Элементарное доказательство 1637 года, очевидно, существует. Аннотация: реконструирована удивительно простая часть доказательства Пьером де Ферма его «большой» теоремы - для чётных показателей. Напишем утверждение «ВТФ» - «великой» теоремы Пьера де Ферма - в виде : уравнение Lk = Mk + Nk для натуральных k, L, M, N разрешимо только для k < 3. Потребуем, не теряя общности : взаимно просты числа в паре ( k N ) и в тройке ( L M N ). Тогда : Nk = ( L – M ) ( Lk-1 + Lk-2M +… + Mk-1 ) = … … = (L - M) { (L - M) [ Lk-2 + 2Lk-3M +… + (k-1)Mk-2 ] + kMk-2 } (L–M) и ( Lk-1 + Lk-2M +… + Mk-1 ) => взаимно просты { т.к. Nk делится на (L - M) и не имеет общих множителей с k и M }, и можно положить N ≡ PQ: 0< P < Q и L - M = Pk => Lk - Mk = PkQk , - и далее рассматривать эту систему двух уравнений с двумя неизвестными L, M, связанными взаимно простыми Для k = 2 l - m = p2 параметрами k, P, Q. получаем древний алгоритм вычисления троек Пифагора : и 2l = p2 + q2; ... , - l2 - m2 = p2q2 l + m = q2; => и взаимно однозначное соответствие двух подмножеств натуральных чисел : - пар квадратов нечётных взаимно простых { p2 < q2 } ~ { l-m - пифагоровых троек, отвечающих уравнению {l m n} ~ { (q2 + p2)/2 ( q2 - p2)/2 l+m } l2 = m2 + n2, pq }. Заметим, что именно и только m чётно : 2m = q2 - p2= (q + p)(q - p). Если две тройки Пифагора : ( l1 m1 n1 ) = ( (q12 + p12)/2 ( q12 - p12)/2 p1q1 ) ; ( l2 m2 n2 ) = ( (q22 + p22)/2 ( q22 - p22)/2 p2q2 ) , - имеют ровно два общих элемента, то один из них т.к. l1 = n2 и q12 + p12 = 2 p2q2 l2 = n1 плюс ведёт M = m1 = m2, к абсурду : q22 + p22 = 2 p1q1 => ( q1 - p1) 2 + ( q2 - p2) 2= 0. и Т.о., не исключается единственная возможность (с точностью до обмена индексами) : (L M n1 ) = ( (q12 + p12)/2 ( q12 - p12)/2 p1q1 ) ~ ( p12 q12 ) = ( L - M L+M); ( l2 M L ) = ( (q22 + p22)/2 ( q22 - p22)/2 p2q2 ) ~ ( p22 q22 ) = ( l2 - M l2 + M ), - и тогда (L2 - M2)( L2 + M2) = n12l22 = p12q12(q22 + p22)2/4 . При k = 4 уравнение отвечает тройке Пифагора ( l m n )0 = ( L2 M2 N2) ( p02 q02) = ( L2 - M2 p1 = P2, Здесь в 2F и q1 = q211 не тройку Пифагора является с биективной ей парой : пифагоровы тройки : с образующими парами Следовательно, необходимо : т.е. L - M = P4 L2 +M2 ), - и должны бы существовать ещё две ( L M p0) и (q0 M L) с L4 - M4 = N4 = P4Q4 ( p12 q12) и ( p22 q22). N4 = P4Q4 = p12q12(q22 + p22)2/4 , q22 + p22 = 4F2. целым числом, поскольку не может входить с меньшими нечётными натуральными. А не столь простое доказательство для биквадратов Ферма, видимо, дал «по соседству» лишь (?) для иллюстрации своего изобретения - метода спуска. Чётность показателя в L2k - M2k = N2k = P2kQ2k ( l m n)0 = ( Lk Mk Nk) с порождающей её парой и при при чётных k = 2j+1 , k j> 0 даёт тройку Пифагора (p02 q02) = ( Lk - Mk Lk + Mk ), доказательство сводится к случаю - к биквадратов, а иначе - отсутствию целочисленных решений L2j+1 - M2j+1 = p02 = P2(2j+1)Qα уравнений: и L2j+1 + M2j+1 = q02 = Q2(2j+1) - α . Здесь α - не целое число в силу взаимной простоты p0 и q0 . * * * Дело чести математиков - поставить точки над i ... хотя бы в XXI веке. Великие Эйлер, Гаусс, ... ... ... искали удивительное доказательство. Но великий гасконец спрятал своё, детективно, у всех на виду.