ТР Теория вероятностей и математическая статистика

Вариант № 1
1. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны
0,7 и 0,9. Найдите вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) только два
снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель; г) хотя бы один снаряд попадет в
цель.
2. Имеются два ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во
втором только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и
изделие принадлежит второму ящику?
3. Вероятность выигрыша по билету равна 0,2. Сколько нужно приобрести билетов, чтобы
наивероятнейшее число выигрышных билетов равнялось 15?
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятности
X
5,8
4,9
5,4
5,1
р
0,2
0,1
0,4
0,3
а) Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график; б) Найдите математическое
ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение  (Х).
5. За время Т один из работающих в мастерской станков отказывает с вероятностью 0,1; второй
с вероятностью 0,3; а третий с вероятностью 0,2. Найдите закон распределения в виде таблицы
для числа отказавших станков за время Т. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найдите вероятность
того, что за время Т откажут ровно три элемента.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а) плотность
распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X). Постройте графики
функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  0
0
4
x

F  x    arctg
при 0  x  3
3

при x  3
1
8. Цех изготавливает детали, длины которых представляют собой случайную величину,
распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение соответственно равны 15 и 0,1 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины
детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
9. Известно, что время Т безотказной работы радиолампы имеет показательное распределение.
Найдите Р(Т < 100), если математическое ожидание М = 50 .
Вариант № 2
1. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна
0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найдите
вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит цель; б) только два стрелка поразят
цель; в) все три стрелка поразят цель; г) хотя бы один стрелок поразит цель.
2. При установившемся технологическом процессе автомат производит 0,75 числа деталей
первого сорта и 0,25 - второго. Установить, что является более вероятным - получить 3
первосортные детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортные среди 6 наудачу
отобранных?
3. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго - 30%, с третьего - 50% деталей.
Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй - 0,3%, третий - 0,1%. Найдите вероятность
того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате.
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятности
X
4,9
5,3
4,1
5,8
р
0,3
0,4
0,1
0,2
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х).
5. Вероятность попадания в мишень равна 0,3. Каждый участник соревнований ведет стрельбу
до первого попадания, но производит не более трех выстрелов. Составьте закон распределения
в виде таблицы числа израсходованных патронов одним стрелком. Найдите функцию
распределения и постройте ее график.
6. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,001. Вычислите вероятность того,
что контролер, проверяющий партию в 200 изделий, обнаружит число бракованных более 2.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)плотность
распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X). Постройте
графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  1
0
1

F  x     x3  1 при 1  x  2 .
7
при x  2
1
8. Найдите вероятность попадания в заданный интервал (0;4) нормально распределенной
случайной величины X, если известны ее математическое ожидание а = 8 и среднее
квадратическое отклонение  = 1.
9. Известно, что время Т безотказной работы радиолампы имеет показательное
распределение. Найдите Р(50 < Т < 150), если Р(Т < 50) = 1/ 2 .
Вариант № 3
1. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени
каждым стрелком равна 0,8. Найдите вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень;
б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один стрелок
поразит мишень.
2. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0,1. Какова
вероятность того, что из 4 деталей бракованных окажется не более 2?
3. Вероятность появления события А в каждом из 150 независимых испытаний равна 0,6.
Требуется: а) пользуясь локальной теоремой Лапласа, найдите вероятность того, что в этих
испытаниях событие А появится ровно 84 раза; 2) пользуясь интегральной теоремой Лапласа,
найдите вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее 90 и не более
105 раз.
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятности
X
7,3
8,1
7,9
8,4
р
0,1
0,5
0,3
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х) .
5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Охотник стреляет по дичи до
первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составьте закон
распределения в виде таблицы числа выстрелов, производимых охотником. Найдите функцию
распределения и постройте ее график.
6. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется
бракованной, равна 0,01. Найдите вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4
бракованных.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)плотность
распределения f(x); б) математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X). Постройте
графики функции распределения F(x) и плотность распределения /(х).
при x   / 5
0
1

