МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО "Борисоглебский государственный педагогический институт"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФГБОУ ВПО "Борисоглебский государственный педагогический институт"
Факультет физико-математического и естественно-научного образования
Кафедра прикладной математики, информатики, физики и
методики их преподавания
Контрольные задания по физике
для студентов заочной формы обучения
факультета физико-математического и естественно-научного
образования
Специальности «Биология»
1
Оглавление
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ
РАБОТ ПО ФИЗИКЕ ............................................................................................................................... 3
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ...................... 5
РАЗДЕЛ «МЕХАНИКА» ................................................................................................................. 7
1.
1.
КИНЕМАТИКА ............................................................................................................................ 7
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ........................................................................................................ 7
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ..................................................................... 9
2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ................................................................................ 10
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 10
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ................................................................... 12
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ .......................................................... 13
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 13
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.............................................................................. 15
4. КОЛЕБАНИЯ .................................................................................................................................. 16
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 16
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ................................................................... 17
2.
РАЗДЕЛ «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА» ..................................... 19
1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ИЗОПРОЦЕССЫ ............................ 19
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 19
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ .................................................................. 21
2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ................................................. 22
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 22
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ .................................................................. 25
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ ................................................................................... 25
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 25
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ .................................................................. 28
4. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ .................................................................................... 29
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................... 29
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ .................................................................. 32
ТАБЛИЦА, СИСТЕМАТИЗИРУЮЩАЯ ЗНАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «МЕХАНИКА» ......................................... 33
ТАБЛИЦА, СИСТЕМАТИЗИРУЮЩАЯ ЗНАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И
ТЕРМОДИНАМИКА» .................................................................................................................................. 36
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ........................................................................................................... 39
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................................................... 44
2
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ
1. В контрольной работе нужно привести сведения о студенте по следующему образцу:
Контрольная работа по физике
Вариант № 7
Выполнил студент заочной формы обучения
Иванов А.В., курс _______, группа _____
Зачетная книжка № ________
Адрес: пгт. Грибановский, Воронежская обл.,
ул. Любимова 2, кв. 5
Контрольная работа сдана «___» _______ 20__ г.
Контрольная работа зачтена «___» _______ 20__ г.
2. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу,
определяются по таблицам вариантов. Для заочного отделения номера задач в контрольной
работе определяются по последней цифре индивидуального номера в зачетной книжке.
Например, если последняя цифра 0, то нужно выполнять вариант 0, а если 1, то нужно
выполнять вариант 1 и т.д.
3. Контрольные работы должны выполняться авторучками в школьной тетради.
4. Условия задач и теоретические вопросы, требующие ответов, в контрольной работе
необходимо переписывать полностью. Для замечаний преподавателя на страницах тетради
оставляют поля.
5. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.
В тех случаях, когда это необходимо, дать чертежи.
6. Решать задачу необходимо в общем виде. Нужно выразить искомую величину в
буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи, т.е. получить расчетную
формулу.
7. Числовые значения величин в расчетную формулу необходимо подставлять в
международной системе единиц (СИ).
8. Проверить там, где это не очевидно, единицы измерений полученных величин по
расчетной формуле.
9. Ответы на теоретические вопросы в заданиях контрольной работы должны быть
подробными: с рисунками, чертежами, формулами, определениями, формулировками
законов и необходимыми примерами.
10. В конце контрольной работы следует указать учебники и учебные пособия, которые
использовались при решении задач и ответах на теоретические вопросы.
11. При повторном рецензировании работы нужно обязательно представлять ее с
первой, не зачтенной работой и рецензией.
12. Контрольные работы, оформленные без соблюдения указанных правил, а также
работы, выполненные не по своему варианту, не проверяются.
3
13. Перед экзаменом проводится обязательная защита контрольных работ, т.е. устное
объяснение решенных задач на основе используемых при решении законов.
14. Контрольная работа должна сдаваться на проверку до начала экзаменационной
сессии в сроки, указанные преподавателями.
15. Зачтённые контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть
готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в
контрольные работы.
4
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Вари
ант
0
1
2
3
4
Номер задачи
Теоретические вопросы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.00 1.10 1.20 1.210 1.30 1.40 2.00 2.20 2.30 2.40 1. Кинематика поступательного движения. Движение,
траектория движения, закон движения. Виды
движения. Путь, перемещение, Скорость движения,
ускорение, тангенциальное и нормальное ускорение.
2. Первое начало термодинамики и его применение к
изопроцессам.
1.01 1.11 1.21 1.211 1.31 1.41 2.01 2.21 2.31 2.41 1.Вращательное
движение
его
основные
характеристики:
правило
буравчика,
угловая
скорость, ускорение, период, частота, связь между
линейными и угловыми характеристиками движения.
2. Количество теплоты. Способы передачи тепловой
энергии. Теплоемкость, удельная, молярная.
1.02 1.12 1.22 1.212 1.32 1.42 2.02 2.22 2.32 2.42 1. Законы Ньютона. Инерция, масса тела, импульс.
Инерциальные
системы
отчета.
Принцип
относительности Галилея.
2. Работа, совершаемая газом.
1.03 1.13 1.23 1.213 1.33 1.43 2.03 2.23 2.33 2.43 1. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.
Космические скорости.
2. Внутренняя энергия газа. Физический смысл
универсальной газовой постоянной, постоянной
Больцмана.
1.04 1.14 1.24 1.214 1.34 1.44 2.04 2.24 2.34 2.44 1. Силы в природе: тяжести, упругости, трения.
2. Второе начало термодинамики. Энтропия.
Тепловые машины. Цикл Карно и его КПД.
5
5
1.05 1.15 1.25 1.215 1.35 1.45 2.05 2.25 2.35 2.45
6
1.06 1.16 1.26 1.216 1.36 1.46 2.06 2.26 2.36 2.46
7
1.07 1.17 1.27 1.217 1.37 1.47 2.07 2.27 2.37 2.47
8
1.08 1.18 1.28 1.218 1.38 1.48 2.08 2.28 2.38 2.48
9
1.09 1.19 1.29 1.219 1.39 1.49 2.09 2.29 2.39 2.49
1. Механическая работа, энергия, виды механической
энергии.
Потенциальная
энергия
упруго
деформированного тела, потенциальная энергия в
поле силы тяжести.
2. Влажность воздуха. Насыщенный пар.
1. Законы сохранения импульса. Закон сохранения и
превращения энергии. Абсолютно упругий и
абсолютно неупругий удары
1. Динамика вращательного движения, второй закон
Ньютона для вращательного движения. Момент
инерции. Момент импульса. Закон сохранения
момента импульса.
2. Основное уравнение МКТ. Средне-квадратичная
скорость.
1. Гидростатическое давление в жидкостях и газах,
закон Паскаля, закон Архимеда, условие плавания
тел.
2. Газовые законы. Графическое представление их в
координатах
(P,V),
(P,T),
(V,T).
Уравнение
Менделеева-Клапейрона
1. Поверхностное натяжение, смачивание и не
смачивание.
Капиллярные
явления.
Давление
Лапласа.
2. Идеальный газ. Основные положения молекулярнокинетической теории. Температура. Температурные
шкалы.
6
1. РАЗДЕЛ «МЕХАНИКА»
1. КИНЕМАТИКА
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением x  5t  0,2t 2  0,1t 3 (м).
Определить скорость точки в моменты времени t1=2 с и t2=4 с, а также среднюю скорость
в интервале времени от t1 до t2.
Решение:
Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае
V  dx  5  0,4t  0,3t 2 (м/с).
dt
Найдем V1 и V2:
V1  7 м/с;
V2  5  0,4t 2  0,3t ,
V2  11,4 м/с.
x x 2  x1
Средняя скорость  V 

,
t t 2  t1
где x1  5t1  0,2t12  0,1t13 ( м), x2  5t 2  0,2t 22  0,1t 23 ( м),
 V  9 м/с.
Ответ: V1=7 м/с, V2=11,4 м/с,  V  9 м/с.
V1  5  0,4t1  0,3t12 ,
2
2
Задача 2. С башни высотой Н = 25 м бросили камень со скоростью V0 = 15 м/с под углом
 = 300 к горизонту. Через какое время tп и на каком расстоянии S от основания башни
камень упадет на землю?
Решение:
Начало отсчета возьмем у основания башни.
y

V0 y
H

V0


V0 x
0
s
x
Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – горизонтально. Движение камня вдоль оси
OX равномерное, вдоль оси OY – равнопеременное:
 x  x0  V0 x t ,


a yt 2
y

y

V
t

,

0
0y
2

где x0  0 , V0 x  V0 cos ,
y0=H , V0 y  V0 sin  , a y   g.
Общие уравнения движения камня в выбранной системе отсчета примут вид
 x  V0 cost ,


gt 2
.
 y  H  V0 sin t 
2

В момент падения камня t=tn, x=S, y=0.
S  V0 cost n ,


gtn2
.
0  H  V0 sin t n 
2

(1)
(2)
7
Решая квадратное уравнение (2), найдем tn=3,1c.
Подставим tn в (1), получим S=41м.
Ответ: tn=3,1с, S=41м.
Задача 3. Небольшое тело движется по окружности радиусом R со скоростью V=kt где
k=const. Найти зависимость полного ускорения от времени.
Решение:

На рисунке покажем полное ускорение тела и его составляющие.
a

 
 

a
a  an  a , an a ;
a  a n2  a2
.
Модуль тангенциального ускорения

an
dV
k.
dt
a 
Модуль нормального ускорения
an 
V 2 k 2t 2
.

