АНАЛИЗ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ ГОДОВОГО СТОКА р. ДОН

УДК 519.2:330.007
АНАЛИЗ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ ГОДОВОГО СТОКА р. ДОН
Н. В. Муращенкова, О.С. Фалеева
ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия
Для анализа стока р. Дон использовались данные по годовому стоку в вершине
устьевой области Дона (ст-ца. Раздорская) за период наблюдений 1881-1999 гг. При этом
использовались две версии исследуемого временного ряда: наблюденная и условноестественная. Для периода 1881-1935 гг. объемы годового стока для обеих версий
совпадают, а для последующего периода в первой версии отражается интегральное
влияние антропогенных факторов на годовой сток, а вторая характеризует влияние
климатических факторов (рис. 1).
Совместный анализ разностно-интегральных кривых наблюденного и условноестественного стока позволил выявить относительную роль климатического и
антропогенного фактора в многолетних изменениях стока [4].
Естественный (с 1936 года условно-естественный) сток воды р. Дон с 1981-1900 гг.
был близок к среднему многолетнему, с 1901-1914 гг. наблюдалась фаза пониженного, а
с 1915-1933 гг. – повышенного. С 1934-1940 гг. наблюдалась фаза резкого понижения
стока, сменившаяся резким повышением в 1941-1943 гг., затем периоды средней
водности чередовались с периодами понижения водности в 1948-1955 и 1971-1977 гг.
После резкого повышения стока с 1978-1981 гг. сток близок к среднему многолетнему
значению.
Средняя многолетняя величина условно-естественного стока равна 27,3 км3 .
Причем, условно-естественный сток воды в наиболее выраженный маловодный период
1933-1939 гг. составил 17,5 км3, а в наиболее выраженный многоводный период 19401942 гг. - 45,1 км3 .
На фоне выделенных выше периодов чередования маловодных и многоводных лет,
обусловленных климатическими причинами, для наблюденного стока весь период с 19492000 гг. в целом маловодный, в то время как восстановленный сток в этот период
незначительно колебался около естественной нормы, за исключением маловодного
периода 1972-1976 гг. и многоводного периода 1977-1981 гг.
Важной особенностью процесса многолетних колебаний годового стока Дона,
отличающей его от «белого шума», становится его цикличность, то есть проявление
тенденции к группировке лет повышенной (пониженной) водности без устойчивой
периодичности процесса.
Значительное расхождение тенденции хода разностно-интегральных кривых
наблюденного и условно-естественного стока показывает доминирующую роль
антропогенного изъятия стока в ходе его многолетних изменений, начиная с 1952 года,
когда началось наполнение Цимлянского водохранилища.
До 1951 года среднегодовые потери стока не превышали 1,8 км3, в период
заполнения Цимлянского водохранилища 1952-1955 гг. они составили в среднем около
6,3 км3 .
В период 1956-1965 гг. потери составили в среднем 3,2 км3 . В период 1966-1980 гг.
– 4,7 км3 , в 1981-1990 гг. потери еще увеличились и составили в среднем 6,7 км3 , при
этом максимальные годовые потери 8,6 км3 были в 1990 году. Затем потери снизились и
составили в 1991-1999 году 3,9 км3, минимальные годовые потери 1,7 км3 были в 1996
году.
Средний условно-естественный сток в периоды 1881-1951 гг. и 1952-2000 гг.
различается незначительно и составляет, соответственно 27,8 и 26,5 км3. Наблюденный
сток в 1952-2000 году составил 21,6 км3 , то есть на 21% ниже нормы естественного стока.
В последние 19 лет условно-естественный сток был близок к естественной норме и
составил 26,7 км3 , а наблюденный сток составил 21,1 км3 - на 21% меньше. В
многоводный период 1977-1981 гг. средний условно-естественный сток составил 32,9 км3,
а наблюденный сток составил 28,5 км3 - на 13% меньше.
В таблице приведены основные статистические характеристики рассматриваемых
временных рядов стока по периодам.
Несмотря на большое влияние хозяйственной деятельности, климатические
факторы продолжают играть значительную роль в формировании стока р. Дон. Для
оценки их влияния исследовалась внутрирядная динамика условно-естественного
годового стока с помощью пакета прикладных программ STATISTIKA в среде
WINDOWS [1]. При этом использовались следующие модели: авторегрессии (АР),
скользящего среднего (СС), смешанная (АРСС) и проинтегрированная (АРПСС) [2].