F  x    1  cos  5 x   при  / 5  x  0
2
при x  0
1
8. Найдите вероятность попадания в заданный интервал (5; 14) нормально распределенной
случайной величины X, если известны ее математическое ожидание а = 9 и среднее
квадратическое отклонение  = 5.
9. Время ремонта некоторого прибора подчинено показательному закону распределения.
Проверено, что 20% приборов требуют для ремонта не более двух часов. Найдите среднее
время ремонта прибора и вероятность того, что прибор будет находиться в ремонте не больше
среднего времени.
Вариант № 4
1. В урне имеется 4 белых, 1 красный, 2 зеленых и 3 синих шара. Какова вероятность того,
что будет вынут цветной шар?
2. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность
получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором 0,09.
Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого автомата. Найдите
вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартная.
3. Вероятность изделия некоторого производства оказаться бракованным равна 0,1. Чему
равна вероятность того, что из 1000 наудачу взятых изделий бракованными окажутся не
более 70?
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятности
X
14
16
20
25
р
0,3
0,4
0,2
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х).
5. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлено три светофора, дающие
независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1,5 мин., желтый - в течение 0,3 мин.,
красный - в течение 1,2 мин. Написать закон распределения числа остановок автомобиля на
этой улице.
6. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно
выбранной странице не менее 4 опечаток?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0
4
x

F  x    arctg
4

1
при x  0
при 0  x  4
при x  4
8. Найдите вероятность попадания в заданный интервал (8; 20) нормально распределенной
случайной величины X, если известны ее математическое ожидание а = 10 и среднее
квадратическое отклонение  = 4.
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения Х-а окажется меньше   8 .
Вариант № 5
1. Из урны, содержащей т белых и п-т черных шаров, наудачу вынимается шар,
оказавшийся белым, и не возвращается обратно. Какова вероятность того, что следующий,
наудачу извлеченный шар, также окажется белым?
2. Имеется два набора деталей. В первом наборе имеется 13 стандартных и 2 нестандартных
детали; во втором - 8 стандартных и 2 нестандартных детали. Определите вероятность того,
что взятая наудачу деталь (из случайно выбранного набора) - стандартная.
3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность шести
попаданий при восьми выстрелах.
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятности
X
2
5
4
8
р
0,2
0,3
0,3
0,2
Найдите: 1) функцию распределения F(x) и постройте ее график; 2) математическое
ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
5. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом
выстреле равна 0,3. Постройте ряд распределения числа попаданий.
6. Машина состоит из 500 деталей. Вероятность отказа одной детали в течение месяца равна
0,002. Определите вероятность того, что число отказавших деталей будет: а) равно двум;
б)не менее двух.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  1
0
1

F  x     x 3  1 при 1  x  2
9
при x  2
1
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 19,
среднее квадратическое отклонение равно2. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (17; 29).
9. Измерение дальности сопровождается случайными ошибками, которые распределены
нормально. Определите  так, чтобы с вероятностью 0,9 ошибки измерения были бы по
абсолютной величине меньше 100 м (а = 0).
Вариант № 6
1. Известно, что среди 36 деталей имеется 4 бракованных. Наудачу выбираются 3 детали.
Какова вероятность, что среди взятых деталей имеется хотя бы одна бракованная?
2. Известно, что 90% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема
контроля признает пригодной хорошую продукцию с вероятностью 0,95, а бракованную с
вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее контроль,
удовлетворяет стандарту.
3. Производится 16 выстрелов из винтовки. Вероятность попадания в цель при каждом
выстреле равна 0,8. Найдите наивероятнейшее число попаданий в цель.
4. В таблице даны возможные значения случайной величины Х и их вероятности
X
6,8
7,2
6,1
5,9
р
0,3
0,1
0,4
0,2
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. В урне имеется 4 шара с номерами 1,2,3,4. Вынули два шара. Случайная величина X сумма номеров шаров. Постройте ряд распределения случайной величины X.
6. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова
вероятность того, что за данную минуту она получает ровно два вызова?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x) .
при x  2
0
1

F  x     x3  4 x  при 2  x  3
15
при x  3
1
8. Стрельба ведется от точки 0 вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна
140м. Предполагая, что дальность полета х распределена по нормальному закону со средним
квадратическим отклонением  = 80 м. Найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает
полет от 120 м до 160 м.
9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 19.
Среднее квадратическое отклонение равно 2. Найдите вероятность того, что абсолютная
величина отклонения X - а окажется меньше 4.
Вариант № 7
1. Рабочий обслуживает три станка-автомата. В течение смены первый станок требует
вмешательства рабочего с вероятностью 0,2; второй - 0,3; третий - 0,6. Определите вероятности
следующих событий: а) все три станка потребуют вмешательства; б) ни один не потребует
вмешательства; в) по крайней мере один из станков не потребует вмешательства..
2. 60% кинескопов, имеющихся на складе, изготовлены заводом № 1, остальные - заводом
№ 2. Вероятность, что кинескоп, изготовленный заводом № 1, не выйдет из строя в течение
гарантийного срока службы равна 0,9, а для кинескопа завода № 2 эта вероятность равна 0,7.
Найдите вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.
3. Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью 0,4. Произведено 10 бросков.
Найдите наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
4. В таблице даны возможные значения случайной величины X и их вероятности.
X
8,7
8,1
9,3
9,1
р
0,5
0,1
0,1
0,3
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны случайным
образом 3 изделия для проверки их качества. Постройте (с точностью до 0,01) закон
распределения случайного числа нестандартных деталей, содержащихся в выборке.
6. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность, что любой из абонентов
позвонит в течение минуты равна 0,001. Какова вероятность получить в течение минуты 3
вызова?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)плотность
распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X). Постройте
графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  1
0