R
R
Модуль полного ускорения
k 4t 4
a
R2
 k2  k
Ответ: a  k
k 4t 4
R2
k 4t 4
R2
 1.
 1.
Задача 4. Найти величину углового ускорения лопатки турбины, расположенной на
расстоянии R от оси вращения, через время t1 после пуска турбины. Зависимость линейной
скорости лопатки от времени выражена уравнением V  at  bt 2 , где a и b - постоянные
коэффициенты. Найти число оборотов N2 через время t2 после пуска турбины. Принять
0=0.
Решение:
Угловое ускорение   d dt.
Используем связь угловой скорости с линейной:   V R  (a R)t  (b R)t 2 .
Найдем зависимость углового ускорения от времени:  
a 2b
1
 t  (a  2bt).
R R
R
В момент времени t1
1 
1
a  2bt1  .
R
Угловая скорость
  d / dt, d  dt,
t2
t2
0
0
   0   dt   dt.
Выразив угол  через число оборотов (=2N2) и зная  как функцию времени, получим
t2
a
b
2N 2   ( t  t 2 )dt.
R
R
0
Число оборотов лопатки
N2 
1 at22 bt23
(

).
2R 2
3
Ответ :  1 
1
at 2 bt 3
(a  2bt1 ) ; N 2  1 ( 2  2 ) .
R
2R 2
3
8
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.00. Телега съехала с горы без трения длиной 40 м за 10 с, после чего она проехала по
горизонтальной площадке до остановки 20 м. Считая движение с горы равноускоренным
без начальной скорости, а по горизонтальной площадке равнозамедленным, найти
скорость телеги в конце горы и среднюю скорость на всем пути.
1.01. Конькобежец движется по окружности радиусом 10 м согласно уравнению S =
8t + 0,2t3 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Найти скорость, тангенциальное,
нормальное и полное ускорения конькобежца на вираже в момент времени 2 с.
1.02. Трамвай, начав двигаться равноускоренно по закругленному участку пути и пройдя
100 м, развил скорость 36 км/ч. Радиус закругления 300 м. Каковы тангенциальное и
нормальное ускорения трамвая в конце десятой секунды после начала движения?
1.03. По дуге окружности радиуса 10 м движется велосипедист. В некоторый момент
времени нормальное ускорение велосипедиста 4,9 м/с2, вектор полного ускорения
образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60º. Найти скорость и
тангенциальное ускорение велосипедиста.
1.04. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты 80 м. Каково его перемещение в
первую и последнюю секунду падения?
1.05. В конце уклона лыжник развил скорость 8 м/с. Найдите начальную скорость
лыжника и ускорение, с которым он двигался, если длину уклона 100 м он прошел за 20 с.
1.06. С башни высотой 49 м в горизонтальном направлении брошено тяжелое тело со
скоростью 5 м/с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения тела в точке,
соответствующей половине всего времени падения тела. Установить на каком расстоянии
от башни оно упало. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.07. Мяч с отвесной скалы высотой 24,5 м бросают в горизонтальном направлении с
некоторой начальной скоростью. Мяч падает в цель, лежащую на земле на расстоянии
30 м от основания скалы. С какой начальной скоростью он был брошен и какую конечную
скорость приобрел, попадая в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.08. Под каким углом к горизонту надо бросить камень со скоростью 20 м/с, чтобы
дальность полета в 4 раза превысила наибольшую высоту подъема?
1.09. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна
высоте бросания. С какой высоты было брошено тело?
1.10. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время τ = 10 с его частота стала
n = 300 об/мин. Найти угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за
это время.
1.11. Точка движется по окружности радиусом R = 10 м с постоянным тангенциальным
ускорением аτ, если известно, что к концу пятого оборота скорость точки V = 79,2 см/с.
Найти аτ.
1.12. Колесо автомашины вращается равноускоренно. После 50 полных оборотов частота
вращения колеса возросла от n1 = 4 об/с до n2 = 6 об/с. Определить угловое ускорение
колеса .
1.13. Движение точки по окружности радиусом R = 200 см задано уравнением S = 2t3 (м).
В какой момент времени нормальная составляющая ускорения an точки будет равна ее
тангенциальной составляющей aτ? Определить полное ускорение а в этот момент.
1.14. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент
времени нормальная составляющая ускорения an = 4,0 м/с2, а векторы полного и
нормального ускорений образуют угол α = 600. Найти скорость и тангенциальную
составляющую ускорения точки.
1.15. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением S = 10 + t2 - 2t.
Найти тангенциальное aτ, нормальное an и полное а ускорения точки в момент времени
t = 2 с.
9
1.16 Частота маховика уменьшалась с n0 = 10 об/с до n = 6 об/с. За время торможения он
сделал N = 50 оборотов. Определить угловое ускорение маховика  и продолжительность
торможения t.
1.17. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота задан уравнением φ = t -2t3.
Найти угловое ускорение тела  в момент его остановки.
1.18. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным
ускорением 5 см/с2. Через какое время после начала движения нормальное ускорение
точки станет в 2 раза больше тангенциального?
1.19. Диск радиусом R = 0,2 м вращается вокруг фиксированной оси, проходящей через
его геометрический центр. Зависимость угла поворота от времени задана уравнением
φ = 3 + 0,1t3 - t. Определить для момента времени t = 5 с тангенциальное аτ, нормальное an
и полное а ускорения точек на краю диска.
2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Тело массой m  2 кг движется по вертикальной стене. Сила F1 действует под

углом  = 300 к вертикали. Коэффициент трения   0,1 . Найти величину силы F1 , если
ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с2.
Решение:



На тело действуют четыре силы: сила F1 , сила тяжести mg , сила реакции опоры N и сила

трения FTP . Покажем эти силы на рисунке.
y

F1


N

FTp

mg
x
Запишем II закон Ньютона в виде
 
  
(1)
ma  F1  mg  N  FTP .
Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В проекциях на
оси координат уравнение (1) примет вид
OХ: 0  N  F1 sin  ,
(2)
OY: ma  F1 cos  mg  FTP .
(3)
Сила трения скольжения
(4)
FTP  N .
Используя (2) и (4), перепишем (3):
ma  F1 cos  mg  F1 sin .
Отсюда
F1 
m( a  g )
, F1  30
cos   cos
Н.
Ответ: F1  30 Н.
10
Задача 2. В лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением 0,2 м/с 2, вращается
столик с угловой скоростью  рад/с. На столике лежит брусок, коэффициент трения
равен 0,1. Найти максимальное расстояние между бруском и осью вращения, при котором
он удерживается на столике. Принять g = 9,8 м/c 2,  2  10.
Решение:
y

N

a1
x

FTp

mg
Брусок участвует в двух движениях одновременно: поступательно движется вверх с

ускорением a1 и вращается вокруг неподвижной оси с центростремительным ускорением

an . Запишем II закон Ньютона для бруска:

  
 

ma  mg  N  FTP , где a  an  a1 .
Выберем оси координат OX и OY. В координатной форме основное уравнение движения
примет вид
OX : ma n  FTP ,
(1)
(2)
OY : ma1  N  mg ,
где an = 2 R, FTP = μN .
Из (2) N = m (a1 + g),
FTP = m (a1 + g).
Перепишем (1):
m2R =m (a1 + g).
Получим, что
R
 (a1  g )
.

После подстановки данных и вычислений R = 0,1 м.
Ответ: R = 0,1 м.

