Программа дисциплины по стандарту III поколения.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
(Программа курса)
Новосибирск
2010
Учебный курс «Аналитическая механика» является частью профессионального цикла
подготовки бакалавра физики. Дисциплина изучается студентами второго курса физического
факультета. Программа подготовлена в соответствии с требованиями образовательного
стандарта третьего поколения.
Цели курса – дать представление об основных методах аналитической механики,
научить решать широкий класс задач, подготовить понятийную базу для освоения различных
курсов теоретической физики, сформировать общекультурные и профессиональные навыки.
Односеместровый курс «Аналитическая механика» состоит из лекционных и практических
занятий, сопровождаемых регулярной индивидуальной работой преподавателя со
студентами в процессе сдачи семестровых домашних заданий.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических
часов (из них 80 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 32 часа лекционных
и 48 часов практических занятий, а также 28 часов самостоятельной работы.
Автор
докт. физ.-мат. наук, проф. В. Г. Сербо,
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.
 Новосибирский государственный
университет, 2010
2
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Аналитическая механика» составлена в соответствии с требованиями к
обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста
бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200 Физика», а
также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации
Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Сербо Валерий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор
Факультет: физический
Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)
Курс «Аналитическая механика» предназначен для обучения студентов-физиков, для
которых аналитическая механика является первой главой теоретической физики. Развиваемые в
этой главе методы и идеи оказываются важными буквально для всех остальных разделов
теоретической физики.
Основной особенностью данного курса является постепенное вхождение в сложные
разделы аналитической механики, с тем чтобы не потерять связь со слушателями. В начале курса
повторяются частично известные ещё с первого семестра уравнения Ньютона, движение в
центральном поле и рассеяние. Уравнения Лагранжа выводятся из принципа Гамильтона, а их
справедливость проверяется сведением их к уравнениям Ньютона.
Мы надеемся, что такой подход позволяет проще и быстрее освоить новые понятия
лагранжевой механики. Далее читались уже устоявшиеся традиционные разделы аналитической
механики как части курса теоретической физики: линейные и нелинейные колебания, гамильтонов
формализм, движение твёрдого тела. Возникшие в последнее время такие важные разделы как
общее исследование уравнений динамики, улучшенная теория возмущений для нелинейных
колебаний, динамический хаос, должны, по нашему мнению, быть предметами отдельных
дополнительных курсов.
Лагранжев и гамильтонов формализмы, нормальные колебания, адиабатические инварианты,
теорема Лиувилля, канонические преобразования – эти понятия являются той азбукой, без знания
которой невозможно глубокое изучение теории поля, статистической физики, квантовой
механики.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Курс «Аналитическая механика» читается в весеннем семестре 2 курса параллельно со второй
частью электродинамики и перед курсом квантовой механики. Необходимыми предпосылками
для успешного освоения курса являются следующее.
В цикле математических дисциплин: знание основ линейной алгебры и математического
анализа, умение решать простые дифференциальные уравнения, знакомство с уравнениями в
частных производных, умение применять эти знания при решении задач.
В цикле общефизических дисциплин необходимыми предпосылками являются знание и
умение применять основные принципы классической механики и электродинамики в рамках курса
общей физики. Предполагается, что студенты уже знакомы с такими понятиями, как сила и масса,
уравнения Ньютона, потенциальная энергия, колебания одномерных систем и простейшие
движения твердого тела, описание электромагнитного поля с помощью скалярного и векторного
потенциалов, уравнения Максвелла.
3
С другой стороны, такие разделы данного курса как лагранжев и гамильтонов
формализмы, нормальные колебания, адиабатические инварианты, теорема Лиувилля,
канонические преобразования являются той азбукой, без знания которой невозможно глубокое
изучение теории поля, статистической физики, квантовой механики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Введение в физику твердого тела»

общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;

профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основы лагранжева формализма (включая уравнения Лагранжа, обобщенные
координаты и импульсы, теорему Нётер, законы сохранения)
и гамильтонова
формализма (включая уравнения Гамильтона, скобки Пуассона, канонические
преобразования), методы теории линейных и простых нелинейных колебаний, способы
описания движения твердого тела и свободного движения симметрического волчка,
уравнения Гамильтона-Якоби.
