Модуль числа при решении уравнений, неравенств и

Элективный курс по математике
«Модуль числа при решении
уравнений, неравенств и
построении графиков функций»
Разработала
учитель математики
МОУ « Лямбирская СОШ № 1»
Фетхуллова Эльвира Абуевна
Лямбирь, 2006 год
Пояснительная записка
Реализация элективных курсов преследует своей целью подготовку учащихся к
ситуациям выбора направления дальнейшего образования. Элективные курсы в школе
являются пропедевтическими и выполняют задачи практико - ориентированной помощи в
приобретении личностного опыта выбора собственного содержания образования.
Цели и категории учащихся. Курс предназначен для подготовки учащихся 10 класса
с ориентацией на естественно- математический профиль. Содержание учебного
материала программы соответствует целям элективного курса и обладает новизной для
учащихся.
Актуальность курса определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или
иных способах решения уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину.
Общие принципы отбора содержания материала курса:
- системность;
- целостность;
- объективность;
- научность;
- доступность для учащихся;
- реалистичность с точки зрения возможности усвоения основного
содержания курса за 14 часов.
Полнота содержания- курс содержит все сведения, необходимые для достижения
запланированных целей обучения.
Инвариантность содержания- курс применим для разных групп школьников, что
достигается обобщенностью включенных в неё знаний, их отбором в соответствии с
задачами предпрофильного обучения.
Практическая направленность содержания- содержание курса обеспечивает
приобретение знаний и умений, необходимых для решения уравнений , неравенств и
построений графиков функций, содержащих модуль.
Систематичность содержания обеспечивается логикой развёртывания учебного
содержания.
Реалистичность программы выражается в том, что она может быть изучена за 14
часов в течение любого времени.
Место курса в системе школьного математического образования.
Предлагается элективный курс в объеме 14 часов, который включается либо в конце
учебного года , либо в течение года на факультативных или групповых занятиях.
Данный образовательный курс является источником знаний, который расширяет и
углубляет базовый компонент.
Значимость, роль и место данного курса определяется также необходимостью
подготовки учащихся к сдачи ЕГЭ и выбору профессиональной деятельности.
По замыслу автора, этот курс позволит полнее учесть интересы и профессиональные
намерения старшеклассников, следовательно, сделать обучение более интересным для
учащихся и, соответственно, получить более высокие результаты.
Цели и задачи курса.
Воспитательные: воспитывать любовь к предмету математика, чувство
товарищеской взаимопомощи;
Образовательные: расширить, закрепить и систематизировать знания учащихся по
изучению темы « Модуль числа» в процессе решения
уравнений, неравенств и построения графиков функций,
содержащих модуль.
Развивающие: развить и выработать прочные умения и навыки использования
изученного материала ;развитие речи, мышления и способности
наблюдать и делать выводы, составлять алгоритм решения
задач.
Предполагаемые результаты изучения курса.
Предлагаемый курс по математике должен помочь учащимся усвоить основные (
базовые ) математические понятия, способы решения уравнений , неравенств и
построения графиков функций, содержащих абсолютную величину и расширить базовый
компонент.
Уровень обязательной подготовки
определяется следующими
требованиями:
- знать и уметь правильно употреблять термины, связанные с понятием модуля;
- уметь понимать смысл условий задач;
- уметь представлять геометрическую интерпретацию уравнения
х  а и неравенств х  а и х  а ;
- уметь пользоваться техникой решения уравнений и неравенств, содержащих
неизвестную под знаком модуля;
-знать и уметь правильно переходить от одного способа решения к другому;
-уметь пользоваться простейшими приёмами преобразования графиков и их
построение;
-уметь пользоваться справочным материалом для нахождения нужных формул и их
использование при решении задач.
Методы преподавания курса.
Методы преподавания определяются целями и задачами данного курса,
направленного на формирование способностей учащихся.
Учащиеся овладевают математическими понятиями, способами математического
исследования.
Важнейшим принципом методики изучения курса является постановка вопросов и
заданий, позволяющих учителю и учащимся проверить уровень усвоения основных
дидактических единиц и степень сформированности умений, приобретённых в процессе
изучения курса. Это различные виды тестовых заданий и задания творческого характера.
Методическое обеспечение
1.Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа ,10-11 класс.
М., «Просвещение»,2002 г.
№
Содержание обучения ( название темы)
Кол.часов Тип занятия
2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ, 10 класс.
М., «Просвещение», 1999г.
3. Галицкий М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.
М., «Просвещение»,1999 г
4. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11 класс.
М., «Просвещение»,1998 г
5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и начал анализа. М. «Просвещение»,1997 г
6. Шарыгин И.В. Факультативный курс по математике. Решение задач.
М., «Просвещение»,1997г.
Тематическое планирование
элективного курса по математике «Модуль числа»
1
2
Понятие модуля. Геометрическая интерпретация
Преобразование выражений, содержащих модули
1
2
3
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля
3
4
Неравенства, содержащие неизвестную под знаком модуля
3
5
Построение графиков функций, содержащих модуль
2
6
7
Задачи повышенного уровня сложности
Самостоятельная работа
2
1
лекция
1- Лекция
1- практика
1- лекция
2- практика
1- лекция
2- практика
1- лекция
1- практика
практика
практика
Содержание курса.
1.Понятие модуля.
Геометрическая интерпретация.
Из курса математики 6 класса и алгебры 8 класса учащиеся усвоили определение модуля
числа а
а, еслиа  0
а 
 а, еслиа  0
Геометрический смысл модуля числа а заключается в том, что модуль числа а есть
расстояние от начала отсчета до точки , изображающей это число а .
5 5
 3  3 ,т.е. если -3<0 ,то  3 = -(-3)=3
Модуль раскрывается исходя из определения .
Например,
а  5, еслиа  5  0
a  5, еслиа  5
а) а  5  
т.е. a  5  
 (а  5), еслиа  5  0
 а  5, еслиа  5
3  х, если3  х  0
3  х, еслих  3
б) 3  х  
т.е. 3  х  
 (3  х), если3  х  0
 х  3, еслих  3
2
2

