122 5.2. Канонические формы уравнений в частных производных второго порядка Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными ( x , y ) называется соотношение между неизвестной функцией u( x , y ) и её частными производными до второго порядка включительно: F ( x , y , u, u x , u y , u xx , u yy , u xy ) 0 , u u 2u 2u где u x ; uy ; u xx ; u xy ; x y xy x 2 Уравнение называется линейным u yy 2u y 2 относительно . старших производных, если оно имеет вид: a11u xx 2a12 u xy a 22 u yy F ( x , y , u, u x , u y ) 0 , где a11 a11 ( x , y ); a12 a12 ( x , y ); Если коэффициенты (5.2.1) a 22 a 22 ( x , y ). a11 , a12 , a 22 зависят не только от x, y , а являются подобно F , функциями x , y , u, u x , u y , то такое уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных u xx , u yy , u xy , так и относительно функции u и ux , u y : a11u xx 2a12 u xy a 22 u yy b1u x b2 u y cu f 0, (5.2.2) где все коэффициенты в (5.2.2) и f есть функции от x и y . Если коэффициенты в (5.2.2) не зависят от x и y , то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение (5.2.2) однородное, если f ( x , y ) 0 . 123 С помощью преобразования переменных ( x , y ) , ( x , y ) мы получим новое уравнение эквивалентное исходному. Пусть даны две взаимно однозначные системы координат xOy и O (рис. 5.1), связанные соотношениями ( x, y ) ( x, y ) , ( x, y ) ( x, y ) и x x( , ) , y y( , ) . y = const 0' 0 x Рис. 5.1 Уравнение координатной линии const в системе координат xOy имеет вид ( x , y ) const . Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю и d dx dy 0 x y ( x , y ) dy ( x , y ) x dx y ( x, y) ( x, y) x y т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке x y плоскости и коэффициент пропорциональности dy dx ( x , y ) , равен скорости изменения переменной у вдоль линии const , проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат O имеет 124 свою характеристику ( x , y ) и по ней можно определить само уравнение координатной линии dy ( x, y)dx , y ( x, y )dx c , ( x, y ) y ( x, y )dx cоnst . Ставится задача как выбрать ( x , y ) и ( x , y ) , чтобы уравнение (5.2.1) имело наиболее простую форму в новых переменных , , u( x , y ) ux , , y , u , . Преобразуя производные к новым независимым переменным и , имеем u x u x u x , u y u y u y , u xx u x u x x u x u x x u x2 u x x u x x u x x u x x u x x u x2 u x x u x2 2u x x u x2 u xx u xx , здесь учитывалось, что u x x 0 , u x x 0 , так как и независимые переменные и x 0 , x 0 . И также u x x u xx , u x x u xx . Следовательно u xx u x2 2u x x u x2 u xx u xx , (5.2.3) аналогично u yy u y2 2u y y u 2y u yy u yy . Для смешанного производного имеем u xy u x y u x y y x u x y u xy u xy . Теперь все эти производные поставляя в уравнение (5.2.1) имеем 125 a11 u x2 2u x x u x2 u xx u xx 2a12 u x y u x y y x u x y u xy u xy a 22 u y2 2u y y u 2y u yy u yy F 0, или a11 x2 2a12 x y a22 y2 u 2a11 x z a12 x y y x a22 y y u a11 x2 2a12 x y a22 2y u u a11 xx 2a12 xy a22 yy u a11 xx 2a12 xy a 22 yy F 0. Обозначая a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 , a 22 a11 x2 2a12 x y a 22 2y , a12 a11 x z a12 x y y x a 22 y y u a11 xx 2a12 xy a22 yy u a11 xx 2a12 xy a22 yy F F можно записать a11u 2a12 u a 22 u F 0 , (5.2.4) Так как вторые производные не входят в F ( x , y , u, u x , u y ) и