 Уметь: рассчитывать движение в кулоновском поле и поле трехмерного изотропного
осциллятора, находить сечение рассеяния в простых центральных полях, включая
рассеяния в кулоновском поле (формула Резерфорда); находить нормальные колебания
многомерных линейных систем, находить вынужденные колебания для гармонической
силы; уметь использовать канонические преобразования для решения простых задач
нелинейных колебаний; находить адиабатические инварианты в простых одномерных
системах.
 Владеть: техникой расчета движений частицы в центральных полях; техникой решения
уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона для одномерных систем и для движения
частицы в полях, обладающих свойствами симметрии, техникой расчета простых систем
с помощью уравнений Гамильтона-Якоби.
4. Структура и содержание дисциплины курса «Аналитическая механика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
4
Неделя семестра
Семестр
№
п/п
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Раздел
дисциплины
Формы
текущего
контроля
успеваемос
ти
(по
неделям
семестра)
Форма
промежуто
чной
аттестации
(по
семестра
м)
Самостояте В начале
каждого
льная
очередного
работа
студентов (в занятия
проверка
т.ч. время,
предусмотре задач,
заданных
нное на
на дом.
сдачу
семестровы
х домашних
заданий),
2 часа
1
Одномерное
4движение
в й
потенциальном
поле.
Период
колебаний.
Движение
в
центральном поле.
Изотропный
осциллятор.
Задача
Кеплера.
Дополнительный
интеграл движения
в задаче Кеплера.
1-я
Лекц
ии, 2
часа
Практи
ческие
занятия
,
3 часа
2
Сечение рассеяния.
Формула
Резерфорда.
Рассеяние под
малыми углами.
Теорема о вириале.
Уравнения
Лагранжа
для
нерелятивистской
частицы
в
потенциальном
поле. Обобщенные
координаты
и
импульсы.
Функция Лагранжа
для
частицы
в
электромагнитном
поле,
для
релятивистской
частицы,
для
системы
с
идеальными
голономными
2-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
3-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
3
5
связями.
Принцип
Гамильтона
(принцип
наименьшего
действия).
Ковариантность
уравнений
Лагранжа.
Циклические
координаты.
Энергия
в
лагранжевом
подходе.
Преобразование
функции Лагранжа
при преобразовании
координат и
времени
Теорема
Нетер.
Законы сохранения.
Линейные
колебания.
Нормальные
координаты.
Ортогональность
нормальных
колебаний. Случай
вырождения частот.
4-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов.
2 часа
5-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
6
Вынужденные
колебания;
резонансы.
Колебания систем,
обладающих
свойствами
симметрии.
Колебания молекул.
Колебания
линейных цепочек.
Стоячие и бегущие
волны.
Акустические
и
оптические
колебания.
6-я и
7-я
4 часа
лекци
й
6 часа
семинар
ов
2 часа
7
Нелинейные
колебания.
Ангармонические
поправки. Понятие
о
нелинейных
8-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
4
5
6
Контрольна
я работа.
резонансах.
Параметрический
резонанс.
8
Уравнения
Гамильтона.
Скобки Пуассона.
Вариационный
принцип
для
уравнения
Гамильтона.
Функция
Гамильтона
для
частицы
в
электромагнитном
поле.
9-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
9
Канонические
преобразования.
Инвариантность
скобок
Пуассона
относительно
канонических
преобразований.
Необходимый
и
достаточный
признак
каноничности
преобразований.
Примеры
канонических
преобразований:
поворот на фазовой
плоскости;
переменные a и a*
для гармонического
осциллятора.
10-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
10
Действие
вдоль
истинной
траектории
как
функция начальных
и
конечных
координат
и
времени
Сохранение
фазового
объема
при канонических
преобразованиях.
Теорема Лиувилля.
11-я
2 часа
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
11
Уравнение
12-я
2 часа
3 часа
2 часа
7
Разбор
контрольно
й работы.
12
ГамильтонаЯкоби
Движение твердого
тела.
Момент
импульса твердого
тела. Кинетическая
энергия
твердого
тела.
Тензор
моментов инерции.
13-я
лекци
й
4 часа
лекци
й
семинар
ов
6 часа
семинар
ов
2 часа
13
Свободное
движение
симметрического
волчка.
Углы
Эйлера.
Уравнения Эйлера.
14-я
2
часов
лекци
й
3 часа
семинар
ов
2 часа
14
Адиабатические
инварианты.
15-я
2 часа
лекци
й
32
часа
3 часа
семинар
ов
48 часов
2 часа
Итог
о
Экзамен.
