Содержание 1. Цель работы……………………………………………………………4 2. Теоретическая часть…………………………………………………..4

Содержание
1. Цель работы……………………………………………………………4
2. Теоретическая часть…………………………………………………..4
3. Экспериментальная часть…………………………………………….9
3.1. Приборы и оборудование…………………………………………...9
3.2. Описание установки…………………………………………………9
3.3. Порядок выполнения работы……………………………………...10
4. Контрольные вопросы……………………………………………….12
Список литературы……………………………………………………..12
3
Лабораторная работа № 37
Изучение процессов заряда и разряда конденсатора
1. Цель работы
Целью данной работы является изучение заряда и разряда
конденсатора при различных параметрах электрической цепи и
вычисление времени релаксации.
2. Теоретическая часть
Многие характеристики постоянного тока сохраняются и для
квазистационарных токов. Квазистационарные токи – это медленно
меняющиеся токи. Величина таких медленно меняющихся токов в
каждый момент времени остается одинаковой во всех сечениях
неразветвленной проводящей цепи. Мгновенное состояние
квазистационарных токов достаточно точно определяется законом
Ома и правилами Кирхгофа и тем точнее, чем медленнее меняются
токи.
В качестве примера квазистационарных токов рассмотрим
процессы заряда и разряда конденсатора в электрической цепи,
содержащей
последовательно
соединенные
конденсатор С,
сопротивление R (включающие и внутреннее сопротивление
источника) и источник ЭДС
ε (рис. 2.1).
R
+
ε
С
I
–
+
–
К
Рис. 2.1
Пусть I, q, U – мгновенные значения тока, заряда и разности
потенциалов между обкладками конденсатора. Так как токи и
4
напряжения удовлетворяют условиям квазистационарности, то
соотношение I, q и U такое же, как и в цепях постоянного тока.
Рассмотрим сначала процесс заряда конденсатора. В начальный
момент времени (t = 0) замкнем ключ K и в цепи пойдет ток,
заряжающий конденсатор. Применим закон Ома к цепи (рис. 2.1):
(2.1)
I R  U .
Учитывая, что разность потенциалов на пластинах конденсатора
U  q / C и сила тока I  d q / d t , то выражение (2.1) можно записать в
виде:
dq
q/C
,
(2.2)

dt
R
где q – заряд конденсатора. Разделим переменные и проинтегрируем
это уравнение с учетом начального условия: при t = 0, q = 0:
q
t
R dq
  dt ,


q
/
C
0
0
ε
ε
ε
ε
R C ln(q  C )   t ,
отсюда

t
RC
(2.3)
q  qm (1  e
),
где qm   c – максимальная величина заряда на конденсаторе.
Напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:
t

q
U   (1  e R C ) .
C
(2.4)
Закон изменения тока в цепи можно получить дифференцированием
(2.3) по времени:
ε
t

dq
(2.5)
I
 I0 e R C ,
dt
где I 0  ε / R . Графики зависимостей q (t) и I (t) представлены на
рисунке 2.2, из которого видно, что сила тока имеет наибольшее
значение в начальный момент времени и асимптотически стремиться
к нулю в процессе заряда, а заряд на обкладках конденсатора
возрастает от нуля до максимального значения.
5
q, I
I0
qm
q(t)
I(t)
t
Рис. 2.2
Рассмотрим процесс заряда конденсатора емкостью С, пластины
которого замкнуты сопротивлением R (рис. 2.3).
+ q0
I
R
– q0
Рис. 2.3
Пусть dq – уменьшение заряда конденсатора за время dt. При
разряде конденсатора в цепи протекает ток I = – dq/dt. В это
выражение входит знак минус, так как выбранное нами
положительное направление тока соответствует уменьшению заряда
конденсатора. Известно, что q  C U , где U – разность потенциалов на
конденсаторе, а следовательно, и на сопротивлении R. По закону Ома
имеем U  I R , тогда:
dq U
q
.
(2.6)

 
dt R C R
Это выражение показывает, что скорость уменьшения заряда
конденсатора пропорциональна величине заряда. Интегрируем (2.6)
при начальных условиях t = 0, q = q0, получим:
6
q
dq
1 t
 
 dt ,
q
R
C
q0
0
откуда

t
RC
.
(2.7)
q  q0 e
Зависимость заряда от времени является экспоненциальной и
график этой зависимости приведен на рисунке 2.4. Закон изменения
напряжения на конденсаторе в процессе разряда аналогичен (2.7):

t
RC
q
U 0 e
,
(2.8)
C
где U 0  q0 / C . Отсюда видно, что напряжение на конденсаторе
уменьшается и асимптотически стремиться к нулю. Таков же
характер изменения тока при разряде.
U (t ) 
q
q0
Рис. 2.4
t
Полученные выражения показывают, что процессы заряда и
разряда происходят не мгновенно, а с конечной скоростью. Для
рассмотрения контура, содержащего сопротивление и емкость,
скорость установления зависит от произведения τ = R C, которое
имеет размерность времени и называется постоянной времени или
временем релаксации τ. Постоянная времени показывает, через какое
время после выключения ЭДС напряжение и заряд конденсатора
уменьшится в е раз. Если R и C выражать в единицах системы СИ
(омах и фарадах), то τ будет выражено в секундах.
7
Для определения τ необходимо измерить время, за которое
величина заряда уменьшится до половины первоначального значения
t1/2. Это время определяется из выражения:

