Предельные теоремы

Предельные теорему теории вероятности. Практика.
Опорный конспект.
Названием "закон больших чисел" объединена группа теорем, устанавливающих
устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и
объясняющих причину этой устойчивости.
Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечное математическое
ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого   0 выполнено:
P( | X – M(X)| >ε )  D(X) / ε2
(1)
Отметим, что неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:
P( | X – M(X)|  ε )  1  D(X) / ε2 (2)
Неравенство Чебышева справедливо для любых случайных величин. В частности, для
случайных величин, имеющих биномиальное распределение с математическим
ожиданием M(X)=a=np и дисперсией D(X)=npq оно принимает вид:
npq
Ð( m  np   )  1  2
(3)

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа испытаний n , в каждом из
m
которых событие А появляется с вероятностью р частота
события А сходится по
n
m

вероятности к вероятности р этого события. lim P   p     1,
n 
n

При доказательстве теоремы Бернулли получается оценка
pq
Ð( m  p   )  1  2 (4)
n
n
которая применяется на практике.
Неравенство Маркова. Для любой неотрицательной случайной величины Х, имеющей
математическое ожидание М(Х) и   0 справедливо неравенство:
M (X )
Ð( Õ   ) 
(5)

Теорема Чебышева (закон больших чисел): Если случайные величины Х1, Х2, …,Хn, …
независимы и существует такое число С>0: D(Xi)  Ñ при i=1,… То для любого   0
1 n

1 n
lim P  X i   M ( X i )     1, (6)
n 
n i 1
 n i 1

Оценка, полученная при доказательстве закона больших чисел
1 n

1 n
C
P  X i   M ( X i )     1  2 , (7)
n i 1
n
 n i 1

Центральная предельная теорема Если случайная величина Х представляет собой
сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к
нормальному.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа (удобно применять при npq  20 ).
 k  np 


  Ô  k1  np 
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то Ðn (k1 ; k 2 )  Ô  2

 npq 
 npq 


õ
t2

1
 2 dt - функция Лапласа. Таблица значений функции (x) приведена
где Ô ( õ) 

2 0
в приложении. Функция (x) является нечетной, т.е  (  x ) =- (x) .Если х>4, то
(x)  1 в силу монотонного возрастания функции (x) .
Решение задач.
1. Шестигранная кость бросается 10000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты
появления 6 очков от вероятности появления 6 очков меньше, чем на 0,01
2. Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,25. Оценить вероятность того,
что среди 1000 изделий число нестандартных отличается от 250 меньше, чем на 40.
3.Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,25. Оценить вероятность того, что
среди 1000 изделий число нестандартных отличается от 250 меньше, чем на 40.
4.По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании
одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее
квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность
того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
5.В кассе ИЖГТУ имеется сумма d = 35000 (руб.). В очереди стоит n = 20 лиц. Сумма X,
которую надо выплатить отдельному лицу – случайная величина с математическим
ожиданием m = 1500 (руб.) и средним квадратическим отклонением x 600 σ = (руб.).
Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в
очереди.
6.Полагая, что рост призывника есть нормально распределенная случайная величина Х с
параметрами à  173 и  2  36 , найти доли костюмов 4 роста (176-182 см) и третьего
роста (170-176 см). Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х.
7. В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули с возвращением 300 шаров. Оценить
сверху вероятность того, что число извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет
двойному неравенству 80<m<120.
8. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом ИВТ факультета равна 0,7. С
помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все
экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
9. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится
примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева
необходимое количество договоров, чтобы с вероятностью 0,5 можно было утверждать,
что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0.01 по абсолютной
величине. Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы МуавраЛапласа.
10. Известно, что перед 8 марта некоторым женщинам в качестве подарка дарят цветы.
Количество цветов, подаренных каждой из женщин имеет дисперсию, которая не
превышает 4. Определить число таких счастливых женщин, при котором вероятность
отклонения средней арифметической их математического ожидания не более чем на 0,25
превысит 0,99.
Домашняя работа:
1. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность
того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более
150 клиентов.
2. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70%
числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы
с вероятностью не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение
числа вылупившихся цыплят от математического ожидания
не превышало 50 по абсолютной величине? Решить задачу с
помощью
А) неравенства Чебышева; б) Интегральной теоремы МуавраЛапласа.
3.Диаметр изготавливаемых болтов представляет собой случайную величину, среднее
значение которой(математическое ожидание) равно 20 мм. Среднее квадратическое
отклонение, характеризующее погрешность изготовления болтов, равно 0,09мм. оценить
вероятность того, что 1) Отклонение диаметра изготовленного болта от его среднего
значения не превзойдет 2,3 мм.2) диаметр болта находится в интервале между 18,5 и 21,5
мм.
4. 60 профессоров стоят в очереди на получение денег в кассу. Размер выплаты каждому
из них случаен. Средняя выплата 5000 рублей, среднее квадратическое отклонение
выплаты   2000 руб. Выплаты отдельным получателям независимы. 1)Сколько должно
быть денег в кассе, чтобы их с вероятностью 0,95 хватило на выплаты всем получателям?
2) Каков будет гарантированный с той де вероятностью 0,95 остаток денег в кассе после
выплаты всем 60 профессорам, если в начале выплаты в кассе было 3 500 000 руб.
5. Лейтенант милиции опрашивает свидетелей по одному очень сложному и запутанному
делу. Сколько следует ему опросить свидетелей, чтобы с вероятностью не меньшей 0,96,
можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частоты свидетелей, которые
говорят правду от вероятности того, что свидетель не лжет, равной 0,98, не превышает
0,2?
Решения
1. . Шестигранная кость бросается 10000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты
появления 6 очков от вероятности появления 6 очков меньше, чем на 0,01
1
5
m
Решение: ð  ; q  ; n=1000. Частота появления 6 очков равна
.
6
6
1000
1 5