28 часа
Экзамен проводится только после полной сдачи задания.
Вопросы к экзамену по курсу Аналитическая механика
Движение в центральном поле.
Задача Кеплера. Дополнительный интеграл движения в задаче Кеплера.
Сечение рассеяния. Формула Резерфорда.
Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицы в потенциальном поле. Обобщенные
координаты и импульсы.
Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле, для релятивистской частицы.
Принцип Гамильтона (принцип наименьшего действия). Ковариантность уравнений Лагранжа.
Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе.
Теорема Нетер. Законы сохранения.
Теорема о вириале.
Линейные колебания. Нормальные координаты. Ортогональность нормальных колебаний. Случай
вырождения частот.
Вынужденные колебания; резонансы.
Колебания линейных цепочек. Стоячие и бегущие волны.
Нелинейные колебания. Ангармонические поправки. Понятие о нелинейных резонансах.
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Функция Гамильтона для частицы в электромагнитном
поле.
Канонические преобразования. Необходимый и достаточный признак каноничности
преобразований. Примеры канонических преобразований: поворот на фазовой плоскости;
переменные a и a* для гармонического осциллятора.
Действие вдоль истинной траектории как функция начальных и конечных координат и времени
Сохранение фазового объема при канонических преобразованиях. Теорема Лиувилля.
Уравнение Гамильтона-Якоби.
Кинетическая энергия твердого тела; тензор моментов инерции. Момент импульса твердого тела.
Свободное движение \шарового и симметрического волчка.
Адиабатические инварианты.
8
Примерный план семинарских занятий
(все ссылки даются из списка литературы, см. раздел 7 настоящей Программы)
Введение. Одномерное движение, центральное поле. (3,5 семинара)
9
Задачи: 1.1—1.3 из [3];
1.11а) из [4];
Вычислить Кеплеров эллипс и период движения на нем [1 § 12].
2.5, 2.8 из [4];
Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него, с относительной
скоростью v = 20 м/сек, в плоскости, перпендикулярной направлению движения, отделяется тело,
масса которого пренебрежимо мала. Найти ориентацию орбиты тела и ее параметры для трех
направлений отделения: вверх, вниз, перпендикулярно плоскости орбиты.
6.1—6.4 из [3];
Движение по гиперболе и формула Резерфорда из [1, § 19].
1. Уравнения Лагранжа, законы сохранения. (2,5 семинара)
2.1. Что такое qi и pi, зачем нужна L, циклические координаты.
Найти L, E, pi для системы.- см. 12.1 из [3]
.
2.2. Найти  /  и изобразить траекторию для системы – см. 12.2 из [3]
.
Ответ: при M = 3m частота   3 / 2
Задача 4 из [1, § 5].
4.13а из [4]
Задача 3з) из [1, § 9].
Теорема Нётер и интеграл движения в поле диполя – см. § 14.3;
4.15а,б из [4].
2. Линейные колебания. (3,5 семинара)
Задачи: 6.1,
m<<M;
6.2а,
Найти нормальные колебания грузиков на первом и втором кольцах и сравнить предельные
переходы M→m к третьему.
6.18, 6.31, 6.21, зад. 1 из [1, §24].
3. Линейные цепочки. Нелинейные колебания. Параметрический резонанс. (3 семинара)
Задачи: 7.2, 7.4а, §29.2 из [3], зад. 2 из [1, §27.
4. Уравнения Гамильтона, скобки Пуассона. (2 семинара)
Задачи: 10.3, 10.6а, 10.4, 10.7, гамильтониан в сферических координатах; §35.3 и задача 35.3 из [3],
10.14а, б, 10.17, 10.22.
5. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля (2 семинара)
Задачи: 11.4, 11.16а, б, 11.17, 11.25а, б, §38.1 из [3], 11.24а–д,
5. Образовательные технологии
10
Всюду, где это допускается уровнем знаний и подготовки студентов, материал
лекционного курса увязывается с современными исследованиями. Там, где есть возможность
достаточно просто провести аналогии или сопоставления с электродинамикой, квантовой
механикой, статистической механикой, это делается.
В теории линейных колебаний мы рассматриваем простые примеры цепочек частиц,
соединённых пружинками и обращаем внимание на то, что это -- простейшие модели,
используемые в теории твёрдого тела. Движение атомов в твёрдом теле описывается квантовой
механикой. Однако, возникающие при решении задач о классических цепочках понятия
оказываются весьма полезными и в квантовой теории. Электрические аналоги таких цепочек --искусственные линии,
состоящие из конденсаторов и индуктивностей --- находят применение в радиотехнике.