 х  х  6, еслих  х  6  0
в) х  х  6  
т.е.
2
2

 ( х  х  6), еслих  х  6  0
2
2

 х  х  6, еслих  3, х  2
х  х6  
2

6  х  х , если  3  x  2
2
2.Преобразование выражений ,
содержащих модули
Задача. Упростите выражения.
1)
х2  2х  1
2)
х 2  2 х  1  х  3 при а) х<1 б) 1  х  3 в) х>3
при
а) х<1
б) х  1
1
при а) а>2
а  4а  4
1
4) (х-3) 2
при а) x>3
х  6х  9
3) (2-a)
б) a<2
2
б) x<3
5) y= х2  8х  16  х2  12 х  36 при а) х<4 б) 4  х  6 в) x>6
1
1
1
1
6) у= 4 х2  4 х  1  9 х2  6 х  1 при а) х<
б)  х 
в)x>
3
3
2
2
7)
(а  в ) 2
ав
где a>b
3. Уравнения, содержащие неизвестную
под знаком модуля.
Наиболее распространенным методом решения уравнений и систем уравнений
,содержащих абсолютные величины ,является метод , при котором знак модуля
раскрывается на основании её определения.
Например , решить уравнение 3х  4 =х+5.
Решение.
1) Если 3х-4  0 , то 3х  4 =3х-4 , т.е.
х
4
3
3х-4=х+5
х=4.5
4
3
3х  4 = -(3х-4) , т.е.
Корень х=4.5 принадлежит х 
2) Если 3х-4<0 , то
х<
4
3
-(3х-4) = х+5
х=-0.25
Корень х=0.25принадлежит х<
4
3
Ответ: х1=-0.25 , х2=4.5
Иногда уравнения могут содержать не один , а несколько абсолютных величин ,
тогда выше изложенный способ окажется слишком громоздким и может запутать ученика.
В таких случаях более приемлем другой способ решения уравнений по следующему
алгоритму:
1. Находятся те значения неизвестных, при которых каждое подмодульное
выражение обращается в ноль;
2.Числовая прямая разбивается этими значениями на промежутки ;
3. Для каждого промежутка раскрыть каждый модуль. Получаются несколько
уравнений, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение;
4. Решить полученные уравнения и корни соотнести с ограничениями.
Пример.
Решить уравнение
2 x  1  5  3x  1  4 x  0
решение.
1) 2х+1=0
1
х=2
2) х<-
5-3х=0
2
х=1
3
1
1
2
2
, - х1
, х>1 .
2
2
3
3
а) х<-
3)
1
2
2х+1<0
-(2x-1)+(5-3x)+1-4x=0
5
5
1

x=
   ;

9
9
2

1
2
б) -  х  1
2х+1>0 5-3x>0
2
3
(2х+1)+(5-3х)+1-4х=0
2
2  1 2
х= 1
1   ;1 
5
5  2 3

