Лекция 5. Интегралы движения. Однородность времени и закон

Лекция 5. Интегралы движения. Однородность времени и закон сохранения энергии. Однородность пространства и закон сохранения импульса. Изотропность пространства и закон сохранения момента импульса
Величины qi  t  и qi  t  меняются со временем. Однако существуют такие их комбинации, которые со временем не изменяются, а сохраняют постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти комбинации называются интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой системы с s степенями свободы равно 2s  1. Действительно, общее решение системы уравнений Лагранжа системы с s степенями свободы содержит 2s произвольных постоянных C1 , C2 …… C2s . Уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно. Поэтому выбор начала отсчета времени произволен и одна из постоянных (например C2s ) всегда может принята равной t 0 , и будет определять начало отсчета
времени. Т.о., для замкнутой системы имеем:
2s уравнений

qi  qi  t  t0 ; C1, C2 ,..........C2 s 1  ;


qi  qi  t  t0 ; C1, C2 ,..........C2 s 1  ;
(1)
Исключая из этих уравнений величину  t  t 0  , получим  2s  1 уравнений, из которых можно определить все величины Ci  q1, q2,.........qs; q1, q2,.........qs  ,  i  1,2,......,2s  1 .
Не все интегралы движения играют важную роль. Наибольшее значение имеют только те
из них, происхождение которых связано с однородностью пространства и времени и с изотропностью пространства. Они, так же как и функция Лагранжа обладают важнейшим свойством аддитивности: их значение для системы, состоящей из нескольких подсистем, взаимодействием
между которыми можно пренебречь, равно сумме их значений для каждой из подсистем в отдельности:
A
A
A
B
B
C
C
I ABC  I A  I B  I C
1
Именно это обстоятельство особенно ценно при решении задач. Для этого нужно, чтобы эти интегралы движения выражались линейной зависимостью от ф. Лагранжа L .
Энергия
Т.к. время однородно, то для замкнутой системы выбор начала отсчета времени может
быть произвольным. Другими словами, функция Лагранжа не должна изменяться при «переносе» во времени: L  L  q; q; t  t   L  q; q; t   0 , т.е. ф. Лагранжа не должна зависеть
от времени явно:
L  q; q; t   L  q; q; ,
т.е.
L
0
t
(2)
С учетом этого обстоятельства вычислим полную производную от функции Лагранжа по времени:
dL

dt
i s
i s
L
L d
q

 q i  q  dt qi 
i 1
i 1
i
i
(3)
Но из уравнений Лагранжа следует, что
L
d  L 



qi
dt  qi 
Поэтому формулу (3) можно записать так:
dL

dt
i s
 qi
i 1
d
dt
 L  i  s L  d 
 qi  , т.е.



q

q
 i  i 1 i  dt 
dL
d  i  s L 

 qi

dt
dt  i 1 qi 
(4)
Последнее соотношение в (4) можно записать в виде:
d  i  s L

 L  qi ; qi    0
  qi
dt  i 1 qi

(5)
Величина, стоящая в фигурных скобках формулы (3.6) называется механической энергией системы:
i s
E   qi
i 1
L
 L  qi ; qi 
qi
(6)
Из формулы (5) следует, что в замкнутой системе энергия сохраняется
E  Const
(7)
Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем в
постоянных внешних полях, то есть в случае, когда L явно не зависит от времени
2
Покажем, что из определения энергии (6) следует обычная формула, известная из курса
общей физики:
ETU
(8)
Здесь T и U кинетическая и потенциальная энергия системы.
Используем декартовы координаты. Тогда
m a v a2
L TU  
 U  r1, r2 , ..ra , ...rN 
2
a 1
N

L
  N m a va2

 U  r  

vk vk a 1 2

m a v a2


a 1 2 vk
N
v
N
 m ava va
a 1
 m k vk .
(9)
(10)
k
a,k
Здесь a,k - символ Кронекера. Отсюда имеем:
N
E 
k 1
m k vk2
N
m a v a2
m a v a2

 U  r1, r2 , ..ra ...rN   
 U  r1, r2, ..ra ...rN 
2
2
a 1
a 1
N
(11)
Следовательно, утверждение (8) доказано.
Импульс
Из однородности пространства следует, что механические свойства замкнутой системы
не изменяются при параллельном переносе системы как целого в пространстве. Параллельный
перенос это такое преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же
отрезок, в то время как скорости всех точек системы не изменяются. Рассмотрим бесконечно
малый перенос на отрезок  . Тогда ra  ra   . Изменение L при таком переносе будет равно:
aN
L  L  ra  ;.......  L  ra ;.....   
a 1
L  ra 
ra
(12)
Суммирование в формуле (12) производится по всем точкам системы. Т.к.  произвольно, то
требование L  0 при параллельном переносе, выглядит так:
aN

a 1
L  ra 
0
ra
(13)
Поскольку в декартовых координатах кинетическая энергия не зависит от координат, то
L  ra  / ra  gradra U  r1,...ra ,....rN   Fa  r1,...ra ,....rN  - сила, действующая на a - ую
частицу со стороны всех остальных частиц системы. Следовательно, условие (13) можно запи-
3
aN
сать так:
 Fa
 0 . Но это есть хорошо известное из общей физики утверждение, что сумма
a 1
всех внутренних сил системы равна нулю, что является следствием третьего закона Ньютона.
Суммируя систему уравнений Лагранжа в декартовых координатах, запишем:
aN

