6. Нелинейность – трехпозиционное реле с гистерезисом

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ОТЧЕТ
о выполнении лабораторной работы №3
"гармоническая линеаризация нелинейностей"
по курсу
«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
выполнили студенты группы А7-02
Иевлев С.К., Логинов А.В.
Принял преподаватель
Москва, 2011г.
Цель работы: получение практических навыков в исследовании нелинейных
элементов.
Пусть на вход нелинейного элемента подается гармонический сигнал
x(t )  A sin t ,
тогда на выходе получится периодический сигнал
y (t )  F ( A sin t ) , который можно линеаризовать, отбросив гармоники выше
первой разложения в ряд Фурье: y(t )  y0  A1 sin t  B1 cos t .
Если нелинейность является нечетной функцией, то в разложении
отсутствует постоянная составляющая y 0 . Если она к тому же однозначна, то
на выходе сдвиг по фазе отсутствует, и y(t )  A1 sin t .
Коэффициенты гармонической линеаризации a( A) 
A1
B
, b( A)  1 отражают
A
A
свойство нелинейных систем изменять коэффициент усиления в зависимости
от величины входного сигнала.
2
a( A) 
1
F ( A sin  )  sin  d ,
A 0
2
1
b( A) 
F ( A sin  )  cos  d где   t .
A 0
1. Подготовка проведения эксперимента
В данной работе используется УФ с добротностью Q=10, настроенный на
выделение гармоники с частотой f 0  100.5 Гц.
Рисунок 1. Структурная схема проведения эксперимента.
В работе используются нелинейности с параметрами: d = 1.7, c = 2.4, m = 0.5.
1
2. Нелинейность – насыщение
y
c
x
d
Рисунок 2. Характеристика нелинейности типа насыщение.
2ñ 
d d
d2 


1  2  для A  d
arcsin 
d 
A A
A 

c
q ( A)  a ( A)  для A  d
d
q( A)  a( A) 
№
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 1. Зависимость параметров гармонически лианеаризованного
сигнала на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
A
q(A) теор
μ(A) теор
q(A) практ
μ(A) практ
1.0
1.41
0
1.41
0
1.7
1.41
0
1.41
0
2.2
1.23
0
1.23
0
3.0
1.05
0
0.96
0
5.0
0.91
0
0.60
0
8.0
0.80
0
0.38
0
10
0.71
0
0.30
0
Разница между теоретическими и практическими значения составляет доли
процента, значит в этом задании допустимо использовать фильтр с
добротностью Q = 10.
2
q(A)
c/d
(1.0; 1.41)
(1.7; 0.41)
(2.2; 1.23)
(3.0; 0.96)
(5.0; 0.60)
(8.0; 0.38)
d
Рисунок 3. График зависимости q(A).
Рисунок 4. Пример осциллограммы для A = 5.
3
(10; 0.30)
3. Нелинейность – зона нечувствительности
y
k=1
x
d
Рисунок 5. Характеристика нелинейности типа зона нечувствительности.
2
d d
d2 


для A  d
arcsin

1


2 
 
A A
A 

q( A)  a( A)  0 для A  d
q( A)  a( A)  1 
Таблица 2. Зависимость параметров гармонически линеаризованного сигнала
на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
№
A
q(A) теор
μ(A) теор
q(A) практ
μ(A) практ
1
1.0
0
0
2
1.7
0
0
3
2.2
0.13
0
0.12
0
4
3.0
0.32
0
0.32
0
5
5.0
0.58
0
0.58
0
6
8.0
0.73
0
0.73
0
7
10
0.78
0
0.78
0
4
q(A)
(10; 0.78)
(5.0; 0.58)
(3.0; 0.32)
(2.2; 0.12)
(1.7; 0)
(1.0; 0)
d
Рисунок 6. График зависимости q(A).
Рисунок 7. Пример осциллограммы для A = 5.
5
4. Нелинейность – трехпозиционное реле
y
с
x
d
Рисунок 8. Характеристика нелинейности типа трехпозиционное реле.
4d
d2
q( A)  a( A) 
1  2 для A  d
A
A
q( A)  a( A)  0 для A  d
Максимум q(A) в точке A  2d составляет q max 
№
1
2
3
4
5
6
7
2

.
Таблица 3. Зависимость параметров гармонически лианеаризованного
сигнала на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
A
q(A) теор
μ(A) теор
q(A) практ
μ(A) практ
1.0
0
0
1.7
0
0
2.1
0.61
0
0.84
0
2.4
0.63
0
0.89
0
3.0
0.59
0
0.83
0
7.0
0.30
0
0.42
0
10
0.21
0
0.30
0
Практические значения сильно различаются с теоретическими, что можно
объяснить большим количеством изломов входного сигнала. При увеличении
добротности до Q=100 результаты почти совпадают с теоретическими,
например для A=7: q(A)практ = 0.22.
6
(3.0; 0.83)
(2.1; 0.84)
q(A)
2

