УДК 517.956.47:519.642.5 О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ИСТОЧНИКА

УДК 517.956.47:519.642.5
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ИСТОЧНИКА
ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
А. А. Чубатов 1 , В. Н. Кармазин 2
1
Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Армавирский государственний
педагогический университет» (АГПУ),
2
Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Кубанский государственный
университет» (КубГУ),
1
chaa@inbox.ru,
2
karmazin@kubsu.ru
Рассмотрены несколько постановок задачи идентификации
интенсивности источника. Описано понятие коэффициентов чувствительности и его использование для постановки и решения задачи
идентификации. Рассматривается модель в которой интенсивность
действия источника загрязнения атмосферы оценивается на основе
измерений концентрации примеси в нескольких стационарных контрольных пунктах.
Ключевые слова: источник загрязнения атмосферы, уравнение турбулентной диффузии, задача идентификации источника.
Введение
Наиболее универсальными моделями для получения количественных и качественных картин распределения загрязнений в атмосфере являются полуэмпирические модели [1]. Отсутствие исходных
данных о мощностях источников выбросов, искажение граничных и
начальных условий, неадекватный учет метеорологических характеристик атмосферы приводят к существенным расхождениям между
расчетными и экспериментальными данными.
Совместное решение прямых и обратных задач распространения примесей в атмосфере на основе данных о замерах концентрации примеси в стационарных или мобильных пунктах контроля позволяет рассчитывать на существенное повышение точности модельных расчетов на математических моделях приемлемой сложности.
Кроме того, оценка (идентификация) интенсивности источника
по нелокальным (пространственно отдаленным) замерам концентрации является актуальной и важной задачей в экологическом мониторинге.
1. Постановка задачи
1.1. Математическая модель
Для описания распространения загрязняющей примеси в атмосфере рассмотрим в области D  [0; H ] линейное полуэмпирическое
уравнение турбулентной диффузии [1]:
q 