Основные статистические параметры годового стока р. Дон
Wср, км3/год
25,1
27,3
W, км3/год
71
49
Период
n
1881 - 1999
119
1881 - 1951
1952 - 1999
9,9
9,4
СV
0,37
0,34
R(1)
0,15
0,05
27,5
27,9
11,0
11,0
0,44
0,44
0,07
0,05
21,6
26,5
6,6
6,3
0,32
0,33
0,16
0,09
Примечание: (числитель - наблюденный сток, знаменатель - условно-естественный,
Wср - среднемноголетний объем, W - среднеквадратичное отклонение, СV - коэффициент
вариации, R(1) - коэффициент корреляции стока смежных лет).
Модель авторегрессии (АР) можно представить в виде
Хt = Ф1Хt-1 + Ф2Хt-2 + …+ ФpХt-p + at,
(1)
где Хt - совокупность случайных величин в определенные моменты времени t,
предсказанная по совокупности значений Хt-p в предыдущие моменты времени (t-p); Фp параметр модели (предиктор величины Хt по величинам Хt-p); at - случайная величина,
характеризующая белый шум; p - порядок модели авторегрессии АР(p).
Модель скользящего среднего (СС) представляет собой
Хt = at - 1аt-1 + 2аt-2 + …+ qаt-q,
(2)
где q - параметр модели (предиктор величины Хt по величинам аt-q); q - порядок
модели скользящего среднего СС(q).
Смешанная модель авторегрессии - скользящего среднего (АРСС(p,q))
Хt = Ф1Хt-1 + Ф2Хt-2 + …+ ФpХt-p + at - 1аt-1 + 2аt-2 + …+ qаt-q,
(3)
Однако рассмотренные выше модели применимы только к стационарному ряду, а
исследуемые гидрологические ряды являются нестационарными.
Для приведения нестационарного ряда к стационарному вводится оператор разности
 = 1 - В. Тогда Хt = Хt - Хt-1, и модель (3) можно представить в виде:
Ф(В) d  Хt = (В) at,
(4)
где Ф(В), (В) - стационарные операторы авторегрессии и скользящего среднего порядка
p и q, соответственно; d - порядок разности модели.
Разность порядка d ряда {Хt} вычисляется по формуле
d
Wt  d  Хt = (1 - B)d  Хt = (  ( 1) j Свj В j )  Хt =
j 0
d
 (1) С
j
j 0
j
в
Х t j ,
(5)
и является стационарным обратимым процессом АРСС(p,q).
Так как процесс {Хt} можно получить d-кратным суммированием
(интегрированием) процесса {Wt}, то процсс, задаваемой моделью (4) называют
процессом АРПСС(p,d,q), где П означает проинтегрированной. Процесс АРПСС(p,d,q)
может использоваться для моделирования как для стационарных, так и для
нестационарных временных рядов.
Весьма эффективным и надежным методом прогнозирования является
экспоненциальное сглаживание. Основные его достижения следующие: учет весов
исходной информации, простота вычислительных операций, гибкость описания
различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность
оценить параметры тренда, характеризующие не средний уровень процесса, а тенденцию,
сложившуюся к моменту последнего наблюдения.
Пусть исходный динамический ряд имеет вид
a
a
yt  a0  at t  2 t  ...  p t p   t .
(6)
2
p!
Метод экспоненциального сглаживания, то есть обобщенный метод скользящего
среднего, позволяет описать процесс, при котором данным более поздних наблюдений
придаются большие веса по сравнению с данными ранних наблюдений, причем эти веса
убывают экспоненциально.
Выражение
n
St[ k ] ( y )    (1   )i St[k11] ( y )
(7)
i 1
представляет собой экспоненциальную среднюю k-го порядка для ряда yt, где  параметр сглаживания.
В расчетах для определения экспоненциальной средней используется рекуррентная
формула [5]
St[ k ] ( y )  St[ k 1] ( y )  (1   ) St[k1] ( y ) .
(8)
[1]
Использование соотношения (8) предполагает задание начальных условий S0 , S0[2],
…, S0[k]. Для этого можно воспользоваться формулой Брауна-Мейера, связывающей
коэффициенты
прогнозирующего
полинома
с
экспоненциальным
средним
соответствующих порядков
n
aˆ   p j ( p  1  j )!
