Кто и когда придумал первое уравнение

Урок – семинар
для 8 классов
Учитель: Стукушина В.В.
Цель: Показать историческое развитие способов решения квадратных
уравнений; рассмотреть задачи, решаемые в Древнем Египте, Древнем Китае,
Древней Индии, познакомить с жизнью Франсуа Виета.
Предварительная подготовка: Познакомить учащихся с темами докладов,
предложить список литературы.
1. Способ решения квадратных уравнений арабским математиком аль –
Хорезми;
2. Графический способ решение квадратных уравнений;
3. Математические знаки и их авторы;
4. «Отец» алгебры.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
План урока.
Вводная часть;
Решение задач Древнего мира;
Способ аль – Хорезми;
Графическое решение квадратных уравнений;
Эволюция математических знаков;
Франсуа Виет;
Заключение.
Ход урока.
1. Вводная часть. Знакомство с ходом семинара.
2. Решение задач древнего мира.
Учитель: Кто и когда придумал первое уравнение?
Первобытная мама по имени… впрочем, у нее, наверное, и имени то не было, сорвала с
дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из своих четырех детей. По всей вероятности, она не
умела считать не только до 12, но доже и до 4 и уж несомненно не умела делить одно число на
другое. Но поделила она, если хотела, поровну, поступая так. Сначала дала каждому ребенку по
одному яблоку, потом еще по одному, снова по одному – и тут увидела, что яблок больше нет, и не
кто из детей не обижен. Если записать эту историю на современный язык, то получится вот что.
Пусть  - количество яблок, доставшихся каждому ребенку. Детей было четверо, значит,
4  - общее количество яблок. По условию это количество составляет 12, отсюда: 4  =12,
следовательно,  =3.
Получается, что мама решила задачу на составление уравнения, обойдясь, без букв, цифр и
еще каких-либо знаков. Но ведь решила. Значит, ответить на вопрос кто, где и когда решил первое
уравнение, невозможно. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе
здравого смысла с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, которые мы решаем при
помощи уравнений, были хорошо известны еще в Древнем Вавилоне, Древнем Египте, Древнем
Китае, Древней Индии и Древней Греции.
Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего Египта. В одном из
математических папирусов содержится задача, сводящаяся к решению неполного квадратного
уравнения.
Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья.
Они нашли правило, для решения, приведенного квадратного уравнения. Квадратные уравнения
решались математиками Древней Индии, Древнего Китая.
Решите несколько таких задач!
На решение каждой задачи отводится от 3-10 мин. После обсуждаются
предложенные решения. Если задача не решается, то возможно совместное
решение задача всеми участниками семинара.
Древнеегипетская задача
Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а
равны ширине.
3
длины
4
Древнеиндийская задача.
№1.
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько , ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
№2.
Найди число павлинов в стае,
квадрат
1
которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а
16
1
остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
9
Древнекитайская задача
Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре
каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу =1,6 м) от северных ворот (вне города)
стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775
бу, то можно увидеть столб. «Спрашивается: какова сторона границы города?»
Учитель: Еще древние египтяне придумали слово, обозначающее неизвестное для
удобства рассуждений. Конечно, для решения задач уравнения они записать не могли, так как у
них не было знаков действий. Поэтому решение задач записывались в виде рецептов.
Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такая алгебра – ее позднее назвали
«риторической»- требовала большого мастерства и была очень трудной.
Рассмотрим, как решал квадратные уравнения Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми (787 –
ок. 850).
3. Способ аль – Хорезми.
Докладчик 1:
Аль – Хорезми. Это не фамилия, а своеобразное прозвище, обозначающее, Мухаммед.
Сын Муссы, происходит из Хорезма. Хорезм, крупный оазис в низовьях Амударьи. Об аль –
Хорезми известно, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное он
написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль – джебр воль мукабала». Это
сочинение оказало большое влияние на развитие математики, а само слово «аль – джебр»»,
входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра.
Аль – Хорезми рассматривал, несколько разных видов квадратных уравнений, для решения
каждого из них он предложил правило, в точности соответствующее действиям по формулам,
только изложенных риторически. Вот как он поступал в одном из случаев: «Что касается квадратов
и корней, равных числу, то если, например, ты скажешь: квадрат и десять его корней равны
тридцати девяти дирхемам, то это значит, что если добавить к некоторому квадрату то, что равно
десяти корням, получится тридцать девять». (Дирхем или драхма – название древне греческой
монеты, первоначально – дневное жалование афинского солдата.)
Иначе говоря, речь идет об уравнении
 2  10  39.
Мы бы написали:  2  10   39  0 , но аль – Хорезми это неудобно, он старался обходится без
отрицательных чисел.
