2-й семинар, гидростатика, силы на плоскую стенку

1
2-й семинар, 2016 г.
2.Гидростатика. «Силы давления на плоскую стенку»
На рис.1 на плоскую стенку действует одностороннее давление жидкости,
на несмоченной стороне стенке - атмосферное давление.
Результирующая сила R давления жидкости на стенку нормальна к ней и
равна
R = PCиF = ρghcF
,
(1)
Рис.1. Одностороннее действие жидкости на плоскую стенку. а)при
Ро>Pатм, б) при Ро<Ратм.
где PC - избыточное давление в центре тяжести смоченной площади S стенки, hc расстояние по вертикали от центра тяжести площади S до пьезометрической плоскости
0-0, соответствующей атмосферному давлению.
При избыточном давлении М=P0и>Ратм над свободной поверхностью, эта п.
плоскость проходит выше свободной поверхности на расстоянии h0и = P0и/(ρg)=М/(ρg),
при вакууме V=P0в<Pатм- ниже свободной поверхности на расстоянии h0в = P0в/(ρg) =
=V/(ρg). Обычно в задачах указывается, что для измерения избыточного давления применен манометр, буква М или вакуумметр , буква V.
Если P0 = 0, h0=0 и пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью, пьезометрическая высота отсчитывается от свободной поверхности.
Пересечение линии действия равнодействующей сил давления жидкости R с плоскостью стенки дает точку D - приложения силы R или центр давления (рис. 1а,1б).
Положение центра давления в плоскости стенки определяется формулами (в координатах, связанных с плоскостью стенки):
yD = yC +Jc/(F*yC);
(2)
Δy = yD - yC = Jc/(F*yC);
(3)
2
где yD и yC - расстояния от центра давления D и центра тяжести С площади стенки
до линии пересечения плоскости стенки с пьезометрической плоскостью (ось х на рис.1),
Δy - смещение центра давления относительно центра тяжести вдоль оси у, Jc - момент
инерции площади стенки относительно горизонтальной оси х1, проходящей через центр
тяжести площади стенки.
Если ось х1 или перпендикулярная ей центральная ось у1 являются осями симметрии стенки, центр давления лежит на оси у1.
Если оси х1и у1 не являются осями симметрии, необходимо определить, кроме смещения Δy, также и смещение Δх центра давления относительно центра тяжести площади
стенки вдоль оси х1:
Δх = J х1 у1/( F yC )
где J х1 у1 - центробежный момент инерции площади стенки относительно осей х1 и
у1, лежащих в ее плоскости и проходящих через ее центр тяжести.
Формулу (2) можно привести к виду
J
hD  hC  C * Sin 2 ,
FhC
(4)
где hD и hC - вертикальные расстояния соответственно от центра давления D и
центра тяжести С площади стенки до пьезометрической плоскости; α - угол наклона стенки к горизонту.
Для вертикальной стенки (α = 90°)
hD  hC 
JC
FhC
и смещение центра давления относительно центра тяжести
J
h  hD  hC  C
FhC
(5)
(6)
Для горизонтальной стенки (α = 0) имеем hD = hC (центр давления и центр тяжести
совпадают).
В приложении 1 к задачнику даны моменты инерции Jc площадей некоторых
плоских симметричных фигур и координаты их центров тяжести.
Силу R можно находить и геометрически, определяя ее как объем эпюры
нагрузки, интенсивность которой в каждой точке стенки равна избыточному давлению Ри, линия действия R проходит через центр тяжести этого объема (рис.1).
Полученные выше зависимости справедливы при любом избыточном давлении РСи
в центре тяжести С площади стенки, в том числе и при отрицательном избыточном давлении, т.е. когда в точке С имеется вакуум. При вакууме пьезометрическая плоскость проходит ниже центра тяжести стенки (рис.2), и расстояния ус и hC становятся отрицатель-
3
ными. При этом центр давления D расположен выше центра тяжести (Δy < 0), а результирующая сила, воспринимаемая стенкой, направлена внутрь жидкости.
Одностороннее давление жидкости на стенку можно привести, как это следует из
формул (1) и (3), к силе R, проходящей через центр тяжести площади стенки, и к паре,
момент М которой не зависит от значения РСи и равен для симметричной стенки
Рис.2. Положение П.П. по отношению к центру тяжести площадки.
М =R Δy = ρgJC*Sinα
(2.7)
Когда пьезометрическая плоскость 0-0 пересекает стенку, эпюра нагрузки изменяет
знак. На рис.2 показаны эпюры нагрузки и силы давления на стенку для трех характерных
положений пьезометрической плоскости 0-0, пересекающей стенку.
Если РСи = 0, то пьезометрическая плоскость проходит через центр тяжести площади стенки. При этом участки эпюры с избыточным давлением ри и вакуумом рв приводятся к двум равным и противоположно направленным силам давления R1 и R2, результирующая которых равна нулю, и воздействие на стенку сводится только к результирующей паре, момент которой определяется формулой (2.7).
При двустороннем воздействии жидкостей на плоскую стенку следует сначала
определить силы давления на каждую сторону стенки, а затем найти их результирующую по правилам сложения параллельных сил.
Если плотности жидкостей одинаковы, то в некоторых случаях результирующую
силу давления на стенку удобно найти по суммарной эпюре нагрузки, интенсивность которой равна разности давлений, действующих по обе стороны стенки в каждой точке ее
поверхности.
На рис.3 показано в виде примера определение силы давления с помощью такой
эпюры в случае двустороннего воздействия жидкостей одинаковой плотности ρ на стенку
4
при различных высотах уровней Н1 и Н2 по обе стороны стенки и одинаковом давлении на
свободных поверхностях I и II.
Рис.3. Двусторонне действие жидкости на плоскую стенку.
