konkyrsnay_rabota
реклама
Краткое название ОУ: МБОУ СОШ №75 Индекс: 432063 Регион (область): Ульяновская область Населенный пункт (город): г.Ульяновск Улица: бульвар Пензенский Номер дома: 13 Номер корпуса (при наличии): Ф.И.О. : Исаева Вера Клеоповна Название работы: «Использование элементов истории математики на уроках 5-9 классов общеобразовательной школы» Номинация: педагогические идеи и технологии: основное среднее образование Цели: способствовать формированию у учащихся диалектикоматериалистического мировоззрения; создание интереса к изучаемому предмету, как к науке о пространственных формах и количественных отношениях реального мира; обобщение тысячелетнего опыта человечества 1 Содержание. 1. Введение 2. Использование элементов истории математики в 5-9 классах общеобразовательной школы 3. Фрагменты исторических материалов для использования на уроках математики 4. Приложение. Краткие биографические сведения о некоторых математиках 5. Используемая литература 2 Пояснительная записка Моя работа обращена в первую очередь к учителям математики. В ней собраны исторические сведения, которые необходимы для их повседневной работы; так же в работе описываются пути формирования математики, исследуются закономерности арифметики, алгебры и геометрии. В работе приведены конкретные методические рекомендации по организации введения элементов истории математики на уроках. Фрагменты исторических материалов ориентированы на базовые учебники 5-9 классов средней общеобразовательной школы, рекомендованные Министерством образования РФ. 3 Введение Сообщение сведений из истории науки просто полезно в познавательном плане, ибо способствует формированию у учащихся диалектикоматериалистического мировоззрения. Такое изложение дает возможность показывать учащимся при изучении каждого нового раздела или темы, что математика как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира возникла и развивается в связи с практической деятельностью человека. Изучаемые в школе и вошедшие в школьный курс свойства, правила, теоремы - есть обобщение тысячелетнего опыта человечества. Они получены в результате познания окружающего мира, проверены практикой, а не даны в готовом виде. Введение материала по истории математики убеждает учащихся в том, что движущей силой в развитии науки являются производственные потребности. Использование элементов истории математики в 5-9 классах общеобразовательное школы Исторический материал может быть использован на любом этапе урока. Иногда эти сведения полезно дать перед объяснением нового материала, иногда органически связать его с отдельными вопросами темы урока, а иногда дать как обобщение или итог изучения какого-нибудь раздела, темы курса математики. В первом случае исторические сведения помогут лучше мотивировать важность новой темы и нового раздела, что вызовет интерес учащихся к их изучению. Однако для того, чтобы сделать более глубокие обобщения и выводы мировоззренческого характера, нужно исторические сведения сообщать при закреплении или повторении пройденной темы, главы. При этом можно выделить этапы исторического развития теории и сообщить сведения о трудах и деятельности ученых, сделавших первые шаги в разработке теории, и о тех, кто обобщив работы предшественников, создал данную теорию. Совершая исторический экскурс, останавливаясь на этапах развития теории, учитель опирается на пройденный материал и тем самым добивается более прочного усвоения теоретического материала темы. Наиболее часто применяемыми методическими приемами при сообщении исторического материала являются следующие: рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников. Используемые учителем методические приемы зависят от специфики исторического материала, от целей и задач, которые ставит учитель при подаче этого материала. Среди них особое место занимает рассказ учителя, который для сообщений отдельных важных исторических 4 сведений применяется чаще. Элементы лекционного изложения могут иметь место в старших классах. При сообщении исторического материала может быть использован также проблемный подход. Объяснение нового материала можно начинать с постановки проблемы, которая логически вытекает из ранее пройденного и ведет к необходимости более высокой ступени познания окружающего мира. Такой подход вызывает большой интерес учащихся к математики. В ходе урока для сообщения биографических данных и творческой деятельности того или иного ученого привлекаются также учащиеся. При отборе исторического материала необходимо руководствоваться программой по математике. Отобранный материал должен отражать основные сведения развития математики как науки. При изложении исторического материала должны быть учтены возраст учащихся, уровень развития их мышления, подготовка. Исторический материал нужно не пересказывать, а умело вплетать в программный материал и использовать его в воспитательных и образовательных целях. Объем излагаемого исторического материала, который используется на уроках, не должен быть по своему объему большим, чтобы не превращать уроки математики в уроки истории. Необходимо помнить основную цель его использования: исторический подход должен способствовать повышению интереса к математике, более глубокому ее пониманию. Отбирая для урока биографические данные ученого, целесообразно придерживаться следующих положений: 1. Определяя место, объем и содержание биографических сведений об ученом, Необходимо учитывать роль ученого в развитии науки. 2. Изложение биографии ученого нужно сопровождать характеристикой эпохи, в которой он жил и творил, знакомить учащихся с трудностями и препятствиями, которые возникли на его пути. 3. Излагая вклад ученого в науку, показать связь его работ с трудами предшественников и значение его научного наследия для дальнейшего развития науки. 