1. Решите матричное уравнение, т.е. найдите множество матриц Х, для 2 3 1 0 которых справедливо данное равенство X . 4 5 0 1 2. Найти корни многочлена f(x) = x4-3x3+2x2-9x+9. 3. Исследуйте на совместность и найдите множество решений 3 x1 2 x2 x3 x4 1 системы: 3 x1 2 x2 x3 x4 2 . 3x 2 x 5 x 4 x 2 2 3 4 1 4. Является ли линейным пространством над полем R множество матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на элемент 0 , , R . поля R: 5. Докажите, что следующая система векторов действительных линейных пространств линейно независима: (5, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 4, 2). 6. Исследуйте, являются ли данные векторы (функции) линейно независимыми. В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную комбинацию, равную 0: sinx, cosx. 7. Проверьте, образует ли следующая система строк базис в пространстве R , и найдите координаты строки а = (3, 7, 13) в этом базисе: е 1 = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1). 3 8. Выясните, являются ли следующая система векторов, заданная координатами в некотором базисе, линейно независимой: а1 = (1, 2, 3), а2 = (3, 6, 9). 9. Выясните, является ли следующая система векторов линейно независимой (в пространстве R3): а1 = (1, 2, 1), а2 = (2, 4, 3), a3 = (4, 8, 5). 10. Является ли подпространством действительного линейного пространства R3 множество всех векторов, ортогональных заданной плоскости? 11. Найти матрицу линейного оператора, переводящего векторы а 1(1; 2), а2(3; -1) соответственно в векторы b1(6; 9), b2(11; -8). 2 1 12. Линейный оператор f в базисе е1, е2 имеет матрицу . Найдите 3 4 f(a), где a = 3е1–2е2. 13. Найдите базис ядра линейного оператора f пространства V, заданного 1 1 в некотором базисе матрицей А = . 1 2 14. Вычислите х у в ортонормированном базисе х(1, 2, 1, 2), у(3, 1, -1, 2). 15. Найдите корни из единицы степени 3. x2 y2 z 2 16. Выясните, какая фигура задана уравнением 1. 4 9 16 17. Составьте уравнение фигуры, полученной вращением вокруг оси Ох z 2 0, прямой . y 0 18. Упростите уравнение плоской фигуры второй степени и сделайте рисунок этой фигуры: 5х2 +4ху +8у2 –32х –56у +80 = 0. 19. Какая фигура задается следующим уравнением: 5х2 – 9у2 – 3-х +18у – 9 = 0. 20. Какая фигура задается следующим уравнением: х2 + у2 –2х + 4у – 4 = 0. 21. Найдите расстояние между параллельными прямыми: х = 1 – 2t, y = 3t, z = -2 + t и x = 7 + 4t`, y = 5 – 6t`, z = 4 – 2t`. 22. Даны вершины треугольника А(1, -22, -4), В(3, 1, -3), С(5, 1, -7). Составьте уравнения его высоты, проведенной из вершины В к противоположной стороне. 23. Составьте каноническое уравнение прямой: х + у + 2z – 3 = 0, x – y + z – 1 = 0. 24. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(2, 0, 3) параллельно вектору а(3, -2, -2). 25. Составьте общее уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1, 1, 1) параллельно векторам а1(1, 2, 0), а2(0, 1, 3). 26. Напишите уравнение плоскости, проведенной через точку А(1, -2, 3) параллельно плоскости, проходящей через точки М1(1, 1, 1), М2(2, 0, -1), М3(3, 4, 5). 27. Составьте уравнения сторон квадрата, зная, что точка А(-4, 5) является его вершиной и одна из его диагоналей лежит на прямой 7х – у + 8 = 0. 28. Даны три вершины треугольника А(1, -2), В(5, 4) и С(-2, 0). Составьте уравнения его медиан. 29. Найдите расстояние между параллельными прямыми х – 2у + 3 = 0 и 2х – 4у + 7 = 0. 30. Даны две смежные вершины квадрата А(0, 3) и В(4, 0). Составьте уравнения его сторон.