вторые производные от и в выражении u a11 xx 2a12 xy a22 yy u a11 xx 2a12 xy a22 yy F F равны нулю для F . Преобразование переменных линейное, то значение F F. И так, преобразованное выражение F - не получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных. Формы уравнений (5.2.4) и (5.2.1) идентичны. Теперь переменные и выбираются такие, чтобы a11 0 или a 22 0 для уравнения (5.2.4) a11 x2 2a12 x y a22 y2 0 . (5.2.5) 126 Таким образом, задача выбора переменных и связано с решением уравнения (5.2.5). Учитывая, что производные пропорциональны с коэффициентом x, y ( x , y ) ( x , y ) . x , y x y То (5.2.5) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение a11( y ) 2 2a12 ( y ) y a22 y2 0 или ( y ) 2 a112 2a12 a22 0 , так как y 0 , то получаем a112 2a12 a22 0 (5.2.6) характеристическое уравнение для (5.2.1). Из уравнения (5.2.6) следует 2 dy a12 a12 a11a 22 , 1 x , y dx a11 (5.2.7) 2 dy a12 a12 a11a 22 . 2 x, y dx a11 (5.2.8) Из (5.2.7) имеем dy 1( x , y )dx , y 1( x , y )dx c1 , dy 2 ( x , y )dx , y 2 ( x , y )dx c2 . Функции ( x , y ) с1 и ( x , y ) с2 называются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем характеристик y 1( x, y )dx , y 2 ( x , y )dx . Уравнение (5.2.1) a11u xx 2a12u xy a22u yy F 0 в точке M ( x , y ) называется уравнением: уравнения 127 гиперболического типа, если 2 a12 a11a 22 0 ; эллиптического типа, если 2 a12 a11a 22 0 ; 2 a12 a11a 22 0 . параболического типа, если Уравнение (5.2.1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области. Уравнение (5.2.1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение yu xx u yy 0 является уравнением эллиптического типа в точках ( x, y), y 0 ; параболического типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках (x, y), y 0 . Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества: 2 2 a12 a11a 22 a12 a11a 22 D 2 , где D x y y x . Из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, так как Якобиан D 0 . Для того чтобы было возможно введение новых переменных ( x , y ) и ( x , y ) , надо убедиться в независимости этих функций, достаточным условием чего является отличие от нуля функционального определителя. Пусть в некоторой точке x x 0. y y Тогда имеет место x x , y y что невозможно, так как 128 2 2 a12 a12 a11a 22 x a12 a12 a11a 22 x , y a11 y a11 и 2 a12 a11a 22 0 . Через каждую точку области G проходят две характеристики ( x , y ) c1 , ( x , y ) c 2 , причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительные и различные; для уравнений эллиптического типа – комплексные и различные; для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают. Для каждого типа уравнений существует своя каноническая форма. Термин каноническая форма заимствована из теории кривых второго порядка. 5.2.1. Каноническая форма для уравнения гиперболического типа 2 a12 a11a 22 0 , правые части (5.2.7), (5.2.8) различные и общие интегралы ( x , y ) c1 , ( x, y) c 2 - определяют действительные семейства характеристик. Полагая ( x, y ) , ( x, y ) . (5.2.9) Тогда и находятся исходя из характеристического уравнения (5.2.6) и в уравнении (5.2.4) коэффициенты a11 0 и a 22 0 . И из уравнения (5.2.4) следует u F / 2a12 ( , , u, u , u ) , (5.2.10) это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Уравнению гиперболического типа придадим другой