,
(9)
St[ k ]   ( 1) p p
j 
p! (k  1)! j  0
j!
p 0
где р = 1,2,…, n+1; â - оценка коэффициентов;  = 1-. Для определения вида порядка
модели необходимо рассмотреть выборочные автокорреляционную функцию (АКФ) и
частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ). При этом используются следующие
практические критерии [3]:
если АКФ экспоненциально затухает, а ЧАКФ имеет выброс лишь при сдвиге по
времени, равном 1, то процесс наилучшим образом описывается моделью авторегрессии
первого порядка (АР (1));
если АКФ имеет форму затухающей синусоидальной волны или экспоненциально
затухает, а ЧАКФ имеет выброс только при сдвиге по времени, равном 1 и 2, то процесс
описывается моделью авторегрессии второго порядка (АР(2));
если АКФ имеет выброс при сдвиге по времени, равном 1, а ЧАКФ
экспоненциально затухает, то подходящей является модель скользящего среднего первого
порядка (СС (1));
если АКФ имеет выбросы при сдвиге по времени, равном 1 и 2, а ЧАКФ имеет
форму синусоидальной волны или экспоненциально затухает, то используется модель
скользящего среднего второго порядка (СС(2));
если АКФ и ЧАКФ экспоненциально затухают, начиная со сдвига по времени,
равного 1, то используется модель авторегрессии и скользящего среднего первого
порядка (АРСС (1,1)).
Так как для АКФ и ЧАКФ временного ряда годового стока р. Дон не имеют
выбросов и четко выраженных тенденций к затуханию (рис. 2), то, следовательно, ряд
является нестационарным, и модели авторегрессии и скользящего среднего не подходят
для его описания, так как они применимы только к стационарным рядам [1]. Для
приведения ряда к стационарному необходимо трансформировать его, взяв первую
разность. АКФ трансформированного временного ряда имеет выброс при сдвиге по
времени, равном 1, остальные значения статистически незначимы, а ЧАКФ
экспоненциально затухает (рис. 3). Следовательно, рассматриваемый процесс условноестественного стока р. Дон может быть идентифицирован моделью АРПСС (0,1,1) с
параметром 1 = 0,62851. Анализ остатков между расчетными и наблюденными
величинами свидетельствует в пользу правомерности использования данной модели, так
как остатки похожи на белый шум. Для более детального описания процесса стока
применялись модели с сезонной составляющей (мультипликативные) с различными
«сезонными» периодами. Наилучшие результаты дает модель с лагом 6, с параметрами
Фp = 0,14605, 1 = 0,69984, Фp = -0,8804, 1= - 0,7796. Прогнозируемый годовой сток р.
Дон по данной модели принимает значения от 26,5 до 28,6 км3/год.
При использовании модели экспоненциального сглаживания были получены
следующие результаты. Наиболее адекватной оказалась аддитивная модель с сезонной
составляющей и с затухающим трендом с различными параметрами. Наиболее
адекватной представляется модель с параметрами:  = 0,5,  = 0,3,  = 0,1, сезонный лаг 11. Прогнозируемые значения годового стока р. Дон при применении данной модели
колеблются от 23,5 до 31,0 км3/год.
L
a
gC
o
r
r
.
Q
p
,
3
9
,
5
3
4
5
,
0
9
0
1
,
3
9
,
8
2
4
6
,
0
8
9
8
1
,
0
4
,
7
9
2
0
4,
0
6
5
,
0
8
9
4
1
,
5
6
,
8
1
5
9
5+
,
0
3
4
,
0
8
9
0
1
,
7
0
,
8
8
8
6
6,
1
5
2
,
0
8
8
6
4
,
6
6
,
5
8
8
6
1
7,
0
2
6
,
0
8
8
2
4
,
7
4
,
6
9
1
7
8,
1
0
9
,
0
8
7
8
6
,
2
8
,
6
1
6
0
9+
,
0
1
6
,
0
8
7
4
6
,
3
1
,
7
0
8
1
2
1
0,
0
6
1
,
0
8
7
0
6
,
8
0
,
7
4
4
3
1
1,
0
4
3
,
0
8
6
6
7
,
0
4
,
7
9
5
8
-20
1
2+
,
0
5
9
,
0
8
6
2
7
,
5
1
,
8
2
2
0
-25
1
3,
0
3
4
,
0
8
5
8
7
,
6
7
,
8
6
4
5
1
4+
,
0
7
7
,
0
8
5
4
8
,
4
7
,
8
6
3
2
-30
1880
1
5+
,
1
2
5
,
0
8
5
0
1
0
,
6
4
,
7
7
7
4
 (К-1)
Сv
10
5
0
-5
-10
-15
1900
1920
1940
1960
1980
S
.
E
.