4 

F  x     +arctg x  при 1  x  0

  4
1
при x  0
8. Пусть X распределена по нормальному закону: а = -50,  = 100. Найдите вероятность
того, что X по абсолютной величине не превзойдет 150.
9. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и
среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины изделия можно
гарантировать с вероятностью 0,8?
Вариант № 8
1. Студент получает отличную оценку с вероятностью 0,5, хорошую - 0,4. Какова
вероятность получить хорошую или отличную оценку?
2. Из партии в 5 изделий наудачу взято одно изделия, оказывающееся бракованным.
Количество бракованных изделий с равной вероятностью может быть любым. Какое
предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?
3. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятность того, что любой
читатель возьмет книгу по технике равна 0,7, а по математике - 0,3. Определите вероятность
того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике или только по
математике, если каждый берет только одну книгу.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
14
16
20
25
р
0,3
0,4
0,2
'
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Производится стрельба по некоторой цели до первого попадания. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна р. Случайная величина Х- число промахов до первого
попадания. Найдите распределение величины X.
6. При перевозке 1000 лампочек вероятность разбить одну лампочку равна 0,002. Какова
вероятность, что будет разбито ровно 4 лампочки?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(х); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0

x

F  x   1  sin
2

1
при
x 
при   x  2
при
x  2
8. Найдите вероятность попадания в заданный интервал  ,   нормально распределенной
случайной величины X, если М(Х) = 7 и  = 2,  = 3,  = 10.
9. Ошибка Х измерительного прибора имеет нормальное распределение с параметрами а = 0,
 = 37,5. Найдите вероятность того, что случайная величина X не превзойдет по абсолютной
величине число 10 м.
Вариант № 9
1. В цехе имеется три фрезерных станка. Вероятность того, что станок работает в данный
момент, для каждого из них равна 0,7. Найдите вероятность того, что в данный момент
работает хотя бы один станок.
2. Известно, что брак продукции завода вследствие дефекта А составляет 8%. Причем, среди
бракованной продукции с дефектом А 4% случаев составляет дефект В. В продукции,
свободной от дефекта А, дефект В составляет 2% случаев. Какова вероятность обнаружить во
всей продукции дефект В?
3. Вероятность попадания для стрелка 0,2. Как велика вероятность, что из 15 выстрелов будет
хотя бы одно попадание и какова вероятность, что все 15 выстрелов попадут в цель?
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
10
13
16
20
р
0,2
0,4
0,3
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность
попадания в цель равна 0,6. Найдите распределение боезапаса, оставшегося
неизрасходованными.
6. Экзаменуются 500 человек. Вероятность получить неудовлетворительную оценку равна
0,004. Какова вероятность, что на экзамене получат неудовлетворительную оценку 4 человека?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x) .
при x  1
0
1

F  x     x 2  1 при 1  x  3
8
при x  3
1
8. При измерении длина х является случайной величиной, распределенной по нормальному
закону с параметрами q = 22см (среднее значение) и  2 =0,04 (дисперсия). Найдите
вероятность того, что длина будет заключена между 21,7 и 22,3 см.
9. Случайная величинах распределена нормально, D(X) = 0,16. Найдите вероятность того, что
отклонение Х от М(Х) по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Вариант № 10
1. В партии, состоящей из 23 деталей, имеется 8 бракованных. Наудачу выбираются 3 детали.
Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна бракованная деталь?
2. Вероятности попадания в цель при бомбометании с разных высот равны 0,6, 0,5 и 0,3.
Самолет сбрасывает по одной бомбе с каждой их трех высот. Определите вероятность того,
что в цель попадет ровно две бомбы.
3. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с
вероятностями p1 =0,25, p2 =0,5, p3 =0,25. Вероятность того, что лампа проработает
определенное количество часов, для этих партий равны соответственно 0,1, 0,2, 0,4.
Определите вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
140
160
170
190
р
0,1
0,4
0,3
0,2
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков.
Вероятность появления первого знака равна 2/3. Передано 4 знака. Найдите закон
распределения для числа появления первого знака.
6. Телефонная станция обслуживает абонентов, которые в час производят v разговоров со
средней продолжительностью  . Какова вероятность, что в момент t0 из данного часа говорит
ровно к абонентов?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x   / 2
0