Довольно подробно в курсе рассмотрено как выглядит функция Лагранжа и функция
Гамильтона для движение заряженной частицы в электромагнитном поле, детально разобран
частный случай решения уравнений Гамильтона в задаче о движении заряженной частицы в
постоянном и однородном магнитном поле. Этот пример призван существенно облегчить
усвоения материала об уровнях Ландау в квантовой механике и о диамагнетизме электронного
газа в статистической физики.
Рассказывая о теореме Лиувилля, мы увязываем этот материал с вопросом о движении
пучка частиц в накопительных кольцах. При разборе адиабатических инвариантов
рассматриваются примеры, относящиеся к магнитным ловушкам.
Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме. Помимо семинаров,
существует система заданий: каждый студент должен самостоятельно решить примерно 15 задач.
Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием
заданий).
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Домашние задания по курсу «Аналитическая механика»
Задание № 1
11
(сдать до 15 марта)
1. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него с относительной
скоростью v = 20 м/сек, направленной вдоль направления движения корабля, отделяется тело,
масса которого пренебрежимо мала. Найти орбиту тела и её параметры.
2. Найти дифференциальное сечение рассеяния в поле U (r )  V 1  (r 2 / a 2 ) при r  a и U (r )  0
при r  a быстрых частиц ( E V ). Чему равно полное сечение рассеяния?
3. Частица движется в поле U(r)= α r7 по траектории, близкой к окружности (т.е. испытывая малые
колебания по радиусу). Найти отношение частоты малых радиальных колебаний к средней
.
угловой скорости  r /  и изобразить траекторию.
4. Исследовать качественно движение заряженной частицы в магнитном поле, заданном
векторным потенциалом (в цилиндрических координатах)
ar  r 2
, Ar  Az  0.
A  
a
Рассмотреть только случай pφ = 0.
Задание № 2 (сдать до 30 апреля)
5. Определить нормальные колебания системы четырех частиц, соединенных одинаковыми
пружинками и могущих двигаться только вдоль оси AB:
12
6. Найти движение системы трёх частиц на гладком кольце,
если в начальный момент частицы находятся в положении
равновесия, а их скорости равны: v1=
=-v2=v3 =v0.
7. Рассматриваются малые колебания
системы N маятников, связанных пружинками.
а) Для случая N=2 найти точную функцию Лагранжа для
обобщенных координат 1 ,  2 , где 1,2 - угол отклонения
первого (второго) маятника от вертикали в плоскости рисунка.
Провести разложение этой функции Лагранжа до второго
Все маятники и пружинки
порядка и найти нормальные колебания системы.
одинаковы; масса маятника
б) Найти нормальные колебания системы N маятников.
m, жесткость пружинки k,
ускорение силы тяжести
равно g.
8. а) Найти скобки Пуассона {p x 2, Mz }, {py2, Mz }, {pz2, Mz }.
б) Задан тензор вида Tik(r, p) = f1 xi pk+f2 pi xk+f3 xi xk + f4 pi pk, где все fi – функции от r, p,
инвариантные относительно поворота пространства. Выразить скобку Пуассона {T xy, M z } через
компоненты этого же тензора.
9. Показать, что преобразование
p , P  q 4
Q
4q 3
является каноническим и найти его производящую функцию в переменных q, Q.
10. Найти сечение падения в центр поля

ar 
U (r)  3  4 .
r
r
Задание № 3 (сдать до 30 мая)
11. Малые колебания связанных осцилляторов описываются гамильтонианом
1
2
2
H
p x2  m1 x   p 2y  m 2 y   mxy 2 .
2m
Выбрать параметры a, b и c в каноническом преобразовании с производящей функцией
x, y, Px , Py   xPx  yPy  axyPy  bPx Py2  cy 2 Px
так, чтобы в новых переменных система сводилась к двум независимым осцилляторам, если в
новом гамильтониане пренебречь слагаемыми четвертой степени по амплитудам колебаний.
Найти x(t) и y(t) с учётом ангармонических поправок.


12. Найти траекторию релятивистской частицы в кулоновском поле
U(r)= -α/r методом
Гамильтона-Якоби. Нарисовать приближенный вид траектории Меркурия в поле Солнца с учетом
релятивистских поправок.