Fсопр
Задача 3. С вертолёта, неподвижного висящего на некоторой высоте над

поверхностью земли, сброшен груз массой m. Считая, что сила сопротивления
mg
воздуха изменяется пропорционально скорости (Fсопр = kV), определить, через
y
какой промежуток времени ускорение груза a1 = g/2. Коэффициент
сопротивления k = const.
Решение:
Учитывая, что a = dV / dt , Fсопр= kV , получим дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными:
dV
 mg  kV ,
dt
dV
k
 g  V,
dt
m
dV
  dt.
k
V g
m
m
Проинтегрируем:
11
V
t
dV
   dt,
 k
0 V g
0
m
k
V  gt
m m
ln
 t ,
k
g
ln 
kV
k
 1   t.
mg
m
Получим:
kt
1

kV
e m,
mg
kt

kV
 1 e m .
mg
Отсюда
k
a
 t
dV
 ge m .
dt
В момент времени t = t1 ускорение a1 = g/2:
kt1

g
 ge m ,
2
kt1

1
e m .
2
После логарифмирования:
 ln 2  
k
t1 .
m
Получим
t1  m
ln 2 .
k
Ответ: t1  mk ln 2 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.20. Тело массой 2 кг движется прямолинейно со скоростью, зависимость которой от
времени выражается уравнением: V = (2,5 t2 + 10t) м/с. Определить путь, пройденный
телом за 5 с, и силу, действующую на тело в конце пятой секунды.
1.21. Жесткость пружины равна 50 Н/м. Если с помощью этой пружины равномерно
тянуть по полу коробку массой 2 кг, то длина пружины увеличивается с 10 до 15 см.
Какова сила упругости, возникающая в этом случае? Чему равна сила трения коробки о
пол?
1.22 Поезд весом 8·106 Н идет со скоростью 72 км/ч. Через несколько времени после
прекращения тяги паровоза он остановился под влиянием силы трения в 117,6·103 Н?
1.23 Период обращения искусственного спутника Земли 2 часа. Считая орбиту спутника
круговой, найти, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник.
1.24. Летчик массой 70 кг описывает на самолете, летящем со скоростью 180 км/ч,
«мертвую петлю» радиусом 100 см. С какой силой прижимается летчик к сиденью в
верхней и нижней точках петли?
1.25. Стальная проволока выдерживает груз до 5000 Н. С каким наибольшим ускорением
можно поднимать груз в 4500 Н, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не
разорвалась?
1.26. Тело брошено вертикально вверх и достигло высшей точки подъема через 2,5 с.
Каким было средние значение силы сопротивления воздуха, действовавшей на тело во
время подъема, если начальная скорость его равна 30 м/с, а масса тела 40 г?
1.27 С каким ускорением скользит брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30°
при коэффициенте трения, равном 0,2?
12
1.28. Тело массой 10 кг тянут по горизонтальной поверхности, прикладывая силу 50 Н,
направленную под углом 30° к горизонту. Ускорение тела равно 3,5 м/с2. Найдите
коэффициент трения между телом и поверхностью.
1.29. В шахту равноускоренно опускается бадья массой 280 кг. В первые 10 с она
проходит 35 м. Найти силу натяжения каната, на котором висит бадья.
1.210. Тонкостенный цилиндр с диаметром основания 30 см и массой 12 кг вращается
согласно уравнению φ = A + Bt + Ct3, A = 4; B = -2 c-1; C = 0,2 c-3. Определить
действующий на цилиндр момент сил в момент времени 3 c.
1.211. На обод маховика диаметром 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз
массой 2 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно
под действием силы тяжести груза, за 3 c приобрел угловую скорость 9 c-1.
1.212. Нить с привязанными к ее концам грузами массой 50 и 60 г перекинута через блок
диаметром 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести
грузов он получил угловое ускорение 1,5 с-2.
1.213. Сплошной цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси,
совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра 12 кг. На цилиндр намотан шнур, к концу
которого привязали гирю массой 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова
сила натяжения шнура во время движения гири?
1.214. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через середину согласно уравнению φ
= At + Bt3, где A = 2 c-1; B = 0,2 c-3. Определить вращающий момент силы, действующей
на стержень в момент времени 2 с, если момент инерции стержня 0,048 кг·м2.
1.215. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую
угловую скорость 63 с-1 и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый
маховик остановился через 1 минуту, а второй сделал до остановки 360 оборотов. У
какого маховика тормозной момент был больше и во сколько раз?
1.216. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой
привязаны грузы массами 100 и 300 г. Массу колеса 200 г считать равномерно
распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым
будут двигаться грузы и силы натяжения нити по обе стороны блока.
1.217. На горизонтальную ось насажен шкив радиусом 8 см. На шкив намотан шнур, к
которому подвесили гирю массой 1 кг. Опускаясь равноускоренно, гиря прошла путь 1,6 м
за 2 с. Определить момент инерции шкива.
1.218 Катящийся цилиндр массой 2 кг остановили силой 9,81 Н на пути в 0,5 м.
Вычислить скорость цилиндра до торможения.
1.219. Определить момент силы, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся
с частотой 12 с-1, чтобы он остановился в течение 8 с. Диаметр блока 30 см. Массу блока
6 кг считать равномерно распределенной по ободу.
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Частица массой m1, имеющая скорость V2, налетела на покоящийся шар массой
m2
и отскочила от него со скоростью U1 под прямым углом к направлению
первоначального движения. Какова скорость U2 шара после соударения? Считать удар
центральным.
Решение:
Используя закон сохранения импульса, получим



m1V1  m1U1  m2U 2 .
13
На рисунке покажем импульсы тел.

m1U1

mV1

mV1

m2U 2
Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:


m2U 2  m12 V12  U 12  m1 V12  U 12
отсюда U 2 
,
m1
V12  U 12 .
m2
Ответ: U 2 
m1
V12  U 12 .
m2
Задача 2. Шар массой M висит на нити длиной l. В
шар попадает горизонтально летящая пуля и
застревает в нём. С какой скоростью V0 должна лететь
пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог
сделать на нити полный оборот в вертикальной
плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней
точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули
m.

(m  M ) g
l
R=l
l

mV0

(m  M )V
x
Решение:
Обозначим: V - скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U - скорость
шара с пулей в верхней точке.
В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид
mV0 = (m + M) V.
(1)
Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX .
В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией
точке  кинетической
(m  M )U 2
2
(m  M )V 2
; в верхней
2
и потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.
Закон сохранения механической энергии запишем в виде
(m  M )V 2 (m  M )U 2

 (m  M ) gh .
2
2
(2)
После преобразований
V 2  U 2  4 gh .
(2)
В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила
натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:
(m  M )an  (m  M ) g ,
(3)
где an 
U2 U2

.
R
l
Из уравнения (1) выразим V0:
V0 
mM
V.
m
(4)
Из уравнения (3)
U 2  gl.
(5)
14
Подставив (5) в (2), получим
V  5 gl.
Найдем V0 , вернувшись к (4)
V0 
mM
m
5 gl .
Ответ: V0 
mM
m
5 gl .
Задача 3. Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по
вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна V, масса саней m,
коэффициент трения k.

N
Fт
Решение:
На рисунке покажем все силы, действующие на сани в
произвольной точке траектории, учитывая, что a  0 , т.к.
V=const.
Полная работа силы трения

2
Aт р   Aт р , где Aтр  FтрdS cos1800  FтрdS, Fтр  kN,

FTp
Силу реакции опоры N выразим из уравнения второго закона
Ньютона, записанного в проекциях на радиальную ось:

mg
ma n  N  mg cos , где an 
N  m(
dS  Rd .
0
V2
, R - радиус окружности.
R
V2
 g cos ).
R
Элементарная работа силы трения
Aтр  km(
V2
 g cos ) Rd.
R
Работа силы трения
2
V2
 g cos )d .
0 R
Aтр  kmR  (
После интегрирования Aтр  2kmV 2 .
Ответ: Aтр  2kmV 2 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.30. Шар массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с шаром массой 1 кг,
движущемся ему навстречу со скоростью 4 м/с. Определить скорости шаров после
прямого центрального абсолютно упругого удара.
1.31. Два абсолютно неупругих шара, имеющих массу 15 г и 10 г, двигались навстречу
друг другу со скоростями, модули которых 0,6 м/с и 0,4 м/с, соответственно. Найти их
скорость после столкновения и потерю кинетической энергии при ударе.
1.32. Снаряд массой 20 кг, летевший горизонтально, попадает в платформу с песком
массой 104 кг и застревает в песке. С какой скоростью летел снаряд, если платформа
начинает двигаться со скоростью 1 м/с?
1.33. Шар массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с покоящимся шаром
массой 5 кг. Определить скорости шаров после прямого центрального удара. Шары
считать абсолютно упругими.
15
1.34. Два неупругих шара массами 6 кг и 4 кг движутся со скоростями 8 м/с и 3 м/с
соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут
двигаться после абсолютно неупругого соударения, если первый догоняет второй?
Движутся навстречу друг другу?
1.35. Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/с, вскакивает сзади на платформу
массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?
1.36. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, сталкивается с неподвижным
шаром массой 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определить
скорость шаров после столкновения.
1.37. Камень массой 400 г бросили со скоростью 20 м/с в горизонтальном направлении с
башни, высота которой 50 м. Найти потенциальную и кинетическую энергии камня через
2 с после начала его движения.
1.38. Пружина жесткостью 103 Н/м была сжата на 5 см. Какую нужно совершить работу,
чтобы сжатие пружины увеличить до 15 см?
1.39. В каком случае двигатель автомобиля совершит большую работу и во сколько раз:
для разгона с места до скорости 36 км/ч или при увеличении скорости от 36 до 72 км/ч?
Силу сопротивления и время движения в обоих случаях считать одинаковыми.
4. КОЛЕБАНИЯ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого
прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же
горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.
При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны T1  T2 ,
где T1  2
l1
,
g
T2  2
J
.
mga
Отсюда
l1 
J
.
ma
(1)
Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:
J  J 0  ma 2 
ml 22
 ma 2 .
12
(2)
Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение
12a 2  12l1a  l 22  0.
(3)
Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.
Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны
два варианта расположения оси.
Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.
Ответ: a1=10 см, a2=30 см.
Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса Px и координату x
одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m1, циклическая частота
0, амплитуда колебаний A.
Запишем уравнение гармонических колебаний
(1)
x  A cos(0 t  0 ).
Тогда
(2)
Px  mx   Am0 sin(0 t  0 ).
Выразим из (1) cos(0t  0 ), а из (2) sin(0 t  0 ) ,
cos(0 t  0 ) 
x
;
A
(3)
16
sin( 0 t   0 )  
Px
.
Am 0
(4)
Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что
cos2 (0 t   0 )  sin 2 (0 t  0 )  1, получим
x2
A2