F  x   1  sin x при  / 2  x  
1
при x  

8. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 8 и 3. Какова вероятность
того, что в результате испытаниях примет значение из интервала (5;9)?
9. Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с
математическим ожиданием 45 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найдите
вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического
ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
Вариант №11
1. При увеличении напряжения в 2 раза может произойти разрыв в электрической цепи
вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов
соответственно с вероятностью 0,3, 0,4, 0,5. Определите вероятность того, что не будет
разрыва цепи.
2. 25 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются.
Экзаменующийся может ответить только на 40 вопросов. Определите вероятность того, что
экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на
один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
3. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из
четырех или три партии из шести? (Ничьи во внимание не принимаются).
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
1,5
1,8
2,4
3,5
р
0,4
0,1
0,2
0,3
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Дан ряд распределенной случайной величины X:
X
10
20
30
р
0,2
0,3
0,35
40
50
0,1
0,05
Постройте функцию распределения вероятности этой случайной величины.
6. Среди деталей 0,4% брака. Какова вероятность при случайном отборе 5000 деталей
обнаружить 5 деталей брака?
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0
 x

F  x    tg
 16
1
при x  0
при 0  x  4
при x  4
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 18,
среднее квадратическое отклонение равно 5. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (16;28).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения Х-а окажется меньше 10.
Вариант № 12
1. Партия из 200 деталей содержит 150 деталей первого сорта, 30 - второго, 16 - третьего
сорта и 4 - четвертого сорта. Какова вероятность того, что отобранная деталь первого или
второго сорта?
2. Определите вероятность того, что 10 лампочек из 100, взятых наудачу, окажутся
исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 100 штук с равной
вероятностью может принимать значения от 0 до 3.
3. В группе 30 человек студентов. 12 из них имеют шансы получить отличную оценку на
экзамене с вероятностью 0,8; 8 человек - с вероятностью 0,6; остальные - с вероятностью 0,4.
Взятый наугад студент из группы получил отличную оценку. Определите вероятность того,
что он: а) из первой части группы; б) из второй части группы; в) из третьей части группы.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
11,4
12,6
16,7
18,2
р
0,5
0,1
0,2
0,2
Найдите математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Дискретная случайная величинах характеризуется законом распределения:
X
-2
-1
0
1
2
р
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Найдите законы распределения случайных величин y  x 2  1 и z  x .
6. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в
течение минуты равна 0,004. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв
произойдет в пяти веретенах.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0
4
x

F  x    arcsin
2

1
при x  0
при 0  x  2
при x  2
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 17,
среднее квадратическое отклонение равно 4. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (15; 27).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения X-а окажется меньше 8.
Вариант № 13
1. Отрезок разделен на 3 равные части. На этот отрезок наудачу брошены 3 точки. Найдите
вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке.
Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка
и не зависит от его расположения.
2. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата.
Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя,
равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу
взятой машине. Найдите вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из
строя.
3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что
изделие попадет к первому товароведу равна 0,55, ко второму - 0,45. Вероятность того, что
стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найдите вероятность
того, что это изделие проверил второй товаровед.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
25
35
40
45
р
0,6
0,1
0,2
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х) ; функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Написать
биномиальный закон распределения дискретной случайной величины - числа нестандартных
деталей среди четырех отобранных.
6. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится,
равна 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу прибудет ровно 3 и не более трех негодных
изделий.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  e,
0

F  x   ln x  1 при e  x  e2 ,
1
при x  e2 .

8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 15,
среднее квадратическое отклонение равно 5. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (13;25).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения Х~а окажется меньше 10.
Вариант № 14
1. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого
стрелка равна 0,6, для второго - 0,8. Определите вероятность попадания обеих пуль в мишень.
2. В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2, 18 деталей завода № 3.
Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов
№ 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
3. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: а) одну партию
из двух или две партии из четырех; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех
партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
44
50
55
62
р
0,1
0,6
0,2
0,1
Найдите математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составьте
закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
6. При работе электронной вычислительной машины время от времени возникают
неисправности (сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки
равно 1,5. Найдите вероятность следующих событий: а) за двое суток не будет ни одного сбоя;
б) в течение суток произойдет хотя бы один сбой.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x) ; б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x) .
при x  2,
0
1

F  x     x 2  2 x  при 2  x  3,
3
при x  3.