13
13. Буква Т подвешена за ножку на нити длиною l в поле
тяжести. Она изготовлена из тонкого стержня, длины отрезков
совпадают и равны 2a. Найти частоты малых колебаний в
плоскости рисунка.
14. Сферический вращающийся спутник радиуса R состыковывается с
центром грани покоящегося кубического спутника, длина ребра
которого 2R. Однородная сфера (не шар!) имеет массу m. Куб тоже
однородный, но сплошной, и масса его также m. Вектор угловой
скорости ω сферы перед стыковкой направлен под углом α к оси,
соединяющей центры сферы и куба. На какой угол ψ повернётся
«лицо» получившейся «матрёшки» после того, как ось системы
сделает полный поворот и вернётся в исходное положение?
15. Математический маятник совершает малые колебания в поле тяжести с максимальным углом
отклонением, равным m 1 . Во сколько раз изменится величина максимального угла
отклонения при медленном увеличении длины маятника в два раза.
.
Контрольная работа по аналитической механике (вариант 1)
1. Частица движется в поле
по траектории, близкой к окружности радиуса r0 (то есть, испытывая малые колебания по
радиусу вблизи значения r0). Найти  r /  – отношение частоты малых радиальных
колебаний к средней угловой скорости.
2. Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре
которой расположен источник отталкивающего поля U (r )   / r 3 .
3. Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму эллипса с горизонтальной
полуосью a и вертикальной полуосью b. Ускорение силы тяжести g. Найти частоту малых
колебаний бусинки.
4. Три частицы, соединённых одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль
прямой AB (рис. 1). В начальный момент они находятся в положении равновесия, средняя
частица имеет скорость v0, а скорости остальных частиц равны нулю. Определить движение
каждой из частиц, то есть найти смещения из начальных положений xi (t ) , i=1,2,3.
5. Одна частица массы m движется по горизонтальной прямой между двумя пружинками
жесткости k. Другая частица массы m связана с первой стержнем длины l и может
14
колебаться в вертикальной плоскости, в которой расположены пружинки и вектор
ускорения силы тяжести g:
Найти:
1) функцию Лагранжа системы L( x,  , x, )
2) частоты малых собственных колебаний системы.
Контрольная работа по аналитической механике (вариант 2)
1. Частица движется в поле U (r )  kr 2 / 2 по траектории, близкой к окружности радиуса r0 (то
есть, испытывая малые колебания по радиусу вблизи значения r0)  r /  – отношение
частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости. Изобразить
качественно траекторию за один оборот, предполагая для определённости, что при
  0 радиус r=rmax.
2. Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре
которой расположен источник поля U (r )   / r 2 ,   0 .
3. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц на малые углы
   /( Ea)  1 в поле
4. Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму y  sh 2 ( x / b) и расположенной в
вертикальной плоскости в поле тяжести g=(0,-g). Найти функцию Лагранжа L( x, x ) и
частоту малых колебаний бусинки.
5. Три частицы, соединённых одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль
прямой AB. В начальный момент крайние частицы сдвинуты на расстояние a от положение
равновесия, а скорости всех частиц равны нулю. Определить движение каждой из частиц,
то есть найти смещения из равновесных положений xi (t ) , i=1,2,3.
Контрольная работа по аналитической механике (вариант 3)
 
1. Частица движется в поле U (r )    2 по траектории, близкой к окружности радиуса r0
r r
(то есть, испытывая малые колебания по радиусу вблизи значения r0). Найти  r /  –
отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости. Изобразить
качественно траекторию за один период радиальных колебаний, предполагая для
определённости, что при   0 радиус r = rmin и считая  /   1 .
2. Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре

которой расположен источник отталкивающего поля U ( r )  3 .
r
15
3. Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму y  th 2 ( x / b) и расположенной в
вертикальной плоскости в поле тяжести g=(0,-g). Найти функцию Лагранжа L( x, x ) и
частоту малых колебаний бусинки.
4. Три частицы, соединённые одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль
прямой AB (рис. 1). В начальный момент они находятся в положении равновесия, средняя
частица имеет скорость v0, а скорости остальных частиц равны 2v0 и -2 v0. Определить
движение каждой из частиц, то есть найти смещения из начальных положений xi (t ) ,
i=1,2,3.
5. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми
скоростями  , медленно сблизившись, жёстко состыковываются друг с другом.
Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической
энергии переходит в тепло. До состыковки угловая скорость одного шара была направлена
вдоль линии центров, а угловая скорость другого шара была направлена перпендикулярно
линии центров.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задачи к экзамену по аналитической механике
Найти закон движения частицы в поле U ( x)  ax 4 , если её энергия равна нулю. Тот же
вопрос для поля U ( x)  kx2 .
Частица падает в центр поля U (r )  r  n с конечного расстояния ( n  2 ). Будет ли число
оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей, конечным? Будет ли конечным
время падения? Найти уравнение траектории для малых r.
Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него с относительной
скоростью v=160 м/c, направленной к Земле, отделяется тело, масса которого мала по
сравнению с массой корабля. Найти ориентацию и параметры орбиты тела.
 
Найти сечение падения частиц в центр поля U (r )   2 . Как изменится ответ при
r r
изменении знака  ?
Определить дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц на абсолютно
упругом неподвижном шаре радиуса R.
Две частицы массы M и m связаны нитью длины l, причём частица массы M движется по
гладкой горизонтальной плоскости, а частица массы m колеблется по вертикали в поле
тяжести (см. рисунок ниже). Найти функцию Лагранжа системы. Рассмотреть случай, когда
частица массы M движется по траектории, близкой к окружности (т.е. испытывая малые
колебания по радиусу). Найти отношение  r /  частоты малых радиальных колебаний к
средней угловой скорости движения по окружности и изобразить траекторию при условии
M=3m.
16
7. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле B, если
векторный потенциал задан в виде Ax  Az  0 , Ay  xB .
8. Найти нормальные колебания трёх одинаковых частиц, связанных одинаковыми
пружинками и могущих двигаться по кольцу (см. рисунок ниже). Найти свободные
колебания этой системы, если в начальный момент смещения частиц вдоль
кольца x1 (0)   x2 (0)  a , x3 (0)  0 , а начальные скорости равны нулю.
9. Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулы CO2. Предполагается, что
потенциальная энергия молекулы зависит только от расстояний O–C и C–O и от угла OCO.
10. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой
11. Вычислить скобки Пуассона:
a)
b)
c)
Здесь Mi и xi – декартовы компоненты вектора момента импульса и смещения, а a и b –
постоянные векторы
12. Вычислить скобки Пуассона:
a)
b)
c)
Здесь pi и xi – декартовы компоненты вектора импульса и смещения, а a и b – постоянные
векторы.
13. Вычислить скобки Пуассона:
a)
b)
c)
Здесь Mi – декартовы компоненты вектора момента импульса, а a и b – постоянные
векторы.
14. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией
где   0 , представляет собой поворот в фазовом пространстве.
17
15. Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести. Длина маятника медленно
увеличивается в 2 раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника.
16. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с угловыми скоростями  и 2 ,
медленно сблизившись, жёстко состыковываются друг с другом. Определить движение
образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в
тепло. До состыковки угловая скорость первого шара была направлена вдоль линии
центров, а угловая скорость второго шара была направлена перпендикулярно линии
центров.
17. Частица свободно движется в плоскости между горизонталью y=0 и гиперболой xy  a 2 . В
начальный момент времени y=0, x  L  a , а угол скорости с горизонталью равен  ,

причем 0    . Найти глубину проникновения частицы по оси x. Соударения считать
2
упругими.
18. Три упругих шарика с массами m, M и m могут двигаться вдоль прямой AB, отражаясь от
стенок и друг от друга, причем M  m . В начальный момент шарик M расположен
посередине отрезка AB и скорость его много меньше скоростей v легких шариков. Найти
частоту малых колебаний шарика M. Расстояние AB=2L.
19. Молекула C2H2 находится в однородном переменном электрическом поле E0sin(γt). При
скольких значениях γ возможна резонансная раскачка колебаний молекулы? Учесть, что
электрическое поле действует на оба H с одинаковой силой и на оба C тоже с одинаковой
силой, но направления сил FH и FC противоположны.
20. Шарик подпрыгивает, упруго отражаясь от горизонтальной площадки. Как будет
изменяться его энергия при медленном изменении ускорения силы тяжести g ?
21. Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа равна ( v  c )
В функции Гамильтона учесть только первую релятивистскую поправку.
22. Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа равна
23. Показать, что преобразование
является каноническим и найти его производящую функцию в переменных p, Q.
24. Найти среднее значение кинетической энергии частицы в поле U (r )  r 4 , если ее
энергия E известна.