Далее он пишет: «Правило таково: раздвой число корней, получится в этой задаче пять,
умножь это на равное ему, будет двадцать пять. Прибавь это к тридцати девяти, будет шестьдесят
четыре. Извлеки из этого корень, будет восемь, и вычти из этого половину числа корней, т.е. пять
останется три: это будет корень квадрата, который ты искал».
А второй корень? Аль – Хорезми не искал второго корня, потому что старался обходится без
отрицательных чисел.
Учитель: Если сравнить с решением по известной формуле, то ваши вычисления не
будут существенно отличаться от вычислений, выполнявшихся тысячу лет назад арабским
математиком. Но если попытаться соревноваться с математиком тех времен на скорость
решения этих уравнений, то еще неизвестно, кто кого победит. Пожалуй, вы проиграете –
устно они считали очень быстро.
Запомнить приемы решения квадратных уравнений было не легко, и люди долго искали пути для
облегчения своего труда.
Рассмотрим любопытный метод решения квадратных уравнений
4. Графическое решение квадратных уравнений.
Докладчик 2.
Евклид (III в. до н. э) решал квадратные уравнения применяя геометрический способ..
Пусть надо решить уравнение  2  10   9  0.
Выполним следующее построение. Сначала по катету ВС =
q  9  3 и гипотенузе AB =
p 10

 5 построим прямоугольный треугольник. Заметим сразу, что АС =
2
2
2
p
 p
2
2
   q  5  3  4. А теперь радиусом, равным  5 , проведем окружность с центром в
2
2
точке А . Она пересечет продолжение катета АС в двух точках, которые обозначим D и E. Заметим,
2
что отрезок DC составлен из АС =
 p
  q  4 и
2
p
Отрезок же СЕ есть разность отрезков АЕ =  5 и АС ==
2
 2. .
p
 5 , т. е. DC = 9 =  1 .
2
AD =
2
 p
   q  4, т. е. отрезок СЕ = 1 =
2
Получился такой порядок. Сначала, имея уравнение  2  p  q  0 , построим отрезки
p
и
2
q . Это всегда можно сделать. Начнем строить прямоугольный треугольник по двум отрезкам
p
,
2
ножку циркуля поместим в точку В и проведем дугу окружности, чтобы получить точку А. Всегда ли
это возможно?
p
Если катет q больше гипотенузы , то треугольника не построить. Иначе можно сказать, что
2
2
p
p
если q > , то
 q - дискриминант квадратного уравнения, отрицателен и, как вы знаете,
2
4
такое уравнение решений не имеет.
Учитель: Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять эти
замысловатые построения. Но надо отметить один факт: квадратные уравнения могут быть
решены геометрическим путем. Могут быть! Иногда в науке важно установить саму
возможность решения задачи заданными средствами, а уж надо будет решать именно этими
средствами или нет – другое дело.
Значительно облегчилось решение математических задач с вводом знаков.
– гипотенузе и катету. Сначала отложим катет, равный
q . Возьмем раствор циркуля, равный
5. Эволюция математических знаков.
Докладчик 3.
Знаки математические - условные обозначения, которые служат для записи математических
понятий, предложений. Развитие системы обозначений в математике было тесно связано с общим
развитием ее понятий и методов. В процессе становления математических наук возникла
необходимость в точных, ясных и сжатых формулировках, требовалось устранить громоздкость
словесных описаний математических фактов, многозначность в математических выражениях.
Первым математическим знаком были цифры. В работах древне греческих ученых,
например в «Началах» Евклида, отрезки и другие объекты обозначаются буквами. Зачатки
буквенного обозначения величин появились в3 в., когда Диофант ввел обозначение для
неизвестного и ее степени, предложил особые знаки для операции вычитания и для обозначения
равенства. Буквенные обозначения для неизвестного применяли индийские математики в 7 в.,
однако создание развернутого буквенного исчисления относится к 14 – 17 вв. В конце 15в.
Немецкими математиками были введены современные обозначения для знаков + и -.
В начале 17 в. вошли в употребление знаки равенства и скобки. Важным шагом в развитии
алгебраической символики оказалось введение Франсуа Виетом математических знаков для
произвольных и постоянных величин. Он обозначал их прописными согласными буквами латинского
алфавита, а неизвестные величины гласными буквами. Виет создал и алгебраические формулы.
В 1637 г. Р. Декарт придал знакам алгебры современный вид. Он изображал неизвестные
величины при помощи последних букв латинского алфавита x, y, z, а данные величины начальными
буквами a, b, c. Предложенные Декартом знаки быстро стали употребляться повсеместно. Ему же
принадлежит обозначение показателя степени.
Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение состоит из
двух частей знака √ – и модифицированной буква r и черты, заменявшей раньше скобки.
Современная символика для обозначения функций была введена Эйлером, который ввел так же
обозначения для тригонометрических функций, логарифмической и показательной и многих других.
Так же ввел ℓ для основания натуральных логарифмов,  - для отношения длины окружности к ее
диаметру.
Учитель: Только на основе разработанной системы математических знаков стало
возможным выразить математические умозаключения по определенным формальным правилам.
Формула корней квадратного уравнения «приоткрывалась» неоднократно. Один из
первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику
Брахмагупте (около 598 г.». Средне азиатский ученый аль – Хорезми (IX в.) получил эту формулу
методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Формулы, с
помощью которых решаются квадратные уравнения называются формулами Виета.
6. Франсуа Виет.
Докладчик 4.
Голландский математик Андриан Ван – Роумен известный, пожалуй, тем, что вычисли
число  с восемнадцатью верными знаками, повторив тем самым через 150 лет результат
среднеазиатского математика аль – Каши, в конце XVI столетия решил бросить вызов всем
математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45 – й степени:
45  3795 3  9534 5  ...  12300 39  945 41  45 43   45   .
Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет
способных справиться с задачей. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше
всего было ущемлено самолюбие Генриха IV (кто не знает – это дедушка Людовика XIV).
— И все же у меня есть математик! — воскликнул король. — Позовите Виета!
В приемную короля вошел пятидесятитрёхлетний седоволосый советник короля Франсуа
Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного
уравнения. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет
нашел ещё 22 корня уравнения. Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня –
отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней. После такого успеха
Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным его почитателем.
Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил ещё
раньше, при Генрихе III во время франко – испанской войны.
Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая всё время
изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания
могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта
переписка оставалась не разгаданной.
После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.
Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел
ключ к испанскому шифру.
После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим.
Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и
виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать способ
тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским в союзе с дьяволом. Виет был
приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.
Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив
юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе.
Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко
образованным человеком. Он знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим
наукам.
Преподавая математику дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить
труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы.
Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложении ее к решению
алгебраических уравнений.
В 1571 году Виет переехал в Париж. Благодаря своему таланту и отчасти браку своей
бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником
Генриха III, а после его смерти – Генриха IV.
Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучал сочинения классиков
Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли и других. Виета они не
только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за
словесной символики.
Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти
автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и,
следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие–нибудь алгебраические
выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу.
Так, например, Кардано, рассматривал 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому надо было
доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих чисел не
зависят.
Виет установил, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством
предметов или длиной отрезка. Главное, что с этим числом можно производить алгебраические
действия и в результате снова получать числа того же рода.
Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не
только ввел
свое буквенное
исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не
числа, а действия над ними.
Правда, у Виета алгебраические символы были еще мало похожи на наши.
Например, современную запись уравнения 3x3+3bx = d Виет записывал так:
A cubus + B plano3in A aeguari D solido.
Здесь A cubus означает третью степень неизвестного А, B plano – «B плоское», D solido – «тело D».
Что особенно важно, помимо уравнений теперь можно было записывать формулы. Ведь
математические формулы это не только сокращенная запись теорем. Главное заключается в том,
что над формулами можно производить операции и получать новые формулы и соотношения. Таким
образом, буквенное исчисление позволяет заменить часть рассуждений механическими
операциями.
Сейчас нам трудно представить математику без формул, но именно такой она была до
Виета. Не случайно, что Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной
символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении корней
квадратного уравнения через его коэффициенты, полученной им самостоятельно, хотя, как стало
известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения – была известна древним
вавилонянам.
Последние годы жизни Виет занимал важные посты пи дворе короля Франции. Умер в
Париже в самом начале XVII столетия. Есть подозрения, что он был убит.
7. Заключение.
Учитель: Сегодня на уроке вы убедились, что история квадратных уравнений уходит в
глубину веков, ей более тысячи лет. Вы убедились, на сколько сложные задачи решались
математиками Древнего мира, как непроста была «риторическая» математика, и как
изобретательны были ученые в поисках решения квадратных уравнений. Вы увидели
преимущества современной математики.
Литература
1. Асташкина И. С., Бубличенко О.А. Дидактические материалы к урокам алгбры в 8 – 9
классах. = Ростов н/Д: Феникс, 2003.
2. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. сред. ш. – М.:
Просвещение, 1990.
3. Баварин И.И., Фрибус Е. А. Занимательные задачи по математике..- М: Геманит. Изд. Центр
Владос, 1999.
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2000.
5. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. М.: Педагогика, 1985.