Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Лабораторная работа №35 Изучение прозрачной дифракционной решетки Выполнил: студент группы ИТ-72 Уксусов Кирилл Проверил: Ефимова Анна Алексеевна Цель работы Ознакомление с прозрачной дифракционной решеткой, определение длин волн в спектре источника света, определение характеристик решетки: периода, дисперсии. Приборы и принадлежности Спектроскоп, прозрачная дифракционная решетка, источник света. Краткая теория Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики. Огибание препятствий звуковыми волнами ( 10см ), т.е. дифракция звуковых волн, постоянно наблюдается в обыденной жизни. Для наблюдения дифракции света надо создать условия, при которых размеры препятствий сопоставимы с длиной световой волны ( 5 105 см ). Плоская прозрачная дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластину с большим количеством (до 1000 на 1мм) тонких параллельных щелей одинаковой ширины b и равными расстояниями d между их серединами (или соответственными точками). Щели решетки образуют правильную структуру. Так как такая структура имеет различный коэффициент пропускания света через щели и промежутки между ними, то решетка такого типа называется прозрачной амплитудной решеткой. Расстоянием d называется периодом или постоянной решетки. На рис. 1, 2 представлен ход лучей через решетку согласно схеме дифракции Фраунгофера. Монохроматический свет от источника 1 освещает щель 2, находящуюся в фокальной плоскости объектива коллиматора 3. Каждая точка щели 2, является вторичным источником, дает после объектива 3 пучок параллельных лучей. Результирующий пучок лучей доедет до дифракционной решетки 4 практически параллельным (плоским) пучком лучей. Эти лучи дифрагируют при прохождении через решетку, образуя вторичные когерентные расходящиеся пучки под углами дифракции 1 , 2 ,..., k . Пучки, прошедшие объектив 5 зрительной трубы, дают в его фокальной плоскости 6 дифракционную картинку, являющуюся изображением щели 2, как результат интерференции дошедших до плоскости 6 когерентных когерентных колебаний. В отсутствии решетки фокальной плоскости 6 будет наблюдаться обычное изображение щели 2. Объяснить явление дифракции можно с помощью принципа Гюйгенса-Френеля: каждый элемент волновой поверхности S (рис.3) служит источником вторичной волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS . Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r по закону 1/r. Значит, от каждого участка dS волновой поверхности в точку P приходит колебание с a dS амплитудой dE K 0 cos(t kr a0 ) (1). r В этом выражении (t a0 ) - фаза колебаний в месте расположения волновой поверхности S , k - волновое число, r - расстояние от элемента поверхности dS до точки Р. Множитель a0 определяется амплитудой светового колебания на dS. Коэффициент K зависит от угла между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке Р. При = 0 этот коэффициент максимален, при / 2 он обращается в нуль. Если часть поверхности S занята непрозрачными экранами, то соответствующие (закрытые экранами) вторичные источники не излучают, а остальные излучают так же, как в отсутствии экранов. В точке Р (рис. 1.) суммируется N когерентных колебаний (N -число щелей решетки) с одинаковой амплитудой A , сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину . Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз , которая связана с разностью 2 хода соотношением: (2). Из рис. 2. видно, что разность хода лучей, посылаемых соответственными точками (расстояние между которыми равно периоду решетки d) двух соседних щелей: d sin (3). Таким образом, если в точку P соответственные лучи от всех щелей придут в одинаковой фазе ( 2m , где m = 0,1,2,...), или, что то же самое, разность хода лучами равна целому числу длин волн, то в точке P будет наблюдаться максимум интенсивности. То есть условие d sin k m (m = 0,1,2,...) (4) определяет направление (положение) главных максимумов интенсивности. Число m определяет порядок главных максимумов. Пользуясь методом векторных диаграмм (рис. 4.), находим, что амплитуда главных максимумов определяется формулой: Amax NA (5), где A - амплитуда колебаний, посылаемых одной щелью в направлении . Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то в случае дифракции от N щелей, интенсивность пропорциональна квадрату N: I N 2 I . Направления , в которых реализуются минимумы с нулевой интенсивностью для дифракционной решетки, при наблюдении дифракции в параллельных лучах, очевидно, должны совпадать с направлениями минимумов для одной цели. Минимумы для щели шириной b реализуется тогда, когда в щели для данного направления укладывается четное число зон Френеля, или, когда разность хода между двумя крайними лучами одной щели равна четному числу длин полуволн (рис. 5). Условие b sin m m , (m = 0,1,2,...) (6) определяет направление главных минимумов для щели. Распределение интенсивности света, даваемого одной щелью, показано на рис. 6. Кроме главных минимумов определяемых условием (6), между двумя соседними главными максимумами имеется по (N-1)-му добавочному минимуму. Эти минимумы появляются в результате интерференции волн, приходящих от всех N