25. Найти сечение рассеяния в поле
быстрых частиц (при E  V ).
26. Доказать, что в кулоновом поле U (r )  
движения
18

r
существует дополнительный интеграл
27. Траектории движения в поле изотропного осциллятора U (r )  kr 2 являются замкнутыми

линиями. Траектория движения в том же поле с малой добавкой U ( r )  4 имеет
r
следующий вид:
Найти отношение  r /  частот радиальных колебаний к средней угловой скорости.
28. Найти интегралы движения для частицы, движущейся в поле бегущей волны:
где V – постоянный вектор.
29. Написать функцию Лагранжа электромеханической системы, изображенной ниже:
Система состоит из LC-контура и груза, подвешенного на пружинке соленоида, причем
индуктивность соленоида зависит от смещения груза: L=L(x) – заданная функция.
30. Найти свободные колебания системы, изображенной на рисунке ниже,
при которых частицы движутся только вдоль прямой AB. Рассмотреть случай m1  m2 ,
m1  m2 и m2  m1 .
31. Найти кратности нормальных колебаний молекул: CO2, C2H4, BCl3:
19
32. Определить нормальные колебания системы N одинаковых частиц массы m, связанных
одинаковыми пружинами жесткости k и могущих двигаться по прямой, при условии, что
один из концов свободен:
33. Найти свободные колебания N частиц, соединенных пружинами и могущих двигаться по
кольцу.
Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой
бегущую по кольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейной
плотности энергии на групповую скорость.
34. Найти область акустических частот нормальных колебаний цепочки чередующихся частиц
с массами m и M:
35. Вычислить эффективное поле для маятника, точка подвеса которого колеблется
вертикально с амплитудой a, и найти, при каком условии верхнее положение становится
устойчивым.
36. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа
которого имеет вид:
37. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона
которого
и | x | m 2 . Выполнить каноническое преобразование, близкое к тождественному, с
помощью производящей функции
Покажите, что можно использовать a=c=0 и подобрать параметры b и d так, чтобы новая
функция Гамильтона сводилась к функции Гамильтона гармонического осциллятора с
точностью до членов третьего порядка по новых переменным Q и P включительно. Найти
x(t ) .
38. Доказать теорему Нётер.
39. Определить сечение падения частиц, имеющих на бесконечности скорость V на
поверхность Земли (радиус Земли равен R, ускорение свободного падения на поверхности
Земли равно g).
40. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых в поле
20
и падающих в центр этого поля. Траекторию выразить через квадратуры, а при E 2  a –
и аналитически. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси z.
41. Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести. Длина маятника медленно
увеличивается в два раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника.
42. В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m и M:
Найти компоненты тензора моментов инерции относительно a) осей xyz б) осей x’y’,
совпадающих с диагоналями квадрат, и z.
43. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции системы, в которой частицы m и
2m расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2a, 4a:
44. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия
приливных сил) с месяцем (т.е. период обращения Земли вокруг оси станет равным
периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для просты, что ось вращения Земли
перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю
однородным шаром радиуса a=6,4 тыс.км и массой M, в 81 раз большей массы Луны m.
Расстояние от Земли до Луны R=380 тыс. км.
45. Найти угловые скорости прецессии и нутации быстрого волчка в поле тяжести:
21
46. Волчок с неподвижной точкой опоры O, вращавшийся с угловой скоростью  вокруг
своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем
диска:
Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывания диска прекратятся. В момент
касания нутации не было.
47. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся с постоянной угловой скоростью 
диск, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Исследовать движение гирокомпаса на широте  . Угловая скорость вращения Земли  .
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика. М.: Наука, 1988.
2. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975.
3. Коткин Г.Л., Сербо В.Г., Черных А.И. Лекции по аналитической механике. РИЦ НГУ, 2007;
Москва-Ижевск РХД, 2010.
4. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Cборник задач по классической механике. М.: Наука, 1977, МоскваИжевск: РХД, 2001, 2010.
б) дополнительная литература:
5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Современный курс аналитической механики Кембриджского университета --- D. Tong
"`Classical Dynamics"' (доступна по адресу в Интернете
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/).
2. Интерактивные физические симуляции:
http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/chemistry
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Требуется возможность демонстрировать графики и рисунки, взятые из переносного компьютера,
на экран с помощью мультимедийного проектора.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
22