1
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 14,
среднее квадратическое отклонение равно 4. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (12; 24).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения Х-а окажется меньше 8.
Вариант № 15
1. Вероятность вынуть белый шар из двух ящиков соответственно равны 0,8 и 0,6. Из обоих
ящиков вынимается по одному шару. Какова вероятность, что хотя бы один из них белый?
2. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом.
Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим
прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7.
Найдите вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел
из наудачу взятой винтовки.
3. Отрезок АВ длиною 15 см разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу
брошены 4 точки. Найдите вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две
правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине
отрезка и не зависит от его расположения.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
125
145
150
160
р
0,1
0,2
0,3
0,4
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составьте закон
распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди
отобранных.
5. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется
бракованной, равна 0,001. Найдите вероятность того, что среди 200 деталей окажется более 2
бракованных.
6. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0
4
x

F  x    arctg
5

1
при x  0,
при 0  x  5,
при x  5.
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 16,
среднее квадратическое отклонение равно 6. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (14;26).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения Х-а окажется меньше 10.
Вариант № 16
1. В партии на 100 деталей имеется 5 бракованных. Вынимаются подряд 5 деталей и обратно
не возвращаются. Если среди этих 5 деталей окажется одна бракованная - партия не
принимается. Какова вероятность этой партии быть не принятой?
2. Имеется три партии радиоламп. Вероятности того, что лампа может принадлежать разным
партиям, соответственно равны 0,25, 0,5 и 0,25. Вероятности того, что лампа проработает
срок, равны 0,1, 0,2, 0,4. Определите вероятность того, что взятая наудачу лампа проработает
заданное количество часов.
3. Стрельба по самолету с самолета производится с трех дистанций: 200 м, 100 м и 50 м.
Вероятность того, что стрельба производится с 200 м равна 0,3, со 100 м - 0,5, с 50 м - 0,2.
Вероятности сбить самолет с этих дистанций соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,5. Произведена
стрельба, в результате которой самолет сбит. Определите вероятность того, что стрельба
произведена с дистанций 200 м, 100 м, 50 м.
S
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
8,6
9,3
12,5
20,5
р
0,4
0,2
0,15
0,25
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку
последовательно выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется составьте
закон распределения дискретной случайной величины X - числа патронов, выданных стрелку.
6. Случайная величина может принимать только следующие значения: x1  2, x2  5, x3  8 .
Известны вероятности первых двух возможных значений, а именно, p1  0, 4; p2  0,15 . Найдите
вероятность p3 .
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)плотность
распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X). Постройте
графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x   / 2,
0

F  x   cos  3x  при  / 2  x  2 / 3,
1
при x  2 / 3.

8. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 25.
Вероятность попадания X в интервал (10; 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в
интервал (35;40)?
9. Средняя скорость ветра на данной высоте равна М(Х) = 30 км/час. Среднее
квадратическое отклонение равно  = 6 км/час. В каких пределах следует ожидать колебание
скорости ветра с вероятностью не меньше, чем 0,8?
Вариант № 17
1. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем,
четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найдите вероятность того, что деталь
содержится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.
2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем, 2 снаряда попали в цель. Найдите
вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятность попадания в цель
первым, вторым и третьим орудием соответственно равны р1 = 0,4, р2 =0,3, р3 =0,5.
3. Найдите вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в четырех независимых
испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
45
75
85
90
р
0,35
0,15
0,3
0,2
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент
ответит на любой заданный вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только
студент не отвечает на заданный вопрос. Требуется составьте закон распределения дискретной
случайной величины Х- числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель
студенту.
6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован
неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5
бракованных книг.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x  2,
0
1

F  x     x 3  2 x 2  при 2  x  3,
9
при x  3.

1
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 11,
среднее квадратическое отклонение равно 5. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (9; 11).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина отклонения X — а окажется меньше 10.
Вариант № 18
1. Стрелок производит один выстрел по первой мишени. В случае попадания он получает
право сделать выстрел по второй мишени. Вероятность того, что будут поражены обе мишени,
равна 0,5. Какова вероятность поражения второй мишени при одном выстреле, если первую
мишень стрелок поражает с вероятностью 0,6?
2. Производительность первого станка вдвое больше производительности второго.
Вероятность того, что деталь, произведенная первым станком, будет стандартной, равна 0,95,
вторым - 0,85. Найдите вероятность того, что деталь, взятая наудачу с транспортера, на
который сбрасываются детали обоих станков, будет нестандартной.
3. В результате наблюдений установлено, что вероятность того, что 1 июля выпадет дождь,
равна 4/17. Найдите наивероятнейшее число дождливых дней 1 июля в течение 50 лет.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
4,1
3,8
4,7
4,3
р
0,2
0,2
0,1
0,5
Найдите математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составьте закон распределения числа отказавших
элементов в одном опыте.
6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение
одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найдите вероятность того, что в
течение одной минуты позвонят: а) ровно три абонента; б) менее трех абонентов; в) более трех
абонентов.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0