вид. Для (5.2.9) можно ввести другие переменные 129 2 , 2 , тогда u u u u 1 u u 1 u u , 2 2 1 u u , 2 u u u 1 1 , u u u u 2 2 так как 1/ 2 , 1/ 2 , 1 1 1 1 u u u u 2 2 2 2 , 1 u u u u 4 u u u u 4 u 4 1, 1 u u , 4 тогда получается u u 1 , (5.2.11) вторая каноническая форма гиперболического типа уравнения в частных производных. Пример. Привести уравнение к каноническому виду 3u xx 10 u xy 3u yy 4 0 , здесь a11 3 , a12 5 , a 22 3 . Тогда уравнение в новых переменных будет a11u 2a12 u a 22 u F 0 . Выбираются переменные и такие, чтобы a11 0 , a 22 0 для этого уравнения, т.е. составляется характеристическое уравнение (5.2.6) 130 a112 2a12 a22 0 , находим 2 dy a12 a12 a11a22 5 25 9 1 3, dx a11 3 2 dy a12 a12 a11a 22 5 25 9 2 1/ 3 . dx a11 3 y 3 x c1 , Решение. y 1 x c 2 - являются характеристиками для 3 исходного уравнения, тогда новые переменные принимают вид 1 3 y 3x , y x . x 3 , y 1, x 1/ 3 , y 1 , a11 a11 x2 2a12 x y a 22 y2 3 32 2 5 3 1 3 12 0 , 2 1 1 2 2 a 22 a11 x 2a12 x y a 22 y 3 2 5 3 12 0 , 3 3 a12 a11 x z a12 x y y x a 22 y y 32 1 1 3 3 5 3 1 1 3 1 1 3 u F / 2a12 т.е. u 3 4 32 2 3 , 3 3 , 16 3 - первая каноническая форма гиперболического уравнения. 16 u u 4 u 4 1, u u 4 u 4 163 43 , 131 u u 43 т.е. вторая каноническая форма гиперболического - уравнения. 5.2.2.Каноническая форма уравнения параболического типа 2 a12 a11a 22 0 , Уравнения (5.2.7), (5.2.8) совпадают и тогда получается один общий интеграл для (5.2.6) и ( x, y ) c - определяют характеристику. Полагая ( x, y ) . ( x, y) , Тогда из уравнения (5.2.4) вытекает a11 a11 x2 2a12 x y a 22 y2 так как a12 a11a 22 , то a11 x a 22 y a12 a11 x z a12 x y y x a 22 y y тогда a11 x a 22 y получается a11 x a 22 y 0 следующее уравнение 2 =0, , параболического типа в канонической форме u F / a12 ( , , u, u , u ) . (5.2.12) 5.2.3. Каноническая форма уравнения эллиптического типа 2 Для уравнения эллиптического типа a12 a11a 22 0 и правые части (5.2.7) и (5.2.8)- комплексные. Пусть ( x, y ) c - комплексный интеграл уравнения (5.2.7). Тогда ( x , y ) c - общий интеграл сопряженного уравнения (5.2.8). Вводятся другие переменные 2 , 2 , 132 так что i , i . Выбираются переменные и такие, чтобы a11 x2 2a12 x y a 22 y2 0 . Находятся производные x x i x , y y i y , y2 2y y2 2 y y i , x2 x2 x2 2 x x i , , тогда a11 x2 2a12 x y a 22 y2 a 22 2y y2 2 y y i a11 x2 x2 2 x x i 2a12 x i x y i y a11 x2 2a12 x y a22 2y a11 x2 2a12 x y a22 y2 2 i x x a12 x y y x a 22 y y 0 , так как комплексное число равно нулю, то и составляющие его части равны нулю a11 x2 2a12 x y a 22 2y a11 x2 2a12 x y a 22 y2 0 , x x a12 x y y x a 22 y y 0 , значит a11 a11 x2 2a12 x y a 22 2y a11 x2 2a12 x y a 22 y2 a 22 , a12 x x a12 x y y x a 22 y y 0 . И из формулы (5.2.4) получается u u , , u, u u , aF . (5.2.13) 22 Формулой (5.2.13) определяется каноническая форма эллиптического типа уравнения в частных производных. Пример. Привести к каноническому виду уравнение 133 2u xx 4u xy 5u yy u x 5u y 4u 0 , 2 a12 a11a 22 6 0 , следовательно, уравнение эллиптического типа. Выбираются новые координаты, связанные с поворотом координатных осей (рис. 5.2) x cos y sin , x sin y cos , y 0 x Рис. 5.2 tg 2 cos 2 5 2a12 1 3 34 , cos 2 , a1 a 2 1 tg 2 5 1 cos 2 2 , 2 5 x 1 5 y, u x u x u x , ux 2 5 u 1 5 u , 1 sin 1 5 x 2 5 5 , y, u y u y u y , uy 1 5 uxx u x2 2u x x u x2 u 2 5 u , 4 2 1 1 u 2u u , 5 5 5 5 u yy u y2 2u y y u 2y 1 5 u 2u 1 2 4 u 5 5 5 134 u xy u x y u x y y x u x y 2 1 1 1 2 2 1 2 . u u u 5 5 5 5 5 5 5 5 Теперь все эти производные поставляются в исходное уравнение и получается 4 8 5 8 12 20 2 8 20 2 u u u 5 5 5 5 5 5 5 5 5 , 5 10 2 1 u u 4u 0 5 5 5 5 или окончательно u 6u 3 5 u 11 5 u 4u 0 . 