4. Продумать возможность использования биографии ученого как материала, побуждающего учеников к активному отношению к жизни (организация собственного поведения, постановке собственных задач и оценке своих поступков). Для знакомства школьников с творческими биографиями ученых, нужно выбирать имена тех, чей вклад в науку, нравственный облик, философские взгляды, мировоззрения и социальная позиция могли бы служить ярким положительным примером для учащихся. Систематическое использование в школьном курсе математики элементов истории науки способствует развитию у учащихся прочного и устойчивого интереса к предмету, более глубокому и сознательному усвоению 5 математики, формированию у школьников диалектико-материалистического мировоззрения. Для кратких исторических сведений иногда достаточно 2-5 минут урока. Затрата времени окупается повышением интереса к данной теме. Предлагаемые ниже фрагменты исторических материалов составлены в соответствии с действующей программой. Фрагменты исторических материалов для использования на уроках математики 5-6 классы Обозначение чисел Немало различных способов записи чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком “ (титло), который писали над буквой. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв — десятки, а последние девять букв — сотни. Число десять тысяч называли словом — “тьма” (и теперь мы говорим: “народу — тьма тьмущая”). Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли ее у индусов. Поэтому цифры, которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют “арабскими”, а арабы — “индийскими”. Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским ученымпутешественником А д е л а р д о м . К 1600 году она была принята в большинстве стран мира. Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать означает “семь на десять”, семьдесят — “семь десятков”, а семьсот — “семь сотен”. До сих пор используются и римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже около 2500 лет тому назад. I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, С — 100, D — 500, М — 1000. Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Если меньшая по значению цифра (I, X, С) стоит перед большей, то ее значение вычитается. Например, IV означает 4 (5 - 1 = 4 ) , IX означает 9 (10 1 = 9), ХС означает 90. Таким образом, число MCMLXXXIX означает 1989, так как 1000 + (1000 -100) + 50 + 10 + 6 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1989. В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книги, месяцев года, для обозначений дат значительных событий, годовщин. Для вычислений запись чисел с помощью римских цифр неудобна. В этом вы можете убедиться сами, если попробуете выполнить, например, сложение чисел CCXCVII и XLIX или деление числа CCXCVII на число IX. Положительные и отрицательные числа Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные — как долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. В Европе отрицательными числами начали пользо ваться с XII—XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги, большинство ученых считали их «ложными», в отличие от положительных чисел — «истинных». Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596—1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел — ввел координатную прямую (1637 г.). Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. Обыкновенные дроби С древних времен людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби. В русском языке слово “ дробь” появилось в 13 веке, оно происходит от глагола “дробить” – разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики ( в 17 веке) дроби так и назывались – “ломаные числа”. У других народов название дроби также связано с глаголами “ломать”, “разбивать”, “раздроблять”. 7 Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в 13-14 веках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи( Леонардо Пизанский). В 1202 г. он ввел слово ”дробь”. Названия “числитель” и “знаменатель” ввел в 13 веке Максим Плануд –греческий монах, ученый-математик. Десятичные дроби В науке и промышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используются значительно чаще, чем обыкновенные. Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья аль-Кашй Джемшид Ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века. Записывал аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой. Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно. Например, число 24,56 выглядело так: 24®5® 6 (2) или 24 5 6 — вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3, ..., помечалось положение остальных знаков. Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века. В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики “Арифметика, сиречь наука числительная”. Система координат Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звездных и географических карт, календаря. Уже во II в. древнегреческий астроном Клавдий Птолемей пользовался широтой и долготой в качестве координат. 8 в XVII в. французские математики Рене Декарт и Пьер Ферма впервые открыли значение использования координат в математике. Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г. Р. Декарт, поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой. Слова «абсцисса», «ордината», «координаты» первым начал использовать в конце XVII в. Готфрид Вильгельм Лёйбниц. Пропорция Слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой». Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно развивалось в IV в. до н. э. в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида (III в. до н. э.), там, в частности, приводится и доказательство основного свойства пропорции. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорций в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a,6,c,d: а с . в d Пропорции начали изучать еще в древности. В 4 веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики превратили пропорцию в весьма гибкий аппарат исследования. Пропорции могут состоять из натуральных чисел, величин. Роль теории пропорций заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом, а потому пропорция - это просто равенство чисел. Это позволило применять вместо пропорции уравнения, а вместо преобразования пропорций -алгебраические преобразования. Проценты Слово “процент” происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает “со ста”. Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены. Широко начали использовать проценты в Древнем Риме, но идея процентов возникла много раньше — вавилонские ростовщики уже умели находить 9 проценты (но они считали не “со ста”, а “с шестидесяти”, так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями). Знак % произошел, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом “cento” (сто) и писали его сокращенно — cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга — руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого — тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского “с тысячи”) и обозначают %о. Измерение углов Слово “градус” — латинское, означает “шаг”, “ступень”. Измерение углов в градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне. В расчетах там использовались шестидесятеричная система счисления, шестидесятеричные дроби. С этим связано, что вавилонские математики и астрономы, а вслед за ними греческие и индийские, полный оборот (окружность) делили на 360 частей — градусов (шесть раз по шестьдесят), каждый градус — на 60 минут, а минуту — на 60 секунд: 1° = 60', 1' = 60" В конце XVIII века при разработке метрической системы мер французские ученые предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 частей. Такой угол в 1/100 п р я м о г о угла называют “град”: 90° = 100 град В градах измеряют углы в геодезии, этой единицей пользуются в некоторых строительных расчетах, но широкого распространения она не получила. Для точного измерения углов созданы различные инструменты. Основная часть этих приборов — шкала, похожая на шкалу транспортира. Измерение величин Первые единицы длины, как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы сажень, локоть, пядь. В Англии и США до сих пор используется “ступня” — фут (31 см), “большой палец” — дюйм (25 мм) и даже ярд (91 см) — единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля 10 Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки. Для измерения больших расстояний на Руси использовали единицу “поприще”, замененную позже верстой (в разных местностях версту считали по-разному — от 500 до 750 сажен). От восточных купцов пошла единица “аршин” (тоже означает локоть) — существовали турецкий аршин, персидский аршин и др. Поэтому и возникла поговорка “мерить на свой аршин”. Множество единиц существовало и для измерения массы. Наиболее древняя русская мера — “гривна”, или “гривенка” (около 410г), Позднее появились золотники, фунты, пуды. В связи с развитием торговли назрела необходимость установить четкие определения единиц и соотношения между ними. При Петре I русские меры были приведены в определенную систему: 1 верста = 500 саженям (1 км 67 м); 1 сажень = 3 аршинам (213 см); 1 аршин = 16 вершкам = 28 дюймам (71 см); 1 фут = 12 дюймам (30 см 5 мм); 1 пуд = 40 фунтам (гривенкам) (16 кг 400 г); 1 фунт = 96 золотникам (410 г). 11 7-9 классы Первый урок алгебры в 7 классе Среды задач, которые с давних времен приходилось решать людям, много было похожих, однотипных: вычисление площадей участков, нахождение объемов фигур определенной формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и другие. Для однотипных задач в разное времени, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра — один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнении. Некоторые алгебраические понятия и обилие приемы решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4ООО лет назад. Большой вклад в создание алгебры внес выдающийся древнегреческий математик Диофант (III в.), которого по праву называют «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввел специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов. В начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии математики достигли индийские ученые. С V по XII в. ими было сделано много открытий, значительно обогатились начала алгебры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы, узбеки, персы, таджики и другие народы. И в IX—XV вв. мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много ученых-математиков. Их труды в дальнейшем оказали большое влияние на развитие науки в Европе. В 825 г. арабский ученый аль-Хорезми написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» — восполнение: так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака. В дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские ученые Франсуа Виёт (1540—1603) и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными выражениями. 