щелей. Найти направление добавочных минимумов можно методом векторного суммирования амплитуд. Вектор амплитуды результирующего колебания (рис. 7). N A Ai i 1 Все Ai равны между собой, примем, что каждый следующий вектор повернут относительно предыдущего на один и тот же угол , равный разности фаз колебаний, пришедших от соответственных точек соседних щелей. При векторном суммировании результирующий вектор это вектор, соединяющий начало первого A1 и конец последнего AN вектора. Значит, для того, чтобы суммарная интенсивность в направлении оказалась равной нулю, надо, чтобы совпали начало первого и конец последнего вектора, то есть N 2q , (q - целое число). Используя (2), (4), (7) получим условие добавочных или дополнительных минимумов: Nd sin q (8) (й=1,2,3,…,N-1,N+1,…). Из (8) следует, что добавочные минимумы появляются в тех направлениях , для которых разность хода между соответственными лучами первой и последней щели равна целому числу длин волн. При этом целое чисто q не может быть кратным N, так как при q=0,N,2N,... условие (8) переходит в условие (4) для главных максимумов. Заметим, что при постоянной d , увеличение числа щелей приводит не только к росту интенсивности, но и к резкому сужению главных максимумов. Результирующее распределение интенсивности света при дифракции на решетке представлено на рис. 8. Пунктирная кривая дает интенсивность от одной щели, умноженную на N 2 . Сплошная кривая соответствует главным максимумам, а также добавочным максимумам и минимумам. Решетку можно использовать для разложения света в спектр, который называется дифракционным спектром. Если источник излучения немонохроматический свет, то решетка разлагает его в спектр. При =0 возникает максимум нулевого порядка, совпадающий для всех длин волн. По обе стороны от него возникнут спектрымаксимумы порядков m . В спектре каждого порядка максимумы для более коротких волн расположатся ближе к нулевому максимуму. Максимумы для более длинных волн - дальше от него. В дисперсионном спектре (получаемом при помощи призмы) присутствует один порядок спектра, фиолетовые лучи отклоняются больше, чем красные. Способность дифракционной решетки разлагать свет в спектр позволяет использовать ее как диспергирующее устройство в спектральных приборах. Основными характеристиками дифракционной решетки являются угловая дисперсия и разрешающая сила. Угловая дисперсия, характеризующая угловое расстояние между близкими спектральными m ... (9), где - угловое расстояние между двумя линиями, выражается в виде d cos k спектральными линиями, отличающимися по длине волны на , m - порядок спектра, k соответствующий угол дифракции. Формула (9) может быть получена дифференцированием выражения (4). Из полученного выражения (9) следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки d. Чем выше порядок спектра m , тем больше дисперсия. Для небольших углов отклонения, угловая дисперсия решетки постоянна: пропорционально . Поэтому дифракционные спектры иногда называют “нормальными” в отличие от спектров, получаемых с помощью стеклянных призм, у которых угловая дисперсия в красной части спектра меньше, чем в фиолетовой. l Линейной дисперсией называют величину D , где l линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Таким образом, дисперсия характеризуется протяженностью спектра или способности решетки пространственно разделять световые пучки различных длин волн. Разрешающую способность R решетки можно рассчитать, пользуясь условием Рэлея, по которому две монохроматические спектральные линии еще разрешаются (видны раздельно), в том случае, когда главный максимум одной линии 1 попадает на место дополнительного максимума второй линии 2 , ближайшей к ее главному максимуму (рис. 9). Разрешающей силой или способностью спектрального прибора называют безразмерную величину R ... (10) Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины m-го максимума для длины волны 2 определяется условием: d sin 2 m2 m( ) . Края m-го максимума для длинны волны 1 расположены под углами, удовлетворяющими соотношению: d sin 1 m 1 . N Середина максимума для длинны волны 2 наложится на край максимума для длинны волны 1 в том случае, если 1 2 , то есть m m 1 откуда m . N N Решая это соотношение относительно , находим R mN... (11). Итак, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра k и числу щелей N. Если больше, чем произведение kN, то максимумы длин волн 1 и 2 не будут разрешаться. Очевидно, если два максимума не разрешаются в спектре m-го порядка, то они могут быть разрешены в спектре более высоких порядков, ибо для соблюдения условия разрешимости малым разностям ( 1 - 2 ) должны соответствовать (при N=const) больше m. Дифракционная решетка с большим числом щелей N разрешает данные близкие волны 1 и 2 в спектрах малых порядков. 1. d sin k m № пп 1 2 3 4 5 6 7 Цвет Красный Оранжевый Желтый Зеленый Голубой Синий Фиолетовый φ К=+2 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 К=-2 7 6,5 6 5 4,5 4 3,5 <φ> λ, 7,25 6,75 6,25 5,5 5 4,5 4 6,7 6,3 5,8 5,1 4,6 4,1 3,7 м м м м м м м м β, 2,016 2,014 2,012 2,010 2,008 2,006 2,004 2,018 2,016 2,014 2,012 2,01 2,008 2,006 2,004 2,002 2 3,7 4,1 4,6 5,1 5,8 6,3 6,7