1
x2

F  x   0,5  arcsin

3

1
при
x  1,
при 1  x  5,
при
x  5.
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 12,
среднее квадратическое отклонение равно 4. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (10; 22).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина
отклонения X-а окажется меньше 8.
Вариант № 19
1. Вероятности того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова
вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
2. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка,
относится к числу легковых автомашин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться
грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке
подъехала машина. Найдите вероятность того, что эта машина грузовая.
3. Найдите вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если
вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
3,9
4,4
3,5
4,1
р
0,3
0,2
0,1
0,4
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Монета брошена 4 раза. Написать закон распределения вероятностей случайной величины
Х- числа выпадений герба.
6. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути
изделие повредится, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу прибудут три
негодных изделия.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
0
4
x

F  x    arctg
2

1
при x  0,
при 0  x  2,
при x  2.
8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 13,
среднее квадратическое отклонение равно 2. Найдите вероятность того, что X примет значение,
принадлежащее интервалу (11; 23).
9. Из условия предыдущей задачи найдите вероятность того, что абсолютная величина отклонения X - а окажется меньше 4.
Вариант № 20
1. В общем количестве изделий имеется 3% брака. В числе годных изделий имеется 90%
первого сорта. Определите вероятность того, что наудачу выбранное изделие будет первого
сорта.
2. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным,
равна 3/ 4 . Найдите вероятность того, что в течение 6 дней нормальный расход воды не
меньше 4 дней.
3. Найдите вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если
вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X
X
5,8
6,4
6,1
5,3
р
0,4
0,2
0,3
0,1
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х); функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон
распределения дискретной случайной величины X - числа выпадений четного числа очков на
двух игральных костях.
6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найдите вероятность
того, что за время Т откажут ровно три элемента.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотность распределения f(x).
при x   / 4,
0

F  x   1  sin  2 x  при  / 4  x   / 2,
1
при x   / 2.

8. Вычислите вероятность того, что случайная величинах подчиненная нормальному закону
распределения, при трех испытаниях хотя бы один раз окажется в интервале (1;2), если
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 1,5 и
1,2.
9. Среднее квадратическое отклонение ошибки изменения курса корабля равно   1,5" .
Оценить вероятность того, что ошибка X изменения курса будет не более 4", считая, что М(Х)=0.
Вариант № 21
1. Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что
студент не знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
2. В группе 30 спортсменов: 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятности
выполнить норму мастера спорта равны: для лыжника 0,9; для конькобежца 0,8; для
горнолыжника 0,75. Определите вероятность того, что наудачу взятый спортсмен выполнит
норму мастера спорта.
3. Орудие № 1 в течение 20 минут выпускает 60 снарядов с вероятностью попасть в цель 0,7.
Орудие № 2 за тоже время выпускает 50 снарядов с вероятностью попадания 0,8. Для какого
из этих орудий наивероятнейшее число попаданий больше?
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
8,7
8.1
9,4
9,1
р
0,3
0,2
0,2
0,3
Найдите: 1) F(x) и постройте график; 2) М(Х), D(X),  (Х).
5. В лотерее выпущено 2000 билетов. Разыгрывается 2 выигрыша по 100 рублей, 10
выигрышей по 50 рублей, 20 выигрышей по 40 рублей и 18 выигрышей по 10 рублей. Найдите
распределение стоимости выигрыша для владельца одного билета.
6. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется
бракованной равна 0,01. Найдите вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4
бракованных.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).
0
 x

F  x   ln
 3

1
при
x  3,
при 3  x  3e,
при
x  3e.
8. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 10.
Вероятность попадания Хв интервал (10;20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания X
в интервал (0; 10)?
9. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого
размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого
размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим
отклонением  = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных
деталей изготавливает автомат?
Вариант № 22
1. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают
по одному 3 кубика. Найдите вероятность того, что последовательно появляются кубики с
номерами 1,2,3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением
(извлеченный кубик возвращается в мешочек).
2. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту
перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку равна 0,05, для
второй эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найдите
вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. Предполагается, что оба перфоратора
исправны.
3. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что
деталь стандартная, равна 0,75. Найдите наивероятнейшее число деталей, которые будут
признаны стандартными.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X :
X
2,9
3,4
2,7
3,1
р
0,3
0,2
0,1
0,4
Найдите: 1) F(x) и постройте график; 2) М(Х), D(X),  (X).
5. Составьте закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех
независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна
0,6.
5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в
течение одной минуты равна 0,004. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты
обрыв произойдет в пяти веретенах.
6. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения /(х); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).
0
2
x