12 О функциях В первой половине XVII в. в связи с развитием механики в математику проникают идеи изменения и движения. В это же время начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601 — 1665) и Рене Декарт (1596—1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643—1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. Термин «функция» (от латинского functio — исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646—1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667— 1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII в. Леонард Эйлер (1707 —1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. Функцию как зависимость одной переменной величины от другой ввел чешский математик Бернард Больцано (1781 —1848). КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких или ядовитых и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы. Эти орехи очень похожи на шар. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Иногда в горах они находили кристаллы кварца и других минералов, из которых делали свои орудия. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Эти формы они использовали, изготовляя каменные орудия. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Отшлифованное орудие позволяло быстрее срубать деревья, разрезать мясо, лучше охотиться на зверей. Специальных названий для геометрических фигур сначала, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д. А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна и т. д. Стало ясно, например, что, не обтесав бревен, дома из них не построишь: они покатятся. А крыша должна быть наклонной, чтобы с нее стекал дождь. Люди научились вытесывать из древесных стволов 13 прямоугольные балки. И, сами того не зная, все время занимались геометрией. Геометрией занимались женщины, изготовляя одежду; охотники, изготовляя наконечники для копий или бумеранги особо сложной формы; рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Только самого слова «геометрия» тогда не было, а форма тел еще не рассматривалась отдельно от других их свойств. Давно уже люди заметили, что глина не пропускает воду. Из нее лепили они горшки и другую посуду. Однако глина была очень мягкой и непрочной. Но однажды, поставив горшок в костер, древний человек обнаружил, что посуда стала твердой и прочной. До нас дошли обломки древней глиняной посуды, по которым можно видеть, как лучше и лучше овладевал человек | различными геометрическими формами. И вот настал день, ког- 1 да был изготовлен первый гончарный круг. На нем уже можно было придавать посуде округлую форму. И не случайно поэты сравнивали с гончарным кругом вращение небесного круга. А когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого издавна применяли катки. И было замечено, что перекатка тяжелого камня становится легче, если для катка взято прямое дерево и от него отрезан кусок с почти одинаковой толщиной в начале и конце. Так люди познакомились с одной из важнейших фигур — цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки. Перевозить грузы на катках было довольно трудно, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. Это было замечательным открытием. «Колесо? Что же тут замечательного?»— подумаете вы. Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо и на земле исчезли все колеса. Это было бы настоящей катастрофой! Остановятся автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток электростанции. Словом, все пойдет кувырком! Потому что в каждой машине — от карманных часов до космической ракеты — работают десятки и сотни самых разнообразных колес. Выходит, что неизвестный изобретатель первого колеса действительно сделал великое открытие. Воины на боевых колесницах, запряженных лошадьми, легко побеждали пеших врагов. Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическими фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие созданные давным-давно украшения тоже имели ту или иную геометрическую форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности и т. д. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе и золоту, серебру и драгоценным камням. А художники, расписывавшие дворцы, находили все новые геометрические формы — многие из них дошли до наших дней. 14 Различной была и геометрическая форма крестьянских полей. А для того чтобы взимать налоги, надо было знать их площадь. Гончару надо было знать, какую форму следует придать кубку или амфоре1, чтобы в них входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т. д. Основы евклидовой геометрии Как раздел математики, геометрия была заложена еще Евклидом, который ввел исходные понятия и аксиомы. Точка, прямая, плоскость, расстояние, угол и пр. считались неопределяемыми понятиями. Через них вводились понятия параллельных (непересекающихся прямых, находящихся в одной плоскости), окружности (множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой плоскости), прямого угла и прочих геометрических структур. Основой анализа служили следующие пять постулатов Евклида. 1. Любые две точки можно соединить одним и только одним отрезком прямой. 2. Любой отрезок прямой можно бесконечно (непрерывно) продолжать в обе стороны. 3. Можно построить окружность с центром в любой точке и с радиусом любой длины. 4. Все прямые углы равны. 5. Если взять любую прямую и любую точку, не лежащую на этой прямой, то через эту точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Остальные исходные положения (они назывались аксиомами, хотя отличием аксиом от постулатов не имеет определенного смысла) касались логики отношений равенства и неравенства ("равные третьему равны между собой", "добавление равных не меняет неравенство" и т.п.). Долгие годы 5-ый постулат Евклида был предметом многочисленных исследований и дискуссий. Его пытались вывести из остальных постулатов, предлагались различные альтернативы и модификации. Наконец после тысячелетних споров в начале 19-го века выяснилось, что возможны и другие 15 геометрии, в которых этот постулат отсутствует. Геометрию с 5-ым постулатом стали называть евклидовой, а без него -неевклидовой. Геометрия с самого начала строилась (а затем излагалась) путем анализа соотношений различных наглядных элементов - отрезков прямых, углов, плоских и объемных фигур, их площадей и объемов и т.