2
2x+1>0 5-3x<0
3
(2x+1)+(3x-5)+1-4x=0
 2

x=3
3  1 ; 
 3

в) х> 1
Ответ. х 1 = 1
2
3
х 2 =3
5-3x>0
Или несколько другой способ решения уравнений.
3х 2  5 х  4  2 х  1
Пример. Решить уравнение
Исходя из определения модуля,
х  а, а  0
х   а, х  а,
2х-1  0
1
х
2
тогда исходному уравнению соответствуют два уравнения:
можно наложить условие для 2х-1
2
3х +5х-4=2х-1
2
3х -3х-3=0
3х +5х-4=-(2х-1)
3х +7х-5=0
 7  109
 7  109
, х2 
1
6
6
х
условию х
Ответ. х
2
2
 7  109
1 5
1
6
2 подходят х=
2
и х=

 7  109
1 5
2
6
2
, х
1
Решить уравнения:
2
1) х  х  2  0
х 2  26  10
х2  х  2
3)
4) х 2  2  2
5) х 2  2 х  1  2
6) х 2 -4 х +3=0
7) (х-1) х  2  2
8) 2х-7= х  4
9)
10)
11)
1 5
1 5
, х2 
2
2

Задания для закрепления.
2)
х

6  2 х  3х  1
х  2  х 1
х2  9  х2  4  5
12)
х 1  3  2
х 2  2 х  5  х  5  х 2  3х
13)
14)
cos x  cos 3x  sin 2x
15) 4
cos x  3  4 sin 2 x
1
cos 2 2 x
16)
x 1 x 1

x

1
x 1
17)
18) 1  х  х  2  х х  3  6 х  2
tgx  1 
4.Неравенства, содержащие неизвестную под знаком модуля
Обычный путь решения неравенств, содержащих абсолютные величины, состоит в том,
что числовая прямая разбивается на участки,на каждом из которых на основании
определения абсолютной величины ,знак модуля можно снять.
1. Например, решить неравенство
х 2  3х  2  2 х  1  5
Решение
1) х2-3х+2=0
2х+1=0
х=1 х=2
х= - 0,5
2) рассмотрим четыре случая: а) х<-0,5
б)-0,5  х  1
в) 1<x<2
г) х  2
3) а) х<-0,5
х2-3х+2-(2х+1)  5
х2-5х-4  0
5  41
5  41
х
2
2
с учетом условия
б)-0,5  х  1
х< - 0,5 , получим
5  41
 х <-0,5
2
х2-3х+2+2х+1  5
х2-х-2  0
-1  х  2
 0,5;1   1;2 значит, решением является  0,5;1
в) 1<x<2
-(x2-3x+2)+2x+1  5
x2-5x+6  0
x2 x3
решением является 1<x<2
г)х  2
х2-3х+2+2х+1  5
х2-х-2  0
-1  х  2
подходит лишь х=2.
Таким образом,решением исходного неравенства являются
5  41
 х <-0,5 , -0,5  x  1 , 1<x<2 , x=2
2
5  41
то есть
х2
2
5  41
Ответ:
х2
2
Другой подход к неравенствам,содержащим абсолютные величины, состоит в
ранее изученных в 8 классе неравенствах:
х  а. а 0
х  а , а>0
х  а , х  а
х  а
или 
 х  а
-a  х  а
х  а
или 
 х  а
При помощи этого приёма мы во многих случаях можем последовательно избавляться
от знака абсолютной величины ,уединяя выражения под этим знаком в одну из частей
неравенства.
Например, решить неравенство
х 2  3х  2  2 х  1  5
Перепишем исходное неравенство в виде
Тогда
 х 2  3х  2  5  2 х  1
 2
 х  3х  2  5  2 х  1
2 х  1   х 2  3х  3

2
2 х  1  х  3х  3

2
2 х  1  х  3х  7

2
 2 х  1   х  3 х  7
откуда
отсюда
 х 2
 2
 х
 2
 х
 2
 х

х 2  3х  2  5  2 х  1 .
2 х  1   х 2  3х  3
2 х  1  х 2  3х  7
х20
 5х  4  0
 5х  6  0
 х8 0
5  41
 х  2.
2
5  41
 х  2.
Ответ.
2
 1  х  2

 5  41  х  5  41

2
 2
 х  2илих  3

 х  любое
2. Решить неравенство
х3  х  3  5  х3  х  8
Это неравенство не так просто решить стандартным путём. В то время, как
переходя к системе и т.д. мы решим его без особого труда.
Решение.
 х 3  х  3  х 3  х  13