F  x    arcsin
3

1
при
x  0,
при 0  x  3,
при
x  3.
8. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим
ожиданием 40 и дисперсией 200. Вычислите вероятность попадания случайной величины X в
интервал (30;80).
9. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм, считая, что случайная
величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением  = 0,4 мм.
Найдите сколько будет годных шариков среди ста изготовленных.
Вариант № 23
1. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4
детали. Найдите вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. В специализированную больницу поступают в среднем 50% ,больных с заболеванием К,
30% с заболеванием L, 20% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К
равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной,
поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной
страдал заболеванием К.
3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того,
что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
3
4
7
10
р
0,2
0,1
0,4
0,3
Найдите: 1) F(x) и постройте график; 2) М(Х), D(X),  (Х).
5. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех
выстрелов. Составьте закон распределения числа выстрелов, производимых охотником.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
6. Найдите среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница
рукописи содержит хотя бы одну ошибку, равна 0,95. Предполагается, что распределение
вероятностей числа опечаток подчинено закону Пуассона.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения /(х); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(х).
0
 x

F  x    tg
 8

1
при
x  0,
при 0  x  2 ,
при
x  2 .
8. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали X, которая распределена
нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина
изготавливаемых деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найдите вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
9. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним
квадратическим отклонением  = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найдите
вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не
превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
Вариант № 24
1. Три станка работают независимо. Вероятность того, что первый станок в течение смены
выйдет из строя равна 0,1; для второго и третьего станков эти вероятности соответственно
равны 0,2 и 0,3. Найдите вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок выйдет из
строя.
2. Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3% нестандартных. Найдите
вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей, две детали будут
нестандартными. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в данной выборке из
шести изделий?
3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найдите вероятность того, что среди 120
новорожденных окажется 50 мальчиков.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х:
X
1
2
5
100
р
0,6
0,2
0,19
0,01
Найдите: 1) F(x) и постройте график; 2) М(Х), D(X),  (X).
5. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.
6. Производится сортировка стеклянных изделий. Вероятность того, что при этом изделие
будет разбито, равна 0,004. Найдите вероятность того, что из 1000 изделий, подвергнутых
сортировке, 5 будет разбито.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x); б) М(Х) и D(X). Постройте графики функций F(x) и f(x).
при x  1,
0
1

F  x     x 2  1 при 1  x  3,
8
при x  3.

1
8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально
распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найдите вероятность
того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в интервале (15;25).
9. Производится взвешивание некоторого вещества без математических ошибок. Случайные
ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим
отклонением а = 20 г. Найдите вероятность того, что взвешивание будет произведено с
ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Вариант № 25
1. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции
равна 0,02; на второй 0,03; на третьей 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака
после трех операций, если события, состоящие в получении брака на отдельных операциях,
независимы.
2. Ведется стрельба по одному из трех кораблей. Палуба первого корабля на 2/ 3 площади
завалена минами, второго на 1/ 2 , на третьем мин нет. Попадание на участок с минами
вызывает взрыв. Произведено одно попадание, но взрыва не произошло. Определите
вероятность того, что это был третий корабль.
3. Найдите вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если
вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,02.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X.
X
1,5
1,8
2,4
3,5
р
0,4
0,1
0,2
0,3
Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое
отклонение  (Х) ; функцию распределения F(x) и постройте ее график.
5. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с
вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X - число появления события А в трех
опытах. Постройте ряд распределения случайной величины X.
6. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой
(очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найдите среднее число
отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы
один элемент, равна 0,98.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найдите: а)
плотность распределения /(*); б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Постройте графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).
при x   / 2  1,
0

F  x   1  sin  x  1 при  / 2  1  x    1,
1
при x    1.

8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально
распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность
того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в интервале (12; 14).
9. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок.
Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним
квадратическим отклонением  = 10 мм. Найдите вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Вариант № 26
1. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле из первого орудия равна 0,8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найдите вероятность того, что а) только один снаряд попадет в цель,
б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель; г) хотя бы один снаряд
попадет в цель.
2. Имеются два ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественные, во
втором только половина. Изделие, взятое из наудачу выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому
ящику и изделие принадлежит второму ящику?
3. Вероятность выигрыша по билету равна 0,2. Сколько нужно приобрести билетов, чтобы
наивероятнейшее число выигрышей билетов равнялось 15?
4. Даны возможные значения случайной величины X и их вероятностей
X
4,9
5,3
4,1
5,8
р
0,3
0,4
0,1
0,2
Найдите математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) и среднее квадратическое
отклонение  (х).
5. Вероятность попадания в мишень равна 0,3. Каждый участник соревнований ведет
стрельбу до первого попадания, но производили не более трех выстрелов. Составьте закон
распределения в виде таблицы числа израсходованных патронов одним стрелком. Найдите
функцию распределения и постройте ее график.
6. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,001. Вычислите вероятность того,
что контролер, проверяющий партию в 200 изделий, обнаружит число бракованных более 2.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x).
при x   /10,
0

F  x   cos  5 x  при  /10  x  0,
1
при x  0.

