Практическое занятие 1 Файл

ПЗ-1: «Гармонические колебания и их характеристики»
Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900
№
рейтинго
вого
блока
1
Тема практического занятия
№ темы
из раздела
2
Гармонические колебания и
их характеристики.
1.1
Объем времени, час
норм.
очная
заочная
сокращ.
(ускорен.)
очная заочная
2
Краткая теория
Период – это время, за которое совершается одно полное колебание:
Т
t
.
N
Частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу
времени:
 
Циклическая частота:
N
.
t
  2 ,
т. е. циклическая частота равна числу колебаний за время 2. Единица  в СИ –
 рад 
радиан в секунду 
.
 с 
Связь между перечисленными характеристиками:
1
1
2
Т ;   ; 
.

Т
Т
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания,
при которых изменение некоторой величины х происходят по закону синуса или
косинуса:
х  А cos(0 t   0 ),
где х – смещение, т. е. отклонение колеблющейся величины от положения равновесия
в момент времени t;
А – амплитуда колебаний, т. е. максимальное значение изменяющейся величины;
 0 – циклическая частота;
0 t   0 – фаза колебаний: величина, определяющая положение колеблющейся точки в
любой момент времени t;
 0 – начальная фаза колебаний определяет положение маятника в начальный момент
времени (t = 0).
Скорость при гармонических колебаниях определяется как первая производная
смещения по времени:
dх
 (t ) 
 A0 sin( 0 t   0 ) .
dt
1
Максимальные по модулю значения скорости  0  A 0 достигаются в те
моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x=0). Величина
 0  A 0 называется амплитудой скорости.
Аналогичным образом определяется ускорение тела при гармонических
колебаниях:
d
a(t ) 
  A 02 cos( 0 t   0 ) .
dt
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение всегда имеет знак,
противоположный знаку смещения, и, следовательно, по второму закону Ньютона
сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в
2
сторону положения равновесия (x=0). Величина a0  A 0 – амплитуда ускорения.
Решение задач
1. Написать уравнение гармонического синусоидального колебательного движения с
амплитудой A=5 см и периодом T=8 с, если начальная фаза  колебаний равна: а) 0;
б) /2; в) ; г) 3/2; д) 2. Начертить график этого движения во всех случаях.
2. Написать уравнение гармонического синусоидального колебательного движения с
амплитудой A=5 см, если за 1 мин совершается 150 колебаний, а начальная фаза
равна /4. Начертить график этого движения.
3. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом T=2 с.
Смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени х(0)=2,5 см,
2
а максимальное ускорение amax=49 см/с . Записать уравнение гармонического
колебательного движения.
4. Найти скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические
колебания по закону:

а) x(t )  А sin  6 t   ;
3


б) x(t )  А cos 2 t   ;
2


в) x(t )  5 cos  t   .
4

5. Материальная точка совершает гармонические колебания, описываемые

уравнением x(t )  5 sin  6 t   , м. Определить амплитуду, циклическую частоту,

3
частоту колебаний, период колебаний и начальную фазу.
2
6. Записать уравнение гармонического синусоидального колебательного движения
с амплитудой A=5 см и периодом T=8 с если начальная фаза 0 колебаний равна
нулю.
7. Материальная точка совершает гармонические колебания, описываемые
уравнением


x(t )  3 cos t   ,
8
2
м.
Определить
максимальную
скорость
и
максимальное ускорение точки.
8. Материальная точка совершает гармонические синусоидальные колебания с
амплитудой 15 см, а максимальная скорость  max  30
см
. Записать уравнение этого
с
гармонического колебательного движения, если начальная фаза равна 300.
9. Материальная точка совершает гармонические синусоидальные колебания с
периодом T=6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время от
начала движения точка сместится от положения равновесия на половину
амплитуды?
10. Материальная точка совершает гармонические синусоидальные колебания с
периодом T=2 с. Смещение точки из положения равновесия в начальный момент
времени х(t=0)=0,5 м, а максимальное ускорение a max  9,86
м
. Записать уравнение
с2
этого гармонического колебательного движения.
11. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические
колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период
колебания T=2 с, начальная фаза равна нулю.
12. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические


колебания по уравнению x(t )  7 sin  t   см, проходит путь от положения
2
4
равновесия до максимального смещения?
13. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю
периода скорость точки будет равна её максимальной скорости?
14. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом T=2 с.
Амплитуда A=50 мм, начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Найти
скорость точки в тот момент, когда смещение точки от положения равновесия
равно 25 мм.
15. Материальная точка совершает гармонические синусоидальные колебания с
периодом T=2 с. Смещение точки из положения равновесия в начальный момент
3
времени х(0)=25 мм, а максимальное ускорение a max  49,3
см
. Записать уравнение
с2
этого гармонического колебательного движения.
16. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки из
см
, а при смещении
с
см
точки из положения равновесия х2=2,8 см скорость точки равна  2  2 . Найдите
с
положения равновесия х1=2,4 см скорость точки равна 1  3
амплитуду и период колебания.
4