Px2
A2 m 202
Ответ:
x2
A2

 1 - уравнение эллипса.
Px2
A2 m 202
1.
Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в среде, в которой
коэффициент затухания   0,9 c 1 . Определить время  , по истечении которого амплитуда
маятника уменьшится в пять раз.
Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:
   0 e t sin t ,
где  - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времени t, при t=0, =0.
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону
A(t )   0 e t .
(1)
A1
 e t  5 .
A2
(2)
Запишем (1) для моментов времени t и t+:
A1 (t )   0 e t , A2 (t   )   0 e  (t  ) .
Отношение амплитуд
Логарифмируя (2), найдем

ln 5

 1,79 c .
Ответ: =1,79 с.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.40. Определить период, частоту и начальную фазу свободных колебаний, заданных
уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5 π с-1 , τ = 0,4 с, А - константа.
1.41. Под действием грузика пружина растянулась на x = 9 см. Определить период
собственных колебаний T этой системы.
1.42. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение их
периодов Т1/ Т2 = 1 ,5.
1.43. Лифт, в котором колеблется математический маятник, опускается с ускорением
a = 3 м/с2. Определить период колебаний T маятника. Его длина равна 1 м.
1.44. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединённым "последовательно".
Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.
1.45. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединенным "параллельно".
Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.
1.46. Медный шарик, подвешенный к пружине, свободно колеблется. Как изменится
период колебаний этой системы, если вместо медного подвесить алюминиевый шарик
таких же размеров?
1.47. На стержне длиной l = 30 см закреплены два одинаковых грузика: один - в середине
стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около
горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период
собственных колебаний T этого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
17
1.48. Определить период, частоту и начальную фазу свободных колебаний, заданных
уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5 π с-1 , τ = 0,4 с, А - константа.
1.49. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки, если период
колебаний Т = 2 с, максимальное ускорение аmax = 49,3 см/с2, начальное смещение точки
от положения равновесия х(0) = 25 мм.
18
1. РАЗДЕЛ «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И
ТЕРМОДИНАМИКА»
1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ИЗОПРОЦЕССЫ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. В баллоне объёмом 20 л находится аргон под давлением 1,0 МПа и
температуре 300 К. После того как из баллона было взято 20,0 г аргона, температура в
баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.
Дано:
Решение:
-2 3
V = 20 л = 2,0·10 м
Для решения задачи воспользуемся
р1 = 1,0 МПа = 1,0·106 Па уравнением состояния идеального
Т1 = 300 К
газа, применив его к начальному и
Т2 = 280 К
конечному состояниям газа:
m
р1V  1 RT1 ,
Δm = 20,0 г = 2,0·10-2 кг
р2 – ?
(1)

р2V 
m2

RT2 .
(2)
Из уравнений (1) и (2) выразим m1 и m2 и найдём их разность:
откуда находим
р
р V
m  m1  m2  ( 1  2 )
,
T1 T2 R
Т
mRT2
р2  р1 2 
.
(3)
Т1
V
Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть
вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два
слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух
множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе
слагаемое:
R m T  
  V 
Дж
 кг  К
Дж Н
моль  кг


 Па .
кг
3
м3
м2
м
моль
Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона   40  10 3 кг/моль.
280 8,31  2  10 2  2,8  10 2

 93,3  10 4  5,8  10 4  87,5  10 4 Па  875 кПа.
300
40  10 3  2  10 2
Ответ: 875 кПа.
р2  1,0  10 6 
Задача 2. В сосуде находится смесь 14,0 г азота и 16,0 г кислорода при температуре
300 К и давлении 8,3 кПа. Определить плотность этой смеси, считая газы идеальными.
Дано:
Решение:

2
m1  14,0 г  1,40  10 кг
Для каждого компонента в смеси
1  28  10 3 кг / моль
газов можно записать уравнения
m2  16,0 г  1,60  10 2 кг
состояния:
1  32  10 3 кг / моль
m
р1V  1 RT ,
(1)
m
р2V  2 RT .
(2)
1
Т  300 К
Р  8,3кПа  8,3  103 Па
2
19
 ?
Давление смеси равно р  р1  р2 (по закону Дальтона). Суммируя (1) и (2), с учётом
закона Дальтона найдём объём газа
m
m RT
.
V ( 1  2)
1 2 р
Для плотности смеси находим
m  m2 m1  m2
 1

V
Проверка размерности:
m1
1
р
.
m2 RT

2
m P 
кг  Па
кг  Па кг
.


  R T  моль  ( Дж /( моль  К ))  К Дж м3
Вычисления:

30  10 3 8,3  10 3
кг

 0,1
2
14 16 8,3  3  10
м3

28 32
.
Ответ: 0,1 кг/м3.
Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон объёмом 10,0 л. За
один цикл (ход поршня) насос захватывает объём 0,4 л. Через сколько циклов давление в
баллоне уменьшится от 0,1 МПа до 0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ –
идеальным.
Дано:
Решение:
-2 3
V = 10 л = 1,0 10 м
Для изотермического процесса в первом
ΔV = 0,4 л = 0,4 10-3 м3
и следующих циклах можно записать
5
р0 = 0,1 МПа = 1,0 10 Па р0V  р1 (V  V ) ,
рN = 0,1 кПа = 100 Па
р1V  р2 (V  V ) ,
Т = const
----------------------N–?
р N 1V  р N (V  V ) .
Получаем рекуррентную формулу
р0  р N (1 
V N
) ,
V
(1)
где N – число циклов. Прологарифмировав соотношение (1), получим для числа циклов
р0
рN
.
N
V
lg(1 
)
V
lg
(2)
Правая часть (2) содержит отношения однородных величин и является безмерной.
Вычисления:
N
lg 10 3
3

 176.
0,4
lg(1 
) 0,017
10
Ответ: 176 циклов.
Задача 4. Идеальный газ совершает процесс, в котором давление изменяется в
зависимости от объёма по закону p=p0–αV2, где p0=0,1 МПа, α=1,0·107 Па·моль2/м6.
Количество вещества газа равно 1 моль. Определить максимальную температуру газа в
процессе.
20
Дано:
р = р0 – αV2
р0= 0,1 МПа = 105 Па
α = 1,0·107 Па·моль2/м6
Решение:
Найдём зависимость T V  . Для этого
воспользуемся уравнением состояния для
одного моля газа
Тmax – ?
Исключая давление, получим
рV  RT .
р

T  оV  V3.
R
R
(1)
Из условий
d 2T
dT
 0,
dV
dV 2
0
находим максимум функции T(V). Получается, что в области положительных значений V и
Т зависимость (1) при объёме моля газа
V
ро
3
имеет максимальную температуру, равную
Tmax 
Проверка размерности:
p3 / 2  
R  1 / 2 
2 ро
3R
ро
.
3
Па 3 / 2
Дж
моль  К
Па 1 / 2  моль
м3

