Кинематика вращательного движения ТТ

Лекция 6. Кинематика вращательного движения абсолютно
твердого тела
ПЛАН ЛЕКЦИИ
Учебные вопросы
Введение.
1. Понятие абсолютно твердого тела. Кинематика вращательного
движения. Кинематические уравнения вращательного движения.
2. Связь между векторами линейных и угловых скоростей и ускорений.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. -М.: 1996.
2. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. -M: -Наука, 1996. § 5.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 4.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука,
1996. Глава 1, § 4.
Материальное обеспечение занятия:
Плакат: «Кинематика вращательного движения»
ВВЕДЕНИЕ
При решении разнообразных вопросов технической механики
приходится рассматривать тела, размерами которых пренебрегать нельзя. Это
задачи о движении различных узлов машин и механизмов ракет, а также
станков. Очень часто детали таких устройств можно считать неизменными по
объему и форме, т.е. абсолютно твердыми телами «в пределах
гарантирующих нормальную работу». Движение такого рода объектов
описывается механикой абсолютно твердых тел.
Важным частным случаем движения твердого тела является
вращательное движение.
1. ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА. КИНЕМАТИКА
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Движение тел происходит под действием определенных сил. Силы не
только изменяют характер движения тела, но и деформируют его, т. е.
смешают одни части тела по отношению к другим. Учет этих смещений
сильно усложняет описание движения тела. Но очень часто эти деформации
настолько незначительны, что ими можно пренебречь и считать тело
абсолютно твердым.
Абсолютно твердым называется тело, взаимное расположение
частей которого не изменяется с течением времени. Такое тело является
идеализацией действительности.
Вращательным движением твердого тела вокруг оси называется
движение, при котором какие-либо его две точки остается неподвижными.
Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки
твердого тела при вращательном движении описывают окружности в
плоскостях, перпендикулярных к оси вращения и с центрами, лежащими на
этой оси (рис.1).
2
Рис. 1.
Тело, совершающее вращательное движение, имеет одну степень
свободы, и его положение определяется углом φ между проведенными через
ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко
связанной с телом и вращающейся вместе с ним.
Для характеристики вращательного движения твердого тела вводят
угловые характеристики:

- угловое перемещение d ;

- угловую скорость  ;

- угловое ускорение  .
Рис. 2.

Угловым перемещением называется вектор d , модуль которого
равен бесконечно малому углу поворота твердого тела при его
вращений, а направление его определяется по правилу правого винта:
если правый винт вращать в плоскости вращения тела по направлений

его вращения, то перемещение его покажет направление d (рис. 2).

Заметим, что при рассмотрении таких величин, как радиус-вектор r ,
3


скорость v , ускорение a , не возникал вопрос о выборе их направления: оно
вытекало естественным образом из природы самых величин. Подобные

векторы называется полярными. Векторы типа d , направление которых
связывают с направлением вращения, называются аксиальными или
псевдовекторами.

Например, d - псевдовектор.
В общем случае вращательного движения твердого тела угол поворота

 зависит от времени  =  (t). Введем теперь векторы угловой скорости  и

углового ускорения  .
Угловая скорость - векторная величина, характеризующая
быстроту вращения твердого тела.

 d
(1)

dt
где dt - промежуток времени, за который тело совершает поворот на



d . Вектор  совпадает по направлению с вектором d и представляет
собой аксиальный ор (рис. 3).
Рис. 3.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону,
откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки (в
правой системе координат).
Угловая скорость равна производной от угла поворота тела по

времени. Если при вращении тела радиус-вектор r какой-либо его точки
поворачивается на одинаковые углы за равные промежутки времени, то такое
вращение называется равномерным. В этом случае угловая скорость будет

постоянной величиной  =const. Поэтому ее модуль можно определить как

. Отсюда можно дать определение единицы угловой скорости в
t
системе СИ.

4
   1 рад  1 рад  с
1
1с
Радиан в секунду равен угловой скорости равномерного вращения
тела, при котором оно поворачивается на угол 1 радиан, относительно
оси вращения, за время 1с.

Изменение вектора  во времени характеризуется вектором углового

ускорения  , который определяется следующим образом: угловое ускорение

 - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости
твердого тела:

 d d 2

 2
(2)
dt
dt


Направление вектора  совпадает с направлением d - приращением



вектора  , Вектор  , как и вектор  , является аксиальным (рис.4).
б)
a)
Рис. 4.