1+
,
0
5
6
,
0
9
0
5
2,
0
0
0
3,
0
7
2
2000
-1
,0
Рис. 1. Интегральная кривая
годового стока р. Дон,
ст-ца Раздорская:
1 – наблюдательный сток;
2 – условно-естественный
-0
,5
0
,0
0
,5
1
,0
Рис. 2. Автокорреляционная функция
ряда условно-естественного стока р. Дон
за период 1881-2000 гг.
L
a
gC
o
r
r
.
S
.
E
.
Q
p
L
a
gC
o
r
r
.
S
.
E
.
1,
4
1
1
,
0
9
0
9
2
0
,
4
7
,
0
0
0
0
1,
4
1
1
,
0
9
2
1
2,
0
1
4
,
0
9
0
5
2
0
,
5
0
,
0
0
0
0
2,
2
2
1
,
0
9
2
1
3,
0
5
5
,
0
9
0
1
2
0
,
8
7
,
0
0
0
1
3,
1
9
4
,
0
9
2
1
4,
0
1
6
,
0
8
9
7
2
0
,
9
0
,
0
0
0
3
4,
1
7
2
,
0
9
2
1
5+
,
1
6
1
,
0
8
9
3
2
4
,
1
3
,
0
0
0
2
5+
,
0
7
6
,
0
9
2
1
6,
1
9
2
,
0
8
8
9
2
8
,
7
8
,
0
0
0
1
6,
1
2
5
,
0
9
2
1
7+
,
0
9
7
,
0
8
8
5
2
9
,
9
9
,
0
0
0
1
7,
0
2
2
,
0
9
2
1
8,
1
2
7
,
0
8
8
1
3
2
,
0
7
,
0
0
0
1
8,
1
5
2
,
0
9
2
1
9+
,
1
6
4
,
0
8
7
7
3
5
,
5
7
,
0
0
0
0
9+
,
0
4
4
,
0
9
2
1
,
0
9
2
1
1
0,
0
4
9
,
0
8
7
3
3
5
,
8
8
,
0
0
0
1
1
0,
0
0
4
1
1,
0
6
4
,
0
8
6
9
3
6
,
4
3
,
0
0
0
1
1
1,
0
4
7
,
0
9
2
1
1
2+
,
0
8
1
,
0
8
6
5
3
7
,
3
1
,
0
0
0
2
1
2+
,
0
1
9
,
0
9
2
1
1
3,
0
7
8
,
0
8
6
1
3
8
,
1
2
,
0
0
0
3
1
3,
0
2
4
,
0
9
2
1
1
4+
,
0
0
5
,
0
8
5
7
3
8
,
1
3
,
0
0
0
5
1
4,
1
2
0
,
0
9
2
1
1
5+
,
0
6
5
,
0
8
5
3
3
8
,
7
1
,
0
0
0
7
1
5+
,
0
5
6
,
0
9
2
1
1
,0
0
,5
0
,0
0
,5
1
,0
-1
,0
-0
,5
0
,0
0
,5
1
,0
Рис. 3. АКФ(а) и ЧАКФ (б) преобразованного по первой разности
ряда многолетних колебаний стока р. Дон за период 1881-2000 гг.
В результате анализа годового стока р. Дон можно сделать вывод о наличии
значимых изменений в динамике годового стока и межгодовых его связей,
обусловленных как естественно-климатическими, так и антропогенными изменениями
гидрологического цикла. Стационарность процесса многолетних колебаний годового
стока р. Дон имеет место лишь на отдельных отрезках рассматриваемого временного
ряда. Таким образом, при анализе закономерностей годового стока р. Дон необходимо
сочетать стохастические методы с анализом генезиса рассматриваемого процесса и
определяющих его факторов.
Библиографический список
1. Боровиков В. П. , Ивченко Г. И. Прогнозироание в системе STATISICA в среде
WINDOWS. М.: Финансы и статистика. 1999. 382 с.
2. Исмайылов Г. Х., Перминов А. В. Возможные подходы к оценке будущих значений
гидрологических характеристик //В сб. Проблемы научного обеспечения развития
эколого-экономического потенциала России. М.: МГУП. 2004. С. 44-49.
3. Исмайылов Г. Х., Федоров В. М. Анализ многолетних колебаний годового стока
Волги // Водные ресурсы, 2001. Т. 28. №5. С 517 - 525.
4. Отчет ГОИН Комплексное исследование гидролого-экологического состояния
устьевых областей рек южных морей России. М., 2002.
5. Рабочая книга по прогнозированию. М.: Мысль, 1982. 430 с.