Па  К
К.
Дж
м3
Вычисления:
Tmax 
2  10 5
10 5
 465 К .
3  8,31 3  107
Ответ: 465 К.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.00. В баллоне емкостью 30 л находится сжатый воздух при 17оС. После того, как часть
воздуха выпустили, давление понизилось на 2 105 Па. Определить массу выпущенного
воздуха. Процесс считать изотермическим.
2.01. Найти массу природного горючего газа объемом 64 м3 , считая, что объем указан при
нормальных условиях. Молярную массу природного горючего газа считать равной
молярной массе метана СН4.
2.02. Найти массу природного горючего газа объемом 64 м3 , считая, что объем указан при
нормальных условиях. Молярную массу природного горючего газа считать равной
молярной массе метана СН4.
2.03. При температуре 309 К и давлении 0,7 МПа плотность газа равна
12 кг/м3.Определить молярную массу газа.
2.04. Одинаковые массы азота и кислорода находятся при одинаковой температуре. Как
должны относиться их давления, чтобы они имели при этом одинаковые плотности?
2.05. В баллоне емкостью 0,5 м3 находится 4 кг водорода и 6,5 кг азота. Определите
давление смеси, если температура окружающей среды 18оС.
2.06. Во сколько взмахов можно откачать поршневым насосом емкостью 150 см3 баллон
емкостью 1,5 л до давления 0,76 мм рт. ст.? Первоначальное давление в баллоне 105 Па.
21
2.07. В баллоне вместимостью 25 л находится смесь газов, состоящая из 20 г аргона и 2 г
гелия, при температуре 301 К. Найти давление смеси газов на стенки сосуда.
2.08. Какой объем при нормальных условиях занимает смесь 4 кг кислорода и 3 кг азота?
2.09. В сосуде находятся 14 г азота и 9 г водорода при температуре 10 0С и давлении
1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.
2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. При давлении газа, равном 0,1 МПа, его двухатомные молекулы обладают
средней кинетической энергией 2,5·10-20 Дж. Определить концентрацию молекул газа.
Дано:
i=5
р = 1·105 Па
<εк>= 2,5·10-20 Дж
Решение:
Воспользуемся основным уравнением
молекулярно-кинетической
теории газов:
р
n–?
2
n  к  .
3
(1)
Так как средняя кинетическая энергия поступательного
3
2
движения молекулы   к  kT , а средняя энергия молекулы, включая кинетическую
энергию вращательного движения,
  
i
kT ,
2
то с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы для <ε>
получаем
  k 
3
 .
i
(2)
Используя формулы (1) и (2), находим
n
Проверка размерности:
 р 
 
рi
.
2 
Па
Н
1


 м 3 .
Дж м 2  ( Н  м) м 3
Вычисления:
n
1,0  10 5  5
2  2,5  10  20
 1,0  10 25 м 3 .
Ответ: 1,0·1025 м-3.
Задача 2. Определить наиболее вероятную скорость, среднюю арифметическую
скорость и среднюю квадратичную скорость молекул газа, у которого при нормальном
атмосферном давлении плотность равна 0,3 кг/м3.
Дано:
р = 105 Па
ρ = 0,3 кг/м3
в ,   , u  ?
Решение:
Для нахождения искомых скоростей
воспользуемся формулами их определений.
При этом параметры (температуру и молярную массу), входящие в
эти формулы, выразим из уравнения состояния идеального газа
RT


р

.
22
Таким образом, получаем
в 
  
ск 
2 RT

8 RT

3RT

2р




– наиболее вероятная скорость;
8р

3р

– средняя арифметическая скорость;
– средняя квадратичная скорость.
Проверка размерности:
 р1 2
 1 2
12
 Н  м3 



1 2  м 2  кг 
 кг 




3
м 
Па 1 2
12
 Дж 


 кг 
12
 м2 


 с2 



м
.
с
Вычисления:
2  1,0  105
 8,2  10 2 м / с ;
0,3
в 
  
3  1,0  105
 9,2  10 2 м / с ;
3,14  0,3
ск 
3  1,0  105
 10,0  10 2 м / с .
0,3
Ответ:  в  8,2  10 2 м / с ,    9,2  10 2 м / с , ск  10,0  10 2 м / с .
Задача 3. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, находящегося в
состоянии теплового равновесия, при котором значениям скоростей молекул 300 м/с и 600
м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.
Дано:
Решение:
υ1 = 300 м/с
Функция распределения Максвелла:
υ2 = 600 м/с
в  ?
 m 
F ( )  4  о 
 2kT 
3/2
 m 2 
 2 exp   о  .


2kT 

Учитывая выражение для определения наиболее вероятной скорости
в 
2kT
,
mо
получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде:
 m 
F ( )  4  о 
 2kT 
3/2
 2 
.
 2 
 в 
 2 exp  
Применив полученное выражение для двух значений скоростей, с учетом условия задачи
F (1 )  F (2 ) получаем
2
  2  2 
 2 
1 .
   exp   2
2



 1 
в


Логарифмируем и выражаем искомую величину.

1 1
в  2
2
22
.

2 ln 2
1
Соответствие размерности очевидно.
23
Вычисления: в  6  10
2
1
4  441 м / с .
2 ln 2
1
Ответ: 441 м/с.
Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных в жидкости частиц гуммигута
обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их
концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм.
Температура жидкости 17 °С. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность гуммигута на 0,2 г/см3
больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим данным число Авогадро.
Дано:
Решение:
-5
∆h = 40 мкм = 4
·10 м
Распределение частиц, взвешенных
n1
2
n2
в жидкости, подчиняется закону
Т = 17 °С = 290 К
Больцмана:
 E 
n  nо exp   П  .
 kT 
d = 0,4 мкм = 4·10-7 м
(1)
 г   ж  2  10 2 кг / м 3
NA ?
Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых изменений высоты можно считать
однородным. Если учесть, что частицы гуммигута испытывают действие выталкивающей
силы Архимеда
(2)
Fа   ж gV ,
где V – объем частицы, то для потенциальной энергии частицы следует записать
E П  (mg  Fа )h  (  гVg   жVg )h  (  г   ж )Vgh
Концентрации частиц в фокальных плоскостях на высотах h1 и h2, отсчитанных от дна
сосуда, согласно уравнению (1), равны
 (    ж )Vgh1 
n1  n0 exp   г
,
kT


 (    ж )Vgh2 
n2  n0 exp   г
.
kT


Найдем отношение
n1
 (    ж )Vg ( h1  h2 ) 
 exp   г
.
n2
kT


Учитывая, что k 
(3)
R

, V  d 3 , ∆h= h1 – h2 , из (3) находим
NA
6
n
6 RT ln 1
n2
NA 
.
3
d (  г   ж ) gh
Дж
R T   моль  К  К  1 .
d 3    g  h м3 кг  м  м моль
 
Проверка размерности:
м3 с 2
Вычисления:
NA 
6  8,31  2,9  10 2  ln 2
3,14  6 ,4  10  20  2  10 2  10  4  10 5
 6 ,4  10 23
1
моль
.
Ответ: 6,4·1023 1/моль.
24
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.20 Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа.
Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.
2.21 Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию
вращательного движения одной молекулы аммиака при температуре 27оС.
2.22 Водород находится при температуре 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию
вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию
всех молекул этого газа. Водород взят в количестве 0,5 моль.
2.23 Определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа в сосуде объемом 2 л
под давлением 200 кПа. Масса газа составляет 0,3 г.
2.24 Найти число молекул водорода в единице объема сосуда при давлении 266,6 Па, если
средняя квадратичная скорость его молекул 2,4 км/с.
2.25 Какое число молекул двухатомного газа содержит объем 10 см3 при давлении 5,3 кПа
и температуре 27оС? Какой энергией теплового движения обладают эти молекулы?
2.26 Двухатомный газ массой 1 кг находится под давлением 80 кПа и имеет плотность
4 кг/м3. Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях.
2.27 Температура взятого в количестве 1,5 моля гелия равна 120 К. Определить
суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул этого газа.
2.28 Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью 2 л, если средняя
квадратичная скорость движения молекул 500 м/c, а давление на стенки сосуда 105 Па?
2.29 Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа равна 5
10 21 Дж. Концентрация молекул 3 1019 см-3. Определить давление газа.
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Газообразный водород, находившийся при нормальных физических
условиях в закрытом сосуде объемом 5,0 л, охладили на 55 К. Определить приращение
внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.
Дано:
Решение:
ро= 105 Па
Первый закон термодинамики:
То= 273 К
(1)
Q  U  A .
-3 3
Vo= 5,0·10 м
Для изохорного процесса работа газа
V2
∆Т = – 55 К
A
 pdV  0 .
(2)
V1
Q, ∆E – ?
Изменение внутренней энергии идеального газа
U 
i m
RT
2
.
(3)
Уравнение состояния идеального газа:
poVo 
m

RTo .
Решая систему уравнений (1) – (4), получаем
Q  U 
(4)
i
T
poVo
.
2
To
Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i=5.
Проверка размерности:
25
 p V   Па  м3 
Н
м2
м3  Н  м  Дж .
Вычисления:
Q  U 
5
55
 1,0  105  5,0  103 
 252 Дж .
2
273
Ответ: Q  U  252 Дж .
Задача 2. Три моля идеального газа при температуре 300 К изотермически расширили
в 4 раза, а затем изохорно нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За
весь процесс газу сообщили количество теплоты 67 кДж. Определить коэффициент
Пуассона для этого газа.
Дано:
Решение:
Т1= 300 К
В процессе изотермического расширения
газа из состояния ( р1,V1) в состояние
n  V2 V1  4
4
Q= 6,7·10 Дж
( р2 ,V2 ) к газу подводится теплота
 ?
Q  A  vRT ln(V V ) .
12
12
2
1
В процессе изохорного нагрева к газу подводится количество теплоты
Q23  U  vCV (T3  T1 ).
Для нахождения T3 воспользуемся уравнениями изохорного и изотермического процессов:
P1 P2