 v x  q   v y  q   v z  q  
t x
y
z
 
q   
q   
q 
  K x     K y     K z    F ( M , t ),
x 
x  y 
y  z 
z 
(1)
при начальном условии
q t 0  q0
(2)
и граничных условиях
q D[ 0; H ]  0 ,
q
z
z 0
 0 , q zH  0 ,
(3)
где q ( M , t ) – концентрация загрязняющей примеси, M  ( x, y, z ) –
точка трехмерного пространства, V  (v x , v y , v z ) – вектор скорости
ветра, K  ( K x , K y , K z ) – вектор коэффициентов турбулентной
диффузии, F ( M , t ) – функция источника, D  [0; H ] – боковая поверхность области D  [0; H ] , H – высота приземного слоя.
Предположим, что имеется один источник выбросов и функция источника представима в мультипликативном виде
F ( M , t )  f ( M )  g (t ) ,
(4)
где f ( M ) – функция, определяющая пространственное расположение источника выбросов (для простейшего случая, в зоне действия
источника функция равна 1, вне источника – 0), g (t ) – интенсивность действия источника.
2
Функция источника в таком виде описывает ситуацию, когда
конфигурация (расположение) источника f ( M ) не меняется со
временем, а меняется лишь его интенсивность g (t ) .
Рассмотрим прямую задачу (ПЗ) по отношению к которой будет формулироваться задача идентификации (обратная задача).
Постановка (прямой) задачи: при известных значениях K , V ,
f ( M ) , g (t ) определить q ( M , t ) .
1-я постановка задачи идентификации интенсивности источника (ЗИИИ1): по известным начальному и граничным условиям,
значениям K , V , f ( M ) , q ( M , t ) определить g (t ) .
1.2. Замеры концентрации
При решении реальной прикладной задачи, когда поле концентрации q ( M , t ) не рассчитывается, а измеряется, что приводит к
уменьшению информации о поле концентрации:
 измерения концентрации не проводятся во всей области;
 концентрация не может измеряться непрерывно по времени;
 существуют погрешности измерений.
Предположение 1.
Будем
считать,
что
в
точках
M j  ( x j , y j , z j ) , j  1,2, , J установлены датчики, которые измеряют
концентрацию
q ( M j , ti )
в
моменты
времени
ti ,
i  1,2, , N .
Предположение 2. Предположим, что погрешности измерений
аддитивны, не коррелированны и имеют нормальное распределение
(5)
c ji  q(M j , t i )  cj   ,
где
 cj
– абсолютная среднеквадратичная погрешность измерений
j -го датчика,  – нормальная случайная величина (с единичной
дисперсией и нулевым математическим ожиданием).
Замечание 1. Погрешности замеров концентрации имеют не
постоянную по пространству (точкам замеров) дисперсию.
Измерительные приборы измеряют концентрацию с некоторой
фиксированной абсолютной погрешностью, зависящей от настроек
прибора, например от максимального значения на измерительной
3
шкале. В инструкции приборов указывается приведенная погрешность в процентах от некоторого номинального значения на шкале.
Кроме того, для задания различных уровней погрешностей в
вычислительных экспериментах также удобнее использовать приведенную среднеквадратичную погрешность  cj
 cj 
cj
c nom
j
,
где cnom
– номинальное (нормирующее) значение концентрации для
j
j -го датчика.
Тогда формула (5) примет вид
c ji  q(M j , t i )   cj  c nom
 .
j
(6)
1.3. Уточнение постановки задачи идентификации
Предположение 3. Будем считать, что f ( M j )  0 , т.е. замеры
производятся вне зоны действия источника. Обратная задача в этом
случае является некорректной – наблюдается неустойчивость решения (нет непрерывной зависимости решения от замеров концентрации).
Замечание 2. В случае если f ( M j )  0 (замеры в зоне действия источника) устойчивость решения задачи улучшается.
Учитывая дискретность по времени и пространству поля концентрации, получим уточненную постановку задачи идентификации.
2-я постановка задачи идентификации интенсивности источника (ЗИИИ2): по известным начальному и граничным условиям,
значениям K , V , f ( M ) , c ji ,  cj , cnom
определить (оценить) g (t ) .
j
2. Дискретизация прямой задачи
В линейном случае дифференциальное уравнение в частных
производных может быть заменено эквивалентным интегральным
уравнением. Преимущество представления в интегральной форме
состоит в том, что зависимость решения от пространственных переменных учитывается точно и необходима только аппроксимация по
времени. Существует несколько весьма схожих подходов приводящих к интегралам типа свертки. Рассмотрим применение теоремы
Дюамеля, которая является следствием принципа суперпозиции.
4
2.1. Теорема Дюамеля
Линейность задачи (1)-(3) и условие (4) позволяют использовать теорему Дюамеля:
t
q( M , t )  q0   g ( )
0
Q( M , t   )
d ,
t
где Q ( M , t ) – решение прямой задачи (1)-(3) при g (t )  1 и однородных начальном и граничных условиях, q0 – начальное условие
(фоновое значение концентрации).
Предположение 4. Будем считать, что Q ( M , t ) нам известна.
Замечание 3. Значения функции Q ( M , t ) необходимо знать
только в точках замеров M j . Функцию Q ( M , t ) можно получить
числено и экспериментально. Для численного расчета необходимо
решить задачу (1)-(3) при g (t )  1 и однородном начальном условии.
В случае натурных замеров: измеряется концентрация примеси при
постоянной единичной интенсивности источника.
2.2. Численный аналог теоремы Дюамеля
Т.к. при численном решении задачи (1)-(3) и натурных замерах
функция Q ( M , t ) задается таблично, а операция численного дифференцирования является неустойчивой, то преобразуем формулу, избавившись от необходимости вычислять производную.
Учитывая, что информация о поле концентрации q ( M j , t i )
известна только в точках замеров в моменты времени t i , получим
систему интегральных уравнений, состоящую из J  N уравнений
ti
q( M j , ti )  q0   g ( )
Q(M j , ti   )
d , i  1, , N , j  1, , J .

t
0
Q( M , t   )
Q( M , t   )

Учитывая, что
, вычислим инt

теграл численно по формуле прямоугольников с центральной точкой
с узлами разбиения совпадающими с моментами замеров концентрации (  n  tn , n  1, 2, , i ), воспользовавшись центральной разностью по производной
5
ti
q( M j , t i )  q0   g ( )
Q( M j , t i 1 / 2   )

