х)).
Процесс решения уравнения состоит в том, что над ним производят преобразования,
приводящие к уравнению, решение которого известно. При этом если производимые
преобразования:: а) приводят каждый раз к уравнению, равносильному предыдущему, то
множества корней последнего и исходного уравнений совпадают; б) расширяют область
определения уравнения, то возможно появление посторонних корней.
Выполнять над уравнением преобразования, сужающие его область определения,
нельзя, ибо при этом могут быть потеряны его корня.
Пример. Решите уравнение:
х 2  2х  3
3 х
 4х 
х 1
х 1
Решение.
 х 2  2 х  3  4 х 2  4 х  3  х,
5 х 2  5 х  0,
х 2  2х  3
3 х

 4х 


 х  0.
х 1
х 1
х

1

0
;
х

1
;



Ответ. 0.
-6-
Карточка 2
Системы уравнений. Основные правила преобразования систем
уравнений в равносильные системы уравнений
Решением системы уравнений с двумя переменными называется
упорядоченная пара чисел, являющаяся решением каждого из уравнений,
входящих в систему. Решить систему уравнений — найти множество всех ее
решений или доказать, что решений нет.
Системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются
равносильными.
Основные правила преобразования систем уравнений в равносильные им
системы.
1. Замена одного или нескольких уравнений системы равносильными уравнениями
приводит к системе уравнений, равносильной первоначальной.
2. Если в одном из уравнений одну из переменных выразить через вторую и
заменить ее в остальных уравнениях системы, то получается система,
равносильная первоначальной.
3. Если любое уравнение системы заменить уравнением, полученным его сложением
(вычитанием) с любым другим уравнением системы, то получается система,
равносильная первоначальной.
4. При умножении обеих частей уравнения системы на выражение, отличное от
нуля, получается система уравнений, равносильная первоначальной.
Задание.
Объясните. Почему система уравнений:
 2 х  у  1  0,

3х  5 у  9  0;
равносильна каждой из следующих систем:
 2 х  у  1  0,  2 х  у  1  0,
2х  у  1  0

б )
в)
?




5
х

6
у

8

0
;

х

4
у

10

0
;
3
2
х

у

1

5
3
х

5
у

9

0
;




а) 
Объяснение:
В системе а) второе уравнение получено сложением уравнений данной
системы.
В системе б) второе уравнение получено вычитанием уравнений данной
системы (І – І І).
В системе в) второе уравнение получено сложением первого и второго
уравнений данной системы, умноженных соответственно на 3 и 5.
-7-
Карточка 3
Решение систем нелинейных уравнений методом подстановки.
Решение системы нелинейных уравнений с двумя переменными методом
подстановки во многих случаях выполняют в следующем порядке:
1) из одного уравнения системы выражают одну
переменную как функцию другой переменной;
2) исключают эту переменную из второго уравнения;
3) решают полученное уравнение относительно второй переменной;
4) по найденным значениям второй переменной из первого уравнения находят
соответствующие им значения первой переменной;
5) в случае получения выводной системы делают проверку и записывают ответ.
Решение нелинейных систем уравнений методом разложения одного из них на
линейные множители
ах  ву сх  dy   0,
f x; y   0;

Путем равносильных преобразований исходная система 
приводится к виду:
ax  by  0,

ах  ву сх  dy   0,
f x; y   0;
 

 cx  dy  0,
f x; y   0;

  f x; y   0.

Решение полученных систем далее можно производить способом подстановки.
-8-