ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Формула Бернулли:

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Формула Бернулли: Если производится n независимых испытаний, в каждом из
которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А
появится ровно k раз в n испытаниях, выражается формулой, которую называют формулой
Бернулли
Pn(k) = Cnkpk qn – k ,где q=1-p
(1),
Иногда бывают полезны следующие формулы: Вероятность того, что событие A:
1) наступит n раз: Ðn (n)  p n ; (2)
2) не наступит ни разу: Ðn (0)  (1  p) n  q n ; (3)
3) наступит хотя бы один раз: P  1  (1  p) n  1  q n ; (4)
4) наступит не более k раз: P  Pn (0)  Pn (1)  ....  Pn (k ) (5)
или P  1  ( Ðn (k  1)  Pn (k  2)  ...  Pn (n)) . (6)
5) наступит не менее k раз: P  1  ( Pn (0)  Pn (1)  ....  Pn (k  1)) (7)
или P  Ðn (k )  Ðn (k  1)  Pn (k  2)  ...  Pn (n) . (8)
Из формул (5)и(6), а также (7)и (8) выбирают ту, которая содержит меньше слагаемых.
Наивероятнейшее число наступлений события
Наивероятнейшее число m0 определяется из двойного неравенства
np - q  m0  np + p
(9)
Формула Пуассона (лучше использовать при   10 .)
Теорема :Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна
и близка к нулю (р  0 ), а число независимых испытаний n достаточно велико
( n   ), причем произведение np стремится к постоянному числу  (np   ) то
вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз,
k   
приближенно равна: Ðn (k )  Ðk ( ) 
(11)
k!
Локальная теорема Муавра-Лапласа (рекомендуется применять при npq  20 ).
Пусть в серии из n независимых испытаний вероятность наступления события А в каждом
m  np
испытании равна р (0<p<1), q=1-p, xn 
. Если m  , n   и величина x является
npq
1

ограниченной, тогда Pn (m) 
2ïðq
x2
2

1
  ( x) (12).
npq
Таблица значений функции  (x ) приведена в приложении. Функция  (x ) является четной,
т.е  ( x) =  (x ) , монотонно убывающей при х>4 практически  ( õ)  0 .
Интегральная теорема Муавра-Лапласа (удобно применять при npq  20 ).
 k  np 


  Ô  k1  np 
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то Ðn (k1 ; k 2 )  Ô  2
 npq 
 npq 