0
d 
  g ( n 1/ 2 )   Q( M j , ti   n 1 )  Q( M j , ti   n )  .
i
n 1
Предположение 5. Учитывая, что измерительная аппаратура
чаще всего настраивается так, чтобы замеры производились в равноотстоящие моменты времени, будем считать, что tn  tn1  t .
Тогда tn  n  t ,  n  n  t и формула для расчетной концентрации в точке M j в момент времени ti примет вид
q( M j , t i )  q 0   g (t n 1 / 2 )  Q( M j , t i  n 1 )  Q( M j , t i  n )  .
i
n 1
Введем
q ( M j , ti )  q ji ,
обозначения
g (tn 1/ 2 )  g n ,
Q ( M j , ti )   ji ,  j (i  n 1)   j (i  n )   j (i n ) , тогда
i
q ji  q 0   g n   j ( i  n ) , i  1,2, , N , j  1,2, , J .
(7)
n 1
Формула (7) представляет собой цифровой фильтр по Хэммингу [2], т.е. описывает линейную зависимость концентраций q ji от
gi , где  j (i  n ) –коэффициенты фильтра. Отметим, что фильтр (7)
является каузуальным (физически определенным), т.к. концентрация
в данный момент времени ti зависит от значений интенсивности в
предыдущие и данный моменты, и не зависит от интенсивности в
последующие моменты времени t  ti .
Наглядную физическую интерпретацию формулы (7) раскрывает понятие коэффициента чувствительности [3].
2.3. Коэффициенты чувствительности
Величина  ji называется ступенчатым коэффициентом чувствительности (СКЧ), который представляет собой концентрацию
примеси в точке расположения j -го датчика в момент времени ti ,
6
при условии g (t )  1 , т.е. отклик на единичное ступенчатое возмущение интенсивности источника, произошедшее в момент t0  0 .
Тогда величину  j ( i  n ) можно трактовать как концентрацию
примеси в точке расположения j -го датчика в момент времени ti ,
при условии, что единичное ступенчатое возмущение интенсивности
действия источника произошло в момент времени t n .
Величина  j (i  n )   j (i ( n 1))   j (i n ) называется импульсным
коэффициентом чувствительности (ИКЧ) и представляет собой
приращение концентрации в точке расположения j -го датчика в
момент ti , при единичном импульсе (импульсном возмущении) интенсивности источника в течение промежутка времени [tn 1 ; tn ] .
Замечание 4. Коэффициенты чувствительности содержат почти всю информацию о прямой задаче: однородные граничные условия, коэффициенты турбулентной диффузии, распределение скоростей ветра, геометрию области и расположение источника, кроме искомой интенсивности источника.
Замечание 5. ИКЧ наглядно показывают явления запаздывания
и демпфирования. График ИКЧ имеет особую форму и один максимум. ИКЧ сначала монотонно возрастают, а потом монотонно убывают (см. Рис. 1). Для малых шагов t убывание может начаться не
скоро. Для больших шагов t промежуток возрастания может попасть в 1-й шаг и тогда график получается монотонно убывающим.
Рис. 1. Импульсные коэффициенты чувствительности
7
Замечание 6. ИКЧ позволяют упорядочить датчики в порядке
чувствительности (репрезентативности замеров). Если 10  20 ,
то при данном шаге t 1-й датчик чувствительнее (быстрее и сильнее) реагирует на возмущения интенсивности, чем 2-й датчик.
Учитывая замечание 4, информацию о прямой задаче можно
задать с помощью коэффициентов чувствительности.
3-я (уточненная) постановка задачи идентификации интенсивности источника (ЗИИИ3): по известным начальному условию,
значениям  jn , c jn ,  cj , cnom
определить (оценить) значения g n .
j
ЛИТЕРАТУРА
1.
Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М., 1982.
2.
Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М., 1980.
3.
Beck J. V., Arnold K. J. Parameter estimation in engineering and science.
New York, 1977.
ABOUT MATHEMATICAL MODEL OF INTENSITY
IDENTIFICATION PROBLEM OF ATMOSPHERIC POLLUTION
SOURCE
A. A. Chubatov 1 , V. N. Karmazin 2
1
Armavir State Pedagogical University, chaa@inbox.ru
2
Kuban State University, karmazin@kubsu.ru
Some problem statements of intensity identification of a source are
considered. The concept of sensitivity coefficients and its use for statement and the solution of identification problem are described. The model
allows to estimate action intensity of atmospheric pollution source on the
base of impurity concentration measurements in several stationary control
points is offered in the work.
Key words: atmospheric pollution source, turbulent diffusion equation,
inverse problem, identification problem of source.
8