t1 / 2
RC
e
1 / 2 .
(2.9)
Прологарифмировав обе части уравнения (2.9), получим
(2.10)
t 1 / 2  R C ln2  0,693 R C .
Т.е., чтобы определить постоянную времени, нужно измерить t1/2
и умножить полученную величину на 1,44.
Так как экспонента асимптотически приближается к оси
абсцисс, то точно установить окончание процесса разряда
конденсатора (так же как и процесса заряда) не удается. Поэтому
следует измерить время t1/2 = 0,693 RC, за которое заряд на обкладках
конденсатора уменьшился в 2 раза (рис. 2.5).
q/q0
1
+
1/2
–
1/4
1/8
1
2
3
I
ε
С
+
R
–
t/t1/2
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Если обкладки конденсатора попеременно подключать к
источнику тока и к сопротивлению R (рис. 2.6), то график заряда –
разряда конденсатора будет иметь вид, показанный на рисунке 2.7.
Эти процессы можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая
на вход Y напряжение конденсатора С.
8
q
q0
τразр
τзар
t
р
Рис. 2.7
3. Экспериментальная часть
3.1. Приборы и оборудование
1. ИП – источник питания.
2. РQ – звуковой генератор.
3. МС – магазин сопротивлений.
4. МЕ – магазин емкостей.
5. РО – электронный осциллограф.
3.2. Описание установки
Схема состоит из источника постоянного тока ИП, генератора
низкочастотных импульсов (звукового генератора), двух магазинов
сопротивлений R1 и R2, магазина емкостей С и электронного
осциллографа.
Подаваемый с выхода генератора прямоугольный импульс через
магазин сопротивлений R2 подается на магазин емкостей С.
Конденсатор заряжается. Время заряда конденсатора С можно
изменять сопротивлением R2. В момент паузы происходит разряд
конденсатора по цепи R1 R2 С. Время разряда определяется
параметрами этой цепи.
Визуально процесс заряда – разряда конденсатора можно
наблюдать на экране осциллографа. Наиболее устойчивый режим
работы данной схемы обеспечивается при изменении номинальной
величины элементов цепи в следующих пределах:
9
С = 0,02 . . . 0,04 мкФ;
R1 = 0,3 ÷ 0,5 кОм;
υген = 2 кГц;
R2 = 4 ÷ 6 кОм .
Наблюдаемые при этом кривые заряда и разряда изображены на
рисунке 2.7.
3.3. Порядок выполнения работы
1. Собрать электрическую схему согласно рис. 3.1.
C
Рис. 3.1
2. Подготовить звуковой генератор и электронный осциллограф
к работе:
а) установить на генераторе частоту 2 кГц;
б) включить развертку электронного усилителя канала Y
осциллографа и установить частоту развертки, удобную для
наблюдения сигналов частотой 2 кГц;
в) установить время горизонтальной развертки луча таким, чтобы на
экране помещалось 1 – 2 периода напряжения с этой же частотой;
г) установить на экране осциллографа устойчивую картину.
10
3. Установить на магазине сопротивлений R1 значение
R1 = 300 Ом.
4. Установить на магазине сопротивлений R2 значение
R2 = 4 кОм.
5. Установить на магазине емкостей значение С = 2·10 – 3 мкФ.
6. Установить частоту развертки, чтобы на экране уместилась
полная кривая заряда и разряда конденсатора.
7. Совместить начало кривой заряда с началом шкалы
осциллографа.
8. Снять зависимость Y = f (x), измеряя х в секундах, а Y в
вольтах. Записать 8 – 10 значений х и Y для кривой заряда и столько
же для кривой разряда конденсатора. Результаты занести в таблицу.
Построить кривые заряда и разряда конденсатора.
9. По кривым заряда и разряда конденсатора определить время,
за которое величина напряжения падает до половины
первоначального значения и по формуле (2.10) вычислить время
релаксации τ = R C.
10. Не изменяя усиление каналов осциллографа, получить на
экране кривые заряда и разряда конденсатора при других значениях
R2 и С, оставляя неизменной величину сопротивления R1.
Значения R2 и С выбрать по указанию преподавателя.
Измерить по наблюдаемым на экране осциллографа кривым
релаксации время t1/2 в делениях шкалы, а затем перевести в секунды.
11. Вычислить постоянную времени RС, используя значение
параметров RС – цепи. Учесть, что при заряде конденсатора R = R2, а
при разряде R = R1 + R2. Рассчитать отношение t1/2 к RС для всех
случаев по формуле:
t
(2.11)
A  1/ 2 .
RC
12. Сравнить величину А с теоретическим значением, равным
ln2 = 0,693.
U
t
13.Логарифмируя формулу (2.8), получим ln 0 
. По
U (t ) R C
данным из таблицы, построить логарифмическую зависимость,
характеризующую изменение напряжения на конденсаторе от
времени t при разряде конденсатора. Котангенс угла наклона
полученной прямой есть характеристическое время релаксации
заряда или постоянная времени R C:
11
ctg α = τ = R C.
(2.12)
Сравнить результаты, полученные для значений τ первым и вторым
способами.
Заряд конденсатора
Разряд конденсатора
х
t, с
Y
U, В
ln
U0
U
где х – координата точки по оси х; t = Kx х, Kx – цена деления шкалы
осциллографа, устанавливаемая переключателем «Время/дел»;
y – координата точки по оси y; U = Ky y, Ky – цена деления шкалы
осциллографа,
устанавливаемая
переключателем
«V/дел»;
U0 – наибольшее значение напряжения на конденсаторе.
4. Контрольные вопросы
1. Какие токи называются квазистационарными?
2. Что такое кривая релаксации заряда?
3. Получить зависимость заряда конденсатора от времени при
его разряде, заряде.
4. Как определяется время релаксации τ?
5. Описать блок – схему установки.
6. Какова зависимость напряжения на конденсаторе U и тока в
цепи I от времени, т.е. U(t) и I(t), в процессе заряда и разряда
конденсатора?
Список литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 2. – М.: Наука, 1999.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1998.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая
школа, 1998.
12