п.. И в основном этот анализ был завершен до того, как в математике, кроме арифметики, появились и другие разделы - алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление и другие. В современных условиях евклидова геометрия может быть изложена в аналитической форме, не прибегая к наглядным изображениям. Тем не менее, ее преподают (особенно в школе) в "чертежном" варианте. Очевидно, это связано с тем, что алгебра считается более абстрактным предметом, чем геометрия. А ждать пока алгебра будет усвоена, школа не может. Мы будем полагать, что читатель знаком, по крайней мере, с элементарной алгеброй. Это дает нам возможность с самого начала излагать геометрию на алгебраическом языке. Хотя при этом мы теряем в наглядности, но взамен имеем более четкую и компактную теорию, в которой почти вся логика рассуждений является алгебраическими выкладками. А это значит, что легче проверить правильность результатов, степень их однозначности и пр. Порядок изложения будет следующий. Вводятся исходные понятия. Затем формулируется некоторый минимум аксиом, с помощью которых выводится и определяется все, что можно (из существенного). Далее новые аксиомы, следствия и определения. И так до последней аксиомы, которая приводит нас к самому простейшему варианту - к евклидовой геометрии. В такой последовательности шагов более явно виден смысл каждого шага (зачем он нужен, к чему приводит). И если кто-то захотел бы на каком-то этапе сделать иной шаг (т.е. построить новую теорию), он был бы уверен во всех предыдущих результатах. Геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского, Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. 16 Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще. Создание неевклидовой геометрии Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского: Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной. Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение. В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели) O Действительных числах Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению. Необходимость выполнять измерения привела к положительным рациональным числам. Решение 17 уравнений привело к появлению отрицательных чисел. Однако долгое время их считали «фиктивными» и истолковывали как «долг», как «недостачу». Правила действий над положительными и отрицательными числами длительное время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания. Например, индийские математики VII в. так формулировали эти правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». Лишь в XVII в. с использованием метода координат, введенного Декартом и Ферма, отрицательные числа были признаны в качестве равноправных с положительными Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Эти числа удобны для вычислений: сумма, разность, произведение и частное (при условии, что делитель отличен от нуля) двух рациональных чисел являются рациональным числом. Рациональные числа обладают свойством плотности, благодаря чему всякий отрезок можно с любой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу, и выразить результат измерения рациональным числом. Поэтому рациональные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей. Тем не менее задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел. Еще в Древней Греции в школе Пифагора (VI в. до н. э.) было доказано, что нельзя выразить рациональным числом диагональ квадрата, если за единицу измерения принять его сторону. Такие отрезки, как диагональ квадрата и его сторона, назвали несоизмеримыми. В дальнейшем (V—IV в. до н. э.) древнегреческими математиками была доказана иррациональность 4п для любого натуральногоп , не являющегося полным квадратом. Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако долгое время не признавали их за равноправные числа. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта. На координатной прямой каждое рациональное или иррациональное число изображается точкой, и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное или иррациональное, т. е. действительное, число. С введением иррациональных чисел все «просветы» на координатной прямой оказались заполненными. Имея в виду это свойство, говорят, что множество действительных чисел (в отличие от множества рациональных чисел) является непрерывным. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической). В XVIII в. Л. Эйлер (1707—1783) и И. Ламберт (1728—1777) показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Непериодическая бесконечная десятичная дробь представляет иррациональное число. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К- Вейерштрассом (1815— 1897). Другие подходы к изложению теории действительного числа были предложены 18 немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831 —1916) и Г. Кантором (1845— 1918). О квадратных корнях С давних пор наряду с отысканием площади квадрата по известной длине его стороны приходилось решать и обратную задачу: «Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а?» Такую задачу умели решать еще 4 тыс. лет назад вавилонские ученые. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения квадратного корня, который состоял в следующем. Пусть а — некоторое число (имеется в виду натуральное число), не являющееся полным квадратом. Представим а в виде суммы Ь2+с, где с достаточно мало по сравнению с b. Тогда Ja= Jb2+ с ~b+ щ . Например, если а = 112, то J\A2 = J l 0 2 + 12 «10+Щ =10,6. Проверка показывает, что 10,62= 112,36. Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским (I в. н. э.). В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словомRadix(корень), а затем сокращенно буквойR(отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик ♦, впоследствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Ролля (1652—1719). О квадратных уравнениях Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х2±х=а) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах—bили ах2=Ь. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. 19 Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2+Ьх=с, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате Китаб альджебрваль-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ах2=Ьх, ах2=с, ах=с. ax2+c—bx, ах +Ьх=с, Ьх+с=ах , (буквамиa, bи с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х 2+Ьх=с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487—1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595—1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения(a+b)x— x 2 =abявляются числа а и Ь. О неравенствах Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа тт: Q10 0 1 S j j <тт<о—. Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенствоJab . В «Математическом собрании» Паппа Александрийского (III в.) доказывается, что если (a, b, с иd— положительные числа), тоad>bc. Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII—XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки и французский математик П. Буге (1698—1758). Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач. 20 О приближенных вычислениях Отдельные приемы приближенных вычислений появились в древности. Это было вызвано потребностями практики, так как при измерении величин всегда получаются приближенные значения. Во все времена люди стремились облегчить свой труд в вычислениях. Для этого составлялись различные таблицы. Еще древние египтяне, у которых вычисления с дробями были очень сложными, составляли таблицы для выражения дробей через суммы единичных дробей. Древние вавилоняне составляли таблицы квадратов, кубов, обратных величин. Большой вклад в развитие теории приближенных вычислений внес академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945). Будучи выдающимся кораблестроителем, математиком и механиком, он применял математические методы к решению технических задач. Большое внимание он уделял вопросу рационального выполнения вычислений. Он писал, что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки. 21 Приложение. Краткие биографические сведения о некоторых математиках. Декарт Рене (1586-1650) – французский философ, математик, физик, физиолог, один из создателей высшей математики. Родился в местечке Лаэ в дворянской семье. Воспитывался и получил образование в колледже для детей аристократических семейств. Вначале был на военной службе, а затем, оставив военную карьеру, занимался наукой, особенно математикой. В математике его привлекла достоверность выводов, поэтому он указывал на математику как образец для других наук. За свои прогрессивные взгляды Декарт подвергался гонениям католической церкви Франции, а затем протестантских богословов Голландии, где он поселился в 1629г. Математические труды Декарта собраны в его книге «Геометрия». В этом труде он дал основы новой аналитической геометрии и алгебры, создав метод координат. Он первым ввел в математику понятия переменной величины и функции. Для переменных и неизвестных Декарт принял обозначения x, y, .., 3 5 а для буквенных коэффициентов a, b, c..., а для степеней – x , a ….. Декартом положено начало исследованию важных свойств алгебраических уравнений. Его труды оказали решающее влияние на дальнейшее развитие математики. Диофант(111в.н.э.) – древнегреческий математик из Александрии. О его жизни почти ничего неизвестно. Главный труд Диофанта «Арифметика» состоял из 13 книг, из них сохранились только 6. в них содержатся 189 задач с решениями. В его «Арифметике» много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям. Для обозначения неизвестных Диофант применял буквенные обозначения. Он решал уравнения в рациональных положительных числах и фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел, выражая его по-своему. Его именем названы разделы математики –теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. Евклид(ок.365-300 до н.э.)- древнегреческий математик , автор первых сохранившихся до нас математических трактов. Имя Евклида широко известно благодаря его труду «Начала», cocтаящему из 13 книг: 1-6 книги посвящены планиметрии; 7-10 учению о числе; 11-13 стереометрии. В «Началах» Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников, системно изложив все достижения греческой математики, что дало возможность дальнейшему развитию данной науки. До 19 века в школах всего мира геометрия преподавалась по «началам» Евклида. Изложение и методы доказательства многих теорем в современных учебниках те же, что и в «Началах». Каши Джемшид Гияссэддин(14-15вв.) – среднеазиатский математик и астроном, работал в Самаркандской обсерватории Улугбека. В своей книге 22 «Ключ арифметики» (1427) он впервые изложил учение о десятичных дробях и действиях над ними. Для отделения целой части числа от дробной он употреблял вертикальную черту или записывал их разными чернилами. Каши в своих трудах применял равенство a=1. Он дал правило извлечения корня любой степени из целых чисел, вычислил значение чисел π с 16 знаками. Ковалевская Софья Васильевна (1850-1891) – выдающийся математик, первая русская женщина, ставшая всемирно известной ученой. Родилась она в Москве, в семье артиллерийского генерала В.