,
T3 T1
Для T3 получим T3  T1
P1V1  P2V2 .
V2
 nT1 .
V1
Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы
газа соотношением  
C p
C V

i2
.
i
Из этого выражения следует, что i 
2
.
 1
Для Q23 окончательно получаем
Q23 
vRT1
( n  1) .
 1
При переходе газа из состояния I в состояние III затрачивается количество теплоты

n 1
.
Q  Q12  Q23  vRT1  ln n 
 

(1)
Из (1) выразим коэффициент Пуассона
  1
Убедимся, что соотношение
n1
.
Q
 ln n
vRT1
Q
является безразмерной величиной:
vRT
Q  
v    R   T  моль 
Дж
.
Дж
К
моль  К
Вычисления:
26
  1
4 1
6 ,7  104
 ln 4
3  8,31  300
 1,4 .
Ответ: 1,4.
Задача 3. Объем одного моля идеального газа с коэффициентом Пуассона γ = 5/3
изменяют по закону VT = a, где а – положительная константа. Определить количество
теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура возросла на 60 К.
Дано:
Решение:
Первый закон термодинамики:
 5 3
ν = 1 моль
(1)
Q  dU  A .
∆Т = 60 К
Бесконечно малое изменение внутренней энергии
i
dU  RdT .
2
Элементарная работа
A  pdV .
Q?
(2)
(3)
Перепишем первый закон термодинамики, выразив изменения термодинамических
функций через изменения термодинамических параметров, т.е. подставим уравнения (2) и
(3) в уравнение (1):
i
2
Q  RdT  pdV .
(4)
Выразим уравнение процесса в параметрах P и V. Для этого воспользуемся уравнением
состояния газа и уравнением процесса, данным в условии задачи:
pV  RT , T 
a
.
V
Исключая температуру, получим
p
aR
V2
.
(5)
Выразим число степеней свободы через коэффициент Пуассона:
i
2
.
 1
(6)
Подставляя уравнения (5) и (6) в уравнение (4) приходим к выражению
Q 
R
dV
dT  aR
.
 1
V2
(7)
Интегрируя (7), получаем
Q
 a
R
a  R
2
T R   
T RT 
RT .
 1
 1
 V1 V2    1
Проверка размерности:
  R T   моль 
Вычисления:
Q
Дж
 Дж .
моль  К
25/3
 1  8,31 60  250 Дж .
5/31
Ответ: 0,25 кДж.
Задача 4. Определить молярную теплоемкость идеального газа в политропном
процессе р V n    const , если n = 3, а коэффициент Пуассона этого газа γ = 5/3.
Дано:
Решение:
27
Первый закон термодинамики:
(1)
Q  dU  A .
Выразив изменения термодинамических функций через изменения
Cn  ?
термодинамических параметров,
Q  vCn dT , dU  vCV dT , A  рdV ,
и подставив их в уравнение (1), получаем
(2)
Cn dT  CV dT  pdV .
Выразив давление из уравнения процесса, данного в условии, и подставив в уравнение (2),
получаем
n=3
γ = 5/3
Cn  CV 
1  dV
.
v V n dT
(3)
Определим производную dV dT . Для этого воспользуемся уравнениями политропического
процесса и состояния идеального газа и выразим уравнение процесса в параметрах V и T:
TV n1 

vR
.
(4)
dT  1  n

и подставляем в (3):
dV vR V n
R
R
R
R( n   )
C n  C V 



.
1  n   1 n  1 (  1)( n  1)
Дифференцируя (4), получаем
Проверка размерности:
Дж
C  R  моль
.
К
Предельные случаи:
1) при n = 0 получаем р = const, т.е. теплоемкость дли изобарного процесса Cμn = Cμp;
2) при n = γ получаем S = const, т.е. теплоемкость адиабатного процесса Cμn = 0.
Вычисления: C n  R 
Ответ: 8,31
35/3
Дж
 8,31
(5 / 3  1)( 3  1)
моль  К
.
Дж
.
моль  К
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.30 При изотермическом расширении газа, занимавшего объем 2 м3, давление его
меняется от 0,5 МПа до 0,4 МПа. Найти работу, совершенную при этом.
2.31 Какое количество теплоты нужно сообщить 1 кмолю кислорода, чтобы он совершил
работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе?
2.32 Азот массой 2 кг, находящийся при температуре 288 К, сжимают: а) изотермически;
б) адиабатически, увеличивая давление в 10 раз. Определить работу, затраченную на
сжатие газа, в обоих случаях.
2.33 При каком процессе выгоднее для получения наибольшей работы производить
расширение углекислого газа: адиабатическом или изотермическом, если объем
увеличивается в 2 раза? Начальная температура в обоих случаях одинаковая.
2.34 Газ, занимающий объем 20 л под давлением 1 МПа, был изобарически нагрет от 323 до
473 К. Найти работу расширения газа.
2.35 Во сколько раз увеличится объем 1 моля водорода при изотермическом расширении
при температуре 27°С, если при этом была затрачена теплота, равная 4 кДж?
2.36 При нагревании 1 кмоля азота было передано 103 Дж теплоты. Определить работу
расширения при постоянном давлении.
28
2.37 Для изобарного нагревания газа в количестве 800 моль на 500 К ему сообщили
количество теплоты 9,4 МДж. Определите работу газа и приращение его внутренней энергии
2.38 Температура воздуха в комнате объемом 70 м3 была 280 К. После того как протопили
печь, температура поднялась до 296 К. Найдите работу воздуха при расширении, если давление
постоянно и равно 100 кПа.
2.39 Определить количество теплоты, которое необходимо сообщить углекислому газу
массой 220 г, чтобы нагреть его на 20 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном
давлении.
4. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Цикл состоит из двух изохор и двух адиабат. Отношение наибольшего
объема газа к наименьшему в цикле равно 8. Рабочим веществом является одноатомный
идеальный газ. Определить КПД цикла.
Дано:
V2 / V1  8
i=3
Решение:
р
 ?
1
2
4
3
V1
V2
V
КПД тепловой машины определяется отношением работы за цикл к количеству теплоты,
получаемому рабочим телом за цикл:

A
.
Qн
Применим первый закон термодинамики для адиабатных процессов. С учетом выражения
для изменения внутренней энергии и определения адиабатного процесса получаем
i
2
i
A34   U 34 
2
A12   U 12 
m
R(T1  T2 ) ,

m
R(T3  T4 ) .

В данном цикле работа равна алгебраической сумме работ, выполняемых системой в двух
адиабатных процессах
A  A12  A34 . В изохорных процессах 2-3 и 4-1 работа не
совершается.
Для процесса 4-1 применим уравнение изохорного процесса:
р1 р4

.
T1 T4
Так как р1 > р4, то T1 > T4. Газ получает количество теплоты от нагревателя. Это
количество теплоты, согласно первому закону термодинамики, равно
Qн  Q41 
i m
R(T1  T4 ) .
2
Для КПД цикла получаем
29
A A
Т T Т T
Т T
Т (1  T3 / Т 2 )
.
  12 34  1 2 3 4  1  2 3  1  2
T1  T4
Q41
T1  T4
T1 (1  T4 / T1 )
Применим уравнение Пуассона для процессов 3-4 и 1-2. Применим уравнение изохорного
процесса для процессов 4-1 и 2-3. Получим систему из четырех уравнений:
р4V4   р3V3 ,
р1V1  р2V2 .
р4 р1
,

Т 4 Т1
р2 р3
.

Т2 Т2
Решая систему уравнений, получаем
T4 T3
.

T1 T2
Таким образом, КПД цикла
T
  1 2 .
T1
Применим уравнение Пуассона в параметрах ТV для процесса 1-2:
Т 1V1 1  Т 2V2 1.
Окончательное выражение для КПД цикла:
 1
V 
  1   1 
.
 V2 
Правая часть уравнения является безразмерной.
Учитывая, что для одноатомного идеального газа i = 3, γ = 5/3, производим вычисления:
  1
1
8 5 / 31
 1
1
 0,75 .
4
Ответ: 0,75 (75 %).
Задача 2. Азот совершает цикл Карно. Определить КПД цикла, если при адиабатном
расширении объем газа увеличивается в 3 раза.
Дано:
Решение:
T
  1 х .
V3 / V2  3
КПД цикла Карно
i=5
Определим Tх/Tн, воспользовавшись уравнением
Пуассона TV  1  const для процесса адиабатного
расширения газа:
 ?
Tн
 1
Tх  V2 
 
