К вопросу об аналогии формы записи закона Кулона и закона гравитации Ньютона Г.М.Трунов Известно[1], что сила гравитационного взаимодействия тел сферической формы, находящихся в вакууме, можно представить в виде (для модуля силы): Fгр = G ρ1V1 ρ2V2 , r2 (1) где G = 6,6710–11 Нм2/кг2 - гравитационная постоянная, 1 и 2 – плотности тел, имеющих соответственно, объемы V1 и V2 . Закон Кулона для электрических зарядов, находящихся на поверхности сферических тел, записывается (в СИ) в виде: Fэл = k0 σ1S1 σ 2 S2 , r2 (2) где k0 = 9109 Нм2/Кл2 – размерный коэффициент, S1 и S2– площади поверхности заряженных тел; 1 = Q1/S1 и 2 = Q2/S2 – поверхностные плотности зарядов, находящихся на поверхности S1 и S2 взаимодействующих тел. Общепринято, что закон гравитации Ньютона (1) не зависит от среды, в которой могут находиться взаимодействующие тела, хотя классические эксперименты по определению гравитационной постоянной были осуществлены Кавендишем при взаимодействии тел, находящихся только в воздухе [2]. , Закон Кулона для модуля силы электрического взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью описывается уравнением: Fэл = k0 σ1S1 σ 2 S2 , εr 2 (3) из которого следует, что сила электрического взаимодействия в среде в раз меньше, чем в вакууме. Это связано с тем, что в слое среды, непосредственно 1 контактирующем с заряженным телом, индуцируются электрические заряды противоположного знака, которые частично нейтрализуют заряды, находящиеся на телах. Учитывая это обстоятельство, закон Кулона (3) можно записать в виде уравнения: Fэл = k0 (σ1 σ01 )S1 (σ 2 σ02 )S2 , r2 (4) где 01 и 02 – поверхностные плотности индуцированных зарядов, находящихся в слоях среды (диэлектрика), непосредственно контактирующих с поверхностями заряженных тел. Действительно, величина индуцированного заряда в слое диэлектрика, контактирующего с поверхностью заряженного тела, пропорциональна величине заряда, находящегося на теле, поэтому: 01= 1 и 02 = 2, (5) где – постоянная для данного диэлектрика. Величину легко выразить через диэлектрическую проницаемость , подставив уравнение (5) в уравнение (4): Fэл = k0 (1 δ)2 σ1S1 σ 2 S2 (σ1 δσ1 )S1 (σ 2 δσ2 )S2 = . k 0 r2 r2 (6) Сравнив уравнения (3) и (6), получим : (1– )2 = 1 ε или = ε 1 . ε (7) Таким образом, уравнение (4) действительно является видоизмененной формой уравнения (3). Так как в вакууме закон гравитации Ньютона (1) по форме аналогичен закону Кулона (2), то можно предположить[2, 3], что гравитационное взаимодействие 2 двух тел, имеющих, соответственно, плотности 1, 2 и объемы V1 , V2 и находящихся в среде с плотностью 0 , должно описывается уравнением, аналогичным по форме уравнению (4): F21 = – G (ρ1 ρ0 )V1 (ρ2 ρ0 )V2 r0, r2 (8) где F21 – сила гравитации, действующая на второе тело со стороны первого тела; r0 – единичный вектор, направленный от первого тела ко второму. ρ0 ρ1V1 ρ2V2 F21 F12 r Рис. 2. Иллюстрация к формуле (8). Справедливость уравнения (8) подтверждается в двух предельных случаях. 1. Рассмотрим взаимодействие Земли (объем V1 , плотность 1 = 5,5103 кг/м3) и железного шарика (объем V2 , плотность 2 = 7,9103 кг/м3) в воздухе у поверхности Земли при нормальных условиях (0 = 1,29 кг/м3). В этом случае уравнение (8) переходит (с учетом 1 0 и 2 0, а r – радиус Земли) в закон гравитации Ньютона (1): F21 = – G ρ1V1 ρ 2V2 r0, r2 (9) т.е. взаимодействие Земли и железного шарика проявляется в виде силы притяжения (направление силы F21 противоположно направлению r0). 3 2) Рассмотрим взаимодействие Земли и резинового шарика с бесконечно тонкими стенками (т.е. пренебрегаем толщиной и массой оболочки), имеющего объем V2 и наполненного водородом (2 = 0,09 кг/м3). В этом случае уравнение (8) переходит (учитывая, что 1 0 и 2 0) в уравнение F21 = – G где g = G ρ1V1 (ρ2 ρ0 )V2 r0 = g(0 – 2)V2 r0 , r2 (10) ρ1V1 = 9, 81 м/с2 – ускорение свободного падения тел. r2 Уравнение (10) представляет собой положительную разность двух сил силы Архимеда FАрх = 0gV2 и силы тяжести m2g: В этом случае взаимодействие Земли и шарика, наполненного водородом, проявляется в виде силы отталкивания (направление силы F21 совпадает с направлением r0). Таким образом, уравнения (4) и (8) свидетельствуют о том, что электрическое и гравитационное взаимодействия имеют более глубокую аналогию, чем это следует из уравнений (1) и (2). Литература 1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1976. 2. Карякин Н.И. , Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. – М.: Высшая школа, 1964, С. 79. 3. Трунов Г.М. Гравитационное взаимодействие шарообразных тел, находящихся в бесконечной среде. Физическое образование в вузах. 2000, Т. 6, № 3. – С. 63 – 65. 4. Трунов Г.М. Представление в другой форме закона Кулона и закона гравитации Ньютона. Сб. «Физика в системе инженерного образования России». Тез. докл. Совещания зав. кафедрами технических вузов России. М.: АТОМ ПОЛИГРАФ СЕРВИС. – 2003. С. 178-180. 4