Корвин-Круковского, образование получила у домашнего учителя. На мировоззрение С.В.Ковалевской большое влияние оказала сестра Анюта, впоследствии ставшая участницей Парижской коммуны. Пятнадцатилетней девочкой она брала уроки высшей математики у известного в Петербурге преподавателя А.Н.Страннолюбского. Как известно, доступ женщинам в университеты в то время в России был запрещен. Для поездки за границу требовалось, чтобы женщина была замужем. В1868 г. Софья Васильевна, чтобы иметь возможность уехать за границу и заниматься там наукой, вступает в брак с В.А.Ковалевским, впоследствии известным палеонтологом. В 1869г. Она с мужем уехала в Гейдельберг, где ей удалось поступить в университет. Но она стремилась в Берлинский университет. Там работал выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс. В 1870г. С.В.Ковалевская переезжает в Берлин. Так как в Берлинский университет женщин также не принимали, Ковалевская решила брать частные уроки у Вейерштрасса. Восхищенный ее исключительными способностями, Вейерштрасс согласился заниматься с нею. В период учебы у Вейерштрасса С.В.Ковалевская много и упорно работает. За это время она написала три научных труда, за что ей было присвоено звание доктора философии «с наивысшей похвалой». В июле 1874г. С.В.Ковалевская вернулась в Россию и поселилась в Петербурге. Здесь она поддерживала контакты с известными учеными П.Л.Чебышевым, Д.И.Менделеевым, А.Г.Столетовым и другими. Но на родине она не могла применить свои знания, так как доступ на кафедры в российских университетах для женщин был закрыт. Ковалевская занялась литературой и публицистикой, писала научно-популярные статьи в газеты, театральные рецензии, написала несколько романов. В 1883г. по приглашению профессора Миттаг-Леффлера С.В.Ковалевская читает лекции в Стокгольмском университете сначала в должности доцента, а затем в должности профессора. В1888г. она написала свой основной научный труд – «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки». За эту работу Ковалевской была присуждена премия Парижской академии наук. В 1889г. за дополнительные исследования по той же проблеме она получила премию Шведской академии наук. Научные результаты С.В.Ковалевской оказали большое влияние на ход исследования многих крупных ученых, и она получила мировое признание. Благодаря стараниям П.Л.Чебышева и других ученых С.В.Ковалевская была избрана членом-корреспондентом Петербургской 23 академии наук. Это было исключительным событием для дореволюционной России. С.В.Ковалевская умерла от воспаления легких в полном расцвете творческих сил в Стогкольме в возрасте 41 года. Крылов Алексей Николаевич (1863-1945)- советский математик, механик и кораблестроитель, академик, Герой Социалистического Труда. Родился в селе Висяга (ныне поселок Крылово Чувашской АССР). В 1884г. А.Н.Крылов блестяще окончил морское училище, а в 1890г. - морскую академию, где был оставлен для подготовки к профессорскому званию. А.Н.Крылов внес существенный вклад в развитие математики и в научное решение многих сложных задач кораблестроения. Он создал научную теорию приближенных вычислений. Им сформулировано правило записи приближенного числа, носящее его имя. В научных трудах А.Н.Крылова сделаны важнейшие технические открытия по применению математической теории в решении практических и технических задач. Лобачевский Николай Иванович(1792-1856)-русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Родился в Нижнем Новгороде (ныне г.Горький) в семье мелкого чиновника. С 1802г. учился в Казанской гимназии, в 1807г. стал студентом Казанского университета. С этого момента вся жизнь Лобачевского была тесно связана с Казанским университетом. Еще на 1 курсе Н.И.Лобачевский обратил на себя внимание профессора М.Ф.Бартельса (учителя Гаусса) своими необыкновенными способностями к математике. Он с огромным энтузиазмом изучал труды выдающихся математиков. Благодаря способностям и упорному труду Н.И.Лобачевский быстро продвигался на научно-педагогическом поприще. В 1811г. он получил звание магистра и был оставлен в университете. В 1814г. получил звание адъюнкта чистой математики. В июле 1816г. его утверждают экстраординарным профессором. В 1820-1821 и 1823-1825гг. Н.И.Лобачевский работает деканом физико-математического факультета, а с 1827-по 1846г. – ректором Казанского университета. Он положил начало процветанию и славе Казанского университета. Административную деятельность Лобачевский плодотворно совмещал с педагогической и научной, с подготовкой учебных пособий по геометрии и алгебре. Лобачевский внес много нового в развитие математики, физики и астрономии. В первые годы профессорской деятельности Лобачевский, как и многие ученые до него, пытался доказать пятый постулат Евклида. Однако он приходит к выводу, что этого сделать нельзя. В 1826г. заменив пятую аксиому прямо противоположной ей, Лобачевский создал новую геометрию, которая была названа неевклидовой геометрией Лобачевского. Новую геометрическую систему Лобачевский изложил в своих трудах «О началах геометрии», «Новые начала геометрии», «Пангеометрия». Он пришел к выводу, что могут существовать разные геометрии, отличающиеся от Евклидовой, друг другу не 24 противоречащие. Однако геометрия Лобачевского не находила признания даже крупными математиками того времени. Она была встречена даже с иронией. Убежденный в правильности своих идей, Лобачевский искал подтверждения своей теории в механике и астрономии. Он твердо верил в применимость своей теории к реальному физическому пространству. Лобачевский как один «из превосходнейших математиков русского государства» в 1842г. был избран членом-корреспондентом Геттингенского общества наук. Это было единственное официальное признание научных заслуг Лобачевского при жизни. Н.