Tн  V3 
Для КПД цикла Карно получаем
.
1
V 
  1   3 
 V2 
.
Правая часть выражения является безразмерной.
Учитывая, что для азота  
i2
 1,4 , производим вычисления:
i
  1  311,4  0,36 .
Ответ: 0,36 (36 %).
30
Задача 3. Идеальный газ с коэффициентом Пуассона γ=5/3 совершает процесс, в
котором давление изменяется по закону p=p0–αV, где р0=0,1 МПа, α=50 кПа/м3. При каком
значении объема энтропия газа будет максимальной?
Дано:
Решение:
Энтропия идеального газа
  5/3
ро=0,1 МПа=105Па
(1)
S  CV ln T  R ln V  const .
α =50 кПа/м3=5·104 Па
Используя уравнения состояния
идеального газа и уравнение процесса, получим зависимость T(V):
V ?
T
1
( ро  V )V .
vR
(2)
Подставив (2) в (1), получим зависимость энтропии газа от объема:
S  CV ln( ро  V )V   R ln V  const .
Объем V0, соответствующий максимуму энтропии, найдем из условий
d 2S
dS
 0,
dV
Этот объем
Vо 
Проверка размерности:
Вычисления: Vо 
d 2V
 0.
 ро
.
 1 
 р  Па  м3 .
  Па / м3
5/3
105

 1,25 м3 .
5 / 3  1 5  104
Ответ: 1,25 м3.
Задача 4. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в
количестве 3 моль, чтобы его энтропия увеличилась на 25 Дж/К?
Дано:
Решение:
ν = 3 моль
Для обратимого процесса S  
T
,
где Q  dU  A .
∆S = 25 Дж/К
V2
?
V1
Q
Так как процесс изотермический, то для идеального газа dU  0 , а
элементарная работа равна
A  pdV  vRT
dV
.
V
Изменение энтропии S для изотермического процесса будет равно
S 
A
T
V2
 vR
V
dV
V1
V
 vR ln 2 .
V1
Из последнего соотношения находим
V2
 S 
 exp 
.
V1
 vR 
Показатель экспоненты – величина безразмерная.
31
Вычисления:
V2
 25 
 exp 
  2,7 .
V1
 3  8,31 
Ответ: V2 / V1  2,7 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.40 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80% количества
теплоты, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Машина получает от
нагревателя количество теплоты Q1 = 6,28 кДж. Найти к. п. д. цикла и работу,
совершаемую за один цикл.
2.41 Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 0,25 теплоты, полученной
от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя
500 К.
2.42 За счет 1 кДж теплоты, получаемой от нагревателя, машина, работающая по циклу
Карно, совершает работу 0,5 кДж. Температура нагревателя 500 К. Определить
температуру холодильника.
2.43 Температура нагревателя идеальной тепловой машины 117°С, а холодильника 27°С.
Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за 1 с, равно 60 кДж.
Вычислите КПД машины и количество теплоты, отдаваемое холодильнику за 1 с.
2.44 Идеальная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один
цикл работу A = 37 кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой t2 = -10°С и
передает тепло телу с температурой t1 = 17°С. Найти к. п. д. цикла, количество теплоты Q2,
отнятое у холодного тела за один цикл, и количество теплоты Q1, переданное более горячему
телу за один цикл.
2.45 Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение
цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагревателя 500
К, холодильника 300 К.
2.46 Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, 480 К,
температура холодильника 390 К. Какова должна быть температура нагревателя при
неизменной температуре холодильника, чтобы к. п. д. машины увеличился в 2 раза?
2.47 При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 200 Дж. Температура
нагревателя 375 К, холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое
машиной от нагревателя.
2.48 Газ, совершающий цикл Карно, 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, отдает
охладителю. Температура охладителя 2800К. Определить температуру нагревателя.
2.49Газ совершает цикл Карно. Работа изотермического расширения 5 Дж. Определить
работу изотермического сжатия, если к. п. д. цикла 0,2.
32
ТАБЛИЦА, СИСТЕМАТИЗИРУЮЩАЯ ЗНАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «МЕХАНИКА»

Радиус- вектор r


 
  
r

i
x

j
y

k
z
i , j , k - единичные векторы, x,y,z- декартовы
координаты точки


r
Средняя скорость
 V 

t
r - перемещение точки за время t

 dr 

Мгновенная скорость
V
 i Vx  j V y  k Vz
dt
dx
dy
dz
Vx  ;V y  ;Vz 
dt
dt
dt
Модуль скорости
Среднее ускорение
Мгновенное ускорение
Полное ускорение
нормальное
ускорение,
характеризует
изменение скорости по направлению, направлено к

центру кривизны в данной точке траектории; a тангенциальное
ускорение,
характеризует
изменение скорости по величине, направлено вдоль
касательной в данной точке траектории
Модуль полного ускорения

an -
Модули нормального и тангенциального
ускорений
R – радиус кривизны траектории
Кинематические уравнения движения точки
вдоль оси OX
V0X и х0 - скорость и координата в момент времени
t=0.
Кинематические уравнения равнопеременного
движения точки вдоль оси OX
Средняя угловая скорость
 - изменение угла поворота за интервал времени
t
Мгновенная угловая скорость
Угловое ускорение
Кинематические уравнения вращения твердого
тела
0 и 0 - начальные угловая скорость и угол
поворота.
V  Vx2  V y2  Vz2 .


V
 a 
t




 dV
a
 i ax  ja y  kaz ,
dt
dV y
dVx
dVz
ax 
; ay 
; az 
dt
dt
dt
 
  
a  an  a , an a
a  a n2  a2
an 
V2
dV
, a 
R
dt
t
V x  V0 x   a x dt
0
t
x  x0   V x dt ,
0
Vx  V0 x  a xt;
x  x0  V0 x t 
  
axt 2
.
2

,
t
d
.
dt
d d 2


.
dt
dt 2

t
   0   dt;
0
t
   0   dt,
0
33
Кинематические
уравнения
равнопеременном вращении
при
  0  t;
   0  0 t 
Связь
между линейными
и
угловыми
величинами, характеризующими движение точки:
t 2
2
V  R ; a  R

dp 
 F.
dt
Основное уравнение динамики материальной
точки


P  mV - импульс,
 n 
F   Fi - геометрическая сумма сил, действующих
i 1
на точку
При m  const уравнение примет вид


m - масса, V - скорость и a - ускорение
материальной точки.
Закон сохранения импульса
n – полное число тел, входящих в замкнутую
систему
Работа переменной силы
 
ma  F
n 
 Pi  const
i 1
r2
A   F cos adr.
r1
При F =const

- угол между направлениями силы F

перемещения r .
A=Frcos,
и
Средняя мощность за время t
Мгновенная мощность
A - элементарная работа за промежуток
времени dt.
Кинетическая энергия тела при поступательном
движении
Потенциальная энергия тела в поле силы
тяжести
h – высота тела над начальным уровнем
отсчёта.
Потенциальная энергия тела при упругой
деформации
k – коэффициент упругости, x – абсолютная
деформация
Теорема об изменении кинетической энергии
Связь работы консервативной силы с
потенциальной энергией
Полная механическая энергия системы
Момент инерции материальной точки
m - масса точки, r - расстояние от оси вращения
Момент инерции системы материальных точек
ri - расстояние точки массы mi от оси
вращения
P 
P
A
dt
A
t
 FV cos
mV 2
2
Eп  mgh
Eк 
Eп 
kx2
2
A  Ek
A  E p
E  Ek  E p
J  mr 2
n
J   mi ri2 ,
i 1
34
Момент инерции твердого тела
r2
J   r 2 dm.
r1
Теорема Штейнера: момент инерции тела
относительно произвольной оси равен
J 0 - момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр тяжести параллельно
заданной оси, a - кратчайшее расстояние между
осями, m - масса тела.
Моменты инерции твердых тел правильной
формы
l - длина стержня, ось перпендикулярна
стержню
R - радиус диска, ось перпендикулярна
плоскости основания
R - радиус шара
R - радиус кольца, ось перпендикулярна
плоскости кольца
Момент импульса вращающегося тела
 - угловая скорость
M
момент
результирующей
силы,
действующей на тело
F - сила, h - плечо силы - кратчайшее
расстояние от оси до линии действия силы.
Основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной
оси при J=const
 - угловое ускорение
Закон сохранения момента импульса

Li - момент импульса i-го тела, входящего в
состав замкнутой системы.
Уравнения гармонических колебаний
x - смещение точки от положения равновесия,
A- амплитуда,
t+0 - фаза колебаний в момент времени t,
- циклическая частота,
0- начальная фаза.
 и T - частота и период
Дифференциальное
уравнение
свободных
колебаний материальной точки
m- масса точки, k- коэффициент квазиупругой
силы.
Полная
энергия
точки,
совершающей
гармонические колебания
J  J 0  ma 2
ml 2
12
J 0стержня 
J 0 äèñêà 
mR 2
2
2
mR 2
5
J 0кольца  mR2
J 0шара 
L  J ,
dL
M
dt
M  Fh,
J  M ,

d
dt
n 
 Li  const
i 1
x=Acos(t+0), x=Asin(t+0)
  2 
2
,
T
mx  kx, или x   02 x  0,
 02  k m
E
1
1
m 2 A2  kA2 .
2
2
Период колебаний тела, подвешенного на
пружине (пружинный маятник)
T  2
m
,
k
Период колебаний математического маятника
где l - длина нити, g- ускорение свободного
падения
T  2
l
,
g
35
Период колебаний физического маятника
J - момент инерции тела относительно оси
колебаний, a- расстояние центра масс маятника от
оси колебаний
Дифференциальное уравнение затухающих
колебаний
c - коэффициент сопротивления,  коэффициент
затухания,
0собственная
циклическая частота колебаний
Уравнение затухающих колебаний (частное
решение дифференциального уравнения)
A0- амплитуда колебаний в момент времени t=0
A(t) - амплитуда затухающих колебаний в
момент времени t
Декремент затухания
Логарифмический декремент затухания
T  2
J
,
mga
mx  kx  cx, или x  2x  02 x  0
c
k
, 0 
m
2m

x  A0 e t cos(t   0 )  A(t ) cos(t   0 ),
D
A(t )
 e T .
A(t  T )
ln D  T ,
ТАБЛИЦА, СИСТЕМАТИЗИРУЮЩАЯ ЗНАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ
«МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА»
p  nkT
Уравнения состояния идеального газа
pV  NkT
(производные формы)