a 1
d
dt
 L 



v
 a
aN

a 1
L
,
ra
d a  N L 

0
dt  a 1 v a 
т.е.
(14)
По определению, величина, стоящая в фигурных скобках уравнения (14), называется полным
импульсом системы материальных точек:
P
aN
L
a 1
a
 v
(15)
mv a2
 U , и из формулы (15) сразу получаем, что
В декартовых координатах L  
a 1 2
N
P
aN
 m a va
(16)
a 1
Здесь p a  m a v a - импульс одной частицы.
Аддитивность полного импульса системы м. точек из формулы (16) очевидна. Более того,
в отличие от энергии, импульс системы м. точек равен их сумме вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними.
В заключение этого раздела заметим, что величина
L
 pi
qi
(17)
называется обобщенным импульсом. Величина
L
 Fi
qi
(18)
называется обобщенной силой. В этих обозначениях уравнения Лагранжа выглядят так:
dp i
 Fi ,
dt
(i  1,2,....s)
(19)
Если ф. Лагранжа не зависит от какой-то обобщенной координаты qi , то такая координата называется циклической. В этом случае соответствующая обобщенная сила равна нулю:
4
Fi  0 . Тогда из уравнения (3.20) следует, что соответствующий обобщенный импульс сохраняется:
p i  L / qi  Const
(20)
Момент импульса
Существует закон сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Это означает, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом
повороте системы как целого в пространстве, т.е. не изменяется вид уравнений движения. Но
это означает, что функция Лагранжа замкнутой системы не должна изменяться при повороте
системы координат. В отличие от параллельного переноса осей (которым мы пользовались при
выводе закона сохранения импульса), при повороте изменяются не только радиус-вектора всех
материальных точек, но и их скорости.
Перейдем от системы координат K к системе координат K  , повернутой относительно
K на угол  относительно оси z . Легко доказать, что если величину  рассматривать как
вектор, для которого  есть величина угла поворота  вокруг выбранной оси поворота (в
данном случае это ось z ), а направление  связано с направлением оси правилом правого буравчика, то
r  [  r ]
(21)
где r - изменение радиуса-вектора точки. Таким образом, в повернутой системе координат
K  , радиус вектор a - ой материальной точки есть
ra  ra  ra  ra  [  ra ]
(22)
Скорость a - ой частицы в повернутой системе координат будет равна:
v a  v a 
d
ra  v a  [  v a ]
dt
(23)
Т.о. изменение вектора скорости при повороте системы координат будет определяться формулой:
v a  [  v a ]
(24)
(Угол поворота для всех частиц один и тот же!). В силу изотропности пространства, изменение
функции Лагранжа при повороте системы координат должно равняться нулю:
5
L  L  ra  ra ; va  va   L  ra ; va  
a N
 L
L

  ra ra  va va   0
(25)
a 1
Поскольку, по определению
L / v a  p a , а из уравнений Лагранжа следует, что
L / ra  p a , то с учетом формул (3.23) и (3.24) получаем, что
  pa [  ra ]    pa [  va ]   0
aN
(26)
a 1
Учитывая правило циклической перестановки для смешанного произведения трех векторов, из
  [ra  pa ]    [va  pa ]   0 . Или
aN
формулы (26) получаем, что
a 1
 
aN

a 1

[ra  pa ]  [ra  pa ]   
d a  N

  [ra  pa ]   0
dt  a 1

(27)
Поскольку  величина произвольная, то из последнего равенства следует, что
d a  N

  [ra  pa ]   0
dt  a 1

(28)
Величина, стоящая в фигурных скобках в формуле (28), называется моментом импульса системы материальных точек:
M 
aN
aN
a 1
a 1
 [ra  pa ]   M a
(29)
Здесь M a  [ra  pa ] - момент импульса a - ой м. Точки. Из формулы (28) следует, что момент
импудьса замкнутой системы точек сохраняется.
В более ограниченном виде закон сохранения момента имеет место и для системы материальных точек, находящихся во внешнем поле. При этом сохраняется проекция момента импульса только на ту ось, относительно которой данное поле симметрично, так что функция Лагранжа инвариантна относительно поворота вокруг этой оси. При этом, конечно, начало координат должно находиться на самой оси. Если, например, в цилиндрической системе координат
потенциальная энергия системы не будет зависеть от азимутального угла  , т.е.
U  U ; z , то M z  Const .
Можно доказать следующее утверждение: проекция полного момента импульса системы м. точек на любую ось (назовем её осью z ), может быть определена по формуле:
6
Mz 
L
N
 
a 1
(30)
a
где  a есть угол поворота вокруг этой оси.
Особое значение имеет закон сохранения момента импульса в центрально симметричном
поле, в котором потенциальная энергия U  r  зависит только от расстояния до некоторой определенной точки, которая называется центром поля. Любая ось, проходящая через центр поля,
является осью симметрии. Поэтому в Ц.С. поле сохраняются все три проекции момента импульса, но только относительно центра поля O :
M o  Const ,
если
U  U r 
(31)
Таким образом, всякая замкнутая система всегда имеет ровно семь аддитивных интегралов движения: энергия E ; три проекции полного импульса Px , Py , Pz и три проекции момента
импульса относительно любой точки пространства M x , M y , M z .
Если система не замкнута, то наличие или отсутствие аддитивных интегралов движения
зависит от вида внешнего поля и определяется видом функции Лагранжа системы частиц в этом
поле.
1. Если ф. Лагранжа не зависит явно от времени, т.е.
L
 0 , то E  Const ;
t
2. Если ф. Лагранжа не зависит от какой либо декартовой координаты (например x ), т.е.
L
 0 , то Px  Const .
x
3. Если поле обладает аксиальной симметрией относительно какой-либо оси (например,
оси z ), т.е.
L
 0, то M z  Const , причем начало координат должно лежать на оси симz
метрии.
4. В Ц.С. поле сохраняются все проекции момента импульса относительно центра поля
M o  Const .
7