8. а) Найдите плотность распределения f(x); б) найдите математическое ожидание и
дисперсию; в) постройте графики распределения функции и плотности распределения.
8. Найдите вероятность попадания в заданный интервал (5,14) нормально распределенной
случайной величины X, если известны ее математическое ожидание а = 9 и среднее
квадратическое отклонение  =5.
9. Время ремонта некоторого прибора подчинено показательному закону распределения.
Проверено, что 20% приборов требуют для ремонта не более двух часов. Найдите среднее
время ремонта прибора и вероятность того, что прибор будет находится в ремонте не
больше среднего времени.
Вариант № 27
1. В урне имеются 4 белых, 1 красный, 2 зеленых и 3 синих шара. Какова вероятность того,
что будет вынут цветной шар?
2. Два автомата производит детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность
получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором 0,09.
Производительность второго автомата вдвое больше, чем на первом. Найдите вероятность
того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартная.
3. Вероятность изделия некоторого производства оказаться бракованным равна 0,1. Чему
равна вероятность того, что из 1000 наудачу взятых изделий бракованными окажутся не
более 70?
4. Независимые случайные величины заданы следующими таблицами:
X
2
5
4
Y
3
8
р
0,4
0,3
0,3
q
0,8
0,2
Определите M(XY).
5. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом
выстреле равна 0,3. Постройте ряд распределения числа попаданий.
6. Машина состоит из 500 деталей. Вероятность отказа одной детали в течение месяца равна
р = 0,002. Определите вероятность того, что число отказавших деталей будет: а) равно двум;
б) не менее двух.
7. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Требуется найти:
а)плотность распределения f(x); б) М(х) и D(x); в) постройте графики функций F(x) и f(x);
при x  1,
0
1

F  x     x 3  1 при 1  x  2,
9
при x  2.

1
8. Стрельба ведется от точки 0 вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна
т. Предполагая, что дальность полета X распределена по нормальному закону со средним
квадратическим отклонением  = 80 м. Найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает
перелет от 120 м до 160 м.
9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 19.
Среднее квадратическое отклонение равно 2. Найдите вероятность того, что абсолютная
величина отклонения x  a окажется меньше 4.
Вариант № 28
1. Рабочий обслуживает три станка станка-автомата. В течение смены первый станок требует
вмешательства рабочего вероятностью 0,2, второй - 0,3. третий -0,6. Определите вероятности
следующих событий: а) все три станка потребуют вмешательства, б) ни один не потребует
вмешательства; в) по крайней мере один из станков не потребует вмешательства.
2. 60% кинескопов, имеющихся на складе, изготовлены заводом № 1, остальные заводом №2.
Вероятность, что кинескоп, изготовленный заводом № 1, не выйдет из строя в течение
гарантийного срока службы равна 0,9, а для кинескопа завода № 2 эта вероятность равна
0,7. Найдите вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.
3. Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью 0,4. Произведено 10 бросков.
Найдите наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
4. Дан закон распределения дискретной случайной величины X :
X
14
16
20
21
p
0,4
0,4
0,1
0,1
Найдите: а) М(Х), D(X),   X  ; б) F(x) и постройте график.
5. Производится стрельба по некоторой цели до первого попадания. Вероятность попаданий
при каждом выстреле равна р. Случайная величина X - число промахов до первого
попадания. Найдите распределение величины X.
6. При перевозке 1000 лампочек вероятность разбить одну лампочку равна 0,002. Какова
вероятность, что будет разбито ровно 4 лампочки?
7. Случайная величина X задана функцией распределения Р(Х). Требуется найти: а)
плотность распределения f(x), б) М(Х) и D(X), в) постройте графики функций F(x) и f(x).
при x   / 2,
0

F  x   1  sin x при  / 2  x   ,
1
при x   .

8. При измерении длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному
закону с параметрами q = 22 см (среднее значение) и  2 = 0,04 (дисперсия). Найдите
вероятность того, что длина будет заключена между 21,7 и 22,3 см.
9. Случайная величина X распределена нормально D(X) = 0,16. Найдите вероятность
того, что отклонение X от М(Х) по абсолютной величине будет меньше 0,3.