Угловым ускорением  называется векторная физическая
величина, равная первой производной от угловой скорости по времени.
Если при вращений тела угловая скорость изменяется на одинаковую
величину за любые равные промежутки времени, то такое вращение

называется равнопеременным. В этом случае  =const.
Найдем кинетическое уравнение для этого случая. Из (2) следует, что
 
d   dt . Проинтегрируем это выражение:


 t
d

    dt;

0


0

  0   t ;

(3)


  0   t.
Это закон изменения угловой скорости со временем при равно5
переменном
вращении.


   ,
Если
такое
вращение
называется


равноускоренным (рис. 4а). Если    такое вращение называется
равнозамедленным (рис.4б). Объединяя оба случая, получим:
  
  0   t.
(4)
При равноускоренном вращении тела модуль углового ускорения
определяется следующим образом:

(5)
t
Из этой формулы можно получить единицу измерения углового
ускорения в системе СИ:

 
  
1 рад
1с
; t  1с ;
1 рад
1с
с  1 рад  с  2 .
Радиан на секунду в квадрате равен угловому ускорению
равноускоренного вращения тела, ври котором за время 1с угловая
скорость изменяется на 1 рад  с 1 .
Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов
оказывается чрезвычайно плодотворным, Это дает возможность во многих
случаях получить большую наглядность, а так же упростить анализ
движения. Запишем выражение для угловой скорости и углового ускорения в
проекции на ось вращения z, положительное направление которой свяжем с
положительным направлением отсчета координаты  - угла поворота. Тогда


проекции  z и  z векторов  и  на ось z определяется формулами:
z 
d
,
dt
(6)
z 
dz
.
dt
(7)
Из (6) получим d   z dt . Проинтегрируем это выражение:

t
0
0
 d    dt ;
z
t
  0    z dt ;
0
6
t
  0    z dt .
(8)
0
Мы подучит кинематическое уравнение вращения относительно оси в
общем случае. Для вычисления полученного интеграла надо знать закон
изменения  (t ) . Возьмем случай равнопеременного вращения. Подставим
формулу (4) в (8) и вычислим полученный интеграл:
t
  0   (0 z   z t )dt ;
0
1
(9)
2
Из выражения (9) легко получить кинематическое уравнение равно
мерного вращения. &ля него  z  0 . Тогда
  0  0 zt   z t 2 .
  0   z t
(10)
2 СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ ЛИНЕЙНЫХ И УГЛОВЫХ
СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ

Найдем скорость v произвольной точки А твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси z (рис. 5). Пусть положение точки А,

относительно т. О оси вращения характеризуется радиусом-вектором r .
Рис. 5.
Из рисунка видно, что
dS  rd ;
7
(11)
d  dt .
(12)
Подставив (12) в (11) получим:
dS  rdt ,
(13)
dS
 r ;
dt
(14)
dS
(15)
v
dt


Следовательно v  r . Учитывая, что  и r , являются аксиальными
векторами и воспользовавшись общей связью по правилу правого винта,
запишем:
 
(16)
v  r 
Выражение (16) представляет собой векторное произведение



векторов  и r . Зная их направление, можно определить направление v , по


правилу правого винта, если правый винт вращать от  к r в
направлений меньшего угла, его поступательное движение укажет

направление v (рис. 6).
Рис. 6.
Векторное произведение (16) раскрывается следующим образом:

v  ωr sin (ωr ) .
  
Аналогично запишем связь между векторами a ,  , r :


a   r 
8

a  r sin ( r )
(17)

  
где a - тангенциальное ускорение некоторой точки; a ,  , r образуют
правую тройку векторов, На рис. 8а представлено ускоренное вращение, а на
рис. 8б замедленное вращение твердого тела.
а)
б)
Рис. 8.
Нормальное ускорение тела равно:
v2
v2
2
an 
    r
r sin( r ) r
(18)
 v2 

an  n   2 rn
r
  

Полное ускорение a равно: a  an  a , а модуль его:
a  a 2 n  a 2  r 2 2  r 2 4  r  2   4 .
(19)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Отметим, что при вращательном движении твердого тела вводятся как
угловые кинематические характеристики, не зависящие от расстояния до оси
вращения, так и линейные характеристики, зависящие от расстояния от оси
вращения до той точки в которой находится характеристика.
Связь между этими характеристиками осуществляется посредством
векторного произведения, поэтому вектора линейных и угловых
характеристик всегда взаимно перпендикулярны.
9