2 И так, в зависимости от знака выражения a12 a11a 22 имеют место следующие канонические формы уравнения (5.2.1): 2 a12 a11a 22 0 (гиперболический тип) u xx u yy , или u xy , 2 a12 a11a 22 0 (эллиптический тип) 2 a12 a11a 22 0 (параболический тип) u xx u yy , u . 5.2.4. Алгоритм приведения уравнения к канонического виду Определить тип линейного уравнения в частных производных второго порядка a11u xx 2a12 u xy a 22 u yy b1u x b2 u y cu f 0, (5.2.14) или a11u xx 2a12 u xy a 22 u yy F ( x , y , u, u x , u y ) 0 , (5.2.15) 135 где a11 a11 ( x , y ); a12 a12 ( x , y ); a 22 a 22 ( x , y ). Вводится новая система координат ( x, y ) и (x, y ) . Ставится задача выбора системы координат ( x , y ) и ( x , y ) , чтобы уравнение (5.2.14) имело наиболее простую форму в новых переменных , . Имеем u( x , y ) ux , , y , u , . Уравнение координатной линии const в системе координат xOy ( x , y ) const . Полный дифференциал этой функции двух имеет вид переменных равен нулю и d dx dy 0 x y ( x , y ) dy ( x , y ) x dx y ( x, y) ( x, y) x y т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке x y плоскости и коэффициент пропорциональности dy dx ( x , y ) . Каждая криволинейная система координат O имеет свою характеристику ( x , y ) и по ней можно определить само уравнение координатной линии dy ( x, y)dx , y ( x, y )dx c , ( x, y ) y ( x, y )dx cоnst . 1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15). a112 2a12 a22 0 (5.2.16) Из уравнения (5.2.16) следует 2 dy a12 a12 a11a 22 1 x , y , dx a11 2 dy a12 a12 a11a 22 2 x, y . dx a11 (5.2.17) (5.2.18) 136 В зависимости от знака выражения 2 a12 a11a 22 имеют место следующие канонические формы уравнения (5.2.15): 2 a12 a11a 22 0 (гиперболический тип) 2 a12 a11a 22 0 (эллиптический тип) 2 a12 a11a 22 0 (параболический тип) u xx u yy , или u xy , u xx u yy , u . Из (5.2.17, 4.2.18) имеем dy 1( x , y )dx , dy 2 ( x , y )dx , y 1( x , y )dx c1 , y 2 ( x , y )dx c2 . или Функции ( x , y ) с1 и ( x , y ) с2 являются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик y 1( x, y )dx , y 2 ( x , y )dx . (5.2.19) в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (5.2.19) уравнений (5.2.16), т.е. 1 ( x, y), 1 ( x, y); в случае уравнения параболического типа в качестве берут один из общиг интегралов (5.2.19), т.е. 2 ( x, y ) , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию 2 , не выражающуюся через 2 ( x, y ) и ориентированную на вид функции f в формуле (5.2.14), т.е. 2 ( x, y ) ; в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (5.2.19) : Re3 ( x, y) i 3 ( x, y) 3 ( x, y), Im3 ( x, y) i 3 ( x, y) 3 ( x, y). 2. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение (5.2.14), используя правило дифференцирования сложной функции: 137 u( x , y ) ux , , y , u , . u x u x u x , u y u y u y u xx u x2 2u x x u x2 u xx u xx , (5.2.20) u yy u y2 2u y y u 2y u yy u yy . u xy u x y u x y y x u x y u xy u xy . Подставляются найденные производные в исходное уравнение (5.2.14) и приводятся подобные слагаемые. В результате уравнение (5.2.14) примет один из следующих видов: в случае уравнения гиперболического типа: U F1 U ,U ,U , , 0 ; в случае уравнения параболического типа: U F1 U ,U ,U , , 0 ; в случае уравнения эллиптического типа: U U F1 U ,U ,U , , 0 . 5.2.4.1 Задача 1 Определить тип уравнения uxx 4uxy 21u yy 2ux 3u y 5u x 2 (5.2.15-1) и привести его к каноническому виду. Решение: 1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-1). a112 2a12 a22 0 (5.2.16-1) 1 2 2 ( 2) 21 0 , или 2 4 21 0 Из уравнения (5.2.16-1) следует (5.2.16-1) 138 2 dy a12 a12 a11a22 λ1 x, y dx a11 2 2 2 1 21 1 , (5.2.17-1) 2 25 3 1 2 dy a12 a12 a11a22 2 25 λ2 x, y 7 . dx a11 1 (5.2.18-1) 2 Так как a12 a11a22 25 0 , уравнение (5.2.15-1) гиперболического типа имеет вид u xx u yy , или u xy φ во всей плоскости XOY. Из (5.2.17-1, 4.2.18-1) имеем dy 1( x , y )dx , dy 2 ( x , y )dx , dy λ1 (x, y)dx 7dx , dy λ2 (x, y)dx 3dx . или y 1( x , y )dx c1 , y 7dx c1 , y 2 ( x , y )dx c2 . y 3dx c2 . Функции ( x , y ) с1 и ( x , y ) с2 являются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик ξ y 7x , η y 3x . (5.2.19-1) Найдем частные производные ξ x 7, ξ y 1, ξ xx 0, ξ xy 0, ξ yy 0, ηx 3, η y 1, ηxx 0, ηxy 0, η yy 0. 2. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение (5.2.15-1), используя правило дифференцирования сложной функции (5.2.20): 139 Здесь 2 ux 7 uξ 3uη , 3 u y uξ uη , 1 uxx 49uξξ 42uξη 9uηη , 4 uxy 7 uξξ 4uξη 3uηη , 21 u yy uξξ 2uξη uηη . написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-1) слева при соответствующих производных. Справа (5.2.15-1) имеем f x 2 , в (5.2.19-1) из первого уравнения вычитаем второе и после возведения в степень получаем x 2 ξ η2 . 100 Собирая подобные слагаемые, получим: 49 28 21uξξ 42 16 42uξη 9 12 21uηη ξ η2 . 14 3uξ 6 3uη 5u 100 Или после деления на -100 (коэффициент при uξη ) получим: uξη 0,11uξ 0,09uη ξ η2 0,05u . 10000 Вывод. Уравнение (5.2.15-1) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид uξη 0,11uξ 0,09uη ξ η2 , 0,05u 10000 где y 7 x, y 3x. 5.2.4.2 Задача 2 Определить тип уравнения 25 uxx 10 uxy u yy u y 2u 5 y 2 x (5.2.15-2) и привести его к каноническому виду. Решение: 1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-2). 140 a112 2a12 a22 0 (5.2.16-2) 252 2 ( 5) 1 0 , или 252 10 1 0 (5.2.16-2) 2 Вычисляется выражение a12 a11a 22 : 2 a12 a11a22 25 25 0 . 2 a12 a11a 22 0 , следовательно имеем уравнение параболического типа во всей плоскости XOY. Из уравнения (5.2.16-2) следует λ x, y λ1 x, y λ2 x, y λ x, y Имеем dy a12 5 1 , dx a11 25 5 dy 1 . dx 5 только одно (5.2.17-2) уравнение характеристик (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик) 5dy dx, общий интеграл равен 5y x c Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее (5.2.19-2) ξ 5 y x, а в качестве функции берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , при этом проще ориентироваться на правую часть уравнения (5.2.15-2). Так как f 5 y 2 x 5 y x x ξ x, то функцию η можно взять η x . (5.2.19-2) η x , Найдем частные производные ξ x 1, ξ y 5, ξ xx 0, ξ xy 0, ξ yy 0, ηx 1, η y 0, ηxx 0, ηxy 0, η yy 0. 