р – давление;
p  RT
n – концентрация молекул;

k = 1,38 10-23 Дж/К; – постоянная Больцмана;
pV  RT
T – абсолютная температура;
m
pV  RT
V – объём;

N – число молекул;
ρ – плотность газа;
μ – молярная масса;
m – масса газа;
ν – число молей;
R = 8,31 Дж/(моль·К) – универсальная газовая
постоянная.
Закон Дальтона
р
рi
p – давление смеси газов,
pi – парциальное давление i – го компонента смеси
газов
Термодинамические процессы в идеальном газе
постоянной массы
Изотермический, Т = const

р V  const
изобарный,
p= const
изохорный,
V = const
Основное уравнение молекулярнокинетической теории газов
р – давление газа;
n – концентрация молекул; m0 – масса
молекулы;
V
 const
T
р
 const
T
1
1
2
р  n  mо   2     2  n   к ,
3
3
3
36
<υ2> – средний квадрат скорости
поступательного движения молекулы;
<εк> – средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекулы
ρ – плотность
Закон равномерного распределения энергии по
степеням свободы: на каждую степень свободы
поступательного и вращательного движения
молекулы приходится средняя энергия
Средняя энергия молекулы газа
i – число степеней свободы молекулы
Функция распределения Максвелла по
скоростям для молекул идеального газа
Характеристические скорости молекул газа
наиболее вероятная
средняя арифметическая
среднеквадратичная
Распределение Больцмана
n – концентрация молекул с потенциальной
энергией EП;
n0 – концентрация молекул с потенциальной
энергией EП=0;
EП – потенциальная энергия молекулы.
Первый закон термодинамики
δQ – элементарное количество теплоты,
dU – бесконечно малое изменение внутренней
энергии термодинамической системы;
δA – элементарная работа, совершенная
термодинамической системой
Количество теплоты, полученное или отданное
системой в термодинамическом процессе
T1 и T2 – температуры начального и конечного
состояния газа;
v – количество молей газа;
C – молярная теплоемкость газа в данном процессе
 m 
F ( )  4  о 
 2kT 
3/2
 m 2 
 2 exp   о 


2kT

mо
в 
  
8 kT
mо

2kT 

2 RT

8 RT

3kT

mо
ск    2  
3RT

 E 
n  nо exp   П 
 kT 
Q  dU  A
T2
2


Q  Q  vC  dT
1
T1
U
i m
RT
2
T2

T2
U  dU 
T1
Элементарная работа газа (работа газа при
равновесном, бесконечно малом изменении
объема)
Работа газа в процессе
V1 и V2 – объемы начального и конечного
состояния газа
i
kT
2
  
Внутренняя энергия идеального газа
Изменение внутренней энергии идеального газа
в термодинамическом процессе
1
kT
2
  
 2  RdT  2  RT
i m
i m
T1
A  pdV
V2
A
 pdV
V1
37
Теплоемкости идеального газа при постоянном
объеме и постоянном давлении
Уравнение Майера
Уравнение адиабатного (происходящего без
теплообмена) процесса
 - коэффициент Пуассона
Уравнение политропного (происходящего при
постоянной теплоемкости) процесса
n – показатель политропы
Коэффициент полезного действия (КПД)
тепловой машины
A – работа, совершенная тепловой машиной за
цикл;
Qн – количество теплоты, полученное от
нагревателя за цикл;
Qх – количество теплоты, переданное
холодильнику за цикл
КПД идеальной тепловой машины, работающей
по циклу Карно
Tх – температура холодильника;
Tн – температура нагревателя
Бесконечно малое изменение энтропии
термодинамической системы в обратимом
процессе
Изменение энтропии при обратимом переходе
системы из состояния 1 в состояние 2
i2
i
R
R Cp 
2
2 ,
CV 
Cp  CV  R
PV   const

C p
C V

i2
i
PV n  const

Q
A
 1 х
Qн
Qн
T
  1 х
Tн
dS 
Q
T
2
S  S 2  S1 
Q
T
1
Энтропия одного моля идеального газа
(определяется с точностью до аддитивной
постоянной)
Изменение энтропии одного моля идеального
газа при переходе системы из состояния 1 в
состояние 2
Связь между энтропией и статистическим
весом (формула Больцмана)
Ω – статистический вес
S   C V ln T  R ln V  const;
S   C p ln T  R ln р  const;
S   C V ln р  C p ln V  const.
Т
V
S   C V ln 2  R ln 2 ;
Т1
V1
Т2
p2
S   C p ln
 R ln
;
Т1
p1
p2
V
S   C V ln
 C p ln 2 .
p1
V1
S  k ln 
38
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Дробные и кратные приставки к единицам измерения
Обозначение
Приставка
п
н
мк
м
с
д
пико
нано
микро
милли
санти
деци
Множитель
- 12
10
10 - 9
10 - 6
10 - 3
10 - 2
10 - 1
Обозначение
Приставка
Множитель
да
г
к
М
Г
Т
дека
гекто
кило
мега
гига
тера
10 1
10 2
10 3
10 6
10 9
10 12
Соотношение между различными единицами
Миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.): 1 мм рт. ст. = 133 Па
Температура 0 К = – 273 °С
Атомная единица массы 1 а.е.м. = 1,66⋅10–27 кг
Некоторые константы и часто применяемые величины
Постоянная Больцмана
k = 1,3810 – 23 Дж/К
Постоянная Авогадро
NA = 6,0210 26 кмоль – 1
Ускорение свободного падения
g = 9,8 м/с2
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 кДж/(кмольК)
Скорость света в вакууме
с = 310 8 м/с
Гравитационная постоянная
G=6,67.10-11 H м2/кг2
Объем моля идеального газа при
Vo=22,4×10−3 м3/моль
нормальных условиях
Абсолютный ноль температуры
t = -273,15oC
Нормальные условия:
р0=101325 Н/м2, Т=273 К
Плотность веществ
Жидкости, кг/м3 при 20 °С
39
Твёрдые вещества, кг/м3 при 20 °С
Сыпучие вещества, кг/м3 при 20 °С
Газы и сжиженные газы, кг/м3
Удельная теплоемкость расплавленных металлов и сжиженных газов.
40
Удельная теплоемкость металлов и сплавов
Удельная теплоемкость твердых веществ
В таблице приведены средние значения удельной теплоемкости веществ
в интервале температур от 0 до 1000 (если не указана иная температура).
41
Удельная теплоемкость газов и паров
при нормальном атмосферном давлении
Удельная теплоемкость жидкостей
при нормальном атмосферном давлении
Удельные теплоты плавления и парообразования, кДж/кг
Лёд
330
Вода
2260
Железо
270
Спирт
906
Свинец
24
Свинец
860
42
43
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Раздел «МЕХАНИКА»
1.
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1979.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М: Высш. шк., 1989.
3. Джанколи Д. Физика. – М.:Мир, 1989.
4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. – Киев: «Днипро», 1994.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Наука, 1988.
6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1989.
7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1989.
8. Стрелков С.П. Механика. - М.: Наука, 1975.
9. Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1989.
10. Фиргант Е.Г. Руководство к решению задач по курсу общей физики. - М.: Высш. шк.,
1978.
11. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Высш. шк. 1981.
12. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1980.
Раздел «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА»
1. Савельев, И.В. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная физика / И.В.
Савельев. – М.: Наука, 1989.
2. Иродов, И.Е. Физика макросистем. Основные законы / Е.И. Иродов. – М.; СПб.:
Физматлит, 2001.
3. Волков, В.Н. Физика. В 3т. Т.1. Механика. Основы молекулярной физики и
термодинамики / В.Н. Волков, Г.И.Рыбакова, М.Н. Шипко; Иван. гос. ун-т. – Иваново,
1993.
4. Детлаф, А.А. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная физика / А.А. Детлаф,
В.М. Яворский, Л.Б. Милковская. – М.: Высш. шк., 1977.
5. Зисман, Г.А. Курс физики. В 3т. Т.1. Механика. Молекулярная физика / Г.А. Зисман,
О.М. Тодес. – М.: Наука, 1974.
44