1
31
pq
6
6
m
m

Воспользуемся Ð( n  p   )  1  2 ; Ð( 1000   0,01)  1 
.
2
6
36
n
1000  0,01
2.Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,25. Оценить вероятность того, что
среди 1000 изделий число нестандартных отличается от 250 меньше, чем на 40.
Решение: Число нестандартных изделий Х-случайная величина, которая распределена по
биномиальному закону. D(X)=npq=0,25  0,75  1000 =187,5;   40.
Воспользуемся P( | X – M(X)|  ε )  1  D(X) / ε2 ;
P( | X – 250)|  40 )  1  187,5 / 402  0,883 .
3. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа
каждого элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить
вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших
элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется:
а) меньшее двух; б) не меньше двух.
Решение: 1)пусть Х – случайная величина, которая показывает число отказавших за
время Т элементов. Тогда М(Х)=np= 10  0,05 =0,5. D(X)=npq= 10  0,05  0,95  0,475 .
Неравенство Чебышева P( | X – M(X)| <ε )  1- D(X) / ε2 . P( | X – 0,5)| >2)  1-0,475 /
4=0,88.
2) так как события Õ  0,5  2 и Õ  0,5  2 противоположны, то P( | X – 0,5)| <2)  10,88=0,12.
4. По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании
одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее
квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность
того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в
100
отдельных сериях: X=X1 +X2+…+Xn=
Õ
i 1
i
, где Хi- число попаданий в i-й серии.
Будем считать число n = 100 достаточным для того, чтобы можно было применить
предельную теорему. Имеем:
100
100
M(X)=
 M (X
i 1
i
)   2 = 200; D(X)=
i 1
100
 D( X
i 1
100
i
)   1,5 2 = =225.
i 1
Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения.
 220  200 
 180  200 
Р(180<X<220)= Ô 
  Ô 
  2Ô (1,33)  2  0,4082  0,82 .
225 
225 


5.В кассе ИЖГТУ имеется сумма d = 35000 (руб.). В очереди стоит n = 20 лиц. Сумма X,
которую надо выплатить отдельному лицу – случайная величина с математическим
ожиданием m = 1500 (руб.) и средним квадратическим отклонением x 600 σ = (руб.).
Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в
очереди.
Решение. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных
слагаемых при большом n (n = 20 практически можно считать «большим»), случайная
величина Y=
20
Õ
i 1
i
, где Хi- сумма, которую надо выплатить i − ому лицу, имеет
приближенно нормальное распределение с параметрами М(Y)= 20  Ì ( Õ )  30000 ; D(Y)=
20

i 1
2
( X i )  20  3600 =72000. σ = 20  3600 ≈ 268.
 35000  30000 
Если суммы Y не хватит, то, Y > 3500. Р(Y>35000)= Ô    Ô 
  0,032 .
268


Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем,
стоящим в очереди.
6. Полагая, что рост призывника есть нормально распределенная случайная величина Х с
параметрами à  173 и  2  36 , найти доли костюмов 4 роста (176-182 см) и третьего
роста (170-176 см).
Решение: Доля костюмов 4 роста в общем объеме производства будет определяться по
формуле
1
1
1
Р(176  Õ  182)= Ô ( õ2 )  Ô ( õ1 )   Ô (1,50)  Ô (0,50  0,8664  0,3829  0,2418 .
2
2
2
176  173
182  173
 0,50 ; х2=
 1,50 ; Доля костюмов 3 роста в общем объеме
х1=
6
6
производства будет определяться по формуле Р(170  Õ  176)=Р(|X-173|  3 )=
3
= Ô    0,3839 . Практически достоверно, что рост призывников заключен в границах от
6
а-3   173  3  6  155 до а+3   173  3  6  191 см.
1
m 1 1
1
m 1
1

  ;
  . Следовательно   .
15 300 3 15 300 3 15
15
1 2

 m 1
1
5
3
3
    1 
 .
Используем теорему Бернулли, получим Р 
2
6
 300 3 15 
1
300   
 15 
8. Р  0,9344 .9. n  16000 ; n  4330 . 10. n  6400.
Домашняя работа:
1. а) Р  0,5 ; б) Р  2 / 3 .2. а) n  595 ; б) n  121 . 3. а) р>0,9985;б) р>0,9964. 4. суммарная
7. 80<m<120; -20<m-100<20; 
60
выплата Y=
Õ
i 1
i
, где Хi- сумма, которую надо выплатить i − ому лицу, имеет
приближенно нормальное распределение с параметрами М(Y)= 60  Ì ( Õ )  3 000 000 ;
60
D(Y)=

i 1
2
( X i )  60  4 000 000 =240 000 000. σ = 240 000 000
≈ 15500. Необходимый
 k  M (Y ) 
  0,5  0,95 . По таблице k  M (Y )  1,65 ;
запас денег к найдем из условия Ô 
 

y
y


или k  325 600 руб. 2) гарантированный с вероятностью 0,95 остаток денег в кассе равен
3 500 000-3 256 000=244 000. 5. n  1225 .