Для верхнего участка стенки ab, подверженного одностороннему давлению жидкости (эпюра нагрузки представляет в плоскости чертежа треугольник abe, сила давления
R1 определяется по формуле (1):
R1 = PCиF = ρghС1F1
где hС1- расстояние от центра тяжести С1 верхнего участка стенки до свободной
поверхности I; F1-площадь этого участка. Координата уD1 центра давления участка ab
вычисляется по формуле (2).
Из рассмотрения эпюр давления на каждой стороне стенки (треугольники с основаниями ρgH1 и ρgH2) следует, что разность давлений по обе стороны стенки на нижнем
участке bc постоянна во всех его точках и равна ρgH (Н = H1 - H2 - разность уровней жидкости); суммарная эпюра нагрузки для этого участка имеет постоянную высоту и представляет в плоскости чертежа прямоугольник bcde.
Следовательно, сила давления, воспринимаемая нижним участком,
R2 = ρgHF2
(8)
где F2 - площадь нижнего участка. Сила Р2 проходит через центр тяжести С2 площади F2.
Результирующая сила R = R1 + R2, линия ее действия делит отрезок между точками
D1 и C2 на части, обратно пропорциональные силам R1 и R2.
В тех случаях, когда давление газа с сухой стороны стенки отличается от атмосферного или когда имеет место двустороннее давление жидкости при различном давле-
5
нии газа над жидкостью по обеим сторонам стенки, результирующую силу давления на
стенку удобнее определять как разность двух сил давления R, каждая из которых действует на одной стороне стенки и может быть представлена суммой двух независимых сил силы R0 абсолютного давления газа над жидкостью и силы Rg, давления жидкости:
R = R0 + Rg; R0 = P0F0.
(9)
где F0 - вся площадь стенки, включая ее несмоченную часть, расположенную над
поверхностью жидкости. Сила Rg определяется по формуле (1), причем hс представляет
расстояние по вертикали от свободной поверхности жидкости до центра тяжести смоченной части стенки площадью F. Сила Rg проходит через центр давления площади F, положение которого определяется формулой (4). Сила R0 проходит через центр тяжести стенки
площадью F0.
В качестве примера одного из таких случаев (рис.5) определим силу давления на
вертикальную прямоугольную перегородку ab закрытого резервуара высотой L и шириной В, по обе стороны которой различны как уровни одной и той же жидкости (Н1>Н2 ),
так и давления газа ( Р01 > Р02).
Рис.4. Двусторонне действие жидкости и газа на плоскую стенку.
Искомую силу найдем, рассматривая ее как сумму двустороннего давления жидкости
и двустороннего давления газа.
Давление жидкости на перегородку приведем к двум силам R1 и R2. Силу R1 на
участке одностороннего давления определим по формуле (1), в которой hC = H/2 и F =
BH:
R1 = (½)ρgH2B.
6
Координату центра давления D1 найдем по формуле (5), в которой JC = BH3/12
hD1 
H
BH 3

 (2 / 3) H .
2 12 BH H
2
Силу R2 на участке двухстороннего действия давления жидкости определим по формуле (8):
R2 = ρgHН2B.
Линия действия силы R2 проходит по середине высоты Н2 (центр давления D2 совпадает с центром тяжести этого участка перегородки).
Заметим, что подстановка Н=Н1-Н2 в формулы для R1 и R2 приводит к такому выражению для полной силы давления жидкости:
Rж = R1 + R2 = (½)ρgH12B - (½)ρgH22B,
Которое можно получить непосредственно , рассматривая в отдельности силы давления жидкости на каждую строну перегородки.
Сила двухстороннего действия газа
R3 = (Р01 – Р02)BL,
И результирующая сила, воспринимаемая стенкой,
R= R1+ R2+ R3.
Из эпюр давления на каждую сторону перегородки, показанных на рис.5 штриховыми линиями, можно получить суммарную эпюру нагрузки (изображена сплошными линиями).
Треугольная площадка efg этой эпюры соответствует силе R1, прямоугольник cdef силе R2, и прямоугольник abch – силе R3.
Для определения силы давления жидкости на прямолинейную стенку надо выполнить следующую последовательность действий.
1. Определить давление над свободной поверхностью жидкости: Р0=Ратм, Р0>Ратм,
Р0<Ратм.
2. Определить положение пьезометрической плоскости (поверхность уровня-ПУ),
соответствующей атмосферному давлению, используя гидростатический закон и исходные данные. Индекс «0и» указывает, что ПУ расположена выше свободной поверхности,
индекс «0в» указывает, что ПУ расположена ниже свободной поверхности и знак минус
перед «- h0в» указывает, что над ПУ находится зона разряжения.
7
Р0=Ратм
Р0>Ратм
Р0<Ратм
Расстояние от свободной поверхности до ПУ с Ратм.
h =0
h0и 
Р0  Ратм
g
h0 в  
Ратм  Р0
g
Пьезометрическая высота
hc=h
hc=h+h0и
h=h-h0в
3.Определить величину пьезометрической высоты ц.т. площадки, на которую
определяется давление, относительно ПУ.
5.Определить величину давления в ц.т. площадки Pc=ρghc.
6.Определить усилие, действующее на площадку по формуле Rc  pc * S , где S –
площадь площадки.
7. Определить положение линии действия равнодействующей от распределенной
нагрузки давления жидкости
Координата точки приложения силы
yD  yC 
J x1
S * yC
(3.6.)
.
Расстояние от ц.т. до центра давления
yD  yD - yC 
J x1
S * yC
.
(3.7)
8.Учитывать фактор, указанный в п.2. При расположении П.П. выше свободной поверхности значения hc, hd будут положительны, при расположении П.П. ниже свободной
поверхности – отрицательны.