 х3  х  3  5  х3  х  8
 х 3  х  3  х 3  х  13  х 3  х  3   х 3  х  13



 3
 3
 3
3
3
3
 х  х  3  5   х  х  8  х  х  3   х  х  3  х  х  3   х  х  3
 3
3
 х  х  3  х  х  3
 х  8
 3
 х  5
 3
 х  0
 х  3

 3 5  х  8

 х  любое
-3 5  х  8
Ответ. - 3 5  х  8 .
Задания для закрепления.
Решить неравенства:
1)
х  4  х  4  10
2)
х 2  5х  6
3)
2х  3  4х  3
4)
х 2  4х  3  x  3
5)
x 2  x  1  x 2  3x  4
6)
x  x 1
7) х+2  х 2  2 х  3
8)
5  2х  х  3  5
9)
2х  7  х  8  8
10) х  3  2  х  3х  2
11) х  3  2  х  2 х  3
х2
12)
13)
14)
15)
16)
9
3
x 2
x 1
2
4
x 1
4  16
x4
x
 25
5
2x 2  x  3  2x 2  x  5
17)
x2 1
0
x 1
5. Построение графиков функций,
содержащих модуль.
Если известен график функции f(x) , то не составляет труда построить график
функции f (x) . Известно, что
 f ( x), еслиf ( x)  0
f ( x)  
 f ( x), еслиf ( x)  0
Поэтому, достаточно построить график функции f(x) , после чего часть графика,
лежащую в у  0 сохранить, а часть, лежащую ниже оси ОХ симметрично отобразить
относительно оси ОХ . Например, у= х 2  4 х
 f ( x), еслих  0
f( х )= 
 f ( x), еслих  0
Строим график функции f(x) при х  0 и отражаем его относительно оси ординат.
Например, у=( х -2) 2
Равенство у  f (x) не задаёт функции, поскольку при f(x)>0 имеем два значения
у, соответствующие данному значению х :
у=f(x)
и y=-f(x) ,
а при f(x)<0 - ни одного такого значения.
Линия, имеющая уравнение y  f (x) строится следующим образом:
Строим график функции f(x) , отбрасываем его часть, находящуюся ниже оси абсцисс и
дополняем оставшуюся линию её образом при осевой симметрии относительно оси
абцисс.
Например, построить график функции у  х 2  4 х
Однако, это не единственный способ построения графиков функций , содержащих
модули. Можно использовать определение модуля, преобразовав этим самым функцию
при определённых ограничениях неизвестной.
Например, построить график функции у=2
Построение.
х х
.
х х
У=2
а) х  0 у=2х+х=22х=(22)х=4х
таким образом, необходимо построить график функции у=4х для х  0 .
б) х<0 y=2x+(-x)=20=1
следовательно, провести прямую у=1 для х<0
Задания для закрепления.
1) у= х  1
2)
у=  1 2 х
3)
у= х  х  4
4)
у= х  х  1
5)
у=х+ х
6)
у= х 2  2
7)
у= 2  ( х  1) 2
8)
у= 1  х 2
9)
у=2х х  3х  4
10) у=2х 2 3 х  4
11) у=х-2х х
12) у=х х  2 х
13) у=х х  2 х
14) у= 2  х  х  3
15) у=х2+2 х  1
16) у=х х  1
17) у= х  2  х  4
18) у=
19) у=
х 2
х 1
х 3
х 2
20) у=2sinx cos x
21) y= log 2 x  1
22) y=log2 х  1  1
23) y=sin х
24) y= sin x
25) y=cos x
26) y= cos x
27) y= tgx
28) y=tg x
29) y=1-2 sin 3x
30) y=  cos 2 x 
1
2
Задачи повышенного уровня
сложности.
1)Решить уравнения:
а) х 3  х  1  3  х 3  х  1  7
б) х 3  х 2  1  4  х 3  х 2  3
5х  7  27  х  7
в)
2) Решить неравенства:
а)4х( 161 х  1  2)  4 4 x  1
б)
в)


x  2  x 3 1
2x  5
1
x 1
г) 2 x 2  x  a  8  x 2  2 x  2a  4
3) Построить графики функций:
а) у=(1-х) х  2  2х2
б) у=х х +(х-1) х  1
в) у= х 2  2 х  1
4)Найдите наибольшее значение функции:
а) у=(1-х) х  2  2 х 2
б) у= х 2  2  2 х  3х 2