И.Лобачевский умер 24 февраля 1856г. в Казани непризнанным. Но уже в 70-х годах прошлого столетия идеи Лобачевского получили признание и нашли развитие в трудах Римана, Кэли, Клейна, Гильберта и других. Магницкий Леонтий Филиппович (1669-1739)-русский математик-педагог. Родился в Осташковской слободе Тверской губернии (ныне Калининская обл.). О жизни Магницкого мало известно. Сведения о его образовании весьма противоречивы. Есть предположения, что в математики Магницкий был самоучкой и достиг вершин математических знаний упорным трудом. Педагогическая деятельность Магницкого прошла в Московском математиконавигацкой школе, готовившей кадры для флота Магницкий сыграл большую роль в создании русской математической литературы. Ему было поручено написать учебник по изучению математики в Навигацкой школе. Книга Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная» была издана в 1703г. на славянском языке. Однако ее содержание далеко выходило за рамки названия. Наряду с пространным изложением арифметики в книге содержатся элементы алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации с необходимыми таблицами и задачами. Эта книга была энциклопедией математики того времени. Не одно поколение русских людей училось по этой книге, М.В.Ломоносов называл эту книгу «вратами своей учености». Магницким были написаны еще несколько практических пособий. В 1703г. он принимал участие в издании первой в России таблицы под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивых тщателей». Фалес Милетский (ок.624-548 до н.э.)-древнегреческий математик и философ, принадлежит к числу «семи мудрецов» античного мира. Он сформулировал теорему о равенстве отрезков, отсекаемых на сторонах угла, пересеченных параллельными прямыми. Фалесу приписывают авторство: 1)теоремы о равенстве вертикальных углов; 2) второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам); 3) доказательства, что диаметр делит круг пополам; 4) теоремы о том, что угол, вписанный в полукруг, прямой; 5) теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Фелесом был сделан решающий шаг к материалистическому представлению о мире. 25 Ал-Хорезми Мухаммед ибн Мусса (780-850)-узбекский математик, астроном и географ. До нас дошли его пять математических работ. Среди них- два трактата (арифметический и алгебраический), сыгравшие значительную роль в развитии мировой науки. Арифметический труд Хорезми, содержащий индийскую позиционную десятичную нумерацию, сыграл огромную роль в распространении новой системы счисления среди европейских ученых. Но самое большое значение имел труд «Китаб ал-джабр ал-мукабала», который явился первым в мировой литературе самостоятельным сочинением по алгебре. Хорезми алгебру рассматривает как искусство решения уравнений. Изложения материала словесное. От слова» ал-джабр» («восстановление») произошло название «алгебра». Слова «ал-джабр» и «ал-мукабала» («противопоставление») указывают, что уравнения, содержащиеся в сочинении, решаются с помощью этих двух приемов. В трактате по алгебре рассматриваются также вопросы, касающиеся геометрии. Для числа π Хорезми дает три значения: 22/7,√10 и 3,1416. Именем ал-Хорезми сначала называли арифметику того времени, основывающуюся на десятичной системе счисления. Слово «алгоритм» возникло в результате искажения имени Хорезми. Слово «алгоритм» широко употребляется в математике в настоящее время как точное предписание о выполнении в определенном порядке системы операций, выполняемых по строго установленным правилам. Чебышев Пафнутий Львович (1821-1894)-русский математик и механик. Родился в селе Окатове (ныне Калужская область). В 1837г. поступил на математическое отделение Московского университета. Еще будучи студентом, он получил серебряную медаль за работу « Вычисление корней уравнения». В1845г. защитил магистерскую диссертацию. В 1849г. после защиты докторской диссертации получает звание профессора. В Петербургском университете он проработал 35 лет. Научные работы П.Л.Чебышева относятся в основном к теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу. Мировую славу ему принесли исследования по теории чисел. Чебышев впервые после Евклида существенно развил теорию простых чисел, Многие свои исследования по математике Чебышев соединял с вопросами естествознания и техники. Им созданы более 40 механизмов, среди которых автоматический арифмометр для умножения и деления чисел. Многие механизмы Чебышева демонстрировались на выставках в Париже (1878г.) и Чикаго (1893г.). Исследования П.Л.Чебышева получили признание во всем мире. Он был избран членом 25 иностранных и отечественных академий и научных обществ. Чебышев создал новую математическую школу, носящую его имя. Воспитанниками этой школы являются такие выдающиеся, как У.И.Золотарев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, В.А.Стеклов, А.Н.Крылов и многие другие. 26 Используемая литература 1. О воспитательной направленности обучения математике в школе. Книга для учителя. Москва. Просвещение 2010 г. 2. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. Москва. Просвещение. 1994 г. 3. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Минск. Народная асвета. 1991 г. 4. Научно-методический журнал «Квантор» №6, Львов 1991 г. 5. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителя. Москва. Просвещение. 2007 г. 6. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Москва. Просвещение. 2005 г. 7. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989 г. 27