õ
t2

1
2

dt - функция Лапласа. Таблица значений функции (x) приведена
где Ô ( õ) 
2 0
в приложении. Функция (x) является нечетной, т.е  (  x ) =- (x) .Если х>4, то
(x)  1 в силу монотонного возрастания функции (x) .
Группа «Стрелки».
Полагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти
вероятности следующих событий:
1) а) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз;
б) при 12 выстрелах мишень будет поражена менее 4 раз;
в) при 12 выстрелах мишень будет поражена не более 8 раз;
2) Наивероятнейшее число выстрелов, которые поразят мишень при 125 сделанных
выстрелах. И вероятность этого числа попаданий.
3) При 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 110, но не более 130 раз.
4) При 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз;
5) При 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 115 раз.
6) На стрельбы пришла Полина Александровна. Для нее вероятность попадания в
мишень равна 0,04. Найти вероятность того, что из 200 выстрелов Полина
Александровна попадет в мишень 10 раз.
Задачи группы «Статистики».
1) По статистическим данным заключенным в Архипелаге Гулаг вероятность прожить
еще один год достигшему 50 летнего возраста равнялась примерно 0,2. Какова
вероятность того, что из четырех человек в возрасте 50 лет
а) все четверо будут живы через год;
б) только трое будут живы через год;
в) по крайней мере один будет жить.
2) Найти наивероятнейшее число выживших из 400 50 летних людей через год. И
найти вероятность того, что выживших будет именно столько.
3) Вероятность дожить до 50 лет при определенных условиях равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 200 человек
А) порог 50 лет переступят не менее 170 и не более 190 человек;
Б) порог 50 лет переступят не более 190 человек;
В) порог 50 лет переступят не менее 150 человек.
4) Вероятность того, что определенное заболевание будет протекать очень остро и
потребуется хирургическое вмешательство равна 0,001. Найти вероятность того, что из
2000 человек, заболевших этим заболеванием, ровно 10 понадобится хирургическое
вмешательство.
5) Известно, что в студенческой поликлинике врач Веселкин 5% пациентов ставит
диагноз: «Воспаление хитрости». Сколько справок, выписанных врачом Веселкиным
нужно посмотреть учителю физкультуры, чтобы с вероятностью не менее 0,95
обнаружить хотя бы одну с диагнозом «Воспаление хитрости».
«Автомобилисты»
1) В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти
вероятность того, что из 10 автомобилей
а) некомплектных 5 автомобилей;
б) некомплектны не более 2-х автомобилей;
в) некомплектны менее 3 автомобилей;
2) Найти наивероятнейшее число начинающих автомобилистов из 345, которые
попадут в аварию за определенный период времени и вероятность того, что попавших
в аварию автомобилистов будет именно столько, если вероятность попасть в аварию за
определенный период времени для начинающего автомобилиста равна 40%.
3) Найти вероятность того, что из 200 автомобилистов с 5 летним стажем , для каждого
из которых вероятность попасть в аварию 20% , в аварию не попадут
а) не менее 150, но не более 190 раз.
б) В аварию не попадут не более 110 машин из 200;
в) В аварию попадут не менее 115 автомобилей из 200; если
4) Автошкола NNN очень качественно готовит водителей. Для выпускников этой
автошколы вероятность в течение года попасть в аварию равна 0,04. Найти
вероятность того, что из 300 выпускников автошколы NNN за год попадут в аварию 15
автомобилистов.
5) Сколько учеников автошколы NNN могут прийти в ГАИ сдавать экзамен, чтобы с
вероятностью не менее 0,95, можно было утверждать, что хотя бы один из них экзамен
не сдал, если известно, что вероятность не сдать экзамен в ГАИ для слушателей
автошколы NNN равна 0,05.
Задачи группы «Страховщики *».
1) В страховом обществе застрахованы 10 тысяч лиц примерно одной социальной
группы и одного возраста. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна
0,006. Каждый застрахованный вносит страховой взнос 1200 руб и в случае его смерти
родственники получат от страхового общества 100 000 руб. найти вероятность того,
что
а) к концу года страховое общество окажется в убытке.
б) его доход превысит 4 млн, 6 млн, 8 млн. руб.
2) В страховой компании «Золотой теленок» 1000 клиентов. Страховой взнос каждого
из которых составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность
наступления которого по оценкам экспертов равна 0,05, страховая компания обязана
выплатить клиенту страховую сумму размером в 5000 руб. на какую прибыль может
рассчитывать эта компания с надежностью 0,95?
Задачи группы «Рекламщики».
1) Лиса Алиса и Кот Базилио рекламируя Поле Чудес, обманывают в среднем, каждого
пятого человека, с которым пообщаются. Им удалось пообщаться с 12 людьми. Найти
вероятность того, что
а) три человека будут обмануты котом и лисой;
б) будут обмануты не менее трех человек;
в) Менее 3 человек подвергнутся обману.
2) Фирма Дуремара «Пиявочка» раскладывает рекламные листки по почтовым
ящикам. Прежний опыт фирмы показывает что по крайней мере в одном случае из
двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тыс.
листовок число заказов будет
а) равно 48;
б) находиться в границах от 45 до 55;
в) будет менее 45;
г) будет более 55;
д) наивероятнейшее число заказов и его вероятность.
5) Мавроди строит очередную финансовую пирамиду. Идет широкая реклама. Но в
памяти людей еще свежо воспоминание о МММ и поэтому на эту рекламу покупается
только 0,5% людей ее посмотревших. Сколько людей должны посмотреть эту рекламу,
чтобы с вероятностью не менее 0,95 нашелся хотя бы один человек, который бы
вложил в новый проект Мавроди свои деньги.
Задания для группы «Контролеры качества*»
1) На контроль поступила партия китайских деталей. Известно, что 5% всех деталей не
удовлетворяет качеству. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не
менее 0,95 обнаружить
а) хотя бы одну нестандартную деталь ;
в) не менее трех нестандартных деталей;
2) Известно, что 60% всего числа изготовляемых деталей первосортные. Контролер
берет первые попавшиеся 200 деталей. Чему равна вероятность того, что среди них
деталей 1 сорта окажется
а) от 120 до 150 штук ;
б) от 90 до 150 штук;
3) На китайском пошивочном производстве у 18% изделий не обрабатываются швы.
Сколько китайских пошивочных изделий необходимо проверить, чтобы с вероятностью,
превышающей 0,95 можно было утверждать, что доля числа изделий у которых не
обработаны швы была бы не более 21,5% и не менее 14,5%