(7.0; 0.73)
(10; 0.30)
(1.0; 0) (1.7; 0)
d
Рисунок 9. График зависимости q(A).
Рисунок 10. Пример осциллограммы для A = 5.
7
5. Нелинейность – гистерезис
c
d
Рисунок 11. Характеристика нелинейности типа гистерезис.
q ( A) 
4ñ
,  ( A) 
A
d
A d2
2
для A  d
иначе неопределенность
Таблица 4. Зависимость параметров гармонически линеаризованного сигнала
на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
№
A
q(A) теор
μ(A) теор
q(A) практ
μ(A) практ
1
1.0
2
1.7
1.80
90.0
1.78
91
3
2.2
1.38
50.6
1.38
51
4
3.0
1.02
34.6
1.01
35
5
5.0
0.61
19.8
0.61
20
6
8.0
0.38
12.2
0.38
12
7
10
0.31
9.8
0.31
10
8
q(A)
(1.7; 1.78)
(2.2; 1.38)
(3.0; 1.01)
(5.0; 0.61)
(8.0; 0.38)
(10.0; 0.31)
(8.0; 6)
(10.0; 5)
μ(A)
(1.7; 46)
(2.2; 25)
(3.0; 17)
(5.0; 10)
Рисунок 12. Графики зависимостей q(A), μ(A).
Рисунок 13. Пример осциллограммы для A = 5.
9
6. Нелинейность – трехпозиционное реле с гистерезисом
c
md
d
Рисунок 14. Характеристика нелинейности типа реле с гистерезисом.
 d 2   m2d 2
2 2ñ
m2d 2
q( A) 
1
 1  2   1 
A
A2
A  
A2

d
1  m 
A
 ( A)   arctan
d2
m2d 2
1 2  1
A
A2



Таблица 5. Зависимость параметров гармонически линеаризованного сигнала
на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
№
A
q(A) теор
μ(A) теор
q(A) практ
μ(A) практ
1
0.5
0
0
2
1.6
0
0
3
1.8
1.24
-33.4
1.11
-23
4
2.5
1.08
-18.0
1.04
-11
5
5.0
0.59
-7.9
0.59
-8
6
8.0
0.38
-4.8
0.38
-5
7
10
0.30
-3.9
0.30
-4
10
q(A)
(2.5; 1.04)
(1.8; 1.11)
(5.0; 0.59)
(8.0; 0.38)
(10; 0.30)
(0.5; 0) (1.6; 0)
μ(A) (0.5; 0) (1.6; 0)
(5.0; -8)
(8.0; -5)
(2.5; -11)
(1.8; -23)
Рисунок 15. Графики зависимостей q(A), μ(A).
Рисунок 15. Графики зависимостей q(A), μ(A).
Рисунок 16. Пример осциллограммы для A = 5.
11
(10; -4)
7. Нелинейность – смешанная несимметричная характеристика
y
c
d
x
Рисунок 17. Несимметричная характеристика.
c 
d d
d2 
arcsin 
1  2  для A  d
d 
A A
A 
c
d 2  
d
 A 

A0   1  1  2   arcsin  для A  d
  d 
A
A  2


ñ
q ( A)  a ( A) 
для A  d
2d
ñ
A0 
A для A  d
d
q( A)  a( A) 
№
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 6. Зависимость параметров гармонически лианеаризованного
сигнала на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
A
q(A)
μ(A)
A0 теор
q(A)
μ(A)
A0 практ
теор
теор
практ
практ
1.0
0.71
0
0.45
0.71
0
0.45
1.7
0.71
0
0.76
0.71
0
0.76
2.2
0.62
0
0.89
0.62
0
0.89
3.0
0.48
0
0.98
0.48
0
0.98
5.0
0.30
0
1.06
0.30
0
1.06
8.0
0.19
0
1.12
0.19
0
1.12
10
0.15
0
1.13
0.15
0
1.13
12
q(A)
(1.0; 0.71)
(1.7; 0.71)
c/(2d)
(2.2; 0.62)
(3.0; 0.48)
(5.0; 0.30)
(8.0; 0.19)
(10; 0.15)
A0(A)
c/2
(3.0; 0.98)
(2.2; 0,89)
(1.7; 0.76)
(5.0; 1.06)
(8.0; 1.12)
(1.0; 0.45)
d
Рисунок 18. Графики зависимостей q(A), A0(A).
Рисунок 19. Пример осциллограммы для A = 5.
13
(10; 1.13)
8. Нелинейность – четная функция насыщения
q ( A)  0
2c 
d2
 A 
 1  1  2
 d 
A

2ñ
A0 
A для A  d
d
A0 

 
   arcsin d 
 для A  d
 2
A


y
c
d
x
Рисунок 20. Характеристика четной функции насыщения.
№
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 7. Зависимость параметров гармонически лианеаризованного
сигнала на выходе нелинейности от амплитуды входного сигнала.
A
q(A)
μ(A)
A0 теор
q(A)
μ(A)
A0 практ
теор
теор
практ
практ
1.0
0
0.90
0
0.90
1.7
0
1.52
0
1.52
2.2
0
1.78
0
1.78
3.0
0
1.96
0
1.96
5.0
0
2.12
0
2.12
8.0
0
2.24
0
2.24
10
0
2.26
0
2.26
На осциллограммах видно, что сигнал на выходе из фильтра не равен 0,
однако он не является синусоидальным, и его появление можно объяснить
малой добротностью фильтра. Так как гармоники второго порядка
присутствуют на выходе нелинейности, они влияют и на спектр
отфильтрованного сигнала и искажают основную гармонику. Таким образом,
амплитуду основной гармоники можно принять за ноль: q(A)практ = 0.
14
A0(A)
c
(8.0; 2.24)
(3.0; 1.96) (5.0; 2.12)
(2.2; 1.78)
(1.7; 1.52)
(1.0; 0.90)
d
Рисунок 21. График зависимости A0(A).
Рисунок 22. Пример осциллограммы для A = 5.
15
(10; 2.26)