Костин П. В., НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБЪЁМА ВОЗДУХА

Костин П. В., НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБЪЁМА ВОЗДУХА
10 класс, гимназия "Грейс",
Санкт-Петербург
Рассматриваются нелинейные вынужденные колебания столба воздуха в
задаче, представленной на рис.1. Воздух и жидкость над ним заключены внутри
недеформируемой трубки произвольного поперечного сечения с непроводящими
тепло стенками. Вынуждающая сила действует на столб жидкости сверху и
изменяется по закону синуса с момента времени t  0 . Внутренними потерями
пренебрегаем.
Начало координат x=0 отвечает
воздушного
объёма
в
состоянии
верхней границе
равновесия,
когда
давление в нём уравновешивает давление столба жидкости
(вода) высоты H и атмосферное давление Pa . Амплитуду
давления вынуждающей силы обозначаем через
Полагаем,
что
давление
воздуха
Pвн .
подчиняется
адиабатическому закону: P  V   const . Круговую частоту
внешнего воздействия  будем выбирать близкой к
собственной частоте линейных колебаний системы.
Уравнение движения имеет вид
M  x  M  g  Pa  S  P  S  Pвн  S  sin t
(1)
Здесь M    S  H - масса столба жидкости, S - площадь сечения трубки, g ускорение свободного падения, P - давление в объёме воздуха, Pa - атмосферное
давление над столбом жидкости. Условию равновесия при Pвн  0 отвечает
соотношение
M  g  Pa  S  P0  S ,
где P0 - равновесное давление в пузырьке.
(2)
Из условия адиабатичности с учетом соотношений V  S  l  x  , V0  S  l и (2)
получаем

 l 
P  Pa    g  H   
 .
l  x
(3)
Подставляя (2), (3) в (1), деля его на   H  S , приходим к уравнению движения:

Pa    l 

x  g  1 
  1 

  g  H    l  x 


  g  Pвн sin   t .

gH

(4)
Это нелинейное уравнение колебаний столба воздуха под действием внешнего
гармонического возмущения. Параметрами задачи здесь выступают отношения
Pa
Pвн
и
, причем Pa    g  H . Нетрудно показать, что однородное ( Pвн  0 )
gH gH
линеаризованное уравнение (4) можно записать в виде
x   0 2  x  0 ,
где

 0  g  1 
l
Pa 

  g  H 
(5)
- частота собственных колебаний системы.
Решение и анализ уравнения (4) проводилось численно методом Рунге-Кутта в
пакетах Maple 6 и Mathcad 2000. Использованы следующие параметры задачи:
  10 3
кг
м3
, H  10 1 м , l  10  2 м , Pa  10 5 Па , g  9,81
м
с2
,   1,41 .
На рис.2 представлена зависимость координаты x верхнего края столба
воздуха от времени для трёх значений амплитуды вынуждающей силы: а) – 60 Па, б)
– 6000 Па, в) – 80 000 Па. Частота вынуждающей силы совпадала с собственной
частотой линеаризованной системы
f 0  60 Гц . Видно, что при очень малых
амплитудах вынуждающей силы (рис.2,а) система работает в линейном режиме,
амплитуда x монотонно растёт, поскольку потерь в системе нет. Зависимость x(t )
практически симметрична относительно оси абсцисс. При увеличении амплитуды
возбуждающей силы (рис.2,б) зависимость x(t ) существенно изменяется: заметно
нарушается симметрия, зависимость приобретает вид биений. Это говорит о том,
что собственная частота системы
изменилась и уже не совпадает с
частотой вынуждающей силы. При
ещё большем увеличении амплитуды
возбуждения
(рис.2,в)
x(t )
изменяется коренным образом: фазы
сжатия и разрежения несоизмеримы,
заполнение с частотой возбуждения
исчезает, а зависимость приобретает
вид
сложных
низкочастотных
пульсаций. Такой ход временной
зависимости
отражается
иллюстративно
на
её
представлении.
амплитудах
спектральном
При
спектр
малых
формируется
около частоты вынуждающей силы.
При
увеличении
усложняется
около
f0
амплитуды
огибающая
и
спектра
возникают
низкочастотные составляющие. При
ещё
больших
изменяется
(рис.3).
амплитудах
коренным
Составляющие
почти исчезают, но
спектр
образом
около
f0
формируется
сильная низкочастотная часть. Велика и постоянная составляющая.
Руководители: доцент физ.ф-та СПбГУ Тихомиров Н.П.,
старший научн. сотр. Крячко В.М.