цифровая обработка сигналов и изображений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Томский политехнический университет
____________________________________________________________________
"УТВЕРЖДАЮ"
Декан АВТФ
____________ С.А.Гайворонский
"_____"________________2006 г.
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
“Корреляционный метод оценки временного положения сигналов”
для студентов направления 010500
“Прикладная математика и информатика”
Томск 2006
ББК 32.84.К27
Цифровая обработка сигналов и изображений. Методические указания к
выполнению лабораторной работы “Корреляционный метод оценки
временного положения сигналов” для студентов направления 010500
“Прикладная математика и информатика”. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 6 c.
Составитель
доц., канд. техн. наук В.П.Иванченков
Рецензент
доц., канд. техн. наук А.И.Кочегуров
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
методическим семинаром кафедры прикладной математики
“____” ________________ 2006г.
Зав. кафедрой,
проф. д.ф.-м.н.__________________________ В.П.Григорьев
2
к
изданию
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ТЕМА: Корреляционный метод оценки временного положения сигнала
1. Цель работы
Методы корреляционного анализа находят широкое применение в
различных областях науки и техники. При этом одной из задач, решаемых
корреляционным методом, является оценка временного положения сигнала,
регистрируемого в определенной точке приема. Целью данной лабораторной
работы является освоение методики оценки временного положения сигнала на
основе функции взаимной корреляции.
2. Основные теоретические положения
Пусть имеется реализация стационарного эргодического случайного
процесса x(t ) , представляющая аддитивную смесь сигнала S (t  0 ) и
гауссовского белого шума (t ) , заданного на интервале времени от 0 до Т:
x(t )  S (t  0 )  (t ) ;
(1)
где  0 – временное положение сигнала S (t ) , параметры которого, за
исключением значения  0 , считаются известными. При этом длительность
сигнала Tc  T , т.е. принимается меньше интервала наблюдения Т, а шум
имеет одностороннюю спектральную плотность G0 . Ставится задача синтеза
алгоритма обработки наблюдаемой реализации процесса x(t ) с целью оценки
значения  0 с минимальной погрешностью.
Вся доступная информация о параметре  дается формулой Байеса,
которая применительно к рассматриваемому случаю принимает вид [1, 2]:
pS ()  kpr () exp[ g ()] ,
(2)
где
2 T
g () 
(3)
 x(t )  S (t  ) dt ,
G0 0
k – постоянный коэффициент, ps ()  p( | x1 , x2 ,..., xn ) - апостериорная
плотность вероятности, pr () - априорная вероятность.
Экспоненциальная функция изменяется монотонно в зависимости от
значения своего показателя. Поэтому функция g (t ) с определенной
деформацией воспроизводит характер изменения апостериорной вероятности.
При равномерном законе распределения априорной плотности вероятности
максимальное значение pS () совпадает с максимумом функции g (t ) , т.е.
g (t ) является достаточной статистикой для оценки параметра  0 . Отсюда
оптимальный алгоритм оценки временного положения сигнала сводится к
3
вычислению функции g (t ) и к определению значения , при котором эта
функция принимает максимальное значение.
Правая часть выражения (3) с точностью до постоянного множителя
совпадает с оценкой взаимной корреляционной функции между наблюдаемым
процессом x(t ) и сигналом S (t ) . Таким образом, оптимальный алгоритм
оценки  0 реализуется на основе метода взаимной корреляции (ВКФ), причем


0  max R XS () ,


(4)
1 T 
 x(t )  S (t  ) dt .
T  0
При цифровой обработке данных (t ) и S (t ) представляются в виде
где R XS () 
последовательностей x(n) , S (n) , n  0, N , T  Nt .
Тогда при непосредственном оценивании взаимной корреляционной
функции [3]

1 N r
(5)
R XS (r ) 
 x(n)S (n  r ), r  0, m ,
N  r n 1
где r – определяет номер сдвига по параметру , m – максимальный сдвиг по
(m  N ) .
3. Задание к работе
1. Сформировать последовательность x(n) в виде аддитивной смеси
сигнала S (n) и шума (n) . Сигнал задать в виде импульса с колокольной
огибающей на интервале 0,06  t  0,12 с, t  0,001 с;
S (t )  0e (t  0 ) cos[2f 0 (t  0 )  ] ,
где  0  1 ,   60 , f 0  40 Гц,   0 , 0  0,09 с.
Шум (n) , имеющий нормальный закон распределения, задать в виде
2
2
(6)
(7)
(n)  m  * (n) ,
где m - математическое ожидание,   - среднеквадратическое отклонение.
Величина * распределена нормально и моделируется
*i 
12
 ai  j  6 .
(8)
j 1
В (8) ai - случайная величина, распределенная равномерно, для формирования
которой используется датчик псевдослучайных чисел Random. При
формировании шума принять объем выборки N  250 , m  0 , а  
выбирается из соотношения
4
 02
 2 ,

(9)
где  - отношение сигнала к шуму. При исследовании принять   2,3,4 .
2. Для каждого значения  сгенерировать M  30 выборок
последовательности x(n) и произвести оценку временного положения сигнала
по положению максимума ВКФ в соответствии с (5). При этом случае

случайная составляющая погрешности оценки 0 определяется:
1 M 
2
0 
(0k  m 0 ) 2 ,

M  1 k 1
(10)

где  2 0 - дисперсия оценки временного положения сигнала,  0 k - оценка  0


при k-ом эксперименте, m 0 - оценка математического ожидания 0 .
3. Дать анализ полученных результатов.
4. Форма отчета
1. Задание к работе.
2. Краткое пояснение теоретических положений.
3. Графики сигнала, реализации x(n) , зависимости  2 0  f () .
4. Анализ результатов и выводы.
Литература
1. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь,
1983. - 320с.
2. Куликов Е.И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии
помех. – М.: Советское Радио, 1969. - 244с.
3. Дж. Бендат, А. Пирсол. Прикладной анализ данных. – М.: Мир, 1989.
- 540c.
5
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
“Корреляционный метод оценки временного положения сигналов”
для студентов направления 010500
“Прикладная математика и информатика”
Составитель
Иванченков Виктор Павлович
Подписано к печати
Формат 60х84/16. Бумага офсетная
Печать RISO. Усл. печ. л.
. Уч. изд.
.
Тираж 150 экз. Заказ №
. Цена свободная
Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.
6