Билет №9 Элементарный магнитный излучатель. Принцип перестановочной

Билет №9
Элементарный магнитный излучатель. Принцип перестановочной
двойственности. Пример перехода от полей, которые создает
элементарный электрический излучатель, к полям, которые создает
элементарный магнитный излучатель.
Элементарный магнитный излучатель – это замкнутый проводник с
током, настолько малым, что амплитуда переменного тока во всех сечениях
проводника считается неизменной.
Качественно попытаемся изобразить картину поля, которую создает
элементарный
магнитный
излучатель.
Предположим,
что
имеются
элементарные носители магнитных зарядов. Поскольку их на самом деле нет,
то их называют фиктивными.
Поле, создаваемое фиктивным зарядом
Простейшей
физически
осуществимой
моделью
элементарного
магнитного излучателя является плоская проводящая рамка (одиночный
виток провода) с электрическим линейным гармоническим током, периметр
которой весьма мал по сравнению с длиной волны 
создаваемого ею
поля. Такой излучатель называют элементарной электрической рамкой.
Эквивалентный
такой
рамке
фиктивный
элементарный
магнитный
излучатель ориентирован перпендикулярно плоскости рамки.
Установим правила перехода от полей, создаваемыми электрическими
зарядами к полям, создаваемыми магнитными зарядами. Это правило в
теории поля называют принципом перестановочной двойственности.
Электрические
источники

 
rotH  j a E  


rotE   ja H
Магнитные
источники

 
М
rotE   ja H   стор


rotH  j a E
Э
стор
Из анализа уравнений


EH
 a   a


 стЭ   стМ
pЭ   pМ
Принцип перестановочной двойственности
Определим поля элементарного магнитного излучателя с помощью
принципа перестановочной двойственности. Для электрического излучателя
(дальняя зона):
I l k
 sin 
H  j  0
4

r


E  H Z C
По определению:
dq э
I0 
 jq Э
dt
  pЭ k 
 sin 
H  
4

r


I 0l  jq Эl  jp Э
Для магнитного излучателя:
k    а а
  pM k 
  а I 0 S k 
 sin   
 sin 
E  
 4 r 
 4 r 
1
ZC   а а 
Zc
H 
E
ZC
Сопротивление излучения у элементарных магнитных излучателей
значительно меньше, чем у элементарных электрических излучателей.
Первый пример: идеально проводящий экран с отверстием (щелью), на

котором задана тангенциальная составляющая E
. Поле, создаваемое
такой дифракционной, или щелевой, антенной, совпадает с полем

m
поверхностного магнитного тока jпов
, текущего по затягивающей отверстие
идеально проводящей пленке и равного


m
с  
jпов  
n  E
4

n
- нормаль к поверхности, направленная в сторону искомого поля.
m
Для плоских экранов нужно ввести удвоенный ток jпов
, текущий в
свободном пространстве по площади отверстия.


Второй пример: кольцевой электрический ток I e   j e dS
элемент
сечения
проводника),
текущий
вдоль
окружности

( dS
-
радиуса
1

  2    k , эквивалентен магнитному диполю, направленному по

оси рамки, образующему с током j e правый винт и обладающему магнитным
a c
моментом p m  Qml  I e  c ,   a 2 - площадь рамки, Qm - эффективный
магнитный заряд, l - условная длина. Этот диполь двойствен электрическому
диполю, образованному, например, двумя проволочными штырями с
зарядами  Qe (вибратор Герца).
Задача 1
Волна H 11 на частоте f = 8 ГГц имеет длину волны в волноводе в два раза
больше длины волны в свободном пространстве.
Определить:
1.Радиус волновода.
2.Длину волны в волноводе.
3.Волновое сопротивление волновода.
4.Отношение фазовой скорости к скорости света.
Решение
1. Радиус волновод:
кр 
 кр

В 
 
1 

 кр




2
11
кр  11
, где 11 =1,84 – корень функции Бесселя
2
Откуда R 
Значение
2R
найдем из формулы
,
учитывая что В  2
2

2 
  

1 
 
 кр 
2
  

 3
 
4
 кр 
Тогда, R 
2
2
  
 1
1 
 
4
 кр 
  
 1;
1 
 
2
 кр 
значит

3

кр
2
кр 
2
2c

3
3f
кр  11
c  11
3 108 1,84


 0,013 м
2
3  3,14  8 109
3  f
2. Вычислим длину волны в волноводе:
2с 2  3  108
В  2 

 0,075 м
f
8  109
3. А также волновое сопротивление волновода
Z cH 
120
  

1 
 
 кр 
2

120  3,14
 753,6 Ом.
1
2
4. Фазовая скорость волны в волноводе будет равна:
Vф 
с
  

1 
 кр 


2
Отношение фазовой скорости к скорости света
Vф
с
1

 
1 

 кр




2

1
3
1
4
2
Задача 2
Цилиндрический резонатор имеет длину вдвое больше диаметра и
резонирует на частоте f = 5 ГГц. Определить:
1.Диаметр резонатора (колебание E 011 ).
2.Диаметр резонатора (колебание E 010 ).
3.Диаметр резонатора (колебание H 111 ).
Решение
011
1. Резонансная длина волны для колебания Е вычисляется по формуле:
0E
011
2

  01   1 

  
 r   L 
2
2
где r – радиус резонатора,  01 =2,405 – корень функции Бесселя нулевого
порядка
Учитывая что r 
0E
011
2

 
E 011 2
0
d
, а по условию L  2d
2
 2 01   1 

  
 d   2d 
4
2

2
 2 01   1 

  
 d   2d 
2
2

4
16 2 01   2
4d 2

16d 2
16 2 01   2
Тогда диаметр резонатора:
d
0E
4
011
16 2 01   2 
т.к. 0E 
0 11
c
f 0E 0 11
c
3  108
2
2
16




16  2,4052  3,142  0,048 м
01
E 011
9
4  f 0
4  3,14  5  10
2. Резонансная длина волны для основного колебания
2r

0E0 1 0 

,
 01
Е 010
 01
где r – радиус резонатора,  01 =2,405 – корень функции Бесселя нулевого
порядка, а d  2r .
Выразим диаметр резонатора d :
 01  0E
d

010
Т.к. 0E 
010
c
f 0E 0 1 0
, то
 01  c
2,405  3  10 8
d

 0,046 м
3,14  5  10 9
  f 0E
010
3. Резонансная длина волны для колебания H 111 вычисляется по формуле:
0H
111
2

 11   1 

  
 r   L 
2
2
где L  2d – длина резонатора, 11 =1,84 – корень функции Бесселя.
0H
111

c
f
H11 1
0
Проведя, преобразования, аналогичные пункту 1, получим, что диаметр
резонатора:
0H
d
4
111
16
2
11
c
3  108
2
2
 
16 11   
16  1,842  3,142  0,038 м
H 111
9
4  f 0
4  3,14  5  10
2