141 2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение (5.2.15-2). Используя формулы (5.2.20), получим: 0 ux uξ uη , 1 u y 5 uξ , 25 uxx uξξ 2uξη uηη , 10 uxy 5 uξξ 5 uξη , 1 u yy 25uξξ . Собирая подобные слагаемые, получим: 25 50 25 uξξ 50 50 uξη 25 uηη 5uξ 2u ξ η . Или после деления на 25 (коэффициент при u ): uηη 0, 2uξ 0,08 u 0,04( ξ η) Вывод. Уравнение (5.2.15-2) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид uηη 0, 2uξ 0,08 u 0,04( ξ η) , где ξ 5 y x, η x . 5.2.4.3 Задача 3 Определить тип уравнения 2uxx 2uxy 5u yy 3u y u x 2 (5.2.15-3) и привести его к каноническому виду. Решение: 1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-3). a112 2a12 a22 0 (5.2.16-3) 2 2 2 (1) 5 0 , или 22 2 5 0 (5.2.16-3) 142 Вычисляется выражение 2 a12 a11a22 1 2 5 9 . 2 a12 a11a 22 0 , следовательно имеем уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY. Из уравнения (5.2.16-3) следует 2 2 dy a12 a12 a11a 22 dy a12 a12 a11a 22 , 2 x, y , 1 x , y dx a11 dx a11 λ1 1 1 2 5 1 i 3 , 2 2 dy 1( x , y )dx , dy λ2 1 i3 , 2 dy 2 ( x , y )dx . 1 3i dx, 2 dy 1 3i dx, 2 это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик) 1 3 x i x c1 2 2 1 3 y x i x c2 . 2 2 Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов: 1 3 1 Re(y x i x ) y x , 2 2 2 1 3 3 Im( y x i x ) x. 2 2 2 y 1 y x, 2 3 x. 2 Найдем частные производные (5.2.19-3) 143 ξ x 0,5, ξ y 1, ξ xx 0, ξ xy 0, ξ yy 0, ηx 1,5, η y 0, ηxx 0, ηxy 0, η yy 0. 2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение (5.2.15-3). Используя формулы (5.2.20), получим: 0 ux 0,5uξ 1,5uη , 3 u y uξ , 2 uxx 0, 25uξξ 1,5uξη 2, 25uηη , 2 uxy 0,5uξξ 1,5uξη , 5 u yy uξξ 0 uξη 0 uηη . Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-3) при соответствующих производных. Справа (5.2.15-3) имеем f x 2 , из (5.2.19-3) следует 4η 2 . x 9 Собирая подобные слагаемые, получим: 2 4η 2 , 0,5 1 5uξξ 3 3uξη 4,5uηη 3uξ u 9 4η 2 4,5uξξ 4,5uηη 3uξ u 9 или 2 1 8η 2 uξξ uηη uξ u 3 9 81 Вывод. Уравнение (5.2.15-3) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид уравнения 2 1 8η 2 , uξξ uηη uξ u 3 9 81 где 1 ξ y x, 2 3 η x. 2 144 5.3. Уравнение Лапласа в полярной системе координат Уравнение Лапласа в декартовой системе координат u xx u yy 0 , (5.3.1) запишем функцию u( x , y ) ux( r , ), y( r , ) u( r , ) в полярной системе координат. Связи между координатами следующие y r sin x r cos , и x y x 2 y 2 r 2 , rr x x , rr y y , rx cos , r y sin . r r Пользуясь формулами (5.2.3) запишем связи между производными u x ur rx u x , u y ur r y u y , u xx urr rx2 2ur rx x u x2 ur rxx u xx , (5.3.2) u yy urr r y2 2ur r y y u 2y ur r yy u yy (5.3.3) Найдем производные x и y продифференцировав y r sin . x r cos , 1 rx cos r sin x , 1 r y sin r cos y , получаем r cos 1 cos cos 1 sin , x x r sin r sin r 1 r y sin 1 sin sin cos . y r cos r cos r Теперь выражения (5.3.2) и (5.3.3) почленно сложим u xx u yy 0 , urr ( rx2 rx2 ) urr (cos2 sin 2 ) urr , sin cos 2ur ( rx x r y y ) 2ur cos sin 0, r r 145 1 , u x2 x2 2 r ur rxx r yy ur rx r y ur cos sin y y x x sin 2 cos2 u r , ur sin x cos y ur r r r sin cos u xx yy u x y u y x x r y r cos x sin y cos ( sin ) sin cos u u 0. r r r r r r Таким образом после почленного сложения (5.3.2) и (5.3.3), слева имеем уравнение Лапласа в декартовой системе координат u xx u yy 0 , а справа в полярной системе координат 1 1 urr u ur 0 r r2 или r 2 urr r ur u 0 . (5.3.4)